扩展互作用速调管（Extended-Interaction Klystron，简称EIK）主要包括扩展互作用放大器和扩展互作用振荡器。它继承传统速调管高可靠性与高功率的优点，并采用多间隙腔作为互作用结构，可在毫米波段达到更大的输出功率、带宽和效率^[1]。传统的EIK常选用工作在基模的哑铃型谐振腔作为互作用结构，通过使用带状注技术与多注技术^[2-5]，在毫米波段实现了EIK输出功率的提升。然而随着工作频率的进一步提升，基模工作的谐振腔尺寸会迅速减小，这不仅会增加谐振腔内电压击穿的风险，而且会限制阴极发射面积从而提升阴极负载^[6-7]。高次模式同轴谐振腔可以在相同的工作频率下显著提升器件尺寸，同时高次模式分布式电场使得电子注不必集中在器件中心，结合多注技术可以大幅度提升阴极发射面积，有望在高频段进一步提升输出功率^[8-9]。然而此类过模结构包含着复杂的轴向模式和横向模式，当电子注参数改变时，极易产生模式竞争的现象^[10]。因此，研究多电子注激励特性是设计此类器件的理论基础。本文首先研究了高次模式同轴多间隙腔的电场分布特性，并分析了此结构基于外边缘全通耦合方式的模式特性。在此基础上，使用空间电荷波理论研究了多电子注激励下，该结构的高次模式起振特性，并结合CST三维粒子仿真分析验证激励原理。

1 高次模式同轴多间隙腔物理模型

在同轴结构的速调管中，主要与电子注发生互作用的是TM_mnl模式，其中m，n，l分别表示沿着同轴结构的角向、径向和轴向的驻波周期数。其轴向电场分布E_z可以根据Borgnis函数表示^[11]

其中T表示截止波数，定义为 $T = \sqrt {{\omega ^2}\mu \varepsilon - {{(l{\rm{{\text{π}} }}/L)}^2}} $，L表示腔体的高度，a表示同轴腔体的外径。

本文选取的工作模式为TM₅₁₀模式，使用CST本征模求解器分别给出了TM₅₁₀及其相邻模式的轴向电场分布，如图1所示。对于同轴腔TM_mnl模式，当角度 $\phi = \left( {2N - 1} \right){\rm{{\text{π}} }}/2m$（N为整数）时，垂直于角向的电场为零且角向磁场为零，因此在相邻电场的极值处可以等效为理想电壁。

图 1. 工作模式及其相邻模式的轴向电场分布

Fig. 1. Axial electric field distribution of the operating mode and its adjacent modes

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在高次模式同轴单间隙腔的基础上，通过引入耦合槽，使得同轴结构在轴向上相互耦合。对于N间隙的同轴腔，每一个横向模式都会产生 $2N - 1$个轴向模式，因此相邻模式间隔会迅速减小，从而增加模式竞争的风险。而对于高次模式同轴多间隙腔，耦合槽同样谐振于高次模式，通过增加耦合槽张角可以有效提升模式间隔，从而降低由多间隙结构带来的模式竞争的风险^[12]。本文采取外边缘全通的耦合方式连接相邻的同轴腔，即位于结构外侧的同轴耦合腔将多个完全相同的同轴单间隙耦合在一起，共同组成同轴扩展互作用谐振腔。此种耦合方式不仅可以有效提升轴向模式的间隔，而且可以使得工作模式TM₅₁-2π模式的轴向电场在横向分布更加均匀。图2为工作在TM₅₁-2π模式的三间隙同轴腔，将5个电子注通道均匀分布在轴向电场的角向极值处。图3对比了TM₅₁-2π模与TM₀₁-2π模沿电子注通道的轴向电场分布，且蓝线代表的工作模式电场要强于红线代表的基模电场。因此对比基模工作方式，使用高次模式电场在增加腔体功率容量的同时也能提升互作用效率。工作模式及其相邻模式的频率、品质因数和带宽如表1所示。由于工作模式与其邻近模式的频率间隔大于相邻两个模式半带宽之和，因此以TM₅₁-2π模作为此种结构的工作模式具有良好的模式稳定性^[13]。

图 2. 工作在TM₅₁-2π模式的同轴三间隙腔轴向电场分布（a）三维电场分布（b）x-z横截面上的二维电场分布

Fig. 2. Axial electric field distribution of the TM₅₁-2π mode with 3-gap coaxial structure including (a) 3-D model (b) 2-D model at x-z cross-section

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图 3. 沿电子注通道的归一化轴向电场E_z分布

Fig. 3. Normalized E_z-field distribution along the beam tunnel

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2 高次模式同轴多间隙腔激励特性

2.1 多注激励同轴结构的电子电导模型

在上述高频结构的基础上，可以使用电子电导模型去研究多电子注对该结构的激励特性。电子电导G_e能直观表示出速调管谐振腔中的能量交换。当G_e为正值，表征电子注吸收对应模式电场的能量。当G_e为负值，表征电子注释放能量用以激励电场，如果腔体本身的焦耳损耗和外部负载没有消耗掉此部分能量，则谐振腔中对应模式的电场就会产生自激振荡。此结构的电子电导模型表示为^[14]

式中： $\;{\beta _{\rm{e}}}$表示电子传播常数； $\;{\beta _{\rm{q}}}$表示缩减等离子体传播常数； ${I_0}$和 ${V_0}$分别表示电子注的电流和电压； ${E_z}$表示对应模式的轴向电场。由式（2）可知，当电子注参数不变时，电子电导G_e与工作电场的纵向分布密切相关，即纵向结构尺寸是影响激励特性的关键参数。本文设计的高次模式同轴多间隙腔工作在TM₅₁-2π模式，在横向结构尺寸固定的情况下，分别计算对应不同间隙数下的该结构工作模式的电子电导G_e，并以此来选取合适的腔体间隙数。如图4所示，分别计算3，4，5间隙下TM₅₁-2π模的归一化电子电导G_e/G₀，当间隙数逐渐增加时，G_e/G₀的幅值会逐渐增大，表征在工作电压在负极值处更易激励起工作模式。同时，G_e/G₀值区域逐渐左移，表征在横向结构不变的情况下，随着间隙数的提升，电子注的激励电压会逐渐降低。当该结构作为速调管的输入腔或群聚腔时，电子电导应处于正值区以避免工作模式的自激振荡。当该结构作为速调管的输出腔时，电子电导应处于负值区，此时电子注将能量传递给输出腔高频电场，同时在输出结构的外部耦合下可以保证整管稳定高效的工作^[15]。因此当选取42 kV的工作电压时，如图3所示，3间隙腔G_e/G₀为正可作为输入或群聚腔，5间隙腔G_e/G₀为负可作为输出腔。

图 4. TM₅₁-2π模归一化电子电导G_e/G₀随电子注电压V₀变化曲线

Fig. 4. Normalized G_e/G₀ curves with beam voltage V₀

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2.2 非工作模式的激励特性

在高次模式同轴多间隙腔中，角向均匀分布的多个电子注不仅能激励起如图2（a）所示的工作模式TM₅₁-2π模，而且可能非均匀激励起邻近模式。如图5所示的TM₃₁-2π模、TM₄₁-2π模、TM₆₁-2π模。以图5（a）为例，对于TM₃₁-2π模式电场，由于2，3电子注通道位置处的轴向电场较小，即所在位置处的腔体特性阻抗较小，因此该位置处的电子注对TM₃₁-2π模式的起振几乎没有贡献。实际的贡献主要来自于1，4，5电子注通道，即当1，4，5电子注的电流高于起振电流阈值时，便会激励起邻近TM₃₁-2π模。因此当判断该系统稳定性时，需要将邻近模式也纳入计算。常用的方式是计算对应模式的整体品质因数Q_L来判断该模式是否起振。该方法的计算速度要快于CST-PIC仿真，同时可以直观准确的反映出该结构模式竞争的情况。对于无外部耦合的速调管群聚腔，它的整体品质因数Q_L定义为

图 5. 由五注激励的非工作模式轴向电场分布

Fig. 5. Axial electric field distribution of the non-working modes excited by 5 beams

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式中 ${Q_0}$表示无载品质因数，可通过CST仿真软件计算得到。 ${Q_{\rm{b}}}$表示电子注负载品质因数，对于本文提出的五注激励的高次模式同轴多间隙结构， ${Q_{\rm{b}}}$可通过下式计算^[10]

式中 ${G_{{\rm{e}},i}}$和 ${(R/Q)_i}$分别表示第 $i$个电子注通道位置处的电子电导和对应模式的特性阻抗。Q_L为正值表示系统稳定该模式无法起振，Q_L为负值表示电子注释放的能量高于腔体本身的焦耳损耗，即对应电磁场模式会被激励。如图6所示，分别计算了不同的电子注电流激励下工作模式及竞争模式的整体品质因数Q_L。当电子注的总电流I₀由4 A逐渐升高到10 A时，对于非工作模式TM₃₁-2π模和TM₄₁-2π模在工作电压42 kV附近整体品质因数Q_L由正值逐渐变为负值，表示这两种模式由绝对稳定状态转变成自激振荡状态。当电子注总电流为6 A时，各个模式的Q_L都为正，此时放大器可以稳定工作且具有较高的直流功率。因此，电子注总电流6 A（5×1.2 A）可作为此结构的工作电流。

图 6. 不同电子注电流激励下工作模式及竞争模式的整体品质因数Q_L

Fig. 6. Total quality factor Q_L of operating mode and competition modes under different beam current excitation

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2.3 TM₅₁₀-2π模式激励特性

对于工作在高次模式的同轴结构EIK，通常将电子注通道角向均匀地分布在轴向电场的极值处，以获得最大的输出功率。本文采用的结构工作在TM₅₁-2π模，如图2（a）所示，其角向有10个极值，且相邻极值相位相差180°。为了研究多个电子注与同轴多间隙腔中高次模式电场的能量交换特点，本文分析对比了两种不同的激励方式下多电子注的群聚特点。同时在保证电子注电压、总电流不变的情况下分别计算了两种方式间隙电压的幅值，如图7所示。图7（a）的激励方式与传统的基模多注EIK类似，每个电子注感受到相位、幅值完全一致的轴向电场，因此它们的调制状态完全一致。而在图7（b）中，相邻的电子注感受到的高频电场相位相差180°。因此，对于相邻电子注通道的群聚电子团，在相同的轴向位置处与高频场的互作用时刻相差1/2个高频周期。结合基波电流的定义，可以得到

图 7. 同轴多间隙腔TM₅₁-2π两种激励方式

Fig. 7. Two excitation methods of TM₅₁-2π mode in coaxial multi-gap cavity

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式中： ${I_1}(n)$和 ${I_1}(n')$分别表示图6（b）中在电子注通道序号 $n$和 $n'$位置处的基波电流； ${I_0}$表示电子注直流电流； $X$为群聚参量； $\omega $为工作角频率； ${\theta _0}$为直流渡越角； $T{\rm{ = }}2{\text{π}} /\omega $为高频周期。由式（5）可以得到各个电子注基波电流的关系式（6），即相邻电子注通道的群聚电流是相反的。

使用CST粒子仿真，可以计算出在图7的两种激励方式下，该结构能建立起的间隙电压幅值以及粒子轨迹，以反映出两种激励方式的注-波互作用过程。由图4所示，对于42 kV的工作电压，该结构的5间隙腔的归一化电子电导G_e/G₀为负值，表示作为输出腔的5间隙腔电子注将能量交给电磁场。此时，若无输出结构且腔体焦耳损耗较低的情况下，谐振腔会建立起稳定的工作模式TM₅₁-2π模。本文通过CST粒子仿真分别计算了5间隙腔中两种激励方式的注-波互作用过程，并保证两种模型具有相同的电子注总电流（6 A）和电子注电压（42 kV），通过电压监视器去记录电子注通道处的间隙电压幅值，如图8所示。

图 8. 两种激励方式激励五间隙谐振腔电压信号及频谱

Fig. 8. Voltage signals and frequency spectra of the five-gap cavity driven by two methods

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图8中两种电子注激励方式都可以激励起工作在35 GHz，TM₅₁-2π模式的电磁场，并且激励起的间隙电压幅值相同。图9给出了两种激励方式在y-z横截面上的粒子轨迹。如图9（a）所示，采用5注同相激励的工作方式，电子注具有相同的调制相位。如图9（b）所示，在10注激励的谐振腔中，虽然相邻的电子注携带相同的工作频率信息，但是由于经过不同相位电场的调制，因此具有不同的相位信息，即它们之间具有180°的相位差。由此可知，不同于工作在基模的多注EIK，多电子注激励的高次模式同轴EIK的各个间隙电压是分别建立的，即只要单个电子注与所在位置的电场相位满足同步关系，就可以进行有效的注-波能量交换。每个单电子注会在各自位置将能量释放给极值电场，同时各个位置处的极值电场便组成了TM₅₁-2π模式电场。

图 9. 在y-z截面上两种激励方式下的电子注轨迹

Fig. 9. y-z cross-section of the beam trajectories with two excitation methods

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如图10所示，当逐步增加电子注激励电流时，两种激励方式激励起的间隙电压都逐渐增加并趋于饱和，虽然两者始终保持相近的功率水平，但是采用10注的激励方式意味着单电子注具有更小的导流系数，从而减小所需的聚焦磁场。在综合考虑工作稳定性和输出功率水平的影响下，选取电子注总电流（6 A）和电子注电压（42 kV）为放大器的电子注参数。

图 10. 不同激励方式下间隙电压随着总激励电流的变化曲线

Fig. 10. Gap voltage changes with total beam current under different excitation methods

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3 结　论

高次模式同轴多间隙腔可以有效提升速调管在高频段的功率容量和结构尺寸。本文中，我们使用CST本征模式求解器研究了同轴多间隙腔的模式特性，采用外边缘全通的耦合方式使得此结构具有良好的模式间隔及电场分布均匀性。使用空间电荷波理论和运动学理论中的电子电导模型，研究了纵向结构对高次模式电磁场激励的影响，即间隙数量是影响电子注是否能激励起高次模式电磁场的关键参数。基于整体品质因数Q_L，从能量守恒的角度研究此种过模结构非均匀激励的特性，通过改变激励电流的大小来分析工作模式和主要竞争模式的起振情况，并以此确定合适的工作电流。使用CST粒子仿真研究了用5注和10注对工作模式TM₅₁-2π模的激励特性，在总电子注不变的情况下两者具有相同的幅值工作模式电场，由此可知不同于基模多注EIK，高次模式多注EIK的各个间隙电压是分别建立的，且采取更多注的激励方式可以有效降低单电子注的导流系数，从而减小聚焦磁场。以上的研究对多电子注激励的高次模式同轴EIK的设计提供了理论基础，进一步的工作将会基于此种结构设计出整管放大器。