1 引言

2007年,Siviloglou等^[1]通过实验第一次产生并观察到有限能量的Airy光束。Airy光束独特的性质,如近似无衍射^[2]、横向自加速^[3]、自愈^[4-5]等,使其在等离子通道^[6]、微粒操控^[7]、光子弹^[8]、大气通信^[9],以及其他领域具有重要的应用前景,引起极大关注。研究者在Airy光束的产生方法^[10-14]、轨迹控制^[15-16]和应用^[17-20]等方面做了大量研究。在非线性区域控制Airy光束,可以产生很多奇异的演化特征,最显著的是Airy光束在非线性效应作用下使主峰处脱落出1个孤子,由于Airy光束的自愈特性,剩余部分能够逐渐恢复成Airy光束的形状并保持自加速传输,而能量主要集中在脱落的孤子部分^[21]。Airy光束在非线性介质中传输时,高阶效应,如拉曼和自陡,均会使主峰脱落的孤子发生自加速偏转^[22]。目前已有许多关于Airy光束在非线性介质中传输时的调制不稳定性^[23]、自聚焦^[24]和自频移^[25]等方面的研究,其中两束Airy光束^[26]或者Airy光束和孤子在非线性介质中共同传输^[27]的报道很多。

Airy光束存在着空间位置相反的两种形式,分别称其为正、反Airy光束。正Airy光束的形状为主峰在前,拖尾在后;反Airy光束的形状为拖尾在前,主峰在后。在线性介质中传输时,这两种形式Airy光束的运动轨迹都会出现弯曲,分别表现出自加速和自减速的传输特性^[28]。但是,在高阶非线性效应作用下,正、反Airy光束均表现出自加速特性^[29]。由于正、反Airy光在非线性介质中传输时均可以在主峰处脱落出1个孤子,所以很多研究者研究了脱落孤子之间的相互作用。峰值功率相同的正、反Airy光束在克尔非线性介质^[30]和饱和非线性介质^[31]中传输时,所产生的脱落孤子由于相互作用距离短,在它们的主峰位置间距小于主峰束宽时表现为吸引,孤子缠绕形成类似DNA螺旋结构的缠绕孤子对。

当光束宽度比材料响应函数的宽度小得多时,介质呈现出强非局域、高非线性特性,很多研究发现非局域非线性对孤子的传输有显著影响^[32-34]。相对于局域非线性介质,Airy光束在非局域非线性介质中传输时会产生一些奇异特性^[35],使其可以很好地应用于光开关和光学操控^[36]。Zhou等^[37]发现Airy光束在强非局域非线性介质中传输时会脱落出1个强度周期性变化的呼吸孤子。Zhu等^[38]运用传递矩阵法,对二维Airy光束在强非局域非线性介质中的传输进行了研究。Shen等^[39]研究了脱落孤子在非局域非线性介质中的传输特性,发现脱落孤子存在长距离相互作用,即使在Airy光束的主峰位置距离较远(主峰位置差需小于3倍主峰宽度)的情况下,也能够由于相互吸引而缠绕成螺旋结构。Huang等^[40]研究了Airy光束在强非局域非线性介质中的多孤子脱落现象。Airy光束在强非局域非线性介质中传输时,能量加速向主峰集中并脱落出1个孤子^[39],这样Airy光束就演变成了孤子,光孤子在强非局域非线性介质中传输时,会发生自偏转,还能实现分束^[41-42]。这些研究成果为研究不同形式的Airy光束传输提供了一定的指导。

目前,虽然已经有研究者对正Airy光束在强非局域非线性介质中的传输特性进行相关研究^[37-40],但是有关反Airy光束在该介质中的传输特性还未见研究的报道。为了更好地理解不同形式的Airy光束在强非局域非线性介质中的传输特性,更有效地操控脱落孤子,本文研究了正、反Airy光束在强非局域非线性介质中的演化,着重分析了不同振幅、截断系数和非局域程度对正、反Airy光束所产生脱落孤子的演化影响。

2 理论模型

Airy光束在非局域非线性介质中的传输可以由非局域非线性薛定谔方程描述,计算中忽略介质的损耗和高阶效应^[34]:

i∂ϕ∂z+12∂2ϕ∂x2+ϕ2ϕ-μϕ∂ϕ2∂x=0,(1)

式中:ϕ(x,z)为光束包络;x=X/X₀为无量纲的横向坐标,X₀为光束的宽度;z为归一化传输距离;系数μ为非局域效应的大小,并且一般情况 μ<1。μ代表非局域非线性响应的程度,当μ→∞时,(1)式被简化成非局域非线性薛定谔方程;当μ→0时,(1)式对应的是强局域状态,描述的是液体晶体在稳定状态下的非线性响应。通常,当具有指数响应的非局域非线性介质呈现出各种程度的非局域性时,光场在其中的传输都可以用(1)式来描述。在已有的理论和实验工作中,就存在着这样的物理系统,一个典型的例子是(1)式可以描述电磁波在存在着恒定静电场的向列型液晶中的传播,μ为向列型液晶的弹性势能与外加静电场能量的比值,描述介质的非局域程度。特别值得注意的是, 通过调节外加静电压改变μ,液晶能够表现出各种程度的非局域性。此外,(1)式还能描述光束在部分电离的等离子体中的传输。

在实验模拟中,归一化的初始Airy脉冲存在两种形式:

ϕ(x,z=0)=A×FA(x)exp(ax), fortail-leadingAirybeam,(2)ϕ(x,z=0)=A×FA(-x)exp(-ax), fortail-trailingAirybeam,(3)

式中0<a<1,a为Airy脉冲的截断系数,能够控制Airy光束的旁瓣的峰值;A为归一化的光束振幅;F_A(x)代表Airy函数,F_A(x)=12π∫-∞∞exp iu33+xudu。只有当光束能量达到一定程度时,非局域性的作用才能显现,所以A的理想取值范围为A>1。

图1为截断系数a=0.1时,初始输入的正、反Airy光束横向空间分布图以及Airy光束的主峰相对能量随截断系数a的变化图。从图1(a)可见,正Airy光束在初始位置的形状为非对称的拖尾振荡结构,主峰的能量最高,在主峰左侧有很多旁瓣,形成了一个长长的拖尾,并且旁瓣的能量逐渐减小。从图1(b)可见,反Airy光束在初始位置的形状和正Airy光束完全对称。Airy光束为多峰结构,截断系数a能够控制主峰和旁瓣的峰值,主峰能量占Airy光束主要部分。Airy光束的各瓣峰值越高,在非局域非线性介质中传输时越容易脱落出孤子,因此Airy光束总是主峰先脱落出孤子。研究不同截断系数下的Airy光束的主峰占比能更容易理解主峰和旁瓣在非局域非线性介质中产生的条件。从图1(c)可以看出,Airy光束随着截断系数的增加,脉冲主峰的能量占总能量的比例越来越大,当截断系数a增加到0.4时,主峰能量基本上不再增加。因为a相对较小时,Airy脉冲有许多振荡拖尾的旁瓣,故主峰占有脉冲总能量比例较小;当a增大时,脉冲振荡拖尾部分的旁瓣迅速减少,而脉冲总能量不变,即拖尾旁瓣能量转移到了主峰;当a增加到0.4以后,脉冲旁瓣越来越少直至消失,脉冲几乎演变成高斯形状,主峰能量达到最大值,脉冲几乎失去了横向自加速的特性。

图 1. a=0.1时,初始输入的(a)正、(b)反Airy光束空间分布图和(c) Airy光束的主峰相对能量随截断系数变化

Fig. 1. Spatial profiles of (a) tail-leading Airy beam and (b) tail-trailing Airy beam in the initial position with truncated coefficient a=0.1; (c) Airy beams relative energy at main lobe as a function of truncation coefficient

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基于以上分析,下面理论模拟正、反Airy光束在非局域非线性介质中的传输,各初始参数的取值范围:0<μ<1,A>1,0<a<0.4。

3 数值计算结果分析

本部分讨论正、反两种对称Airy光束的初始振幅A、截断系数a,以及介质的非局域效应系数μ对脱落孤子的演化影响。色散系数为-1,一般非线性系数为1,这两系数保持不变。

3.1 克尔非线性介质和强非局域非线性介质中,正、反Airy光束的演化特性

图2为当截断系数a=0.4,非局域效应系数μ=0.3和振幅A=4时,正、反Airy光束在克尔非线性介质和强非局域非线性介质中的演化过程。由图2(a)可知,正Airy光束在二阶色散和自相位调制的共同作用下,经历1个初始阶段光束宽度缩小的阶段,且Airy光束的最大强度增加。当传输到z=2.5时,Airy光束的主峰处脱落出1个孤子,而剩下的部分逐渐恢复成Airy光束形式,然后继续保持横向自加速传输。由图2(b)可知,反Airy光束同样经历1个初始光束宽度缩小的阶段,并在传输距离z=2.5时脱落出1个孤子,剩下的部分保持横向自加速传输。从图2(c)可见,当考虑非局域效应对Airy光束的传输影响时,其演化规律与在克尔非线性介质中是不同的。在群速度色散、自相位调制和非线性效应的共同作用下,正Airy光束的宽度会加速缩小,主峰的峰值功率会更快地达到脱落出孤子的阈值并脱落出孤子,且其传输轨迹是弯曲的。从图2(d)可见,反Airy光束在强非局域非线性介质中所脱落出孤子的传输距离及脱落孤子的运动轨迹几乎和正Airy光束的相同。另外发现,正、反Airy光束在强非局域非线性介质中传输时,在相同的传输距离,正Airy光束的横向位移更大,正Airy光束具有更大的自加速和自弯曲特性。

图 2. a=0.4,A=4时,正、反Airy光束在不同介质中的演化。 (a)、(b)克尔非线性介质;(c)、(d)强非局域非线性介质,μ=0.3

Fig. 2. Evolutions of the two spatially symmetrical Airy beams in different media with launched truncated coefficient a=0.4 and amplitude A=4. (a), (b) Kerr nonlinear medium; (c), (d) strongly nonlocal nonlinear medium, μ=0.3

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图 3. a=0.5,μ=0.4,在强非局域非线性介质中传输时,正、反Airy光束的主峰和旁瓣在不同振幅条件下脱落孤子随传输距离的变化。(a)正Airy光束;(b)反Airy光束

Fig. 3. Position of the solitons shedding at the main lobe and the side lobes of two spatially symmetrical Airy beams versus different amplitudes with launched truncated coefficient a=0.5 and nonlocal parameter μ=0.4. (a) Tail-leading Airy beam; (b) tail-trailing Airy beam

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图3为截断系数a=0.5,非局域效应系数μ=0.4时,在不同振幅条件下,正、反Airy光束在强非局域非线性介质中传输时的主峰和旁瓣脱落孤子随传输距离的变化。从图3(a)可知,正Airy光束在初始振幅A=1.5时,在较大的传输距离z=6时脱落出第1个孤子。当初始振幅增大时,脱落孤子的数目增加,并且孤子脱落时间变早。在z=9.8,A=2时,出现第2个脱落孤子。在z=13.8和A=3.1时,出现第3个脱落孤子。可见随着振幅的增大,正Airy光束会在更短的传输距离脱落出更多的孤子。从图3(b)可知,反Airy光束始终只脱落出1个孤子,并且随着振幅的增加,反Airy光束会在更短的传输距离脱落出孤子。反Airy光束脱落孤子的传输轨迹会与反Airy光束的旁瓣发生碰撞,旁瓣能量大部分转移到脱落孤子上,故旁瓣会由于能量不够而不能产生脱落孤子。

3.2 强非局域非线性介质中,正、反Airy光束的截断系数对孤子的流出的影响

图4为非局域效应系数μ=0.3,振幅A=4时,不同截断系数a下的正、反Airy光束演化特性。从图4(a)可知,当截断系数a=0.05时,正Airy光束能够脱落出4个传输轨迹弯曲的孤子,其传输轨迹由非局域效应所致。随着截断系数增加,从图4(b)可见,当a=0.15时,第1个旁瓣脱落出孤子,并且主瓣脱落的孤子发生分裂,脱落孤子的数目达到3个。从图4(c)可见,当a=0.25时,正Airy光束在强非局域非线性介质中只能在主瓣处脱落出1个孤子。可见,正Airy光束所脱落出的孤子数目会随着截断系数的减小而增加,因为随着截断系数的减小,Airy光束的能量可以更加平均地分配到各旁瓣中去,旁瓣获得一定的能量而达到发生脱落孤子的阈值并脱落出孤子。从图4(d) ~ (f)可知,反Airy光束在强非局域非线性介质中只脱落出1个孤子。反Airy光束的旁瓣在主峰右侧,主峰处的脱落孤子会向右偏转,随着传输距离的增加,该孤子会与旁瓣发生碰撞。由于旁瓣的峰值较小,旁瓣的能量大部分转移到主峰的脱落孤子上,从而导致旁瓣的能量小于产生孤子的阈值而不能脱落孤子,并且随着截断系数增加,反Airy光束脱落孤子的传输轨迹弯曲程度会增加。由图4可知,为增加脱落孤子的数目,可以选择截断系数较小的正Airy光束。

图 4. μ=0.3,A=4时,正、反Airy光束在不同截断系数条件下随传输距离的变化。(a)、(d) a=0.05;(b)、(e) a=0.15;(c)、(f) a=0.25

Fig. 4. Position of the solitons shedding at the main lobe and the side lobes of two spatially symmetrical Airy beams for different truncated coefficients with launched amplitude A=4 and nonlocal parameter μ=0.3. (a), (d) a=0.05; (b), (e) a=0.15; (c), (f) a=0.25

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图5为非局域效应系数μ=0.3,振幅A=4时,在不同截断系数下,正、反Airy光束的主峰和旁瓣脱落孤子的归一化强度变化情况。从图5(a)可知,当截断系数为a=0.01时,正Airy光束能够脱落出5个孤子,第2瓣的峰值功率占主瓣的60%;而当截断系数a=0.2时,脱落孤子数为3,第2瓣的峰值功率占主瓣的24%;当截断系数a进一步增大时,正Airy光束的旁瓣越来越少直至消失,演变成为高斯形状光束,主峰能量达到最大值,正Airy光束只能在主峰处脱落出1个孤子。由此可知,当正Airy光束的截断系数增大时,脱落孤子的数目减少。从图5(b)可见,无论截断系数如何变化,反Airy光束只在主峰处脱落出1个孤子,旁瓣无脱落孤子。反Airy光束的旁瓣在主峰右侧,故主峰处的脱落孤子会向右偏转,随着传输距离的增加,该孤子会与旁瓣发生碰撞。由于旁瓣的峰值较小,旁瓣的能量大部分转移到主峰的脱落孤子上,从而导致旁瓣的能量小于产生孤子的阈值而不能脱落孤子。

图 5. μ=0.3,A=4,z=10时,正、反Airy光束的主峰和旁瓣脱落孤子的强度随截断系数a的变化。(a)正Airy光束;(b)反Airy光束

Fig. 5. Intensities of the solitons shedding at the main lobe and the side lobes of two spatially symmetrical Airy beams for different truncated coefficients with nonlocal parameter μ=0.4 ,amplitude A=4 and propagation distance z=10. (a) Tail-leading Airy beam; (b) tail-trailing Airy beam

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图6表示当非局域效应系数μ=0.3,振幅A=4,传输距离z=10时,正、反Airy光束主峰处的脱落孤子在不同截断系数下的横向位置。从图6可见,正、反Airy光束主峰脱落孤子的横向位置偏移量都随截断系数的增加而减少。相对于正Airy光束,反Airy光束主峰脱落孤子的横向位移随截断系数的变化更快。当a<0.35,正Airy光束主峰脱落孤子的横向位置偏移小于反Airy光束;当a>0.35时,正Airy光束主峰脱落孤子的横向位置偏移大于反Airy光束。

图 6. μ=0.3,A=4,z=10时,正、反Airy光束主峰处的脱落孤子在不同截断系数下的横向位置情况

Fig. 6. Horizontal positions of the solitons shedding at the main lobe for different truncated coefficients with nonlocal parameter μ=0.4 ,amplitude A=4 and propagation distance z=10

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3.3 强非局域非线性介质中,介质的非局域系数对正、反Airy光束脱落孤子的影响

图7为截断系数a=0.15,振幅A=4时,在不同非局域系数μ下的正、反Airy光束演化特性。从图7(a)可见,当μ=0.3时,正Airy光束由于经历了初始阶段的光束压缩,主峰和次峰的峰值功率达到脱落孤子的阈值而发生孤子脱落。随着传输距离的增加,主瓣所脱落出的孤子会进一步分裂。从图7(b)可见,当μ=0.4时,正Airy光束产生的脱落孤子数与图7(a)一样,由于非局域系数越大,介质的非局域效应就越小,所以脱落孤子传输轨迹的弯曲程度减小。由图7(c)可见,当μ=0.5时,正Airy光束只产生2个脱落孤子。由于非局域系数越大,介质的非局域效应就越小,所以主峰脱落出的孤子没有发生进一步分裂。由图7(d)~(f)可见,反Airy光束只脱落出1个孤子,随着非局域系数的增加,非局域效应减小,脱落出孤子的弯曲程度减小。由图7可知,非局域效应可以导致孤子传输轨迹的弯曲和孤子分裂,正Airy光束在强非局域非线性介质中传输时能产生多孤子结构,故我们可以通过调控非局域系数来控制产生脱落孤子数。

图8为当截断系数a=0.15,振幅A=4,传输距离z=8时,正、反Airy光束的主峰和旁瓣脱落孤子的归一化强度随非局域系数的变化。从图8(a)可见,当μ<0.4时,正Airy光束的主峰脱落孤子出现分裂,孤子数为3。当μ>0.5时,正Airy光束的主瓣和第1个旁瓣都脱落出1个孤子,孤子总数为2个。由图8(b)可见,无论非局域系数如何变化,反Airy光束只脱落出1个孤子。由图8可知,当非局域系数减小时,介质的非局域效应增加,从而导致脱落孤子出现分裂和孤子数增加。

图 7. a=0.15,A=4时正、反Airy光束在不同的非局域系数μ时传输距离的的演化。(a)、(d) μ=0.3;(b)、(e) μ=0.4;(c)、(f) μ=0.5

Fig. 7. Position of the solitons shedding at the main lobe and the side lobes of two spatially symmetrical Airy beams for different nonlocal parameters with truncated coefficient a=0.15 and amplitude A=4. (a), (d) μ=0.3; (b), (e) μ=0.4; (c), (f) μ=0

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图 8. a=0.15,A=4,z=8时,正、反Airy光束的主峰和旁瓣脱落孤子的归一化强度随非局域系数的变化。(a)正Airy光束;(b)反Airy光束

Fig. 8. Intensities of the solitons shedding at the main lobe and the side lobes of two spatially symmetrical Airy beams for different nonlocal parameters with truncated coefficient a=0.15, amplitude A=4 and propagation distance z=8. (a) Tail-leading Airy beam; (b) tail-trailing Airy beam

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图9为当截断系数a=0.15,振幅A=4,传输距离z=10时,正、反Airy光束的主峰脱落孤子在不同非局域系数下的横向位置变化情况。从图9可见,正Airy光束主峰脱落孤子的横向位置偏移量随非局域系数的增加先减少后增加;而反Airy光束主峰脱落孤子的横向位置偏移量随非局域系数增加一直减少。

图 9. a=0.15,A=4,z=10时,正、反Airy光束的主峰脱落孤子在不同非局域系数条件下的横向位置变化

Fig. 9. Horizontal positions of the solitons shedding at the main lobe for different nonlocal parameters with truncated coefficient a=0.15 ,amplitude A=4 and propagation distance z=10

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4 结论

利用分步傅里叶方法求解具有非局域效应的非线性薛定谔方程,研究正、反两种空间位置对称的Airy光束在不同振幅、截断系数和非局域程度条件下产生的脱落孤子演化。理论模拟结果发现:当振幅增大时,正Airy光束的主峰和旁瓣功率都会进一步增加,超过产生孤子的最小阈值,在主峰和旁瓣处产生多个脱落孤子;当截断系数减小时,正Airy光束不但主峰能够产生脱落孤子,其旁瓣功率也会增加,超过产生孤子的最小阈值,也能够产生脱落孤子,形成类似多孤子结构;当介质的非局域系数减小时,非局域效应增加,正Airy光束的主瓣或旁瓣所产生的脱落孤子可能进一步分裂,从而导致孤子数目进一步增加。然而,无论振幅、截断系数和介质的非局域系数如何变化,由于反Airy光束的旁瓣在主峰右侧,主峰产生的脱落孤子会向右偏转,随着传输距离增加,该孤子会与旁瓣发生碰撞,旁瓣的能量大部分转移到该孤子上,导致旁瓣的能量小于其产生脱落孤子的阈值而不能产生脱落孤子,故反Airy光束只能产生1个脱落孤子。