激光线宽对光学锁相环锁相效果的影响

梁井波; 张蓉竹; 孙年春

doi:doi:10.3788/AOS201838.1214003

光学学报, 2018, 38 (12): 1214003, 网络出版: 2019-05-10

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Influence of Laser Linewidth on Phase-Locking of Optical Phase Locked Loop

论文大纲

梁井波 ^*张蓉竹 ^*孙年春

作者单位

四川大学电子信息学院, 四川成都 610065

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摘要

为了获得利于相干合成的具有高相干性的单元光束,可利用光学锁相环(OPLL)来实现本振激光的相位锁定。推导了锁相后激光复振幅的互相关函数表达式,并以此评价锁相后光束间的相干性。具体计算了参考光线宽、时间常数和本振激光线宽差对互相关函数值的影响。定义与本振激光线宽差相关的评价参数M,以此表征当其他参数一定时本振激光线宽差对锁相后激光相干性的影响。进一步针对本振激光线宽不一致对锁相效果的影响进行详细分析,得到相关参数合理值范围的计算公式。结果表明对于不同的本振激光线宽差范围需要设计不同的OPLL系统时间常数来实现有效锁相。

Abstract

Herein, we use an optical phase locked loop (OPLL) for locking the local laser's phase to achieve better laser phase-lock and obtain highly coherent unit beams. First, the cross-correlation function of the phase-locked laser's complex amplitude is determined, and the coherence between different phase-locked lasers is evaluated with a cross-correlation function. The influences of several key parameters, such as the linewidth of the reference light, time constant of the OPLL system, and the difference values of the local laser's linewidth on the function's value are analyzed. The evaluation parameter M is used to characterize the influence of the difference values of the local laser's linewidth on the coherence of the phase-locked laser keeping other parameters constant. Furthermore, the influence of the difference values of the local laser's linewidth on the phase-locking effect is analyzed in detail, and the related formula for calculating a reasonable value range of the related parameter is obtained. Our results indicate that the time constant of the OPLL system must be designed on the basis of the linewidth interval of a local laser to achieve effective phase-locking.

1 引言

激光相干合成技术是实现高平均功率和高光束质量激光的一种有效方式,在遥感遥测、相控阵系统、星间激光通信、定向能**等领域有着广泛的应用前景。要实现高质量的激光合成输出,要求参与合成的所有光束具有相同的频率和确定的相位关系,因此在系统设计中需要对光束的相对相位、振幅、偏振和指向进行精确控制^[1]。在影响合成效率的各种因素中,激光束之间的相位关系一直是控制的难点。为解决这一难点,目前已发展出共谐振腔^[2]、倏逝波耦合、自组织^[3]、注入锁定^[4]和有源反馈机制^[5-6]等不同的技术方案来实现相干合成。以上这些控制相位关系的方法,主要是通过使激光在受激振荡过程中同步输出的方式来实现的,因此难以进一步扩大相干合成的规模,实际输出功率有限。相位噪声是独立激光之间相位关系不能确定的根源,采用可以直接抑制的相位噪声,就可以有效提高相干合成阵列的规模,真正实现高平均功率输出。光学锁相环^[7-10]是一种利用电反馈控制结合电光相位调制的方法来对光信号的相位进行锁定的技术,其目的是在多个不同的光束之间实现相位的同步^[11]。光学锁相环因其能够主动抑制激光器的相位噪声,在相干功率合成领域具有重要的研究价值,对激光相干合成效率的提高有重要意义^[12-16]。

利用光学锁相环(OPLL)锁定不同独立单元激光的相位,从而使得参与相干合成的单元激光间具有较高的互相关性,这一思路已得到了证实^[16]。利用一个理想无噪声激光作为参考光束,则可以证明OPLL系统在相干合成中能够起到很好的相位控制作用^[17]。但实际情况下,激光都不可能是理想无噪声的,因此在非理想参考光情况下,本振激光线宽对激光锁相效果的影响、不同OPLL系统参数下本振激光的合理选择等问题还需要仔细的分析研究。本文利用激光复振幅的互相关函数来分析锁相后激光的相干性,通过相关函数值的高低来判定相干合成的效果。

2 OPLL结构及锁相原理

如图1所示,OPLL锁相系统主要是由参考激光U_c、本振激光U₁、混频器(Mixer)、鉴相器(PD)、信号处理系统(SPS)和相位调制器(PM)组成。相位噪声是独立激光之间相位关系不稳定的根源,同时也是影响激光相干性的主要因素,而本振激光通过OPLL系统的相位调制后可以与参考光同相。U₁通过一个分束器分成两部分,一部分通过相位调制器后输出,另一部分与U_c一起输入混频器和鉴相器,经SPS后得到包括两束光之间相位差信息的输出反馈信号U_e。调制器根据反馈信号U_e对U₁进行相位调制,使其延迟或提前,以达到同参考光相同的相位。因此,从理论上讲,只要参考光质量优于本振激光,就可以改善本振激光的相干性。

图 1. 相干合成的基本结构示意图

Fig. 1. Schematic of basic structure of coherent combining

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OPLL系统从原理上说,可以由一个线性系统来表示^[17],如图2所示。该线性系统的输入是本振激光U₁和参考激光U_c的相位差Δϕ(t),输出则是输出锁相后本振激光U_o与参考光U_c之间的相位差Δϕ_o(t)。整个系统的传递函数H(s)= $\begin{matrix} \frac{1}{T \cdot s + 1} \end{matrix}$ ,主要由探测器、控制电路和电光调相器的特性决定,其中,s为复变量,T为系统时间常数。考虑惯性环节锁相,系统时间常数T主要由混频器、鉴相器、放大器、滤波器和相位调制器的响应速度、放大器的增益、调制器类型及其驱动电路的电压等特性决定。惯性环节的点扩散函数h(t)= $\begin{matrix} \frac{1}{T} \end{matrix}$ exp(-t/T),系统总的点扩展函数为δ(t)-h(t)。

图 2. 锁相环系统的原理框图

Fig. 2. Principle block diagram of OPLL system

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设本振激光的复振幅为U₁=exp{j[ω₁t+ϕ₁(t)]},参考激光的复振幅为U_c=exp{j[ω₀t+ϕ_c(t)]},其中,ω₀、ω₁分别为本振激光和参考激光的角频率,ϕ₁(t)、ϕ_c(t)分别为本振激光和参考激光的相位噪声,符合维纳随机过程条件^[18]。通过OPLL系统后,输出激光与参考激光的相位差为

\begin{matrix} \begin{matrix} Δ ϕ_{o} = [βt + ϕ_{1} (t) - ϕ_{c} (t)] * [δ (t) - h (t)] = \\ βT + [ϕ_{1} (t) - ϕ_{1} (t) *h (t)] - [ϕ_{c} (t) - \\ ϕ_{c} (t) *h (t)] = βT + ξ_{1} - ξ_{2}, (1) \end{matrix} \end{matrix}

式中:β为(ω₁-ω₀);ξ₁=ϕ₁(t)-ϕ₁(t)*h(t);ξ_c=ϕ_c(t)-ϕ_c(t)*h(t);“*”表示卷积运算。令ξ_t=ξ₁-ξ_c,则输出激光的复振幅形式可以写作

\begin{matrix} U_{o} = \exp [j (ω_{0} t + ϕ_{c} (t) + βT + ξ_{t})] 。 (2) \end{matrix}

为了分析OPLL系统将本振激光相位锁定到参考光相位的效果,可利用锁相激光的互相关函数期望值来表示锁相后激光之间的相干性(即参与相干合成的激光相干性)^[15]。锁相激光的互相关函数期望值越高,则锁相后的激光相干性越好,即锁相效果越好。

计算可得任意两个通过OPLL系统后的激光U_o1=exp{j[ω₀t+ϕ_c(t)+β₁T+ξ₁_t]}和U_o2=exp×{j[ω₀t+ϕ_c(t)+β₂T+ξ₂_t]}的互相关函数的期望为

\begin{matrix} \begin{matrix} E [Γ_{Uo 1 Uo 2} (s)] = E [< U_{o 1} (t) \cdot U_{o 2}^{*} (t + s) >] = \exp {j [(β_{1} - β_{2}) T - ω_{0} s]} \cdot \\ \exp \{- \frac{2 σ_{c}^{2} s + 2 σ_{c}^{2} T [1 - \exp (- s / T)] + (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}) T}{4}\}, (3) \end{matrix} \end{matrix}

式中:<f(t)>= $\begin{matrix} \lim_{T 0 \to \infty} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{T_{0}} \end{matrix} \begin{matrix} \int_{0}^{T} \end{matrix}$ f(t)dt,表示对时间t求平均,T₀为积分时间上限。

由(3)式可知,任意两个锁相激光的互相关函数的期望值受多个参数的影响,包括OPLL系统时间常数T、参考激光线宽 $\begin{matrix} σ_{c}^{2} \end{matrix}$ 以及两本振激光线宽 $\begin{matrix} σ_{1}^{2} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} σ_{2}^{2} \end{matrix}$ 。其中,T作为OPLL系统设计的关键参数,对锁相效果的影响十分显著。由于一般单纵模的激光器线宽为兆赫兹量级,故取两本振激光线宽为2 MHz,参考光线宽为20 kHz,则可以得到互相关函数的期望值随T的变化情况,如图3所示。

图 3. 参数T对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响

Fig. 3. Influence of parameter T on E[ΓUo1Uo2(s)]

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由图3可知,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]的最大值随着T值的减小而增加,T每减小一个量级,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]的值都会增长。但是,随着T的取值变小,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]值的增加,幅度明显减缓。当T值小于10 ns时,减小T值对相关函数期望值的提高作用已经不大,并且能在10 μs的间隔时间里保证E[Γ_U_o1_U_o2(s)]高于0.9,此时可以视为实现了较好的锁相效果。因此,为了使锁相激光间有较好的互相干性,OPLL的时间常数T应不大于10 ns。

在确定时间常数后,首先需要考虑作为锁相标准的参考光性质。在系统时间常数T=10 ns时,针对2 MHz线宽的本振激光锁相,分析了参考激光线宽对锁相效果的影响,如图4所示。

图 4. σc2对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响(σ12=σ22=2 MHz)

Fig. 4. Influence of σc2 on E[ΓUo1Uo2(s)](σ12=σ22=2 MHz)

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由图4可知,随着 $\begin{matrix} σ_{c}^{2} \end{matrix}$ 的增大,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]值减小速度明显变快,即参考光线宽越大,相干性越差,OPLL系统对本振激光的锁相效果越差。因此,所选参考激光的线宽窄于本振激光线宽仅仅是一项基本要求,线宽越窄,锁相效果越好。当 $\begin{matrix} σ_{c}^{2} \end{matrix}$ 不超过20 kHz时,能在10 μs的间隔时间里保证E[Γ_U_o1_U_o2(s)]高于0.9,此时可以视为实现了较好的锁相效果。

3 本振激光线宽对锁相效果的影响

由以上分析可知,利用(3)式以及已知的线宽参数,通过分析任意两个锁相激光的互相关函数期望值大小就可得到合理的OPLL系统设计参数T和参考光线宽。对于2 MHz线宽的本振激光锁相,OPLL系统时间常数T应不大于10 ns, $\begin{matrix} σ_{c}^{2} \end{matrix}$ 不超过20 kHz。而在实际相关合成中,所选择的多束本振激光的线宽总不能保持相同,因此有必要讨论本振激光线宽的不一致性对锁相后激光相干性影响情况。为方便分析,以两束激光的合成为例。

首先,定义两束激光的线宽差为Δσ²= $\begin{matrix} σ_{2}^{2} \end{matrix}$ - $\begin{matrix} σ_{1}^{2} \end{matrix}$ ,表示两束本振激光线宽的不一致性。则通过(3)式可得

\begin{matrix} \begin{matrix} E [Γ_{Uo 1 Uo 2} (s)] = E [< U_{o 1} (t) \cdot U_{o 2}^{*} (t + s) >] = \exp {j [(β_{1} - β_{2}) T - ω_{0} s]} \cdot \\ \exp \{- \frac{2 σ_{c}^{2} s + 2 σ_{c}^{2} T [1 - \exp (- s / T)] + (2 σ_{1}^{2} + Δ σ^{2}) T}{4}\} 。 (4) \end{matrix} \end{matrix}

由(4)式可知,Δσ²只影响其互相关函数期望值的最大值exp[-(2 $\begin{matrix} σ_{1}^{2} \end{matrix}$ +Δσ²)T/4]。如图5所示,可以看出随着Δσ²的变大,锁相输出激光的互相关函数期望值的最大值逐渐减小,即本振激光线宽差越大,锁相输出激光之间的相干性越差,越不利于相干合成。

图 5. Δσ2对输出光互相关函数值的影响(T=10 ns, σ12=2 MHz, σc2=20 kHz)

Fig. 5. Influence of Δσ2 on E[ΓUo1Uo2(s)](T=10 ns, σ12=2 MHz, σc2=20 kHz)

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由上述分析可知,本振激光线宽差的存在会影响锁相效果。从(4)式可以看出,T也是影响E[Γ_U_o1_U_o2(s)]最大值的重要参数,要得到较好的锁相效果需要考虑T与Δσ²的共同作用效果。因此研究了当T不同时,Δσ²对锁相后激光相干性的影响,如图6所示。

从图6可以看出,T越大,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]随Δσ²增大而减小的速度越快,即线宽差对锁相后激光相干性的影响越大。当Δσ²=0时,随着T的增大,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]的最大值逐渐减小。比较图6(a)和(b),不难看出,当T<10 ns时,E[Γ_U_o1_U_o2(s)]的最大值基本稳定不变,且Δσ²在4 MHz(2倍于本振激光线宽的线宽差)的线宽差范围内几乎不影响E[Γ_U_o1_U_o2(s)]的值。

以上为针对特定线宽激光锁相的分析,为定量地评价激光线宽差变化对锁相后激光相干性的影响,将(4)式写为

\begin{matrix} \begin{matrix} E [Γ_{Uo 1 Uo 2} (s)] = E [< U_{o 1} (t) \cdot U_{o 2}^{*} (t + s) >] = \\ \exp {j [(β_{1} - β_{2}) T - ω_{0} s]} \cdot \exp \{- \frac{2 σ_{c}^{2} s + 2 σ_{c}^{2} T [1 - \exp (- s / T)] + 2 σ_{1}^{2} T}{4}\} \cdot e x p (- \frac{Δ σ^{2} T}{4}) 。 (5) \end{matrix} \end{matrix}

定义M=exp(-Δσ²T/4),可视为线宽差不一致对锁相效果的扰动项或噪声项,即可以表示线宽差对锁相后激光间相干性的影响因子。表1展示了不同Δσ²所对应的M值,从中可以看出,当T值确定时,线宽差越大,M的值越小,即线宽差对锁相后激光间相干性影响越大。

表 1. 不同Δσ2所对应的M值(T=10 ns)

Table 1. Values of M with different Δσ2(T=10 ns)

Linewidth difference Δσ² /MHz	0.5	1.0	1.5	2.0	3.0	10	20	50
M	0.9988	0.9975	0.9963	0.9950	0.9925	0.9753	0.9512	0.8825

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由于OPLL系统时间常数T也存在于M中,因此有必要分析T不同时,线宽差对锁相后激光间相干性的影响。

如图7所示,当T较大时,M值随Δσ²的增大而呈指数下降;当T越小时(小于10 ns),M值下降越缓慢,即T越小,线宽差对M的影响越小。

图 6. 当T取不同值时,Δσ2对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响。(a) T=1 ns; (b) T=10 ns; (c) T=100 ns; (d) T=1000 ns

Fig. 6. Influence of Δσ2 on E[ΓUo1Uo2(s)] when T is different. (a) T=1 ns; (b) T=10 ns; (c) T=100 ns; (d) T=1000 ns

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图 7. 不同T值时,M随Δσ2的变化

Fig. 7. M changes with Δσ2 at different T values

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为确定可接受的线宽差范围,假设M值不小于0.9999是可以接受的(即Δσ²对锁相效果只有万分之一的影响),则exp $\begin{matrix} (- Δ σ^{2} \frac{T}{4}) \end{matrix}$ ≥0.9999,计算可得

\begin{matrix} Δ σ^{2} \leq - \frac{4 \ln 0.9999}{T} 。 (6) \end{matrix}

利用(6)式可以得到可接受的线宽差范围,例如:当T=10 ns时,计算可得Δσ²≤4.0002×10⁴ Hz,即两本振激光的线宽差不应超过40 kHz。

4 结论

推导了锁相后激光复振幅的互相关函数期望值的表达式,并以该表达式来表示锁相后激光的相干性,其函数期望值越高,表明锁相后激光间的相干性越好,越有利于后续的相干合成。分析了几个关键参数对互相关函数期望值的影响,计算结果表明,对2 MHz线宽的激光锁相,为达到较好的相位锁定,要求OPLL系统时间常数T小于10 ns,参考激光线宽小于20 kHz。在此基础上,定义了表示本振激光线宽的不一致性对锁相影响的影响因子M以及可接受的M值范围,分析得到了相关参数的合理值范围的计算公式。当T=10 ns时,两本振激光的线宽差不应超过40 kHz。结果表明,对于不同的本振激光线宽差范围需要设置不同的T值来实现有效锁相,为激光相干合成OPLL系统的设计提供了理论依据。

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1 引言

2 OPLL结构及锁相原理

图 1. 相干合成的基本结构示意图

Fig. 1. Schematic of basic structure of coherent combining

图 2. 锁相环系统的原理框图

Fig. 2. Principle block diagram of OPLL system

图 3. 参数T对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响

Fig. 3. Influence of parameter T on E[ΓUo1Uo2(s)]

图 4. σc2对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响(σ12=σ22=2 MHz)

Fig. 4. Influence of σc2 on E[ΓUo1Uo2(s)](σ12=σ22=2 MHz)

3 本振激光线宽对锁相效果的影响

图 5. Δσ2对输出光互相关函数值的影响(T=10 ns, σ12=2 MHz, σc2=20 kHz)

Fig. 5. Influence of Δσ2 on E[ΓUo1Uo2(s)](T=10 ns, σ12=2 MHz, σc2=20 kHz)

表 1. 不同Δσ2所对应的M值(T=10 ns)

Table 1. Values of M with different Δσ2(T=10 ns)

图 6. 当T取不同值时,Δσ2对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响。(a) T=1 ns; (b) T=10 ns; (c) T=100 ns; (d) T=1000 ns

Fig. 6. Influence of Δσ2 on E[ΓUo1Uo2(s)] when T is different. (a) T=1 ns; (b) T=10 ns; (c) T=100 ns; (d) T=1000 ns

图 7. 不同T值时,M随Δσ2的变化

Fig. 7. M changes with Δσ2 at different T values

4 结论

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1 引言

2 OPLL结构及锁相原理

图 1. 相干合成的基本结构示意图

Fig. 1. Schematic of basic structure of coherent combining

图 2. 锁相环系统的原理框图

Fig. 2. Principle block diagram of OPLL system

图 3. 参数T对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响

Fig. 3. Influence of parameter T on E[ΓUo1Uo2(s)]

图 4. σc2对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响(σ12=σ22=2 MHz)

Fig. 4. Influence of σc2 on E[ΓUo1Uo2(s)](σ12=σ22=2 MHz)

3 本振激光线宽对锁相效果的影响

图 5. Δσ2对输出光互相关函数值的影响(T=10 ns, σ12=2 MHz, σc2=20 kHz)

Fig. 5. Influence of Δσ2 on E[ΓUo1Uo2(s)](T=10 ns, σ12=2 MHz, σc2=20 kHz)

表 1. 不同Δσ2所对应的M值(T=10 ns)

Table 1. Values of M with different Δσ2(T=10 ns)

图 6. 当T取不同值时,Δσ2对E[ΓUo1Uo2(s)]的影响。(a) T=1 ns; (b) T=10 ns; (c) T=100 ns; (d) T=1000 ns

Fig. 6. Influence of Δσ2 on E[ΓUo1Uo2(s)] when T is different. (a) T=1 ns; (b) T=10 ns; (c) T=100 ns; (d) T=1000 ns

图 7. 不同T值时,M随Δσ2的变化

Fig. 7. M changes with Δσ2 at different T values

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