拉盖尔-高斯光束在凸台周围的气动光学效应

蒋倩雯; 辛煜; 张淇博; 许凌飞; 赵琦

doi:doi:10.3788/LOP55.040101

激光与光电子学进展, 2018, 55 (4): 040101, 网络出版: 2018-09-11

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Aero-Optical Effect of Laguerre-Gaussian Beams Around Turret

论文大纲

蒋倩雯辛煜 ^*张淇博许凌飞赵琦

作者单位

南京理工大学电子工程与光电技术学院, 江苏南京 210094

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摘要

为研究拉盖尔-高斯(LG)光束在经过凸台周围流场后的气动光学效应,采用二阶紧致差分和四阶龙格库塔积分对抛物型的复振幅方程进行求解,比较了具有不同拓扑荷数的LG光束在同一流场环境下的光强分布、同一光束在同一流场中数值仿真的光程差(OPD)分布与沿光束路径积分的OPD分布,以及不同拓扑荷数的LG光束与高斯光束在不同马赫数、不同攻角、不同海拔下的Strehl比(SR)以及成像偏移。仿真结果表明,在同一流场中,LG光束的拓扑荷数越大,振幅形态保持越好,但光强衰减越大,成像偏移越大。而同一流场下拓扑荷数对LG光束的SR数值几乎无影响,LG光束的相位稳定性均优于高斯光束。在振幅稳定性方面,与高斯光束相比,LG光束受海拔和攻角变化的影响更大。

Abstract

To study the aero-optical effect of Laguerre-Gaussian (LG) beams passing through the flow field around a turret, we solve parabolic beam equations of complex amplitude by second-order compact differences and fourth-order Runge-Kutta integration. In the same flow field, light intensity distributions of LG beams with different topological charges, optical path differences (OPD) of the same beam calculated by numerical simulations and integrated along optical path are both compared. Strehl ratio (SR) and imaging displacement are calculated at different Mach numbers, different angles of attack, and different altitudes, and compared among Gaussian beam and LG beams with different topological charges. The simulation results show that in the same flow field, the larger topological charge the LG beam has, the better the shape of amplitude keeps, but the larger the attenuation and imaging displacement are. In the same flow field, the topological charges have nearly no impact on SR of LG beams, and the phase stability of LG beams is always better than Gaussian beam. Changes of altitude and angle of attack have bigger impact on the imaging displacement of LG beams compared with that of Gaussian beams.

1 引言

凸台作为飞行器上定向能量系统的投射平台,常用以发射和接收目标光信号^[1]。当飞行器以超过0.3 Ma的速度飞行时,凸台非气动最优化的几何外形会使其周围形成复杂的流场^[2],从而对光信号产生不可忽略的气动光学效应。近年来,对有关机载光学器件周围的流场所造成的气动光学效应的研究日益增多。Guo等^[3]在对近空区域内高超音速飞行器周围的流场所造成的气动光学效应的研究中,使用光线追迹的方法研究了不同海拔、攻角、光束入射角以及马赫数对光束传播的影响。Xu等^[4]提出了弱散射模型用以仿真和计算光束经过气动区域后的光强分布。Porter等^[5]通过夏克-哈特曼波前传感器记录了机载平形窗口凸台周围的气动光学畸变。Mani等^[6]对光束经过气动区域后的光学畸变程度评估提出了新的评价准则。冯定华等^[7]研究了凹腔剪切层处的光学传输效应。郑勇辉等^[8]依据柯林斯公式和角谱衍射理论研究了激光通过猫眼镜头的气动传输效应。在以上对气动光学效应的研究中,除文献[ 4]外,计算光学传输效应依据的原理均为光线追迹理论,且光源均使用高斯光束。

涡旋光束自1989年由Coullet等^[9]提出后就因其螺旋形相位和携带的轨道角动量(OAM)引起了人们广泛的讨论^[10-11],尤其是OAM可以用于提高光通信容量的特点^[12],使得众多学者对涡旋光束在大气中传播特性的研究产生了兴趣^[13-14],然而对涡旋光束在气动区域中的传输特性还鲜有提及。由于涡旋光束理论上可以看作具有不同径向指数和相同角向指数的拉盖尔-高斯(LG)光束的线性叠加^[15],因此本文将研究分别以攻角、海拔、飞行速度作为流场唯一变化条件时,具有不同拓扑荷数的LG光束经过凸台周围流场后的气动光学效应。

2 理论分析

2.1 气动模型

LG光束所经过的流场为一凸台周围的流场。参考反潜机的凸台位置,凸台位于飞行器腹部前端且远离机翼,故将模型简化为凸台置于一平面中心,即凸台底面圆心位置为(0,0)。流场及凸台尺寸如图1所示^[16]。为观察凸台及其周围的流场对光束的影响,光束所经过的流场选取的是凸台正上方2.00 m×2.00 m×1.73 m的流场,LG光束沿着凸台纵轴垂直出射,观察方向为沿着光束出射的反方向。攻角定义为来流与凸台横轴的夹角,向上为正,向下为负,图1所示流场中,左侧为来流入口,右侧为来流出口。

参考反潜机与歼击机的飞行高度和速度,采用Computational Fluid Dynamics仿真时,设置飞行速度为1.6~4.6 Ma,飞行高度为7~10 km,攻角为-25°~-10°,流场仿真方法选用大涡模拟(LES)。

图 1. 凸台尺寸示意图

Fig. 1. Turret size diagram

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当凸台前端迎着来流时,其底端会产生流动分离并形成旋涡,旋涡会一直向凸台后方延展,如图2所示。

当来流为超音速时,凸台头部会形成如图3所示的弓形激波。

图 2. 凸台周围流场结构图[17]

Fig. 2. Schematic of flow field around the turret[17]

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图 3. 密度云图

Fig. 3. Contour of density

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2.2 传输模型

为研究LG光束在凸台周围流场中的传输特性,采用径向指数p=0,角向指数l=1,2,3的LG光束(为方便描述,分别简记为L1、L2、L3)作为仿真对象,并与相同流场环境下高斯光束的光畸变进行了比较。高斯光束在初始面上的振幅分布为

$\begin{matrix} A (x, y, z) = \exp \{\frac{- a_{0} k (x^{2} + y^{2}) / [2 (1 + i a_{0} z)]}{1 + i a_{0} z}\}, (1) \end{matrix}$

式中a₀=2/(1+k $\begin{matrix} ω_{0}^{2} \end{matrix}$ )+i/R₀,k为波数,R₀为波前初始半径,ω₀为光束初始束腰半径。LG光束在初始面上的振幅分布为^[18]

$\begin{matrix} \begin{matrix} A (x, y, z, p, l) = \sqrt[]{\frac{2 p!}{π (|l| + p)!}} \frac{1}{ω (z)} \exp [i (2 p + |l| + 1) φ (z)] {[\frac{\sqrt[]{2 (x^{2} + y^{2})}}{ω (z)}]}^{|l|} \times \\ L_{p}^{|l|} [\frac{2 (x^{2} + y^{2})}{ω^{2} (z)}] \exp [- ik \frac{x^{2} + y^{2}}{2 q (z)} + ilarctan \frac{y}{x}], (2) \end{matrix} \end{matrix}$

式中ω(z)=ω₀ $\begin{matrix} \sqrt[]{1 + Z_{N}^{2}} \end{matrix}$ ,Z_N=z/Z_R,Z_R=k $\begin{matrix} ω_{0}^{2} \end{matrix}$ /2,φ(z)=arctan Z_N,q(z)=z+iZ_R。

光束在非均匀介质中传播时,麦克斯韦方程可以简化为亥姆霍兹方程:

$\begin{matrix} ▽^{2} U (r) + k^{2} n^{2} (r) U (r) = 0, (3) \end{matrix}$

式中▽表示微分算子,矢量r=(x,y,z),非均匀介质折射率n(r)≈1+K_gdρ(r),其中G-D(Gladstone-Dale)系数K_gd=2.24×10^-4× $\begin{matrix} [1 + (7.52 \times 10^{- 3}) / λ^{2}] \end{matrix}$ (单位为m³·kg^-1),将密度数据ρ(r)转化为折射率数据,λ为波长(单位为μm)。将光场复振幅U(r)展开为抛物型表达式U(r)=A(x,y,z)eⁱ^kz,将其代入(3)式中可得

$\begin{matrix} ▽_{⊥}^{2} A + \frac{\partial^{2} A}{\partial z^{2}} + 2 ik \frac{\partial A}{\partial z} + k^{2} (\frac{n^{2}}{{n^{2}}_{r}} - 1) A = 0, (4) \end{matrix}$

式中▽_⊥为拉普拉斯算子横向分量,n为折射率,n_r为自由空间折射率。令∂A/∂z=f(z,A),在满足傍轴近似 $\begin{matrix} |\partial_{zz} A| \end{matrix}$ ≪ $\begin{matrix} |k \partial_{z} A| \end{matrix}$ 时,(4)式可以演变为振幅A对传播方向z的隐式微分方程^[19]:

$\begin{matrix} f (z, A) \approx \frac{i}{2 k} ▽_{⊥}^{2} A + \frac{ik}{2} [{(\frac{n}{n_{r}})}^{2} - 1] A 。 (5) \end{matrix}$

对于A横截面上的二阶偏导 $\begin{matrix} ▽_{⊥}^{2} \end{matrix}$ A=∂²A/∂x²+∂²A/∂y²,采用二阶紧致差分方法进行计算,再沿着积分路径采用四阶龙格库塔积分即可得到目标距离处的光振幅分布,并由此可以直接求解出光程差(OPD)分布:

$\begin{matrix} Δ = \frac{λ}{2 π} Re (- iln \frac{A^{n + 1}}{A_{r}^{n + 1}}), (6) \end{matrix}$

式中Aⁿ⁺¹、 $\begin{matrix} {A^{n + 1}}_{r} \end{matrix}$ 分别为光束在气动区域和自由空间中传播同等距离后的振幅分布,一般计算OPD则是沿着光束路径进行积分计算,即

$\begin{matrix} O_{PD} = \int (n - n_{r}) dz = \int K_{gd} (ρ - ρ_{r}) dz, (7) \end{matrix}$

式中ρ和ρ_r分别为空间点密度和空间点参考密度。光束穿过凸台周围流场后,采用Strehl比(SR)和成像偏移两种参数分别从相位稳定性和振幅稳定性两方面对成像质量进行评价。SR通常采用的计算公式为^[20]

$\begin{matrix} S_{R} = \exp [- {(k Δ_{rms})}^{2}], (8) \end{matrix}$

式中Δ_rms为OPD的均方差。成像偏移的计算公式为

$\begin{matrix} Δ \bar{r} = \bar{r} - {\bar{r}}_{0}, (9) \end{matrix}$

式中 $\begin{matrix} \bar{r} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} {\bar{r}}_{0} \end{matrix}$ 分别为光束经过气动区域和未经过气动区域的光束质心位置。

3 振幅和OPD仿真结果

采取攻角分别为-10°, -15°, -20°, -25°,海拔分别为7,8,9,10 km,飞行速度分别为1.6,2.6,3.6,4.6 Ma的条件进行仿真,仿真光束为波长均为1.06 μm、光束束腰半径为0.5 m的L1、L2、L3 3种拓扑荷数的LG光束和高斯光束。图4(a)~(d)、图4(e)~(h)分别为高斯光束和LG光束的初始光强分布和相位分布。

图 4. 光强分布和相位分布。(a)(e)高斯光束;(b)(f)L1光束;(c)(g)L2光束;(d)(h)L3光束

Fig. 4. Light intensity and phase distributions. (a)(e) Gaussian beam; (b)(f) L1 beam; (c)(g) L2 beam; (d)(h) L3 beam

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3.1 振幅仿真结果

以飞行速度为2.6 Ma、海拔为10 km、攻角为-15°的流场为例(但不限于该条件下的流场),图5为该条件流场下的高斯光束以及L₁、L₂、L₃这3种拓扑荷数的LG光束的振幅分布,呈现出的规律是在同一流场条件下,拓扑荷数越大,LG光束振幅形态保持得越好,但光强衰减越大。

图 5. 光强分布。(a)高斯光束;(b) L1光束;(c) L2光束;(d) L3光束

Fig. 5. Light intensity distributions. (a) Gaussian beam; (b) L1 beam; (c) L2 beam; (d) L3 beam

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3.2 OPD仿真结果

以飞行速度为2.6 Ma、海拔为10 km、攻角为-15°的流场为例(但不限于该流场),图6为L1光束在该条件流场下的数值仿真计算所得OPD分布与沿着光束路径积分计算所得的OPD分布以及两者之差的结果分布。从图6(a)、(b)中可以明显看出凸台头部弓形激波造成的激波状OPD分布。而图6(c)所显示的两种算法的OPD之差可以在一定程度上验证数值仿真算法的准确度。

图 6. (a)数值仿真OPD,(b)沿光束路径积分OPD以及(c)两者之差

Fig. 6. OPDs calculated by (a) numerical simulations, (b) integral along optical path, and (c) differences of OPDs calculated by two methods

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4 振幅和相位稳定性

使用SR和成像偏移讨论LG光束和高斯光束的相位稳定性和光信号接收系统的振幅稳定性。

4.1 光束的相位稳定性

(8)式所表述的SR与光束的OPD均方差呈负相关关系,故使用SR来描述光束的相位稳定性。图7是在-15°攻角、10 km飞行高度下,高斯光束和L1、L2、L3光束的SR值随马赫数的变化曲线。

图 7. SR随马赫数的变化曲线图

Fig. 7. Curves of SR at different Mach numbers

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由图7可知,随着马赫数的增加,各光束的SR值呈现减小的趋势,并且在同一马赫数下,LG光束的SR值总是优于高斯光束。在图7中4.6 Ma处可以看出L1、L2、L3光束出现了SR数值上的分层,从上到下依次为 L1、L2、L3光束的SR值,L1、L2、L3光束在相同马赫数下的SR值在10^-9~10^-8范围浮动,该数值浮动可以看作系统计算误差。但在多数流场中(此处流场是指所有仿真流场,而非马赫数作为唯一变化条件的4个流场),LG光束在同一流场环境中的SR值呈现出随拓扑荷数增大而减小的趋势,并且由于在4.6 Ma处可以看到更为明显的数值分层,因此推测该数值浮动可能表明在相同马赫数下,LG光束的SR值随拓扑荷数的增大而减小。但宏观上,在相同马赫数下,LG光束的拓扑荷数对SR值几乎无影响。

图8为高斯光束和L1、L2、L3光束的SR值在2.6 Ma、10 km海拔下随攻角变化的曲线图。

图 8. SR随攻角变化曲线图

Fig. 8. Curves of SR at different angles of attack

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由图8可以看出,在2.6 Ma飞行速度、10 km海拔处,随着攻角的减小,LG光束和高斯光束的相位稳定性随之降低,这是由于攻角越小,靠近凸台的流场中空气压缩越强烈。在同一攻角下,LG光束的相位稳定性总是优于高斯光束。如图8所示,L1、L2、L3光束的SR曲线几乎完全重叠,多处数据显示,不同LG光束在相同攻角下的SR数值会随着拓扑荷数的增大而在10^-9~10^-8量级上减小。因此推测在相同攻角下,LG光束的相位稳定性可能会随拓扑荷数的增大而降低。但宏观上,在同一攻角下,拓扑荷数对LG光束的相位稳定性几乎没有影响。

图9为高斯光束和L1、L2、L3光束的SR值在-15°攻角、2.6 Ma飞行速度下,随海拔变化的曲线。

图 9. SR随海拔变化曲线图

Fig. 9. Curves of SR at different altitudes

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由图9可知,随着海拔的升高,各光束的SR值均在逐渐增大,这是由海拔越高、空气越稀薄、空气密度越低造成的。在同一海拔下,LG光束的SR总是优于高斯光束,同样,L1、L2、L3光束的SR曲线几乎完全重叠。在同一海拔下,较多的数据呈现出随着LG光束拓扑荷数的增大,LG光束的SR数值轻微减小的趋势,数值浮动在10^-9~10^-8量级,可以推测在相同海拔下,LG光束的SR值可能随着拓扑荷数的增加而减小。但宏观上,在同一海拔下,LG光束的拓扑荷数对SR值没有影响。

就相位稳定性而言,LG光束的相位稳定性均优于高斯光束。在同一流场条件下,拓扑荷数表现出的对SR值的影响几乎是无差别的,但是将SR值精确到小数点后8~9位时,更多的数据显示出,在相同流场环境下随着拓扑荷数的增大,LG光束的SR值随之减小。

4.2 光束的振幅稳定性

采用成像偏移(以下简称偏移)分别以攻角、海拔、马赫数作为流场唯一变化条件来观察气动光学效应对光束质心位置所产生的影响。图10为高斯光束和L1、L2、L3光束的偏移量在10 km海拔、2.6 Ma飞行速度下,随攻角变化的曲线图。

图 10. 成像偏移量随着攻角的变化

Fig. 10. Imaging displacement versus angle of attack

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由图10可以看出,随着攻角绝对值的增大,各LG光束偏移量在逐渐增大,对于高斯光束而言,在攻角绝对值大于15°之后,偏移量随着攻角绝对值的增大变化并不明显,而此时LG光束的偏移量均呈现明显的上升趋势。在同一攻角下,LG光束的偏移量随着拓扑荷数的增大而增大且相互之间的差值随着攻角绝对值的增大而扩大。在攻角绝对值大于15°之后,高斯光束的偏移量小于LG光束。

图11为高斯光束和L1、L2、L3光束在-15°攻角、2.6 Ma飞行速度下,偏移量随海拔变化的曲线图。

图 11. 成像偏移量随海拔的变化

Fig. 11. Imaging displacement versus altitude

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由图11可以看到,随着海拔的增加各光束的偏移量均呈现减小的趋势,其中各LG光束的偏移量与高斯光束相比明显减小,可见海拔对LG振幅稳定性的影响比对高斯光束大。在同一海拔下,LG光束的偏移量随着拓扑荷数的增加而增大,相互之间的差值随海拔的增加而缩小。

图12为高斯光束和L1、L2、L3光束的偏移量在-15°攻角、10 km海拔下,随马赫数变化的曲线图。

图 12. 成像偏移量与马赫数的关系

Fig. 12. Imaging displacement versus Mach number

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由图12可知,随着马赫数的增加,各光束成像偏移量均增加。当马赫数大于2.6 Ma且继续增大时,各光束的偏移量均明显增大,而在马赫数小于2.6 Ma时,各光束的振幅稳定性都很好,偏移量的具体数值在10^-10~10^-9m量级。在同一马赫数下,LG光束的偏移量随着拓扑荷数的增加而增加。

5 结论

采用LES方法分别在不同攻角、不同海拔、不同马赫数的计算条件下对凸台周围的流场进行仿真,得到了不同流场环境下的空气密度数据,通过使用二阶紧致差分对亥姆霍兹方程的微分式进行求解,并沿着光束行进路径使用四阶龙格库塔积分,计算得到了不同拓扑荷数的LG光束和高斯光束经过凸台周围流场后的光强和OPD分布,并以SR和成像偏移对光束质量进行了评价。仿真结果表明,在同一流场环境下,LG光束的拓扑荷数越大,光束形态保持得越好,但光强衰减越厉害,对于光信号接收器件而言成像偏移也越大。LG光束的SR值随拓扑荷数的变化在同一流场环境下几乎无差别,在SR值精确到小数点后8位时,较多的数据显示拓扑荷数越大,SR值越低。在LG光束与高斯光束的对比中发现,在同一流场中,高斯光束的SR值总是小于LG光束,即LG光束的相位稳定性在同样的流场环境下总是优于高斯光束;在成像偏移中,LG光束的偏移量随流场变量的改变变化较为明显,而高斯光束的偏移量随流场变量的改变则相对稳定。尤其是当海拔和攻角作为流场的唯一变量时,高斯光束偏移量的变化在10^-8 m量级,而LG光束偏移量的变化在10^-7 m量级,故LG光束受海拔和攻角变化的影响较高斯光束更大。

对LG光束经过凸台周围流场后的光强、OPD分布的研究,以及对不同拓扑荷数的LG光束与高斯光束的SR、成像偏移的研究,可为自由空间光通信技术在气动光学领域的扩展以及机载凸台的光源选择提供一定的参考价值。

参考文献

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1 引言

2 理论分析

2.1 气动模型

图 1. 凸台尺寸示意图

Fig. 1. Turret size diagram

图 2. 凸台周围流场结构图[17]

Fig. 2. Schematic of flow field around the turret[17]

图 3. 密度云图

Fig. 3. Contour of density

2.2 传输模型

3 振幅和OPD仿真结果

图 4. 光强分布和相位分布。(a)(e)高斯光束;(b)(f)L1光束;(c)(g)L2光束;(d)(h)L3光束

Fig. 4. Light intensity and phase distributions. (a)(e) Gaussian beam; (b)(f) L1 beam; (c)(g) L2 beam; (d)(h) L3 beam

3.1 振幅仿真结果

图 5. 光强分布。(a)高斯光束;(b) L1光束;(c) L2光束;(d) L3光束

Fig. 5. Light intensity distributions. (a) Gaussian beam; (b) L1 beam; (c) L2 beam; (d) L3 beam

3.2 OPD仿真结果

图 6. (a)数值仿真OPD,(b)沿光束路径积分OPD以及(c)两者之差

Fig. 6. OPDs calculated by (a) numerical simulations, (b) integral along optical path, and (c) differences of OPDs calculated by two methods

4 振幅和相位稳定性

4.1 光束的相位稳定性

图 7. SR随马赫数的变化曲线图

Fig. 7. Curves of SR at different Mach numbers

图 8. SR随攻角变化曲线图

Fig. 8. Curves of SR at different angles of attack

图 9. SR随海拔变化曲线图

Fig. 9. Curves of SR at different altitudes

4.2 光束的振幅稳定性

图 10. 成像偏移量随着攻角的变化

Fig. 10. Imaging displacement versus angle of attack

图 11. 成像偏移量随海拔的变化

Fig. 11. Imaging displacement versus altitude

图 12. 成像偏移量与马赫数的关系

Fig. 12. Imaging displacement versus Mach number

5 结论

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拉盖尔-高斯光束在凸台周围的气动光学效应 下载： 1131次

1 引言

2 理论分析

2.1 气动模型

图 1. 凸台尺寸示意图

Fig. 1. Turret size diagram

图 2. 凸台周围流场结构图[17]

Fig. 2. Schematic of flow field around the turret[17]

图 3. 密度云图

Fig. 3. Contour of density

2.2 传输模型

3 振幅和OPD仿真结果

图 4. 光强分布和相位分布。(a)(e)高斯光束;(b)(f)L1光束;(c)(g)L2光束;(d)(h)L3光束

Fig. 4. Light intensity and phase distributions. (a)(e) Gaussian beam; (b)(f) L1 beam; (c)(g) L2 beam; (d)(h) L3 beam

3.1 振幅仿真结果

图 5. 光强分布。(a)高斯光束;(b) L1光束;(c) L2光束;(d) L3光束

Fig. 5. Light intensity distributions. (a) Gaussian beam; (b) L1 beam; (c) L2 beam; (d) L3 beam

3.2 OPD仿真结果

图 6. (a)数值仿真OPD,(b)沿光束路径积分OPD以及(c)两者之差

Fig. 6. OPDs calculated by (a) numerical simulations, (b) integral along optical path, and (c) differences of OPDs calculated by two methods

4 振幅和相位稳定性

4.1 光束的相位稳定性

图 7. SR随马赫数的变化曲线图

Fig. 7. Curves of SR at different Mach numbers

图 8. SR随攻角变化曲线图

Fig. 8. Curves of SR at different angles of attack

图 9. SR随海拔变化曲线图

Fig. 9. Curves of SR at different altitudes

4.2 光束的振幅稳定性

图 10. 成像偏移量随着攻角的变化

Fig. 10. Imaging displacement versus angle of attack

图 11. 成像偏移量随海拔的变化

Fig. 11. Imaging displacement versus altitude

图 12. 成像偏移量与马赫数的关系

Fig. 12. Imaging displacement versus Mach number

5 结论

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