1 引言

非线性光学的基本目标之一是实现对光束的有效控制,而空间光孤子是实现这一目标的有效途径之一^[1-4]。研究表明:介质的非线性效应会导致光束变窄,光束衍射会导致光束展宽,当光束变窄和展宽达到平衡时,光束的宽度将保持不变,形成所谓的空间光孤子。近年来,人们在非线性介质中建立光格子,获得了各种格子孤子,并利用这些格子孤子来实现光束的操控。光波在周期性结构的光格子中传播时,将会导致带隙结构出现。带隙的存在意味着:由于全内反射或Bragg反射的作用,具有某些波矢的光波将不能通过这些光格子传播。光束在非线性光格子里的动力学特征由介质的非线性和在周期性结构里散射的相互作用决定。

2002年,人们在理论上预测了所谓的格子孤子,也就是存在于具有格子的非线性介质里的束缚态光波^[5];并在2003年实验验证了在一维和二维光格子中孤子的存在^[6-7]。随后,许多关于光波在光格子中产生的引人注目的现象被陆续报道,诸如带隙孤子的形成和操控^[6-8]、光格子中的布洛赫振荡^[9]以及离散涡旋孤子的形成与稳定特性^[10-13]等。更有趣的是,通过改变光格子的对称性,孤子的动力学特性会变得更加丰富,如孤子能在贝塞尔型光格子里旋转^[14-15]。近来,在光格子和激光写入波导阵列中的表面孤子得到了报道和研究^[16-17],线性和非线性光格子同时存在的非线性介质中会产生涡旋孤子^[18],在非线性光格子中狄拉克点处的孤子具有振荡的“拖尾”且代数衰减^[19],利用准一维、P-T(Parity-Time)对称光格子可以实现光束的有效操控^[20-25]。这些研究表明,利用光格子操控光束依然是非线性光学的热点研究课题。

在非局域介质和具有光格子的非线性介质中存在包括偶极光孤子在内的各阶高阶孤子^[8,26-27]。由于其新颖的动力学行为和在全光控制方面的潜在应用,包括偶极在内的多极光孤子的研究具有重要的应用价值和发展前景。在三阶和五阶非线性效应的情况下,双波导通道中存在偶极孤子^[28];在具有二维缺陷光格子的非线性介质中存在包括偶极孤子在内的各类“整形孤子”^[29];在复杂的二维非线性光格子里存在有偶极光孤子^[30];一维光格子所支持的偶极孤子的动力学性质能够被运用于对光束的有效操控^[31]。

2 模型

光束在具有光格子的Kerr介质中的传输演化可以表示为

i∂q∂z+12∂2q∂x2+q2q+pR(x)q=0,(1)

式中:q(x,z)为光场的复振幅,光束沿着z方向传播,同时在x方向发生衍射;实函数R(x)=cos(Ωx)描述光格子的空间分布,Ω为格子频率,p为格子深度。 光束在这样的系统中传输演化的时候,其能流U= ∫-∞∞q2dx能够保持不变。

(1)式所描述的系统存在着形如q(x,z)=w(x)exp(iβz)的稳态解;其中,β为传播常数,w(x)为实函数,且满足如下方程:

βw=12d2wdx2+w3+pR(x)w。(2)

对(2)式利用牛顿迭代法^[26,32]可以得到包括基态、偶极以及其他多极孤子的数值解。

为了分析孤子的稳定性,可令(1)式有如下微扰形式的解^[28]:

q(x,z)=w(x)expiβz+u(x)expiβ+λz+v*(x)expiβ-λ*z,(3)

式中:w(x)exp(iβz)为(1)式的稳态解,微扰部分u(x)和v(x)在传播过程中以复增长率λ增长。将(3)式代入(1)式并线性化得到:

λu=12d2udx2+w22u+v+pcosΩxu-βuλv=-12d2vdx2-w22v+u-pcosΩxv+βv。(4)

求解这个耦合方程组,可以得到复增长率λ。很显然,λ的虚部Im(λ)就是微扰在传播过程中的增长率。

在波色-爱因斯坦凝聚的研究中,人们利用光格子技术来控制凝聚体,光格子中的波色-爱因斯坦凝聚体的性质已经被广泛研究^[33]。本研究将给出在(1)式所描述的系统中单通道和多通道多极孤子的性质异同,以及它们的动力学行为的差异。这些性质将对光纤通信系统的全光控制技术具有一定的参考价值。

3 单通道和多通道多极格子孤子的比较

在光格子对光场的束缚作用、非线性效应和衍射效应的共同作用下,在(1)式所描述的系统中存在单通道和多通道的多极孤子。考虑在可应用的参数范围内,研究(1)式所描述的系统中所存在的单通道和多通道的多极格子孤子的性质及其动力学行为。

3.1 单通道和双通道偶极格子孤子

偶极孤子是2个基态模孤子按一定相位关系所组成的束缚态。 2个反相的基态模孤子所构成的束缚态是反相偶极孤子;同样地,同相偶极孤子是由2个同相的基态模孤子所构成的束缚态。图1给出了在(1)式所描述的系统中存在的典型的双通道偶极孤子的光场振幅w(x)的空间分布。从图1中可以看出,组成偶极格子孤子的2个基态模孤子分别处于2个相邻的格子通道内,其中,图1(a)和(b)中的偶极格子孤子称为双通道反相偶极格子孤子(I型偶极格子孤子),而图1(c)和(d)中的偶极格子孤子称为双通道同相偶极格子孤子(II型偶极格子孤子)。

图 1. 典型的双通道偶极格子孤子。传播常数为(a) β=0.6和(b) β=2的双通道反相(I型)偶极格子孤子;传播常数为(c) β=0.6和(d) β=2的双通道同相(II型)偶极格子孤子。其中,虚线和实线分别代表光格子pR(x)和光场振幅w(x)的空间分布。其他参数为:p=1和Ω=2

Fig. 1. Typical dipolar lattice solitons in two channels. Out-of-phase dipolar solitons with propagation constants (a) β=0.6 and (b) β=2 in two channels (type I), in-phase dipolar solitons with propagation constants (c) β=0.6 and (d) β=2 in two channels (type II). Here, the dashed and solid lines correspond to the optical lattice pR(x) and the amplitude w(x) of the light field. Other parameters are p=1 and Ω=2

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图2给出了典型的单通道反相(III型)偶极格子孤子的光场振幅的空间分布,从中可以看出该类型偶极格子孤子的典型特征:组成单通道反相(III型)偶极格子孤子的2个基态模孤子同处于1个格子通道内。单通道反相偶极格子孤子由2个反相的基态模孤子组成,在偶极孤子内部,2个反相的基态模孤子相互排斥,而这种排斥相互作用与单通道对2个基态模孤子的束缚作用相互抵消。然而,值得注意的是,数值计算表明:与双通道偶极孤子不同的是,在单通道内不存在同相偶极格子孤子;其原因是2个同相的基态孤子之间的吸引力不可能与单通道对2个基态模孤子的束缚作用相互平衡。

这3类偶极格子孤子不仅光场振幅的空间分布显著不同,它们的能流特性和稳定性也有很大的差异。图3(a)给出了这3类偶极格子孤子能流U与传播常数β的依赖关系,可以看出:传播常数β在可应用的范围内增加时,3类偶极格子孤子的能流均随之增加。更值得注意的是,在传播常数相同时,双通道反相和同相偶极格子孤子的能流也相同。从稳定性上看,双通道反相(I型)偶极格子孤子的稳定性最好,在所采用的参数范围内都是稳定的;双通道同相(II型)偶极格子孤子的稳定性最差,在参数范围内几乎都不稳定;单通道反相(III型)偶极格子孤子的稳定性介于两者之间,只在1个很窄的参数范围内是不稳定的。

图 2. 传播常数为(a) β=0.5和(b) β=2的单通道反相(III型)偶极格子孤子。其中,虚线和实线分别代表光格子pR(x)和光场振幅w(x)的空间分布。其他参数为:p=1和Ω=1

Fig. 2. Typical out-of-phase dipolar lattice solitons with propagation constants (a) β=0.5 and (b) β=2 in single channel. Here, the dashed and solid lines correspond to the optical lattice pR(x) and the amplitude w(x) of the light field. Other parameters are p=1 and Ω=1

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图 3. (a)偶极孤子的能流U和(b)受到扰动后的增长率Im λ与传播常数β的依赖关系。其他参数为:p=1;对I、II型偶极孤子Ω=2,对III型偶极孤子Ω=1

Fig. 3. Dependence of (a) energy flow U and (b) growth rate Im λ of dipolar lattice soliton on propagation constant β. Other parameters are p=1, Ω=2 for type I and II dipolar solitons or Ω=1 for type III dipolar solitons

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3.2 单通道和三通道三极格子孤子

与偶极孤子类似,3个基态模孤子按一定相位关系也可以组成束缚态,被称为三极孤子,如图4和图5所示。3个相邻的反相基态模孤子组成的束缚态称为反相三极孤子,如图4(a)、4(b)和图5所示;而同相三极孤子中包含3个同相的基态模孤子,如图4(c)和4(d)所示。图4和图5给出了典型的三极格子孤子的光场振幅的空间分布,图4(a)和4(b)中,束缚态中3个两两反相的基态孤子分别位于3个相邻的格子通道中,称为三通道反相(I型)三极格子孤子;当3个两两反相的基态模孤子,如图5所示,同处于1个格子通道时,称为单通道反相(III型)三极格子孤子;而分别位于3个相邻的格子通道中的3个同相的基态孤子所组成的束缚态,称为三通道同相(II型)三极格子孤子,如图4(c)和4(d)所示。

图 4. 典型的三通道三极格子孤子。传播常数为(a) β=0.6和(b) β=2的三通道反相(I型)三极格子孤子;传播常数为(c) β=0.6和(d) β=2的三通道同相(II型)三极格子孤子。其中,虚线和实线分别代表光格子pR(x)和光场振幅w(x)的空间分布。其他参数为:p=1和Ω=2

Fig. 4. Typical tripolar lattice solitons in three channels. Out-of-phase tripolar solitons with propagation constants (a) β=0.6 and (b) β=2 in three channels (type I), in-phase tripolar solitons with propagation constants (c) β=0.6 and (d) β=2 in three channels (type II). Here, the dashed and solid lines correspond to the optical lattice pR(x) and the amplitude w(x) of the light field. Other parameters are p=1 and Ω=2

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图 5. 传播常数为(a) β=0.8和(b) β=2的单通道反相(III型)三极格子孤子。其中,虚线和实线分别代表光格子pR(x)和光场振幅w(x)的空间分布。其他参数为:p=1和Ω=1

Fig. 5. Typical out-of-phase tripolar lattice solitons with propagation constants (a) β=0.8 and (b) β=2 in single channel. Here, the dashed and solid lines correspond to the optical lattice pR(x) and the amplitude w(x) of the light field. Other parameters are p=1 and Ω=1

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这3类三极格子孤子的存在是由于光格子对孤子的束缚作用与各基态模孤子之间作用相互平衡的结果。这3类三极格子孤子的能流特性与偶极格子孤子有着非常相似的特性,如图6(a)所示,3类三极格子孤子的能流U均随传播常数β的增加而增加,而且,三通道同相和反相三极格子孤子的能流特性几乎相同。但是,这3类三极格子孤子的稳定性差异较大,数值模拟的结果表明,三通道反相三极格子孤子在所采用的参数范围内都是稳定的,三通道同相三极格子孤子在很宽的范围内都不稳定,而单通道反相三极格子孤子在一些离散的区域内是不稳定的,如图6(b)所示。

图 6. 三极格子孤子的(a)能流U和(b)受到扰动后的增长率Im λ与传播常数β的依赖关系。其他参数为:p=1;对I、II型三极孤子Ω=2;对III型三极孤子Ω=1

Fig. 6. Dependence of (a) energy flow U and (b) growth rate Im λ of tripolar lattice soliton on propagation constant β. Other parameters are p=1 and Ω=2 for type I and II tripolar solitons and Ω=1 for type III tripolar solitons

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构成多极格子孤子束缚态的各基态孤子之间的相互作用以及光格子对格子孤子的束缚作用共同决定了多极格子孤子的稳定性,且各基态孤子之间的相互作用占据主要地位。对反相多极格子孤子,各基态孤子之间均相互吸引,但光格子对多通道格子孤子的束缚作用比对单通道多极格子的孤子更强,所以多通道格子孤子比单通道多极格子孤子更稳定。而尽管光格子对同相多极格子孤子具有束缚作用,但是其内部的各基态孤子之间是相互排斥的,且这种排斥作用居于主导地位,导致同相多极格子孤子比反相的多极格子孤子稳定性要差。

4 单通道和多通道多极格子孤子动力学行为比较

为了研究多极格子孤子的动力学行为,将(1)式中稳定存在的多极孤子在该系统中传输一段距离z₀后(z₀=20)撤去光格子,即

p(z)=p0,z≤z00,z>z0。(5)

多极格子孤子是多个基态模孤子按一定相位关系所组成的束缚态,在由(1)式所描述的系统中能够稳定传输。但当多极格子孤子在(1)式和(3)式所描述的系统中传输时,多极格子孤子会受到外界的扰动,将由多个基态模孤子所组成的束缚态分裂成相应数目的基态模孤子。这些基态模孤子中,由于相邻的孤子间具有特定的相位关系,将呈现出丰富的相互作用图景。

4.1 多通道反相多极格子孤子的动力学行为

图7提供了双通道反相偶极孤子在(1)式和(3)式所描述的系统中传输过程中的典型演化图像。从图中可以看出,双通道反相偶极孤子在(1)式和(3)式所描述的系统中稳定传输z₀ =20后,由于光格子撤去所产生的扰动,分裂成2个反相的光束,它们将相互排斥。当传播常数β很小时,分裂形成的2个反相光束将很快弥散,如图7(a)所示。然而,当传播常数β较大时,分裂形成的2个反相光束将不再发生弥散,而是以不变的夹角向前传输,传播常数β越大,2个光束之间的夹角越小,如图7(b)~(d)所示。

图 7. 典型的双通道反相偶极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中演化的图像。传播常数分别为(a) β=0.5,(b) β=1,(c) β=2和(d) β=3。其他参数为:p0=1,z0=20和Ω=2

Fig. 7. Typical evolvement diagrams of the two-channel out-of-phase dipolar solitons in the system described by Eqs. (1) and (3) for (a) β=0.5, (b) β=1, (c) β=2 and (d) β=3. Other parameters are p0=1, z0=20 and Ω=2

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三通道反相三极格子孤子在(1)式和(3)式所描述的系统中传输过程中的动力学行为随传播常数的变化显著不同。当传播常数较小时,由于光格子撤去,三通道反相三极孤子分裂形成了3个光束,其中,中间的光束迅速弥散,而2个边带光束由于相互排斥将以不变的夹角向前传输,如图8(a)和(b)所示。当传播常数较大时,三通道反相三极格子孤子分裂形成3个独立的光束,中间光束将不再弥散,如图8(c)和8(d)所示。由于3个光束两两反相,相邻光束间相互排斥,导致中间光束沿原来的入射方向直线传输;由于与中间光束相互排斥,2个边带光束的传播方向发生明显偏折,最终将沿直线路径向前传输,而且2个边带光束的传播方向分别与原来的入射方向形成的夹角相等。为了便于描述,定义边带光束的传播方向与原来的入射方向形成的夹角为逃逸角α。比较图8(a)~(d)可以看出,传播常数越大,边带光束的逃逸角α越小。多极反相格子孤子的这一性质是因为传播常数越大,光束总的能流越大[如图3(a)和图6(a)],分裂的光束各自诱导的非线性波导越强,它们间的排斥作用相对减弱,导致2个边带光束的逃逸角越小。

图 8. 典型的三通道反相三极格子孤子在(1)式和(2)式描述的系统中的演化图像。传播常数分别为(a) β=0.5,(b) β=1,(c) β=2和(d) β=3。其他参数为:p0=1,z0=20和Ω=2

Fig. 8. Typical evolvement diagrams of the three-channel out-of-phase tripolar solitons in the system described by Eqs.(1) and (3) for (a) β=0.5, (b) β=1, (c) β=2 and (d) β=3. Other parameters are p0=1, z0=20 and Ω=2

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4.2 多通道同相多极格子孤子的动力学行为

多极同相格子孤子受到外界扰动时,将由多个基态模孤子所组成的束缚态分裂成相应数目的同相的基态模孤子。这些同相的基态模孤子,相邻的孤子间相互吸引,将呈现出不同于反相格子孤子的相互作用图景。

图9提供了双通道同相偶极孤子在(1)式和(3)式所描述的系统中传输过程中的典型演化图像。从图9(a)和9(b)可以看出,当传播常数较小时,光格子撤去后双通道同相偶极孤子由于受到扰动分裂成2个同相的光束,同相光束相互吸引,合并成1个光束,这个合并形成的光束将沿同相偶极孤子分裂前的传播方向沿直线向前传输。但是,当传播常数超过1个临界值时,分裂的2个同相光束不再合并为1个光束,而是由于相互吸引而发生周期性的碰撞;传播常数越大,光束总的能流越大,分裂的各光束各自诱导的非线性波导越强,它们间的吸引作用相对减弱,导致碰撞的周期随传播常数增大而增大,如图9(c)和9(d)所示。

图 9. 典型的双通道同相偶极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中的演化图像。传播常数分别为(a) β=0.5,(b) β=1,(c) β=2和(d) β=3。其他参数为:p0=1,z0=20和Ω=2

Fig. 9. Typical evolvement diagrams of the two-channel in-phase dipolar solitons in the system described by Eqs.(1) and (3) for (a) β=0.5, (b) β=1, (c) β=2 and (d) β=3. Other parameters are p0=1, z0=20 and Ω=2

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三通道同相三极孤子在(1)式和(3)式所描述的系统中传输过程中的动力学行为比双通道同相偶极孤子更为丰富。从图10(a)可以看出,当传播常数很小时,光格子撤去后三通道同相三极孤子分裂成3个同相的光束,它们相互吸引而合并成1个光束,这个合并形成的光束沿分裂前的传播方向继续向前传输。但是,当传播常数继续增大到一定数值后,分裂的3个同相光束不再合并为1个光束,由于相互吸引而进行能量的重新分配,形成2个同相的光束,在向前传输的过程中发生周期性的碰撞,如图10(b)和(c)所示。当传播常数增大到较大的数值后,分裂的3个同相光束不再合并为1个光束,在向前传输的过程中发生周期性的碰撞,如图10(d)所示。

4.3 单通道反相多极格子孤子的动力学行为

比较图7和图11可以看出,单通道反相偶极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中的动力学行为与双通道反相偶极格子孤子几乎相同。通过比较图7(b)和图11(c),以及图7(c)和图11(d)可以看出,它们两者的不同之处在于:传播常数相同的情况下,单通道反相偶极格子孤子在撤去光格子后分裂形成的2个反相光束传播轨迹所形成的夹角比双通道情形下的更大。

图 10. 典型的三通道同相三极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中演化的图像。传播常数分别为(a) β=0.5,(b) β=1,(c) β=2和(d) β=3。其他参数为:p0=1,z0=20和Ω=2

Fig. 10. Typical evolvement diagrams of the three-channel in-phase tripolar solitons in the system described by Eqs. (1) and (3) for (a) β=0.5, (b) β=1, (c) β=2 and (d) β=3. Other parameters are p0=1, z0=20 and Ω=2

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图 11. 典型的单通道反相偶极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中演化的图像。传播常数分别为(a) β=0.1,(b) β=0.5,(c) β=1和(d) β=2。其他参数为:p0=1,z0=20和Ω=1

Fig. 11. Typical evolvement diagrams of the single-channel out-of-phase dipolar solitons in the system described by Eqs. (1) and (3) for (a) β=0.1, (b) β=0.5, (c) β=1 and (d) β=2. Other parameters are p0=1, z0=20 and Ω=1

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单通道反相三极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中的动力学行为与三通道反相三极格子孤子也十分相似。所不同的是,即使传播常数非常小的时候,也不会发生中间光束弥散的现象,如图12(a)所示。在单通道的情形下,无论是反相偶极格子孤子,还是反相三极格子孤子,随着传播常数的改变,2个边带光束的传输轨迹与分裂前多极孤子传播方向的夹角的变化并不显著,如图7和图11所示。

图 12. 典型的单通道反相三极格子孤子在(1)式和(3)式描述的系统中演化的图像。传播常数分别为(a) β=0.05,(b) β=0.5,(c) β=1和(d) β=2。其他参数为:p0=1,z0=20和Ω=1

Fig. 12. Typical evolvement diagrams of the single-channel out-of-phase tripolar solitons in the system described by Eqs.(1) and (3) for (a) β=0.05, (b) β=0.5, (c) β=1 and (d) β=2. Other parameters are p0=1, z0=20 and Ω=1

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传播常数非常小的时候,反相多极格子分裂后形成的光束会发生弥散,其主要原因是分裂形成的光束的能流太小,诱导所形成的非线性波导不足以平衡光束的衍射,这时分裂形成的光束中的全部或部分可能会发生弥散。

5 结论

研究了具有光格子的局域的非线性介质中存在的典型的多极格子孤子的性质和动力学行为。研究发现,多通道多极格子孤子存在同相和反相2种类型的孤子;而单通道情况下,只存在反相多极格子孤子。这3种类型的多极格子孤子中,多通道反相多极格子孤子稳定性最好,而多通道同相多极格子孤子稳定性最差。

在撤去光格子的情况下,同相和反相多极格子孤子的动力学行为显著不同。双通道同相偶极多极格子孤子在撤去光格子后,分裂形成的2个光束或合并成1个光束后沿原来的传输方向继续传输(传播常数较小时),或由于相互吸引而作周期性碰撞(传播常数较大时)。三通道同相三极多极格子孤子在撤去光格子后,分裂形成3个光束,当传播常数较小时,它们合并成1个光束后沿原来的传输方向继续传输;当具有中等数值的传播常数时,3个光束的能量重新分配形成2个同相光束,然后2个光束作周期性碰撞;当传播常数较大时,3个光束作周期性碰撞。撤去光格子后,反相多极格子孤子分裂成相应数目的两两反相的基态模光束。研究结果表明:单通道和双通道偶极格子孤子呈现出相似的动力学行为。传播常数较小时,反相偶极格子孤子分裂形成的2个光束将会迅速弥散;对于较大的传播常数,2个光束将分别沿与原传播方向夹相同角度的方向的直线传播。对于单通道和三通道三极格子孤子,传播常数较小时,三通道三极格子孤子分裂形成的3个光束中位于中间的光束发生了弥散,单通道则不会发生相应的现象。无论是否有光束发生弥散,2个边带光束都沿直线轨迹传输,而且,轨迹与原传播方向的夹角相同。这些结果可以应用于全光控制技术,特别是对光学路由、光学开光的研究具有一定的参考作用。