基于粒子群退火优化BVMD方法的超精密加工表面空间频率分解 
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1 引言
超精密加工是光学元件加工的主要手段。以单点金刚石飞切加工为例,在加工过程中,机床主轴的摆动、刀具的磨损、工件-刀具的相对振动、液压和气浮系统的压力波动、导轨运动误差、环境扰动等因素都会导致加工工件表面产生不同空间频段的形貌误差[1]。而在光学研究中,光学元件表面的空间频率误差严重影响产品的光学性能。高频误差影响光学元件的散射损耗和薄膜损伤性能;中频误差会导致光线的小角度散射;低频误差主要影响激光束的聚焦性能[2-4]。为了提升光学产品的加工精度,控制加工表面的质量,提高光学产品的性能,需要对超精密加工中工件表面的空间频率误差进行分析与控制。首先,要对加工表面的主要空间频率误差进行辨识,获得加工表面空间频率误差的主要分布特性;其次,需要分析特定频段的空间频率误差对加工表面形貌产生的影响;最后,结合加工过程中的多因素参数分析,实现对表面空间频率误差的溯源,达到控制空间频率误差的目的。因此,如何准确分离和辨识表面形貌中的空间频率误差成分是提高工件光学性能的重要研究内容。
目前,离散小波分解方法是实现表面形貌空间频率误差分解的主要手段之一。Chen等[5]利用二维离散小波变换,将初始表面图像分解为多个尺度的频率成分,并从分解图像中直观分析高、中、低频空间频率误差各自所属形貌的特性,但是没有对小波基的选择标准以及小波分解中存在的模态混叠现象进行研究。陈东菊等[6]在利用离散小波分解方法进行表面形貌空间频率误差分解时,以分解误差为判别依据,寻找最优的Daubechies小波基和分解层数,获得了较为清晰的分解结果,但小波分解中的模态混叠、平移可变等缺点并未得到解决。此外,经验模态分解(EMD)算法[7]也在加工表面三维形貌的分析中得到了应用。该方法理论上适用于任何类型的信号,并能够自适应地将复杂信号分解为多个本征模态[8],避开了小波分解中的小波基和分解层数选择问题。任志英等[9]利用二维经验模态分解(BEMD)算法对三维表面空间频率误差进行分解,按空间频率误差高、中、低三个频段,对表面形貌进行有效的分离,但没有考虑BEMD算法引起的严重模态混叠现象。Konstantin等[10]提出一种变分模态分解(VMD)算法,该算法相比EMD分解具有可靠的理论依据。Cai等[11]将VMD算法应用于电能质量分析,验证了VMD相比EMD、BEMD具有更优的分解效果,但没有针对VMD算法中的主要影响参数给出选择方法。Yang等[12]在进行颤振信号有效成分提取时,利用退火算法优化后的VMD进行信号分解,证明了VMD算法相对于EMD算法具有更好的准确性和稳定性。
三维形貌数据的采集会造成数据边缘的截断误差,导致傅里叶变换(FFT)和快速傅里叶逆变换(IFFT)时发生频谱泄漏以及信号失真现象。特别是VMD算法中存在多次FFT和IFFT,如果不对数据进行预处理,会严重影响分析结果的精度。Ryoma等[13]针对周期延拓的边界不连续问题以及对称延拓的方向性问题,提出均值扩展与正余弦滤波结合的延拓方法。该方法能够在边界延拓的光滑性和方向性上作出补偿,并模糊处理非影响范围内的数据,较好地保证了初始数据的变化趋势。郭书君等[14] 采用多尺度插值小波解偏微分方程,自适应选取配置点以确定图像纹理方向,并沿纹理方向对农田遥感图像进行延拓处理,实现了图像边界效应的消除。加窗处理具有弱化数据边界信息的能力[15],对延拓数据进行加窗处理可以增加初始数据在延拓后数据中的所占比重,减少延拓数据对初始数据的影响。另外,窗函数能够对非无限长信号的端部截断误差作出改善。因此,对延拓数据进行加窗处理,不仅可以弥补截断误差缺陷,而且能够在一定程度上减小延拓数据对初始数据造成的影响。
本文利用镜像延拓和自卷积Hanning窗,对采集到的三维形貌数据进行预处理。然后,采用二维变分模态分解方法,对表面形貌空间频率误差进行分解。并且,针对自适应二维变分模态分解(BVMD)算法中对分解结果影响最大的两个参数即惩罚因子α和分解层数k,采用粒子群退火优化算法进行了寻优处理。通过对实际加工表面的分析,对比离散小波分解和BEMD算法,以模态混叠作为指标,验证了本文算法的优势及其适用性。
2 算法的基本理论与流程
超精密加工是精密光学零件的主要加工技术,而各频段空间频率误差是光学零件性能的主要影响因素。为了对特定频段的空间频率误差进行分析,需要采用有效分解手段,对表面空间频率误差进行分解,尽可能精确地提取各频段误差成分。
模态混叠是当前分解算法中常见的缺陷,相比于传统的EMD算法和小波分解算法,VMD算法能在一定程度上改善模态混叠现象。因此,本文采用二维的VMD(BVMD)算法对工件表面三维形貌进行分解。但是,BVMD算法存在两个对分解效果影响较大的参数,即惩罚因子α和分解层数k。为了得到较好的分解效果,采用粒子群退火算法对以上两个参数进行优化处理。优化算法的性能不仅与算法理论有关,还与所优化的适应度函数有较大关系。根据空间频率误差分解对模态混叠以及重构误差的要求,将KL散度作为模态混叠的数值指标,并引入最小风险贝叶斯理论,权衡模态混叠与重构误差在适应度函数中的占比。
三维形貌数据的采样是对离散点进行采集,存在截断误差。BVMD算法中多次采用了FFT和IFFT,截断误差对它们的精度影响很大。因此,本文采用边界延拓以及自卷积Hanning窗对采集数据进行预处理,以降低分析误差。
本文算法的基本理论与计算流程如
3 理论与算法描述
3.1 三维形貌数据预处理
BVMD算法中存在多次FFT与IFFT,直接对采集到的截断三维形貌数据进行分解,会造成较大重构误差,影响分析结果的准确度[16]。为了解决上述问题,采用图像处理中的边界延拓以及加窗处理技术,以改善截断误差对分解结果的影响。
3.1.1 边界延拓
传统象限翻转方法进行镜像处理后的理论结果如
3.1.2 自卷积Hanning窗处理
超精密加工表面三维形貌数据属于非对称信号,边界延拓虽然能在一定程度上对截断误差作出改善,但不能保证延拓数据完全满足初始数据的变化趋势,降低了数据的真实性。加窗处理不仅具有降低截断误差的能力[17],而且能够弱化数据的边界信息[15]。因此,本文先对初始数据进行边界延拓,再对延拓后的数据进行加窗处理,这样不仅能有效降低截断误差的影响,还能通过弱化延拓数据,降低延拓数据对初始数据的失真影响。
常用窗函数主要有矩形窗、三角窗、Hanning窗、Hamming窗及Gauss窗等。窗函数的频谱形状对频谱泄漏等具有直接影响,主要考察指标为窗函数的旁瓣特性。窗函数旁瓣特性是指旁瓣的衰减速率,衰减速率越快,则窗函数对频谱泄漏的抑制能力越好[18]。采用自卷积方法计算得到的窗函数具有比原窗函数更好的旁瓣特性,且Hanning窗在旁瓣性能和主瓣宽度上具有一定的兼容优势[19]。为了得到更快的衰减速率,本文以Hanning窗为基础窗函数,引入卷积计算方法对Hanning窗函数进行自卷积处理,将最终得到的自卷积Hanning窗函数作为数据处理窗函数。
Hanning窗函数的时域表达式为
式中:T为时间窗的大小;t为时间;n为阶数。
通过卷积运算,得到2阶自卷积Hanning窗函数表达式为
同理,可以得到其余阶自卷积Hanning窗表达式。
3.2 二维变分模态分解
BVMD以维纳滤波理论为基础,并结合Hilbert变换,通过拉格朗日乘子法求解实现的[20]。其具体目的是将初始数据f0(t0)分解为k0组具有中心频率的有限带宽信号,并使各模态分量(IMF)的估计带宽之和最小。BVMD的约束变分结构为
式中:
对于上述约束性问题,采用拉格朗日乘子法将(3)式转化为非约束问题[10],最后采用交替乘子法进行求解。
BVMD算法具体实现过程如下。
1) 确定BVMD模态分量数k0;
2) 设置交替乘子法中的输入数据初始值:初始频域模态分量
3) 更新
4) 给定判定阈值常数e>0,若满足条件
BVMD算法不仅避免了小波分解中的小波基选择问题,同时,因中心频率范围的有限窄带宽特性,不会产生BEMD算法中的严重模态混叠现象。BVMD能有效分解时变信号、非线性和非周期信号[21],其在三维面形分解上具有极好的适用性。3.3 粒子群退火算法
BVMD的分解性能严重依赖于参数选择,其中模态参数k和惩罚参数α具有关键性影响[22]。参数k代表分解得到的模态分量数,参数α用来权衡重构信号精确度与各模态分量带宽之和之间的关系[23]。因此,采用粒子群退火算法对参数k和α进行寻优处理。另外,根据空间频率误差分解在失真性和混叠性上的要求,基于最小风险贝叶斯理论,选择相邻模态分量的频谱KL散度均值与信号重构误差均值作为优化的适应度函数。
3.3.1 KL散度
KL散度即相对熵,能够描述两个密集函数P(x0)与Q(x0)间的相似度[24],两函数差异越大,KL散度越大,其表达式为
式中: I为函数的取值范围;函数的横坐标值x0=1,2,…,I。
针对两个矩阵A和B,其KL散度求解表达式为
式中:J1、J2为矩阵的行数和列数;
模态混叠现象主要从频谱图中分析得到,采用KL散度表示相邻两模态分量之间的频谱相识度,能够有效判别模态混叠程度。KL散度越大,相似度越小,模态混叠程度越小。因此,各相邻模态分量的KL散度均值能够作为确定粒子群退火算法中适应度函数的关键指标,实现BVMD算法中参数k和参数α的寻优处理。
3.3.2 最小风险贝叶斯理论
在表面空间频率误差分析中,数据的完整性与准确性对分析结果具有决定性影响。因此,应用分解技术进行表面空间频率误差处理时,应保证相对高的重构精度,并权衡重构误差和模态混叠两个指标。为了解决上述问题,引入最小风险贝叶斯决策理论。以重构误差与KL散度为决策损失,将决策所造成的期望损失作为优化算法中的适应度函数。
在最小风险贝叶斯决策中,某一决策规则的期望损失表达式为
式中:x为条件类别;α(x)为条件x下的决策;R[α(x)|x]为每个决策的期望损失;p(x)为总体概率密度。
式中:c为类别总数;g表示决策的序号;h表示类别的序号;λ(αg,ωh)为决策αg对类别ωh的决策损失;ωh在条件x下所属类别的概率P(ωh|x)=
在本文应用中,ω1表示重构误差,ω2表示模态混叠,λ(α,ω1)为重构误差值均值,λ(α,ω2)为KL散度值均值的倒数。由于无条件干涉,先验概率P(ω1)、P(ω2)都设定为0.5。
采取优化措施时,需要在保证高精度重构误差的基础上进行。另外,由于BVMD改善了模态混叠现象,且BVMD在一定程度上影响重构误差精度,因此模态混叠在评价指标中的占比应远小于重构误差。通过多组预实验分析,总结得出KL散度倒数值的数量级是重构误差的109倍。因此,拟定重构误差的影响力概率密度p(x|ω1)为1-10-9、模态混叠的影响力概率密度p(x|ω2)为10-9。
在优化算法中,最小适应度值为
3.3.3 粒子群退火优化算法
粒子群 (PSO)算法[25]是一种基于群体的随机优化技术,其主要思想是进化算法和群模式,可在优化目标函数解空间中较大范围内进行同时搜索[26]。类似粒子群算法的进化与群体智能优化算法,如遗传算法等,在寻优过程中大都陷入局部最优解[27]。模拟退火(SA)是由Kirkpatrick等提出[28]。SA在每次迭代中采用随机更新的方法进行位置更新。在高温条件下,该算法允许搜索空间有较大的变化。在低温下,扰动以及不合理粒子的占比大大减小。因此,退火算法能够在有效避免陷入局部最优解的同时保证优化结果的准确性。本文将模拟退火算法与粒子群优化算法相结合,既保证了群体寻优的特性,又达到了全局寻优的目的。粒子群退火算法的具体算法流程如
4 实测三维形貌数据分析
为了验证本文方法对空间频率提取、分析的准确性和适用性。结合超精密单点金刚石飞切机床在实际加工中测得的三维形貌,采用本文方法进行表面空间频率误差分解方法的验证与对比分析。超精密单点飞切机床为立式车削机床,通常用来加工有色金属或光学材料的大型平面元器件。在样件的加工过程中,主轴转速为280 r·min-1,进给速度为6 mm·min-1,切削深度为5 μm。
图 5. 初始形貌的三维图像及一维PSD分析。(a)初始三维形貌;(b)初始三维形貌PSD
Fig. 5. Three-dimensional image and one-dimensional PSD analysis of original morphology. (a) Original 3D shape; (b) PSD of original 3D shape
4.1 基于本文方法的三维形貌处理结果分析
采样本文提出的边界延拓方法,得到
采用二维1~4阶自卷积Hanning窗函数对延拓后数据进行处理后,初始数据对应位置结果如
在粒子群退火算法中,待确定参数k和α的取值范围分别为3~10、1000~10000。适应度值以及参数k和α的优化情况如
根据
图 7. 二维1~4阶Hanning窗处理结果。(a) 1阶;(b) 2阶;(c) 3阶;(d) 4阶
Fig. 7. Processing results by 2D 1--4 Hanning windows. (a) 1-order; (b) 2-order; (c) 3-order; (d) 4-order
图 8. 1~4阶Hanning窗函数的幅频响应。(a) 1阶;(b) 2阶;(c) 3阶;(d) 4阶
Fig. 8. Amplitude frequency responses of 1--4 Hanning windows. (a) 1-order; (b) 2-order; (c) 3-order; (d) 4-order
图 9. 粒子群退火参数的优化结果。(a)适应度值;(b)分解层数k;(c)惩罚参数α
Fig. 9. Optimization results of particle swarm annealing parameters. (a) Fitness; (b) decomposition level K; (c) penalty parameter α
由上述分析得出,本文提出的预处理算法和优化BVMD算法,能够有效分离三维形貌的空间频率误差,并且能改善模态混叠现象。
4.2 算法普遍适用性分析
为了验证本文预处理方法改善FFT和IFFT误差及降低BVMD算法重构误差的效果。以
图 10. 数据1的分解结果及对应一维PSD。(a)模态分量1;(b)模态分量2;(c)模态分量3;(d)模态分量4;(e)模态分量1 的PSD;(f)模态分量2的 PSD;(g)模态分量3 的PSD;(h)模态分量4 的PSD
Fig. 10. Decomposition results of data 1 and the corresponding one-dimensional PSD. (a) IMF 1; (b) IMF 2; (c) IMF 3; (d) IMF 4; (e) PSD of IMF 1; (f) PSD of IMF 2; (g) PSD of IMF 3; (h) PSD of IMF 4
表 1. 数据1及其分解数据的主要空间频率误差
Table 1. Main spatial frequency errors of data 1 and its decompositionmm-1
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表 2. 不同预处理下的FFT 和 IFFT误差及BVMD重构误差
Table 2. Reconstruction errors of BVMD and FFT & IFFT errors for different pretreatments
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为了验证本文方法的普遍适用性,再次加入两组不同的实测三维形貌数据(Data 2和Data 3),并采用本文方法进行分解,其初始形貌、分解图像、分解后PSD图像分别如
图 11. 实测数据2及其分解的三维图和PSD图。(a)数据2的形貌;(b)数据2的PSD图;(c)模态分量1;(d)模态分量2;(e)模态分量3;(f)模态分量4;(g)模态分量5;(h)模态分量1的PSD;(i)模态分量2的 PSD;(j)模态分量3 的PSD;(k)模态分量4的 PSD;(l)模态分量5的 PSD
Fig. 11. Measured data 2 and 3D and PSD figures of its decomposition. (a) Shape of data 2; (b) PSD of data 2; (c) IMF 1; (d) IMF 2; (e) IMF 3; (f) IMF 4; (g) IMF 5; (h) PSD of IMF 1; (i) PSD of IMF 2; (j) PSD of IMF 3; (k) PSD of IMF 4; (l) PSD of IMF 5
图 12. 实测数据3及其分解的三维图和PSD图。(a)数据3的形貌;(b)数据3的PSD图;(c)模态分量1;(d)模态分量2;(e)模态分量3;(f)模态分量4;(g)模态分量5;(h)模态分量1的PSD;(i)模态分量2的 PSD;(j)模态分量3 的PSD;(k)模态分量4的 PSD;(l)模态分量5的PSD
Fig. 12. Measured data 3 and 3D and PSD figures of its decomposition. (a) Shape of data 3; (b) PSD of data 3; (c) IMF 1; (d) IMF 2; (e) IMF 3; (f) IMF 4; (g) IMF 5; (h) PSD of IMF 1; (i) PSD of IMF 2; (j) PSD of IMF 3; (k) PSD of IMF 4; (l) PSD of IMF 5
表 3. 数据2及其分解数据的主要空间频率误差
Table 3. Main spatial frequency errors of data 2 and its decompositionmm-1
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表 4. 数据3及其分解数据的主要空间频率误差
Table 4. Main spatial frequency errors of data 3 and its decompositionmm-1
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从数据2的分解结果分析得出,本文方法能够有效地将各主要频率误差进行分离,并基本不存在模态混叠。数据3的分解结果中存在相邻分量的主频率相同的现象。经分析发现,这与模态混叠的趋势不同,它只是同一频率成分被分解成为两个分量,在后续处理中可以将这两个分量重构为一个形貌数据进行分析。因此,本文方法在保证分解效果的前提下,对实测超精密加工表面空间频率误差分解具有普遍适用性。
4.3 算法对比分析
为了验证本文方法在减小模态混叠能力上的优势,引入二维离散小波分解(BDWT)算法和BEMD算法,对上述三组不同数据的三维形貌进行分解。其中,以数据1为例,展示了其经二维离散小波分解和BEMD算法分解的结果,结果分别如
图 13. 数据1的BDWT分解结果及对应PSD图。(a)模态分量1;(b)模态分量2;(c)模态分量3;(d)模态分量4;(e)模态分量5;(f)模态分量1的 PSD;(g)模态分量2 的PSD;(h)模态分量3 的PSD;(i) 模态分量4 的PSD;(j) 模态分量5的 PSD
Fig. 13. BDWT decomposition results of data 1 and corresponding PSD figures. (a) IMF 1; (b) IMF 2; (c) IMF 3; (d) IMF 4; (e) IMF 5; (f) PSD of IMF 1; (g) PSD of IMF 2; (h) PSD of IMF 3; (i) PSD of IMF 4; (j) PSD of IMF 5
图 14. 数据1的BEMD分解结果及对应PSD图。(a)模态分量1;(b)模态分量2;(c)模态分量3;(d)模态分量4;(e)模态分量5;(f)模态分量6;(g)模态分量1的PSD;(h)模态分量2的PSD;(i)模态分量3的PSD;(j)模态分量4的PSD;(k)模态分量5的PSD;(l)模态分量6的PSD
Fig. 14. BDWT decomposition results of data 1 and corresponding PSD figures. (a) IMF 1; (b) IMF 2; (c) IMF 3; (d) IMF 4; (e) IMF 5; (f) IMF 6; (g) PSD of IMF 1; (h) PSD of IMF 2; (i) PSD of IMF 3; (j) PSD of IMF 4; (k) PSD of IMF 5; (l) PSD of IMF 6
以KL散度作为评价指标进行对比分析,其中,KL散度越大,则混叠越少,分解结果越好。以上三组数据经不同方法分解后得到的KL散度值如
表 5. KL散度对比
Table 5. KL divergence contrast10-3
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综上,本文提出的边界延拓与自卷积Hanning窗函数预处理方法,可以在一定程度上减小FFT和IFFT的误差,从而改进BVMD算法在重构误差上的缺陷。通过对多组实测三维形貌数据的分析得出,本文算法在实测三维形貌的空间频率误差分解上具有普遍适用性。通过与二维离散小波分解和BEMD算法对比可知,本文算法相较于传统分解算法,对模态混叠现象有较大改善,具备一定优势。
5 结论
传统的超精密加工表面的空间频率误差分解技术存在模态混叠缺陷,为了弥补这一缺陷,引入BVMD算法对空间频率误差进行分解,并针对BVMD产生的较大重构误差作出了改进。通过理论分析及实测数据对比,发现自卷积Hanning窗函数处理能够在一定程度上降低FFT和IFFT的变换误差,进而使BVMD的重构误差得到有效改善。对三组不同的实测三维形貌进行分解,结果表明,所提方法在实测三维形貌的空间频率误差分解上具有较高的适用性;与其他分解算法对比,所提方法的KL散度值在102量级,其他方法的散度值不超过101量级,表明改进后BVMD算法的分解能力更具优势,不仅可以有效提取三维形貌中不同频段的空间频率误差,而且在保证重构误差精度的同时,对分离结果中的模态混叠现象具有更好的抑制效果。
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