高光谱图像的埃尔米特压缩感知重构算法

王丽; 王威; 刘勃妮

doi:doi:10.3788/LOP57.141032

激光与光电子学进展, 2020, 57 (14): 141032, 网络出版: 2020-07-28

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Hermitian Compressed Sensing Reconstruction Algorithm for Hyperspectral Images

论文大纲

王丽 ^*王威 ^**刘勃妮 ^***

作者单位

西安航空学院电子工程学院, 陕西西安 710077

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摘要

利用正交匹配追踪算法对高光谱图像进行压缩感知重构,是通过寻找最优原子对原始信号进行线性表示,使残差不断减小以获取重构信号。在处理基于冗余字典的重构问题时,其耗时主要存在于原子匹配过程和残差更新过程,导致算法的计算复杂度较高、难以实现实时处理。针对此缺陷,提出一种用于高光谱图像的埃尔米特压缩感知重构算法,主要思想是:利用埃尔米特求逆引理,对正交匹配追踪算法残差更新的迭代过程进行优化;进一步地,采用人工鱼群算法寻找最优原子,对匹配过程进行加速,以提高执行效率。利用所提算法对高光谱图像进行压缩感知重构处理,合理设置算法参数,在保证重构精度的条件下,与正交匹配追踪算法相比,所提算法能将计算速度提高10倍左右。

Abstract

Utilizing orthogonal matching pursuit algorithm for compressed sensing reconstruction of hyperspectral images is to find the optimal atoms to linearly represent the original signal, so that the residual is continuously reduced to obtain the reconstructed signal. When dealing with the redundant dictionary-based reconstruction, the time consuming mainly exists in its atom matching process and residual updating process, resulting in high computational complexity and difficulty of real-time processing. Aiming at this defect, a Hermitian compressed sensing reconstruction algorithm for hyperspectral images is proposed. The main idea is Hermitian inversion lemma is used to optimize the iterative process of the residual update to improve the execution efficiency of the algorithm. In addition, the artificial fish swarm algorithm is used to find the optimal atoms and accelerate the matching process to further improve the reconstruction efficiency. The experimental results carried out on hyperspectral images show that the computational efficiency of the proposed algorithm can be improved by about 10 times compared with the traditional orthogonal matching pursuit algorithm under the condition of ensuring the reconstruction accuracy.

1 引言

高光谱图像(HSIs)包含丰富的空间几何信息和光谱特征信息,适用于目标探测、识别、分类、生物医学等领域^[1-4]。高光谱成像光谱仪的研制^[5]、高光谱图像数据的分析处理和图像解译研究^[6-8],已成为备受关注的前沿热点研究领域。应用领域的不断扩展,要求高光谱图像能够提供更细致的目标信息,即提高成像系统的空间分辨率和光谱分辨率,以获取更完整的空间信息和谱间信息。空间和光谱分辨率越高,对系统的数据存储和传输能力的挑战越高。随着人们对信息需求量的急剧增加,寻找有效的数据压缩和重构算法对高光谱遥感技术的发展十分重要。

压缩感知(CS)理论于2006年提出,直接采集数据的信息特性,在重构端高精度地重构出原始信号,在无线网络、成像技术、目标定位、波达方向估计等领域^[9-13]得到广泛应用。高光谱图像的空间信息和谱间信息均存在冗余性,图像具备可压缩性^[14],利用压缩感知理论对高光谱图像进行压缩采样重构,能大大降低数据量。高光谱图像压缩重构可以采用经典的信号重构理论,如正交匹配追踪(OMP)算法^[15-16];也可以利用图像的稀疏特性、平滑特性,如孙玉宝等^[17]提出的低秩稀疏重构算法,Fowler等^[18]提出的主成分分析压缩算法,以及Xu等^[19]提出的距离张量重构算法等;还可将数据压缩的预测方法^[20]或者光谱混合特性^[21]引入压缩重构。

高光谱图像特征复杂,利用高冗余度的冗余字典作为其稀疏域能够提高信号的稀疏度。但选择正交匹配追踪算法进行重构的计算时间较长,其耗时主要在于:1)随着迭代的不断进行,更新残差的求逆运算非常耗时;2)每次迭代寻找最优原子的遍历过程非常耗时。本文利用埃尔米特(Hermitian)矩阵特性,采用递归方式对OMP算法的残差更新过程进行优化;进一步地利用人工鱼群(AFSA)算法对OMP算法的匹配过程进行优化,提高重构效率。所提算法以OMP算法为基础,采用Hermitian矩阵特性和AFSA对OMP进行改进,算法命名为HA_OMP。

2 基本原理

压缩感知理论利用信号的稀疏性,利用观测矩阵Φ(M≪N)对信号x进行测量,得观测值y,其测量过程为

y = Φx = ΦΨS = ΘS, (1)

式中:Θ=ΦΨ是一个M×N维的矩阵,称为CS信息算子;Ψ是信号的稀疏基。重构过程则是在已知观测值y和信息算子Θ的情况下,恢复出稀疏信号S从而得到原始信号x的过程。采用Gabor提出的Gabor字典,作为高光谱图像的稀疏基,Gabor字典的生成过程参见文献[ 22],经过时频参数的离散化处理,Gabor字典的原子个数达到52(Nlog₂N+N-1),其中N为信号x的长度,当信号长度为256时,原子个数达到119756。

正交匹配追踪算法的基本思想是通过不断迭代,在冗余字典Ψ中找到能够对原始信号进行线性表示的最优原子,使得原始信号与表示信号之间的残差不断减小,当迭代满足一定条件时,就能够获得原始信号的近似线性表示。采用OMP算法进行信号重构时,目标是从信息算子Θ中找到能够表示稀疏信号S的最优原子,使得表示信号与测量值之间的残差最小,即不断逼近测量值y的真实支撑集,其详细计算过程可以参考文献[ 23]。

分析OMP算法的重构过程,可以发现:1)随着迭代的进行,残差更新过程中,矩阵 $Θ_{Λk}^{T}$ Θ_Λk的维数会越来越大,计算机求逆运算会比较耗时;2)每次迭代中,寻找最优原子是求解相关性的问题,即计算所有原子与残差的内积,对于冗余度较高的字典来说,遍历过程非常耗时。

针对以上问题,观察到矩阵 $Θ_{Λk}^{T}$ Θ_Λk属于正定埃尔米特矩阵,可以采用埃尔米特求逆引理对其求逆过程进行加速,进而提高残差更新过程的计算效率。同时发现,寻找最优原子其实是在一个最优解的集合中进行搜索,可以尝试采用人工鱼群算法对此过程进行模拟,探讨提高计算效率的可行性。

2.1 埃尔米特求逆引理

埃尔米特求逆引理^[24]主要是利用正定埃尔米特矩阵的特性,提高大型矩阵求逆运算的速度。埃尔米特矩阵的分块形式为

H_{k} = [\begin{array}{l} H_{k - 1} & h_{k} \\ {h^{T}}_{k} & ρ_{k} \end{array}], (2)

式中: $H_{k}^{- 1}$ 、 $H_{k - 1}^{- 1}$ 存在,若令b_k=- $H_{k - 1}^{- 1}$ h_k,则有下式成立

H_{k}^{- 1} = [\begin{array}{l} H_{k - 1}^{- 1} & 0_{k} \\ {0^{T}}_{k} & 0 \end{array}] + \frac{1}{ρ_{k} + {h^{T}}_{k} b_{k}} [\begin{array}{l} b_{k} {b^{T}}_{k} & b_{k} \\ {b^{T}}_{k} & 1 \end{array}] 。 (3)

证明过程:令逆矩阵

H_{k}^{- 1} = Q_{k} = [\begin{array}{l} Q_{k - 1} & q_{k} \\ {q^{T}}_{k} & α_{k} \end{array}], (4)

则有:

H_{k} Q_{k} = [\begin{array}{l} H_{k - 1} & h_{k} \\ {h^{T}}_{k} & ρ_{k} \end{array}] [\begin{array}{l} Q_{k - 1} & q_{k} \\ {q^{T}}_{k} & α_{k} \end{array}] = I_{k} 。 (5)

由此导出以下等式:

\begin{array}{l} H_{k - 1} Q_{k - 1} + h_{k} {q^{T}}_{k} = I_{k - 1}, (6) \\ H_{k - 1} q_{k} + α_{k} h_{k} = 0_{k}, (7) \\ {h^{T}}_{k} Q_{k - 1} + ρ_{k} {q^{T}}_{k} = {0^{T}}_{k}, (8) \\ {h^{T}}_{k} q_{k} + ρ_{k} α_{k} = 1 。 (9) \end{array}

由(7)式可得到:

q_{k} = - α_{k} H_{k - 1}^{- 1} h_{k} 。 (10)

将(10)式代入(9)式,即有:

α_{k} = \frac{1}{ρ_{k} - {h^{T}}_{k} H_{k - 1}^{- 1} h_{k}} = \frac{1}{ρ_{k} + {h^{T}}_{k} b_{k}} 。 (11)

将(11)式代入(10)式,得到:

\begin{array}{l} q_{k} = \frac{b_{k}}{ρ_{k} + {h^{T}}_{k} b_{k}}, (12) \\ {q^{T}}_{k} = \frac{{b^{T}}_{k}}{ρ_{k} + {h^{T}}_{k} b_{k}} 。 (13) \end{array}

将(13)式代入(6)式,得到:

Q_{k - 1} = H_{k - 1}^{- 1} + \frac{b_{k} {b^{T}}_{k}}{ρ_{k} + {h^{T}}_{k} b_{k}} 。 (14)

将(11)~(14)式代入(4)式,即得:

H_{k}^{- 1} = [\begin{array}{l} H_{k - 1}^{- 1} & 0_{k} \\ {0^{T}}_{k} & 0 \end{array}] + \frac{1}{ρ_{k} + {h^{T}}_{k} b_{k}} [\begin{array}{l} b_{k} {b^{T}}_{k} & b_{k} \\ {b^{T}}_{k} & 1 \end{array}] 。 (15)

2.2 人工鱼群算法

人工鱼群算法^[25],通过模拟鱼群的觅食行为、聚群行为、追尾行为和随机行为等在搜索域中进行寻优,采用自上而下的寻优模式,通过鱼群中各个体的局部寻优,寻找可能的最优解。

2.2.1 人工鱼群的基本定义

人工鱼总数为P,人工鱼群为F=[f₁,f₂,…,f_p,…,f_P]。人工鱼个体的状态为f_p=[f_p₁,f_p₂,…,f_pl,…,f_pL],其中,f_pl为寻优的变量,L是解空间的维数。人工鱼所在位置的食物浓度为c_p=foodconsistence(f_p)。两个人工鱼个体i和j之间的距离为d(i,j)= $|f_{i} - f_{j}|$ 。进化过程中,人工鱼移动步长为S_step,人工鱼的视野范围为V_visual,人工鱼每次觅食时的最大尝试次数为T_{try_number},拥挤度因子为δ。

2.2.2 人工鱼行为描述

1)觅食行为

人工鱼f_i=[f_i₁,f_i₂,…,f_il,…,f_iL]在其视野范围内,随机选择某个位置f_j=[f_j₁,f_j₂,…,f_jl,…,f_jL]:

f_{j} = f_{i} + V_{visual} *Rand (), (16)

式中:Rand()是随机函数。计算f_i和f_j的食物浓度c_i和c_j,如果c_j>c_i,说明f_j的食物较多,则f_i选择向f_j移动:

f_{i prey} = f_{i} + \frac{f_{j} - f_{i}}{‖ f_{j} - f_{i} ‖} * S_{step} *Rand () 。 (17)

否则,f_i继续尝试在其视野范围内选择其他状态f_j,反复尝试T_{try_number}次后,如果仍然没有找到可前进的方向,则执行随机行为。

2)聚群行为

人工鱼f_i=[f_i₁,f_i₂,…,f_il,…,f_iL]在当前视野内[d(i,j)<V_visual]有n_f个伙伴,其中心位置为f_c=[f_c1,f_c2,…,f_c_l,…,f_c_L],计算f_c的食物浓度c_center。

如果c_center/n_f>δc_i,说明视野范围内中心位置的食物浓度较高且不太拥挤,则f_i向中心位置f_c的方向移动:

f_{i swarm} = f_{i} + \frac{f_{c} - f_{i}}{‖ f_{c} - f_{i} ‖} * S_{step} *Rand () 。 (18)

3)追尾行为

当前视野内[d(i,j)<V_visual],食物浓度最高值为c_o,其对应的是最优伙伴f_o=[f_o1,f_o2,…,f_o_l,…,f_o_L],如果c_o/n_f>δc_i,说明最优伙伴的周围不太拥挤,则f_i向最优伙伴f_o的方向移动:

f_{i follow} = f_{i} + \frac{f_{o} - f_{i}}{‖ f_{o} - f_{i} ‖} * S_{step} *Rand () 。 (19)

4)随机行为

如果人工鱼的聚群和追尾行为都没有找到合适的移动方向,则人工鱼将随机移动,到达新的位置:

f_{i move} = f_{i} + V_{visual} *Rand () 。 (20)

3 基于埃尔米特的压缩感知重构算法

3.1 利用埃尔米特实现残差递归更新的过程

观察OMP算法的残差更新过程,矩阵 $Θ_{Λk}^{T}$ Θ_Λk属于正定埃尔米特矩阵,可以采用埃尔米特求逆引理进行加速。迭代过程中,原子字典的更新表示为Ψ_Λk= $[\begin{array}{l} Ψ_{Λk - 1} & g_{γk} \end{array}]$ ,其中,Ψ_Λk_-1是第k-1次迭代后形成的原子字典,g_γk是第k次迭代找到的最优原子,则Θ_Λk= $[\begin{array}{l} Θ_{Λk - 1} & d_{γk} \end{array}]$ ,其中Θ_Λk_-1=ΦΨ_Λk_-1,d_γk=Φg_γk。

令H_k_-1= $Θ_{Λk - 1}^{T}$ Θ_Λk_-1,则下一次迭代的求逆运算过程为

\begin{array}{l} H_{k}^{- 1} = [\begin{array}{l} {({Θ^{T}}_{Λk - 1} Θ_{Λk - 1})}^{- 1} & 0_{k} \\ {0^{T}}_{k} & 0 \end{array}] + \frac{1}{{d^{T}}_{γk} d_{γk} - {d^{T}}_{γk} Θ_{Λk - 1} {({Θ^{T}}_{Λk - 1} Θ_{Λk - 1})}^{- 1} {Θ^{T}}_{Λk - 1} d_{γk}} \cdot \\ [\begin{array}{l} {({Θ^{T}}_{Λk - 1} Θ_{Λk - 1})}^{- 1} {Θ^{T}}_{Λk - 1} d_{γk} {d^{T}}_{γk} Θ_{Λk - 1} {({Θ^{T}}_{Λk - 1} Θ_{Λk - 1})}^{- T} & - {({Θ^{T}}_{Λk - 1} Θ_{Λk - 1})}^{- 1} {Θ^{T}}_{Λk - 1} d_{γk} \\ - {d^{T}}_{γk} Θ_{Λk - 1} {({Θ^{T}}_{Λk - 1} Θ_{Λk - 1})}^{- T} & 1 \end{array}] 。 (21) \end{array}

分析(21)式表示的递归表达式可知,当第一次迭代时,原子字典的维度是1,计算量很小,随着迭代的进行,每次迭代新增加的运算量较小,降低了传统OMP算法残差更新时大型矩阵的求逆运算时间。

3.2 利用人工鱼群实现最优原子匹配的过程

人工鱼代表冗余字典的原子,通过人工鱼群的各个局部寻优,找到群体的最优位置,该最优位置对应的原子即为OMP每次迭代所寻找到的最优原子。

1)人工鱼定义和食物浓度

根据Gabor原子的生成函数,人工鱼需要用四维向量来表示,定义为f_p=(s,u,υ,ω)。OMP选择最优原子的原则是该原子与残差的内积最匹配,而人工鱼运动的目标是该位置的食物浓度高。因此,将原子与残差的相关度作为食物浓度的衡量函数,则食物浓度表示为

c_{p} = foodconsistence (f_{p}) = |< r_{k}, g_{fp} >|, (22)

式中:g_fp表示由人工鱼f_p=(s,u,υ,ω)生成的原子。

2)人工鱼群的初始化

初始人工鱼群体为f⁰=[ $f_{1}^{0}$ , $f_{2}^{0}$ ,…, $f_{p}^{0}$ ,…, $f_{P}^{0}$ ],第p个人工鱼的初始位置为 $f_{p}^{0}$ =[ $f_{p 1}^{0}$ , $f_{p 2}^{0}$ , $f_{p 3}^{0}$ , $f_{p 4}^{0}$ ]。得到人工鱼后,计算每个人工鱼当前的食物浓度。将拥有最高食物浓度的个体赋值给公告板,G_best= $\max_{f 0 p}$ foodconsistence( $f_{p}^{0}$ ),p=1,2,…,P,记为群体最优值。

3)最优原子的确定

进化过程中,每个个体进行聚群和追尾行为,选择行动后的最优值作为更新值,生成新鱼群,并重新计算新鱼群的食物浓度。如果更新后,某个人工鱼的食物浓度大于公告板的食物浓度,即foodconsistence(f_p)>foodconsistence(G_best),则更新群体极值位置G_best=f_p,否则保持不变。进化过程结束后,公告板所对应的原子即为寻找到的最优原子。

3.3 所提算法HA_OMP的实现流程

图1给出所提算法HA_OMP的实现流程并与OMP算法进行对比,图中左侧部分是OMP算法的执行过程,右侧部分是HA_OMP对OMP算法的改进。其中,粗实线框表示利用人工鱼群算法对OMP的匹配过程进行改进,粗虚线框表示利用埃尔米特求逆引理对OMP的残差更新过程进行改进。

HA_OMP的执行过程总结为:

1) 初始化。r₀=y,Λ₀=[ ],k=1。

2) 人工鱼群算法寻找最优原子。初始化所有人工鱼,计算人工鱼的初始食物浓度,确定公告板G_best;人工鱼进行觅食、聚群和追尾后生成新鱼群;计算新鱼群的食物浓度;更新公告板G_best。判断是否达到最大更新代数T_max,输出G_best。

3)更新索引集合。Λ_k=Λ_k_-1∪{G_best}。

4)埃尔米特求逆引理计算残差。计算G_best对应的最优原子g_γk,递归求解 ${(Θ_{Λk}^{T} Θ_{Λk})}^{- 1}$ ,计算残差r_k=y-Θ_Λk ${(Θ_{Λk}^{T} Θ_{Λk})}^{- 1} Θ_{Λk}^{T}$ y。

5) 停止迭代的判断。满足停止条件,则输出重构结果,否则继续迭代。

重构的原始信号表达式为

\hat{x} = Ψ_{Λ k} {({Θ^{T}}_{Λ k} Θ_{Λ k})}^{- 1} {Θ^{T}}_{Λ k} y, (23)

式中:Ψ_Λk表示K次迭代构成的原子字典。

4 实验结果与分析

4.1 高光谱数据

利用OMP算法和HA_OMP算法对四组高光谱图像进行重构,场景分别是来自AVIRIS采集的Cuprite1、Cuprite2、Indian Pines以及ROSIS采集的Pavia University。为了保证计算效果,原始数据集中的水汽波段和噪声波段均已移除;利用高斯随机矩阵对高光谱图像进行分块压缩感知采样,分块大小为16,因此对图像进行了空间裁剪。四组数据的基本情况见表1。

图 1. 算法HA_OMP与OMP的对比

Fig. 1. Comparison between proposed HA_OMP and OMP

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表 1. 四组高光谱数据集的基本情况

Table 1. Basic situation of four datasets

Scene	Originalbands	Originalimage size	Availablebands	Croppedimage size
Cuprite1	224	614×512	188	256×256
Cuprite2	224	614×512	188	256×256
Indian Pines	220	145×145	200	128×128
Pavia University	115	610×340	103	256×256

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四组高光谱数据第50个波段的原始图像如图2所示。重构图像与原始图像的峰值信噪比(PSNR)定义为

PSNR (x, \hat{x}) = 20 lo g_{10} \frac{\max (x)}{\sqrt[]{MSE (x, \hat{x})}}, (24)

式中:x和 $\hat{x}$ 分别是原始图像和重构图像;max(x)是原始图像x的峰值。MSE(x, $\hat{x}$ )是均方误差,定义为

MSE (x, \hat{x}) = \frac{1}{N} ‖ x - \hat{x} ‖_{2}^{2} 。 (25)

4.2 参数设置

算法HA_OMP中,人工鱼群算法的最大更新代数、种群大小对整个算法的计算精度和计算效率有重要影响。为了设定合理的参数,保证计算精度和计算效率,利用所提算法HA_OMP对四组高光谱数据的第50个波段图像进行压缩重构(采样率为0.5)。最大进化代数T_max的变化范围是5~50,间隔是5,种群规模P的变化范围是5~50,间隔是5,原子个数K设定为10~100,间隔为10。人工鱼群算法的其他参数依照文献[ 25]的经验参数选择,其中最大尝试次数T_{try_number}=1,拥挤度因子δ=0.6,移动步长S_step和视野范围V_visual由位置参数确定,分别设定为

\begin{array}{l} S_{step} = \frac{\sqrt[]{{(s_{\max} - s_{\min})}^{2} + {(u_{\max} - u_{\min})}^{2} + {(υ_{\max} - υ_{\min})}^{2} + {(ω_{\max} - ω_{\min})}^{2}}}{5}, (26) \\ V_{visual} = \frac{\sqrt[]{{(s_{\max} - s_{\min})}^{2} + {(u_{\max} - u_{\min})}^{2} + {(υ_{\max} - υ_{\min})}^{2} + {(ω_{\max} - ω_{\min})}^{2}}}{5}, (27) \end{array}

图 2. 第50个波段的原始图像。(a) Cuprite1;(b) Cuprite2;(c) Indian Pines;(d) Pavia University

Fig. 2. Original images of the 50th band. (a) Cuprite1; (b) Cuprite2; (c) Indian Pines; (d) Pavia University

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式中:s_max和s_min分别是参数s的上界和下界;u_max和u_min分别是参数u的上界和下界;υ_max和υ_min分别是参数υ的上界和下界;ω_max和ω_min分别是参数ω的上界和下界。

因人工鱼群算法具有随机性,同一参数下算法HA_OMP运行10次,图3给出的是Cuprite1重构图像的平均PSNR随参数的变化。从图3(a)可以看到,原子个数固定后,种群规模的增大能够提高重构精度,但进化代数对PSNR的增加作用较小。图3(b)的种群规模为10,图3(c)的进化代数为5,其结果说明当种群规模或进化代数固定时,原子个数的增加都能够显著提高重构精度;当原子个数固定后,随着进化代数和种群规模的增加,重构精度的变化比较稳定。从计算效率上来说,当种群个数和最大更新代数逐渐增大时,需要对更多的人工鱼完成聚群和追尾行为才能实现鱼群的更新,且鱼群需要经过多次进化才能找到最优原子,时间复杂度会进一步地增加。因此综合考虑重构精度和时间复杂度,将种群规模设定为10,进化代数设定为5,利用后续的实验结果来进一步说明参数设置的合理性。

图 3. 进化代数、种群规模和原子个数对HA_OMP算法的影响。(a)原子个数为50;(b)种群大小为10;(c)进化代数为5

Fig. 3. Influence of evolution generation, population size, and atom number on HA_OMP. (a) Atom number is 50; (b) population size is 10; (c) evolution generation is 5

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原子个数对重构性能的影响非常大,图4给出不同采样率下,PSNR随原子个数的变化情况。实验中原子个数变化范围为1~50,原子个数间隔为1,采样率范围为0.1~0.5,间隔为0.1。图中的平均PSNR是将波段PSNR对波段数进行平均得到的。无论是OMP算法还是HA_OMP算法,除采样率为0.1外,PSNR均会随着原子个数的增多而逐渐增大,最后趋于平稳。采样率越高,重构过程可用信息越多,重构精度越高。

当采样率为0.1,原子个数增加至27时,算法性能急剧下降,已经无法精确重构,这是因为压缩感知算法能精确重构需满足的条件——测量数大于等于信号的稀疏度。在两种重构算法中,信号均用冗余字典中的若干原子进行稀疏表示,故稀疏度等于原子个数。因此若要精确重构,测量数应≥原子个数。当信号长度为256,采样率为0.1时,测量数为26,因此原子个数增至27时,已不满足精确重构的条件,算法性能会骤降。

四个数据集的单个波段(第40个波段)的最优PSNR及所需原子数见表2。与OMP算法相比,当采样率为0.1时,HA_OMP算法的最优PSNR比OMP算法高出1~2 dB。其他采样率下,所提算法的最优PSNR与OMP算法相当,差值能保证在1 dB以内,说明所提算法能够保证重构精度。不同采样率下,两种算法仅需要搜索一定量的原子数就能获得最优的PSNR。后续实验中,两种算法的最优原子个数均设定为50,以比较计算精度和计算时间。

图 4. 重构Cuprite1图像的PSNR随原子个数的变化。(a) OMP;(b) HA_OMP

Fig. 4. Reconstructed PSNR of Cuprite1 vs atom number. (a) OMP; (b) HA_OMP

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表 2. 单个波段的最优PSNR及所需原子数

Table 2. Optimal PSNR for single band and required atom number

Scene	Algorithm	S_R=0.1		S_R=0.2		S_R=0.3		S_R=0.4		S_R=0.5
Scene	Algorithm	PSNR /dB	Atomnumber	PSNR /dB	Atomnumber	PSNR /dB	Atomnumber	PSNR /dB	Atomnumber	PSNR /dB	Atomnumber
Cuprite1	OMP	24.12	3	29.67	6	32.37	9	34.73	14	36.18	20
Cuprite1	HA_OMP	24.76	5	28.76	6	31.90	21	34.75	33	36.76	50
Cuprite2	OMP	21.88	3	27.22	5	29.12	8	31.04	14	32.05	18
Cuprite2	HA_OMP	23.04	4	26.79	6	28.70	19	30.12	34	32.79	46
Indian Pines	OMP	13.01	3	16.75	3	17.85	6	19.09	11	20.34	18
Indian Pines	HA_OMP	14.85	5	16.91	6	17.56	12	19.70	25	21.02	34
PaviaUniversity	OMP	19.78	2	22.03	4	23.54	7	25.38	14	27.02	22
PaviaUniversity	HA_OMP	20.24	4	22.57	7	24.05	14	25.79	27	27.26	43

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4.3 结果分析

从理论上,对两种算法的计算过程进行分析,详细对比两种算法的计算复杂度。

1) 匹配过程的计算复杂度:每次迭代中,OMP算法需要计算52(Nlog₂N+N-1)个原子与残差的内积,找到相关度最高的原子作为此次迭代的最优原子,故OMP算法需要完成119756次内积计算。HA_OMP算法需要首先进行人工鱼的初始化并计算初始食物浓度,完成P次内积计算;在每次种群进化过程中,每条人工鱼需要通过聚群行为找到觅食的方向,在此过程中计算中心值以及移动后的食物浓度,完成2次内积计算;然后通过追尾行为找到觅食的方向,在此过程中计算最大值以及移动后的食物浓度,完成2次内积计算;通过比较或者还需要随机行为最终确定移动后的位置,完成1次内积计算;达到最大进化代数后,确定此次迭代的最优原子。因此HA_OMP算法找到1个最优原子需要完成的内积运算次数为:种群规模+迭代次数×种群数量×5。根据实验参数设置,HA_OMP算法至少需要完成260次内积运算。除内积运算外,OMP算法还需要比较所有的相关度找到最优原子,HA_OMP算法需要多次比较人工鱼新位置的食物浓度才能找到最优原子。比较明显的是,相比于其他运算,HA_OMP算法的内积运算次数大幅减少,提高了匹配过程的计算效率。

2) 残差更新过程的计算复杂度:OMP算法求逆运算随着迭代过程的不断进行,矩阵的维数越来越高,第k次迭代求逆运算的时间复杂度是O(k³),第k+1次迭代求逆运算的时间复杂度是O[(k+1)³]。HA_OMP算法中,当第k次迭代完成后,第k+1次迭代产生的计算量来源于Θ_Λk_-1=ΦΨ_Λk_-1,d_γk=Φg_γk, $d_{γk}^{T}$ d_γk, $d_{γk}^{T}$ Θ_Λk_-1以及 ${(Θ_{Λk - 1}^{T} Θ_{Λk - 1})}^{- 1} Θ_{Λk - 1}^{T}$ d_γk,还有若干的加法运算。与O[(k+1)³]相比,递归运算产生的运算量比较小,提高了残差更新的计算复杂度。

利用实验,分析埃尔米特求逆引理和人工鱼群算法对OMP算法的改进效果。对Cuprite1和Cuprite2两组数据的第50个波段图像进行重构,记录运行时间,重构单个波段所需的匹配时间和更新时间见表3。不同采样率下,OMP算法的匹配时间均在1000 s左右,HA_OMP算法的匹配时间在40 s左右,效率能够提高两个数量级。OMP算法的残差更新时间在10 s左右,HA_OMP算法的残差更新时间在2 s左右,效率提高一个数量级。实验数据充分说明,人工鱼群和埃尔米特求逆引理的引入都能够降低OMP算法的时间复杂度,且从定量的角度来说,人工鱼群算法对计算效率的提高贡献更大。

表 3. 重构单个波段所需的匹配时间和更新时间

Table 3. Matching and updating time required for reconstructing single bands

Scene	Algorithm	Time	S_R=0.1	S_R=0.2	S_R=0.3	S_R=0.4	S_R=0.5
Cuprite1	OMP	Matching	1031.98	1054.99	1049.73	1063.31	1086.11
	OMP	Updating	9.65	11.36	12.13	11.57	12.50
	HA_OMP	Matching	40.02	41.79	43.59	45.26	47.52
	HA_OMP	Updating	1.90	2.12	2.20	2.19	2.13
Cuprite2	OMP	Matching	1056.40	1062.29	1079.52	1060.32	1090.40
	OMP	Updating	11.30	12.72	12.11	14.66	12.65
	HA_OMP	Matching	39.62	42.35	44.08	45.27	46.51
	HA_OMP	Updating	1.66	1.88	2.15	2.25	2.28

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不同采样率下,平均最优PSNR及两种算法的运算加速比见表4和表5。大部分采样率下,算法HA_OMP能够得到与OMP算法相同或较高的重构PSNR,说明采用人工鱼群的觅食行为去模拟最优原子的寻找过程具有可行性,人工鱼群能够找到合适的最优原子对原始信号进行近似,能够保证图像的重构精度。对于场景Indian Pines和Pavia University来说,当采样率为0.1时,HA_OMP算法的PSNR提高值分别为2.15 dB和1.42 dB,证明本文算法在一定程度上还能够提高重构精度,这是因为Gabor冗余字典是固定的,仅能包含一定量的时频原子,但人工鱼群可以在整个参数空间中进行搜索,人工鱼位置的取值是连续的,能生成更多类型的原子,重构精度能够得到一定程度的提高,充分说明算法的可靠性。相对OMP来说,本文算法的加速比最高可达到17.67,充分说明算法HA_OMP在保证重构精度的同时,能够提高计算效率。

表 4. 不同采样率下两种算法达到的平均最优PSNR

Table 4. Average optimal PSNR of two algorithms under different sampling ratesdB

Scene	Algorithm	S_R=0.1	S_R=0.2	S_R=0.3	S_R=0.4	S_R=0.5
Cuprite1	OMP	24.50	29.69	32.63	35.05	36.43
Cuprite1	HA_OMP	24.54	28.96	33.06	34.70	37.19
Cuprite2	OMP	21.96	27.49	29.42	31.34	32.52
Cuprite2	HA_OMP	22.68	27.33	29.30	32.09	33.15
Indian Pines	OMP	14.94	18.86	20.27	21.79	22.93
Indian Pines	HA_OMP	17.09	19.21	21.51	21.90	23.53
Pavia University	OMP	19.22	21.85	23.36	24.99	26.48
Pavia University	HA_OMP	20.64	22.38	23.74	25.43	26.59

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表 5. 不同采样率下HA_OMP相对OMP的加速比

Table 5. Acceleration times of HA_OMP relative to OMP under different sampling rates

Scene	Algorithm	S_R=0.1	S_R=0.2	S_R=0.3	S_R=0.4	S_R=0.5
Cuprite1	OMP	1	1	1	1	1
Cuprite1	HA_OMP	15.10	8.62	12.39	12.71	11.34
Cuprite2	OMP	1	1	1	1	1
Cuprite2	HA_OMP	15.71	9.59	9.80	10.88	10.42
Indian Pines	OMP	1	1	1	1	1
Indian Pines	HA_OMP	17.67	14.11	9.58	11.82	11.19
Pavia University	OMP	1	1	1	1	1
Pavia University	HA_OMP	15.53	13.99	10.80	10.63	12.18

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图5和图6分别给出两种算法得到的Cuprite2和Pavia University第40个波段的重构图像,采样率为0.5。从视觉效果上看,两种重构算法得到的重构图像均能很好地刻画原始图像。从重构图像PSNR及运行时间来看,本文算法HA_OMP得到的重构图像的PSNR均高于OMP算法,运行效率得到了提高。

图 5. 场景Cuprite2的重构图像对比。(a) OMP算法重构图像;(b) HA_OMP算法重构图像

Fig. 5. Comparison between two reconstructed Cuprite2 images. (a) Reconstructed image of OMP algorithm; (b) reconstructed image of HA_OMP algorithm

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图 6. 场景Pavia University的重构图像对比。(a) OMP算法重构图像;(b) HA_OMP算法重构图像

Fig. 6. Comparison between two reconstructed Pavia University images. (a) Reconstructed image of OMP algorithm; (b) reconstructed image of HA_OMP algorithm

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5 结论

本文针对正交匹配追踪算法的最优原子匹配和更新残差过程,分别采用人工鱼群算法和埃尔米特求逆引理进行改进,提出用于高光谱图像的埃尔米特重构算法。该算法利用人工鱼模拟冗余字典的原子,将人工鱼群的觅食、聚群、追尾和随机行为模拟为最优原子的寻找过程,以找到最优原子;观察到残差更新过程中存在正定埃尔米特矩阵的求逆运算,利用埃尔米特求逆引理采用递归的方式降低大型矩阵求逆的计算时间。利用HA_OMP算法对四组高光谱图像进行压缩感知重构,讨论算法参数对重构性能的影响,设定合理参数以保证算法的可靠性。与OMP算法相比,在不同采样率下,所提HA_OMP算法均能保证重构精度,且能将计算速度提高10倍左右。考虑到人工鱼群算法可能存在的局部收敛和随机性问题,后续将会对此问题进行进一步的研究,并将研究结果用于高光谱图像的解译。

参考文献

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3.1 利用埃尔米特实现残差递归更新的过程

3.2 利用人工鱼群实现最优原子匹配的过程

王丽, 王威, 刘勃妮. 高光谱图像的埃尔米特压缩感知重构算法[J]. 激光与光电子学进展, 2020, 57(14): 141032. Li Wang, Wei Wang, Boni Liu. Hermitian Compressed Sensing Reconstruction Algorithm for Hyperspectral Images[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2020, 57(14): 141032.

高光谱图像的埃尔米特压缩感知重构算法下载： 764次

1 引言

2 基本原理

2.1 埃尔米特求逆引理

2.2 人工鱼群算法

3 基于埃尔米特的压缩感知重构算法

3.1 利用埃尔米特实现残差递归更新的过程

3.2 利用人工鱼群实现最优原子匹配的过程

3.3 所提算法HA_OMP的实现流程

4 实验结果与分析

4.1 高光谱数据

图 1. 算法HA_OMP与OMP的对比

Fig. 1. Comparison between proposed HA_OMP and OMP

表 1. 四组高光谱数据集的基本情况

Table 1. Basic situation of four datasets

4.2 参数设置

图 2. 第50个波段的原始图像。(a) Cuprite1;(b) Cuprite2;(c) Indian Pines;(d) Pavia University

Fig. 2. Original images of the 50th band. (a) Cuprite1; (b) Cuprite2; (c) Indian Pines; (d) Pavia University

图 3. 进化代数、种群规模和原子个数对HA_OMP算法的影响。(a)原子个数为50;(b)种群大小为10;(c)进化代数为5

Fig. 3. Influence of evolution generation, population size, and atom number on HA_OMP. (a) Atom number is 50; (b) population size is 10; (c) evolution generation is 5

图 4. 重构Cuprite1图像的PSNR随原子个数的变化。(a) OMP;(b) HA_OMP

Fig. 4. Reconstructed PSNR of Cuprite1 vs atom number. (a) OMP; (b) HA_OMP

表 2. 单个波段的最优PSNR及所需原子数

Table 2. Optimal PSNR for single band and required atom number

4.3 结果分析

表 3. 重构单个波段所需的匹配时间和更新时间

Table 3. Matching and updating time required for reconstructing single bands

表 4. 不同采样率下两种算法达到的平均最优PSNR

Table 4. Average optimal PSNR of two algorithms under different sampling ratesdB

表 5. 不同采样率下HA_OMP相对OMP的加速比

Table 5. Acceleration times of HA_OMP relative to OMP under different sampling rates

图 5. 场景Cuprite2的重构图像对比。(a) OMP算法重构图像;(b) HA_OMP算法重构图像

Fig. 5. Comparison between two reconstructed Cuprite2 images. (a) Reconstructed image of OMP algorithm; (b) reconstructed image of HA_OMP algorithm

图 6. 场景Pavia University的重构图像对比。(a) OMP算法重构图像;(b) HA_OMP算法重构图像

Fig. 6. Comparison between two reconstructed Pavia University images. (a) Reconstructed image of OMP algorithm; (b) reconstructed image of HA_OMP algorithm

5 结论

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1 引言

2 基本原理

2.1 埃尔米特求逆引理

2.2 人工鱼群算法

3 基于埃尔米特的压缩感知重构算法

3.1 利用埃尔米特实现残差递归更新的过程

3.2 利用人工鱼群实现最优原子匹配的过程

3.3 所提算法HA_OMP的实现流程

4 实验结果与分析

4.1 高光谱数据

图 1. 算法HA_OMP与OMP的对比

Fig. 1. Comparison between proposed HA_OMP and OMP

表 1. 四组高光谱数据集的基本情况

Table 1. Basic situation of four datasets

4.2 参数设置

图 2. 第50个波段的原始图像。(a) Cuprite1;(b) Cuprite2;(c) Indian Pines;(d) Pavia University

Fig. 2. Original images of the 50th band. (a) Cuprite1; (b) Cuprite2; (c) Indian Pines; (d) Pavia University

图 3. 进化代数、种群规模和原子个数对HA_OMP算法的影响。(a)原子个数为50;(b)种群大小为10;(c)进化代数为5

Fig. 3. Influence of evolution generation, population size, and atom number on HA_OMP. (a) Atom number is 50; (b) population size is 10; (c) evolution generation is 5

图 4. 重构Cuprite1图像的PSNR随原子个数的变化。(a) OMP;(b) HA_OMP

Fig. 4. Reconstructed PSNR of Cuprite1 vs atom number. (a) OMP; (b) HA_OMP

表 2. 单个波段的最优PSNR及所需原子数

Table 2. Optimal PSNR for single band and required atom number

4.3 结果分析

表 3. 重构单个波段所需的匹配时间和更新时间

Table 3. Matching and updating time required for reconstructing single bands

表 4. 不同采样率下两种算法达到的平均最优PSNR

Table 4. Average optimal PSNR of two algorithms under different sampling ratesdB

表 5. 不同采样率下HA_OMP相对OMP的加速比

Table 5. Acceleration times of HA_OMP relative to OMP under different sampling rates

图 5. 场景Cuprite2的重构图像对比。(a) OMP算法重构图像;(b) HA_OMP算法重构图像

Fig. 5. Comparison between two reconstructed Cuprite2 images. (a) Reconstructed image of OMP algorithm; (b) reconstructed image of HA_OMP algorithm

图 6. 场景Pavia University的重构图像对比。(a) OMP算法重构图像;(b) HA_OMP算法重构图像

Fig. 6. Comparison between two reconstructed Pavia University images. (a) Reconstructed image of OMP algorithm; (b) reconstructed image of HA_OMP algorithm

5 结论

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