1 引言

随着光电技术及计算机图形处理技术的迅猛发展,光测法在位移和变形测量中的应用日益广泛^[1-3]。传统的光测法主要有:摩尔云纹法、全息法、光扫描法等,但这些方法一般都要求以激光作为光源,光路复杂,测量结果易受到外界环境影响。而散斑相关法作为一种从物体表面散斑场中直接提取变形信息的光测方法,具有全场、非接触测量、光路简单、对测量环境要求低等特点,逐渐成为现代光测领域的一种重要测试方法^[4-6]。

然而,散斑相关法应用于结构试件角位移测量中存在一定困难^[7-8],如试件表面发生较大的刚体转动时,如果直接采用散斑相关法计算试件表面的旋转,在进行相关搜索时会因为目标图像子区出现较大转动而失效,研究表明,当被测试件表面转动角度大于7°时,传统的散斑相关法就会失效^[9-10]。对于试件的角位移测量,王静^[11]提出利用圆形图像子区和图像灰度不变矩特性相结合的方法进行搜索,但这种方法对图像噪声比较敏感,测量误差较大。Quan等^[12]提出一种使用全局坐标和局部坐标表示形函数的方法来应对试件角位移过大的测量,但这种方法计算复杂度过高。潘兵等^[13]提出一种基于差分进化的角位移测量法,这种方法在计算过程中会收敛到局部极值处,因此计算结果不稳定。

针对散斑相关法测量试件角位移时存在的测量范围小、测量精度低的问题,本文提出了一种采用对数极坐标变换的散斑相关角位移测量法。该方法采用对数极坐标变换,将试件在直角坐标系中的角位移转换为对数极坐标下的平移,并利用散斑相关法结合九点二次曲面拟合法,实现了试件的角位移测量。本方法提高了现有散斑相关法的角位移测量范围与测量精度。

2 散斑相关角位移测量法

2.1 对数极坐标变换

对数极坐标变换的思想^[14-15]是:通过极坐标变换将图像从笛卡尔坐标系转换至极坐标系,然后再取对数变换至对数极坐标系,变换过程如图1所示,图中左侧圆环线与轮辐线映射为右侧对数极坐标平面的横线与纵线。

图 1. 对数极坐标变换示意图

Fig. 1. Schematic of log-polar transformation

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对数极坐标可看作是极坐标系的扩展,对极坐标系上的点P_p(r,θ)的径向距离r取以t为底的对数log_tr作为纵坐标,同时以径向角θ作为横坐标就可将P_p(r,θ)变换成对数极坐标系上的点P_l(log_tr,θ),再根据笛卡尔坐标系上的点P_c(x,y)与P_p(r,θ)的关系,可得到变换关系:

logtr=12logt(x2+y2)θ=tan-1(y/x)。(1)

要将在直角坐标系上的一幅半径为r_e的圆形图块W_C变换为在对数极坐标系下的一幅m×n的矩形图块W_L,需要在径向以对数的底t以及在角向以角间隔Δθ分别对W_C进行采样。由(1)式可知,在W_C上的采样是非均匀的,即离开圆心越远,采样点越疏松。因此,为了使原图块W_C上的信息在变换后无任何丢失,就必须调整采样间隔t与Δθ,使得采样时不遗漏W_C的外缘处的任何像素点。对数极坐标转化算法依据如下两个准则来确定无信息丢失的采样间隔t与Δθ以及变换后的对数极坐标图块W_L的尺寸m与n。

1) 在W_C外缘处的两个径向相邻像素(r_e-1与r_e),变换后对应于在W_L径向末端处的两个相邻的像素(m-1与m),即log_tr_e-log_t(r_e-1)=m-(m-1)=1,由此可以确定t和m的取值,即:

t=re/(re-1)m=logtre。(2)

2) 在W_C外缘处的两个角向相邻像素,变换后对应于在W_L角向的两个相邻的像素,即:

Δθ=2arcsin(1/2re)n=360/Δθ。(3)

对(2)式和(3)式计算出的m和n进行取整后可得到其实际值,在采样过程中,对数极坐标转化将根据(1)式计算出对应坐标,并采用双线性插值算法^[16]计算出对数极坐标系下W_L中相应像素点的灰度值。

2.2 散斑相关法

在经对数极坐标转化后得到散斑图像的基础上,可以借鉴散斑相关方法实现散斑图像角位移的测量^[17],其方法原理如图2所示。在数字散斑场中,由于散斑点具有随机性,每点周围区域的散斑分布规律各不相同,因此可以在参考图像(变形前图像)中选择以P₀为中心、窗口尺寸大小为(2k+1)×(2k+1)的模板。通过相关系数函数,在目标图像(变形后图像)中搜索相似度最大的子区,得到与P₀对应的中心点P₁,进而得到散斑场的变形信息。

图 2. 散斑相关法原理示意图

Fig. 2. Schematic of speckle correlation method

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相关系数函数为归一化协方差互相关函数,相较于其他相关系数函数,归一化协方差互相关函数具有明显的单峰分布,且峰值更尖锐^[18],函数计算公式为:

C=∑i=1m∑j=1mfxi,yi)-f]×[g(x'i,y'i)-g]2∑i=1m∑j=1mfxi,yi)-f]2×∑i=1m∑j=1m[g(x'i,y'i)-g]2,(4)

式中f(x_i,y_i)和g(x'_i,y'_i)为参考图像和目标图像子区的灰度值,f和g分别为参考图像和目标图像子区的平均灰度值。

2.3 亚像素测量

经过上述散斑相关法,可以得到散斑角位移变换后的整像素位移,而亚像素级位移是计算精度的关键,直接影响计算效率、计算精度和稳定性。为了进一步提高测量精度,需要对整像素位移结果进行亚像素处理。本研究中的亚像素处理方法为九点二次曲面拟合法,该方法的优点是精度高、计算时间少、抗噪声能力强^[9]。亚像素测量示意图如图3所示。

图 3. 亚像素测量示意图

Fig. 3. Schematic of sub-pixel measurement

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九点二次曲面函数表达式为:

C(x,y)=∑k=02∑j=0kakjxjyk-j。(5)

设误差函数为:

ϕ(a00,a10,…,a22)=∑1n(Ci-∑k=02∑j=0kakjxjyk-j)2。(6)

由最小二乘原理可以求解九点二次曲面的待定系数a₀₀,a₁₀,…,a₂₂,误差函数在拟合曲面的极值点应满足以下方程:

∂C(x,y)∂x=a11+2a22x+a21y=0,(7)∂C(x,y)∂y=a10+2a20y+a21x=0,(8)

根据(7)、(8)式就可求出拟合曲面的极值点位置:

x'=2a11a20-a10a21a212-4a22a20,y'=2a10a22-a11a21a212-4a22a20。(9)

与初始散斑参考图像子区中心(x,y)进行比较,即可得到散斑图像极坐标系下的亚像素位移,进而求得散斑图像直角坐标系下的角位移:

θ=(x'-x)Δθ,(10)

式中Δθ为像素角向描述符,其值由(3)式确定。

3 模拟实验

用计算机进行模拟实验能够严格控制散斑的尺寸及其角位移,并能避免实际拍摄图像时的噪声干扰、设备系统误差以及操作随机误差等。采用文献[ 19]所示方法随机生成10张参考散斑图,图像尺寸为128 pixel×128 pixel,散斑颗粒数量为300个,散斑颗粒半径大小为3.5 pixel。散斑图像如图4(a)所示,其经对数极坐标变换后的图像(图像尺寸经计算为265 pixel×403 pixel)如图4(b)所示。

在[0°,90°]的角位移区间内分别对上述10张散斑参考图像进行旋转,旋转间隔为5°。对散斑图像进行对数极坐标变换后采用散斑相关法进行处理,并与传统散斑相关法进行对比,以验证本方法的有效性。

图 4. (a)散斑图像;(b)对数极坐标变换后散斑图像

Fig. 4. (a) Speckle image; (b) speckle image after log-polar transformation

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3.1 对数极坐标变换有效性验证

为了更充分地验证对数极坐标变换的有效性,引入两个相关系数评价指标:1)相关系数主峰值C_max,即相关系数最大值,用以评价旋转前后散斑图像子区的相似程度;2)相关系数主峰值与次峰值之间的差值C_dif,用以评价相关函数是否具备明显单峰。取相同角位移下,散斑图像相关系数的平均值作为评价值,所得结果如图5所示。

图 5. 模拟实验相关系数。(a) Cmax;(b) Cdif

Fig. 5. Correlation coefficient of simulation experiments. (a) Cmax; (b) Cdif

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由图5可知,当散斑图像的角位移大于5°时,直接应用散斑相关法得到的相关系数主峰值C_max急剧降低,其值小于0.4,且主峰值与次峰值之间的差值C_dif进一步缩小,并维持在0.05附近,意味着散斑相关法失效。而经对数极坐标变换后应用散斑相关法,其相关系数主峰值C_max维持在0.95以上,且主峰值与次峰值的差值C_dif维持在0.8附近,意味着散斑相关法有效,进而保证了后续散斑测量的准确性。为了进一步说明对数极坐标变换的有效性,选取角位移为20°时的散斑图像处理结果,如图6所示。

3.2 散斑相关角位移测量

亚像素测量采用九点二次曲面拟合法,同时引入高斯曲面拟合法进行对比,并从均值误差和标准差^[20]两个方面对两种拟合方法进行考察,实验结果如图7所示。

由图7可知,九点二次曲面拟合法的均值误差、标准差均小于高斯曲面拟合的均值误差、标准差。具体来讲,在[0°,90°]的角位移范围内,采用九点二次曲面拟合法所得测量结果的均值误差绝对值最大为0.042°,最大标准差为0.0127°,而采用高斯曲面拟合法所得测量结果的均值误差绝对值最大为0.63°,最大标准差为0.015°。

图 6. 角位移为20°时所得处理结果。(a)传统散斑法;(b)所提方法

Fig. 6. Results with angular displacement of 20°. (a) Traditional s'peckle method; (b) proposed method

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图 7. 模拟实验测量结果。(a)均值误差;(b)标准差

Fig. 7. Results of simulation experiments. (a) Mean error; (b) standard deviation

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4 实物实验

为了验证对数极坐标变换对散斑图像角位移测量的实际影响,进行如下实验。实验试件采用人工喷涂黑白漆方式制作出符合实验标准的散斑平面。然后将其固定在光学精密旋转平台上。采用CCD相机进行散斑图像采集,相机型号为IMPERX 4M,分辨率为2060 pixel×2056 pixel。实验装置如图8所示,实验之前采用垂线法对相机主光轴及散斑试件平面进行位姿校准^[21]。

图 8. 实验装置

Fig. 8. Experimental setup

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4.1 对数极坐标有效性验证

实物实验中测得的相关系数平均值C_max、C_dif如图9所示。

由图9可知,当角位移大于5°时,采用传统散斑相关法所得的相关系数主峰值C_max低于0.2,即评价方法失效。而经对数极坐标变换后应用散斑相关法,其相关系数主峰值C_max保持在0.9附近,主峰值与次峰值差值C_dif保持在0.7以上,即评价方法有效,结论与模拟实验相同。不同的是,实物实验结果受随机噪声及相机畸变等因素影响,相关系数的主峰值C_max及主峰值与次峰值差值C_dif分别下降了0.1左右。

4.2 散斑相关角位移测量

九点二次曲面拟合法及高斯曲面拟合法所得散斑角位移亚像素测量结果如图10所示。

由图10可知,在[0°,90°]的角位移范围内,采用九点二次曲面拟合法所得测量结果的最大均值误差绝对值为0.054°,最大标准差为0.0176°;采用高斯曲面拟合法所得测量结果的最大均值误差绝对值为0.077°,最大标准差为0.0217°,与模拟实验结论一致。

图 9. 实物实验相关系数。(a) Cmax;(b) Cdif

Fig. 9. Correlation coefficient of physical experiments. (a) Cmax; (b) Cdif

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图 10. 实物实验测量结果。(a)均值误差;(b)标准差

Fig. 10. Results of physical experiments. (a) Mean error; (b) standard deviation

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5 结论

针对传统散斑相关法应用于结构试件角位移测量中时存在测量范围小、测量精度低等问题,提出了一种采用对数极坐标变换的散斑相关角位移测量法。该方法的优势为:采用对数极坐标变换将散斑的角位移转换成平移,在此基础上,结合散斑相关法及九点二次曲面拟合法实现了散斑角位移的准确测量。模拟实验与实物实验结果表明:在[0°,90°]的散斑角位移范围内,本方法所得测量结果的均值误差控制在0.06°以内,标准差控制在0.02°以内,在保证散斑相关角位移测量准确性的同时扩展了角位移测量范围。