1 引言

布里渊光时域分析(BOTDA)广泛应用于温度和应变的传感监测^[1-2]。BOTDA信号从产生、传输到接收会引入一系列噪声,主要有激光器噪声、多径瑞利散射噪声、光电探测器噪声和偏振噪声等。噪声的存在会严重影响BOTDA传感系统的测量精度和实时性等性能参数。因此,信噪比(SNR)是衡量BOTDA系统性能的关键指标之一。文献[ 3]中的传统BOTDA技术通过提高脉冲光的峰值功率和增加累计平均次数提高了系统的信噪比。受光纤损耗及光纤中非线性效应的限制,探测光脉冲的峰值功率不能无限增加,并且当累计平均次数增加到一定程度后,不仅测量时间延长,而且信噪比的改善效果也趋于饱和。因此,本文考虑采用优良的降噪算法对布里渊散射谱进行降噪处理,以期在相同信噪比条件下,减少平均次数,提高系统的实时性。

在BOTDA传感领域,2011年,Farahani等^[4]将小波阈值收缩法应用于BOTDA系统,采用阈值收缩增强时域波形后再累加平均,将需要采集的时域波形数目减少92%,大大缩短了系统的测量时间。2012年,Farahani等^[5]采用自适应滤波技术对BOTDA信号进行预处理,在相同信噪比下的测量时间减少90%。上述算法在一维空间分别对各扫描频率下的测量信号降噪,仅去除了测量信号在时域的相关性,忽略了不同扫描频率下测量信号的结构相似性和冗余性。2015年, Soto等^[6]用高斯滤波、非局部均值(NLM)、频域变换降噪和二维离散小波变换等4种基础图像降噪方法对BOTDA传感测量系统进行浮点降噪,证明了图像处理算法提高BOTDA系统信噪比的可行性。2016年,Soto等^[7]改进降噪方法,评估BOTDA数据在二维空间中所具有的高度相似性和冗余性,选用传统的图像和视频处理方法对受限的白噪声进行剔除,保持高频的测量分量,弥补低通滤波的不足,但实验结果仍然是基于简单的图像/视频处理。2017年,Soto等^[8]采用NLM滤波算法对BOTDA信号进行处理,克服了线性滤波算法的图像模糊、空间过于平滑和丢失高频细节等缺点。但NLM算法计算要求高、耗时多,难以保证实时性。2018年,孟彦杰等^[9]采用Kuwahara滤波方法对BOTDA传感图像降噪,信噪比提高了6.7 dB,与第二年提出的约束最小二乘滤波(CLS)的自适应图像恢复方法相比^[10],信噪比增加了12.2 dB,温度精度提高到1.3 ℃。

本文提出了一种保持布里渊频谱边缘特性的降噪算法,该算法强调谱变化细节的降噪处理,保留高频测量分量,基于局部特征提高传感系统的测量精度。该方法将偏微分方程的各向异性扩散方程用于图像降噪,在平滑噪声的同时,保持频谱边缘。采用优化的线搜索策略,使降噪算法学习率自适应变化,提高了信噪比,减少了累计平均次数,达到了改善实时性的目的,提升了BOTDA系统的传感效率。

2 算法设计与实现

2.1 算法原理

该算法的降噪可以归结为求极小值问题,在满足观测值的条件下,获得信号最稀疏解的过程,实质为一种无约束凸优化问题。设图像噪声模型为

u0(x,y)=u(x,y)+n(x,y),(1)

式中:u₀(x,y)(简写为u₀)为BOTDA传感系统采集的二维布里渊增益谱矩阵;u(x,y)(简写为u)为需提取的布里渊频移矩阵;x为沿光纤长度的采样点数;y为扫描频率;n(x,y)为均方差为σ的高斯白噪声。将每个数据点看作像素点,则BOTDA传感系统的三维布里渊增益频谱(BGS)可看作是一幅二维数字图像。在本文提出的图像降噪算法中,对图像的相邻像素点求差值总和T_V(u)最小化,以达到平滑目的,则

minTV(u)=∫∫Ω∇udxdy,(2)

式中:Ñ为偏微分算子;Ω为包括光纤长度和扫频范围的图像区域。像素点u₀(x,y)∈Ω最小化能量泛函^[11-13]形式为

minE(u)=λ2∫∫Ω(u-u0)2dxdy+TV(u)=∫∫Ω∇u+λ2(u-u0)2dxdy,(3)

式中:E为能量泛函;λ为拉格朗日因子,与噪声水平有关。(3)式中加号的前一项为逼近项,用于保持原图像边缘特性;后一项为正则项,起图像平滑的作用。由(3)式导出能量泛函存在极值的必要条件,即满足欧拉-拉格朗日方程

λ(u-u0)-∇∇u∇u=0,(4)λ=1σ2Ω∫∫Ω∇∇u∇u(u-u0)dxdy。(5)

λ作为逼近项因子,取值不当时会使图像的背景、边缘等具有不同信噪比分布的区域,容易出现边缘模糊和阶梯效应等现象。

按照最速下降法^[14]离散化(4)式得到迭代演化公式为

un+1=un-αnλ(un-u0)+αn∇∇unun,(6)

式中:n∈[0,I],I为迭代次数;α_n为最速下降方向步长;u_n为第n次迭代的结果。用像素点u(i,j)的八邻域差分代替偏导计算Ñ∇un∇un。

为了以最小代价找到极小值点的近似,减少降噪处理的时间,采用基于Armijo准则^[15]的回溯线搜索得到每次搜索方向对应的下降步长,并采用梯度下降法确定搜索方向。Armijo准则^[15]表示为

E(un+σβk·pn)≤E(un)+ε·σβk·m,(7)

其中,

m=pTn∇E(un),(8)pn=-λ(un-u0)+∇∇unun。(9)

首先,在搜索方向上设置一个初始步长,通过(7)式所示的Armijo准则判断当前的步长是否合适。如果步长较小,则利用参数τ进行放大,即β_k+1=τβ_k(β_k+1和β_k为相邻两次迭代的步长,k为迭代次数),直至满足Armijo准则,得到当前搜索方向p_n上的自适应下降步长α_n=β_k,其中常数计算因子0<σ<1,0<ε<0.5。

2.2 算法实现

算法实施步骤如图1所示,第n次梯度下降时,已知u_n,先采用八邻域差分代替偏导求得p_n,为了得到u_n+1,需要找到快速寻优的自适应下降步长。初始化选取下降步长β₀=0.1,判断Armijo准则,若不满足Armijo准则,则按因子τ扩大步长,直至得到满足Armijo准则的β_k,则当前搜索方向p_n的下降步长α_n=β_k,进一步得到u_n+1。当满足终止控制条件时,迭代停止,输出降噪图像,否则回到上一步继续迭代。

3 实验数据分析

3.1 实验系统

本文采用的Rayleigh-BOTDA实验系统如图2所示。EOM1输出如a)所示的0阶脉冲光,EOM2工作在传输特性曲线的谷点,输出如b)所示的1阶双边带连续光(光信号经由频率为f_m的微波信号调制),合成光信号如c)所示,经EDFA放大、FBG1

图 1. 算法流程图

Fig. 1. Algorithm flow chart

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滤波后通过光环形器C1(C1、C2、C3、C4均为光环形器)进入传感光纤。脉冲基底的1阶上下边带产生后向瑞利散射光,与0阶脉冲光发生受激布里渊散射作用。

图 2. Rayleigh-BOTDA传感系统

Fig. 2. Rayleigh-BOTDA sensing system

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将传感光纤中段置于恒温槽升温至60 ℃,其余光纤置于室温25 ℃下。设置扫频范围为10.80~10.91 GHz,步长5 MHz,累计平均10000次,实验采集的三维布里渊散射谱如图3所示,明显可见,在光纤中段有较大的布里渊频移(BFS)偏移。

图 3. 三维布里渊散射谱

Fig. 3. Three-dimensional Brillouin scattering spectrum

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3.2 拉格朗日因子对BFS提取的影响

拉格朗日因子λ是影响降噪效果的关键,在全变分(3)式所示模型中,该因子用于平衡图像的保真性与平滑性。λ越大,降噪图像保留的高频细节越多;λ越小,图像越平滑。为比较λ对降噪效果的影

响,设置固定下降步长α为0.1,求解全变分(TV)降噪模型,迭代60次终止。如图4所示,分别得到λ=0,0.5,1对应的三维布里渊散射谱降噪图像的正视图。

由图4可见,不同λ的选取影响信号的保真性,过度平滑会导致信号被削弱,趋于平坦,间接影响BFS的提取精度。随着传感距离的增加,信号逐渐减弱,当出现BFS变化时,BGS发生平移且波峰幅值较小。若降噪过于平滑,则微弱的局部特征信号将被削弱,从而对传感物理量变化区域的BFS造成较大误差。将λ=0和λ=1降噪后的布里渊散射谱分别进行Lorentz拟合,得到光纤的BFS如图5所示。

图 4. 不同λ下的降噪图像正视图。(a) λ=0;(b) λ=0.5;(c) λ=1

Fig. 4. Front views of noise reduction image with different λ. (a) λ=0; (b) λ=0.5; (c) λ=1

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图 5. 不同λ下的BFS。(a) λ=0;(b) λ=1

Fig. 5. BFS under different λ. (a) λ=0; (b) λ=1

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由图5可见:λ=0时,加温区域的平均BFS为10.8602 GHz;λ=1时,加温区域的平均BFS为10.8705 GHz,差值为10.3 MHz。可知,经平滑降噪提取的BFS与保留细节降噪提取的BFS存在较大差异。按上述计算方式,对不同λ下的加温和常温区域的BFS(图6)进行平均,并按照标定系数0.9802 MHz/℃换算成相应的温差,如图7所示,实验环境中,常温与加温区域的温差为35 ℃,可知λ越接近1,BFS提取准确度越高。

3.3 Armijo线搜索与固定步长下降的对比

设置初始下降步长β₀=0.1,拉格朗日因子λ=1、τ=2、σ=0.4、ε=0.2,设α_n<10^-5时迭代终止。得到迭代次数n及下降步长α_n对应的降噪图像,如图8所示。经过两步迭代,α₂=4.2215×10^-21,图像的变化趋于稳定,下降步长无限趋近0,达到了TV模型极值点的近似。可见,结合Armijo线搜索的最速下降法能自适应调整梯度下降步长,极快速地寻得局部最优,大大减少了迭代次数。

图 6. 常温和加温区域的BFS和λ关系曲线。(a)常温;(b)加温

Fig. 6. Relationship between BFS and λ in normal and heating temperature regions. (a) Normal temperature; (b) heating temperature

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图 7. 不同λ下提取的温差

Fig. 7. Temperature differences extracted under different λ

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设置TV模型按固定下降步长α=0.1进行迭代数值求解,拉格朗日因子λ=1,计算TV模型每次梯度下降后‖u_n+1-u_n‖/‖u_n‖的值,结果如

图9所示。‖u_n+1-u_n‖/‖u_n‖表征了梯度下降的收敛程度,其值过大,说明噪声去除效果差,未达到TV模型极值点;其值过小,则可能直接越过极值点,导致发散,有用信号被削弱。

由图9可见,迭代次数n>10时,‖u_n+1-u_n‖/‖u_n‖趋于平稳,降噪效果逐渐变好。将固定步长最速下降法每次迭代后的降噪图像与采用Armijo线搜索优化的降噪结果图像求均方误差(MSE),得到曲线如图10所示。当n=13时,均方误差最小,可见固定步长迭代需要迭代13次才与自适应Armijo迭代2次的降噪效果相近。可以证明,基于Armijo线搜索的最速下降法对TV模型具有更快的数值求解速度,实时性更高。

图 8. 降噪图像随迭代次数的变化。(a) n=0,α0=0.9124;(b) n=1,α1=0.2308;(c) n=2,α2=4.2215×10-21;(d) n=3,α3=4.2215×10-21

Fig. 8. Variation in noise reduction image with number of iterations. (a) n=0, α0=0.9124; (b) n=1, α1=0.2308; (c) n=2, α2=4.2215×10-21; (d) n=3, α3=4.2215×10-21

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图 9. ‖un+1-un‖/‖un‖的值随迭代次数的变化

Fig. 9. Variation in value of ‖un+1-un‖/‖un‖ with number of iterations

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图 10. MSE随迭代次数的变化

Fig. 10. Variation in MSE with number of iterations

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3.4 算法对实时性的改善

对BOTDA系统采集的时域波形进行256次累计平均,得到三维布里渊散射谱如图11(a)所示,SNR为3.89 dB。采用所提算法降噪后,得到图11(b)所示的降噪图像,SNR为13.37 dB,细节良好、轮廓鲜明。再对其进行Lorentz拟合,得到沿光纤的BFS分布如图12所示,加温处的BFS变化明显,且整体均值与图5(b)所示的10000次累计平均相近。可见,所提算法对噪声覆盖严重的信号具有良好的提取效果。

图 11. 256次平均的三维布里渊散射谱TV降噪结果对比。(a)降噪前;(b)降噪后

Fig. 11. Comparison of TV noise reduction results of 256-time average 3D Brillouin scattering spectrum. (a) Before noise reduction; (b) after noise reduction

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图 12. 剔除欠拟合数据点的BFS分布

Fig. 12. BFS distribution after eliminating under-fitting data

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累计平均次数是影响BOTDA实时性的主要因素,本文通过降噪算法提高信噪比,减少平均次数,改善了实时性。在BOTDA测量时间中,累计平均时间可以表示为t_average=N/f,其中N为累计平均次数,f为脉冲光频率。计算后可知,累计平均256次的时间是累计平均10000次的2.56%,且SNR仅为10000次累计平均的15.2%,而本文的降噪算法,可将该SNR提升至52.3%。

4 结论

将全变分图像降噪法应用于BOTDA系统信号的降噪处理,并采用最速下降法进行数值求解。为了优化求解速度,运用基于Armijo准则的回溯线搜索进行梯度下降步长的自适应调整。分析了拉格朗日因子对BFS提取准确度的影响。另外,与固定步长下降法对比发现,Armijo线搜索对步长的优化可以大大减少迭代次数,缩短降噪处理的时间。对256次累计平均的BOTDA信号进行降噪处理和BFS提取结果分析发现,结合Armijo线搜索的TV图像降噪算法可以有效提高系统信噪比,相比于10000次的累计平均,可以大大减少数据采集时间,提高系统的实时性。但该算法设计依赖于数据的空间光谱特征和噪声水平,信噪比提升范围有不确定性。如何根据不同的噪声类型及受噪声干扰的程度,对本文提出的算法进行改进,使之能更好地降噪并保持频谱细节,将是今后的研究方向之一。