1 引言

数字微镜器件(DMD)自1981年由美国TI公司发明以来,不仅广泛应用于数字投影^[1]、动态场景模拟^[2-3]、数字光刻^[4]等照明投影系统,还广泛应用于高动态范围成像^[5-8]、孔径编码光谱成像^[9-12]、共聚焦显微镜荧光检测^[13]、像素内目标特征检测^[14]及几何超分辨成像^[15-16]等。

目前,DMD一般用于照明投影系统中的准直光路,对成像结果没有影响。但是,在成像系统中多用于会聚光路,若微反射镜在弧矢方向偏转,即入射光轴与反射光轴均在弧矢面内,则弧矢视场轴外光线将产生光程差,但对子午视场方向的成像结果没有影响。若微反射镜在子午方向偏转,即入射光轴与反射光轴均在子午面内,则子午视场轴外光线将产生光程差,但对弧矢视场方向的成像结果没有影响。这是因为多个微反射镜绕着各自的旋转轴偏转而非一个平面反射镜绕着一个旋转轴偏转,使得经过不同微镜的光线产生了位移,从而导致轴外不同视场光线的光程不同。

本文以几何光学和像差理论为基础,对会聚成像光路中引入像差的成因和结果进行了光路分析和理论计算,并且通过软件仿真和实验对其结果的正确性进行了验证。

2 会聚成像光路中DMD引起的光程差

根据反射定律,在光学系统中应用平面反射镜并不会引起像差,影响成像质量^[17]。作为一种微光机电器件(MEMS),平面反射镜是由一个个微反射镜在基底面上按照阵列紧密排布而成的。每个微镜片都有3种稳定状态,分别为“开”、“平”以及“关”态,对应偏转角分别为+12°、0°和-12°。当通电开始工作时,每个微反射镜将根据对应像素为“开”态或“关”态,分别偏转+12°或-12°,实现对光路的选取或图像的调制等。与平面反射镜不同的是,每个微反射镜都是绕着自身旋转轴旋转,使得入射光轴经DMD表面微镜反射后的反射光轴位置不一致。这就造成在反射光轴和入射光轴所构成的旋转面内,经过不同微反射镜的光束之间存在光程差,而在垂直于旋转面方向没有光程差。

DMD和等效反射镜在会聚光路中的光路图如图1所示,将一个与DMD基底面的夹角为θ、与微反射镜偏转角度相同的平面反射镜等效为DMD微反射镜阵列。其中只在Y方向的视场存在光程差,而在X方向的视场没有光程差。

图 1. DMD和等效反射镜在会聚光路中的光路图

Fig. 1. Optical path diagram of DMD and equivalent mirror in convergent light path

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假设边缘视场的主光线以与光轴成α角斜入射到DMD表面。A、B两点分别为边缘视场主光线与DMD和反射镜的交点,且AC与BC垂直于点C,其中AB=c,BC=a,则a+c即为会聚光路中由DMD引入的轴外边缘视场相对于0°视场的总光程差,用D_OP表示。

对于三角形OAB,有

csinθ=hsinπ-π2+α-θ,(1)

式中:h表示系统在DMD面上的边缘像高;c可表示为

c=hsinθsinπ2-α-θ。(2)

通过三角形ABC内的三角关系,可以得到

a=ccos[2(α+θ)]。(3)

综上,DMD引起的轴外视场主光线的光程差为

DOP=a+c={1+cos[2(α+θ)]}hsinθcos(α+θ)。(4)

不同微反射镜之间由于反射光轴不同,彼此之间存在光程差,但是入射到同一块微反射镜内的光线符合平面反射镜的反射特性,即光程是相同的,如图2所示。

图 2. DMD某一微镜两种工作状态的光路图

Fig. 2. Optical path diagram of two working states for one DMD micromirror

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假设微镜的尺寸为s,则OB为微反射镜“开”态所在位置,OB=s/2,而OA为微反射镜“平”态所在位置,像高为h₁的光线入射到微镜中心O,像高为h₁±h₀的光线作用于同一微反射镜的边缘。

对于三角形OAB,也有

s2sinπ2+α=h0sinπ-π2+α-θ。(5)

因此可得

h0=scos(α+θ)2cosα。(6)

(4)式可进一步完善为

DOP=a+c={1+cos[2(α+θ)]}×sinθcos(α+θ)×h,(7)

式中:当h∈[(n-1)h₀,(n+1)h₀]时,h=nh₀,其中n为整数,h₀=cos(α+θ)s/(2cos α)。

(7)式就是会聚光路中DMD引起轴外视场光线与轴上光线的光程差的最终表达式,可以看出,光程差D_OP与DMD表面的像高h呈正比关系。

以美国TI公司的DLP7000型DMD为例,即微镜偏转角度θ=12°,微镜尺寸s=13.68 μm。根据(7)式,可以得到该DMD分别在α=0°,20°,40°时的光程差D_OP与像高h的关系曲线,如图3所示。

图 3. DMD引起的光程差DOP与像高h间的关系

Fig. 3. Relationship between optical path difference DOP caused by DMD and image height h on DMD

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从图3中的曲线可以看出,随着DMD表面的像高越来越大,入射光线与光轴的夹角α越来越小,DMD引入系统中的光程差越来越大。DMD微镜分布的非连续特性,使得该光程差曲线表现为台阶状,且光程差关于DMD中心点呈反向对称分布。

3 光程差对成像质量的影响及补偿

3.1 像质评价

由第2节的分析和计算可知,DMD所产生的光程差会对系统的成像质量造成影响,影响程度可以用焦深进行评判。

以瑞利准则作为系统焦深判据,光程差变化为1/4波长时对应的离焦量^[18]可表示为

Δ=±2λN2,(8)

式中:λ为波长;N为F数。若光学系统利用电荷耦合元件(CCD)或互补金属氧化物半导体(CMOS)等相机探测成像,则焦深应以相机的分辨能力为判断依据。

当DMD引起的光程差与系统的焦深相等时,得到刚好成清晰像的临界像高为

h=±2λN2cos(α+θ)sinθ[1+cos2(α+θ)]。(9)

远心光学系统在像方有均匀的照度,且对像面前后离焦不敏感,便于DMD的光路装调,所以DMD一般多用于远心光学系统。此时α=0°,(9)式便可以简化为

h=±4.917186671λN2。(10)

(10)式表明:对于一个应用DMD成像的远心光学系统,只要已知系统的F数和工作波长,便可得知其可成清晰像的临界像高范围,且h的大小受系统的F数影响较大,随着F数的增加,h以平方倍数快速增加。

3.2 光程差补偿

根据前述理论,DMD引起的轴外视场光程差与DMD表面上的像高相关,可以考虑将像面倾斜一定角度来补偿轴外视场的光程差。

假设DMD微镜的偏转角度为θ,接收像面倾斜的角度为θ',l为DMD到DMD后接镜组物方主点的距离,l'为DMD后接镜组像方主点到像面的距离,则像面应倾斜的角度为^[19]

θ'=arctanl'ltanθ。(11)

但是,DMD表面微镜非连续分布的特性,导致轴外视场的光程差曲线也是阶梯状非连续的。而像面倾斜仍是一个平面,因此总会有部分光程差剩余,无法实现完全补偿。如图4所示,每一块微镜的剩余光程差都是相同的,且剩余光程差关于微镜中心呈等大反向对称分布。

图 4. 像面倾斜后剩余光程差曲线

Fig. 4. Residual OPD curve after image plane tilt

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图4中实线的每一个台阶对应DMD中的一块微反射镜,虚线与实线在纵坐标轴方向的差值即代表某一视场光线的剩余光程差,且台阶边缘的差值代表了对应微镜剩余光程差的PV值,用D_PV表示。将(7)式中的h替换为h₀,可以得到

DPV={1+cos[2(α+θ)]}sinθ×s2cosα。(12)

从(11)式中可以看出,在倾斜像面对会聚成像光路中DMD引入的轴外光程差进行补偿时,像面倾斜角度与入射主光线和光轴的夹角α无任何关系。也就是说,无论DMD前的光学系统是远心光路还是非远心光路,最终像面的倾斜角度都是一样的。然而从(12)式中可以看出,对于α角不同的光学系统来说,像面上剩余光程差的值是不同的。也就是说,α角越小,光程差越大,剩余的光程差也越大。

4 实验验证

在此设计了用于验证会聚成像光路中DMD光程差的实验,其原理图如图5所示。实验采用平面反射镜成像和DMD成像对比的形式,其中X轴和Z轴构成子午面,Y轴和Z轴构成弧矢面。实验采用均匀发光的白色面光源来照亮作为目标物的十字叉丝分划板,经倒置的物方远心镜头搭建的像方远心光路分别以12°斜入射到反射镜表面或者正入射到DMD表面,再经相同的物方远心镜头搭建的物方远心光路成像到CMOS探测器上,这样可以减少镜头本身的像差对实验结果的影响。实验光路的搭建和成像结果分别如图6和图7所示。

图 5. DMD正入射像差验证实验光路原理图。(a)反射镜偏转12°的光路示意图;(b) DMD正入射下的光路图

Fig. 5. Schematic of experimental optical path of aberration verification for DMD under normal incidence. (a) Optical path diagram for mirror with deflection of 12°; (b) optical path diagram for DMD under normal incidence

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图 6. DMD正入射的像差验证实验光路。(a)平面反射镜会聚成像光路;(b) DMD会聚成像光路

Fig. 6. Experimental optical path of aberration verification for DMD under normal incidence. (a) Convergent imaging light path with mirror; (b) convergent imaging light path of DMD

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图 7. DMD正入射的像差验证实验结果。(a)平面反射镜下的十字叉丝;(b) DMD下的十字叉丝;(c)像面倾斜补偿光程差实验结果

Fig. 7. Experimental results of aberration verification for DMD under normal incidence. (a) Cross wires under plane mirror; (b) cross wires under DMD; (c) experimental result of OPD compensation by image plane tilt

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实验中所用物方远心镜头的F数为20,根据(8)式可得镜头的焦深为0.4696 mm,根据(9)式可得所成清晰像在DMD面上对应的像高范围为±1.154556 mm,再根据物方远心镜头的放大倍率及CMOS探测面的大小,计算出在探测器表面镜头成清晰像的像高范围为±5.5151515 mm,即图中实线框所标位置。图7(a)和图7(b)中的X轴方向为子午视场方向,Y轴方向为弧矢视场方向。从十字叉丝成像结果可以看出,在平面反射镜下,子午视场光线和弧矢视场光线均成明亮清晰的像;而在DMD下,DMD本身的衍射效应,导致视场内亮度较低,但是在子午视场方向依然能形成清晰的像。而弧矢视场方向的光线明显呈现中心视场清晰、边缘视场模糊的现象,且越靠近视场边缘,十字叉丝越模糊。实验结果与理论结果基本一致。此实验现象与图3所示的光程差变化趋势也完全相同。

利用像面偏转补偿光程差以后,其十字叉丝成像结果如图7(c)所示,可见在全视场范围内十字叉丝的清晰度完全相同,且可实现清晰成像。根据(12)式可以得到倾斜像面补偿光程差,每个微镜剩余像差的PV值D_PV为0.757 μm,说明剩余光程差远小于系统的焦深。此时,可以认为在全视场范围内对DMD引入系统中的光程差校正完全。

5 结论

计算分析和实验结果表明,在会聚成像光路中使用DMD时,由于入射光线和反射光线不再关于DMD表面呈镜像关系,其本身将在系统中引入额外的光程差。光程差的大小与前序系统在DMD表面像高大小、轴外视场主光线与光轴方向夹角、微镜像素大小及偏转角有关。将焦深作为DMD引起的轴外光程差对系统最终成像质量影响的判据,能够得到形成清晰像的DMD表面范围。另外,对DMD引入的光程差补偿问题进行了初步探究,提出采用像面倾斜的方式来补偿光程差,并通过实验论证了补偿方案的可行性,其补偿结果满足评价体系的要求。对DMD在会聚成像光学系统中引入额外光程差这一问题进行了详尽的讨论和系统的总结,为同类光路的设计或光学的装调提供了参考和依据。