基于高斯光束传播性质的激光相位恢复

彭金平; 冯国英; 兰斌

doi:doi:10.3788/cjl201845.1005001

中国激光, 2018, 45 (10): 1005001, 网络出版: 2018-10-12

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Laser Phase Recovery Based on Propagation Properties of Gaussian Beam

论文大纲

彭金平冯国英兰斌

作者单位

四川大学电子信息学院, 四川成都 610064

测量干涉相位恢复高斯光束傅里叶分析 measurements interferometry phase retrieval Gaussian beam Fourier analysis

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注：本部分内容由 AI 自动生成，请您知悉。

摘要

为解决傅里叶变换法处理干涉图的去载频误差问题, 并准确地恢复激光待测相位, 提出了一种基于高斯光束传播性质的相位恢复方法。激光器输出的高斯光束沿其传播方向的横截面上, 其相位为一对称的凸面或凹面, 凸面或凹面的曲率与传播距离有关。根据这一性质求出载频大小, 并最终恢复待测相位。理论上该方法可以精确计算得到载频的大小, 并高精度地恢复待测相位。数值仿真与实验结果都证明该方法可以准确地恢复待测相位。

Abstract

In order to reduce the carrier frequency error of the processed interferogram by using the Fourier transform method, and accurately recover the laser phase to be measured, we propose a phase retrieval method based on the propagation property of Gaussian beam. On the cross section of the Gaussian beam along its direction of propagation, the phase of the beam is a symmetrical convex or concave surface. The curvature of the convex or concave surface is related to the propagation distance. According to this property, the size of the carrier frequency is calculated and the phase to be measured is finally restored. In theory, the size of the carrier frequency can be calculated accurately, and the phase to be measured can be restored with high precision. Both numerical simulation and experimental results show that the proposed method can accurately recover the phase to be measured.

1 引言

在激光领域的研究中,测量激光器输出光束的复振幅是不可避免的。干涉测量法是一种有效、可靠的测量方法。在干涉测量中,从空间载波干涉条纹图恢复相位是一个必要的课题^[1-4]。通过干涉图恢复相位的方法通常有时域相移法^[5-8]和传统傅里叶变换法(FTM)两种^[9-13]。时域相移法至少需要采集3幅干涉条纹图,且要求3幅干涉条纹图的相位存在一定差值;而传统FTM仅需一幅干涉图即可恢复待测相位,但其对干涉条纹图的离散化处理,导致所求得的载频存在小数部分误差,从而严重影响了相位恢复精度^[14-15]。

本文采用一种新的方法恢复相位,该方法利用高斯光束传播性质从干涉条纹图准确解得载频的大小,并最终从单幅干涉图中恢复出待测相位。该方法有效减小了离散化处理导致的载频小数部分的误差,使相位恢复精度得到了很大的提高。下文将该方法简称为传输傅里叶法(TFM)。

2 理论分析

2.1 高斯光束传播性质

激光器输出的高斯光束的相移特性由相位因子决定,其表达式为

\begin{matrix} ϕ (x, y, z) = k (z + \frac{r^{2}}{2 R}) - arctg (\frac{z}{f}), (1) \end{matrix}

式中:k为波数;f为高斯光束的共焦参数;z为传播距离; r²为x²与y²之和;R为等相位面半径。(1)式描述了光束在点(x,y,z)处相对于原点(0,0,0)的相位滞后。kz描述几何相移;arctg(z/f)描述高斯光束在空间行进距离为z时相对几何相移的附加相位超前;因子kr²/2R表示与横向坐标(x,y)有关的相位移动,表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面,R可表示为

\begin{matrix} R (z) = z [1 + {(\frac{π ω_{0}^{2}}{λz})}^{2}], (2) \end{matrix}

式中:λ为波长;ω₀为束腰半径。(2)式说明激光器输出的高斯光束在传播距离为z处的相位为一对称的凹面或凸面,这个凸面或凹面的凹凸程度随传播距离z而改变。

2.2 激光器高斯光束的相位恢复

CCD相机所采集的干涉条纹图的光强分布可表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} I (m, n) = a (m, n) + \\ b (m, n) \cos [2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + ϕ (m, n)], (3) \end{matrix} \end{matrix}

式中:a,b分别为背景光强和调制度;c₁,c₂分别为x,y方向上的载频;ϕ(m,n)为待恢复相位;M,N为x,y方向上的采样点数。干涉图大小为M×N。

图 1. 干涉图相移。(a)实验所得干涉图像素分布;(b) 3帧相移干涉图像素分布

Fig. 1. Phase shift of interferogram. (a) Pixel distribution of experimental interferogram; (b) pixel distribution ofthree frame phase shift interferograms

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干涉图相移如图1所示,一幅实验所得干涉条纹图可通过相移得到3帧(M-1)×(N-1)大小的干涉条纹图。I₁为第一帧,I₂为第二帧,I₃为第3帧^[16-21]。由于背景光强、调制度一般为平滑信号,所以背景光强、调制度在相邻像素间的大小可认为是相等的。3帧相移所得干涉图表达式分别为

\begin{matrix} I_{1} (m, n) = a (m, n) + \\ b (m, n) \cos [2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + ϕ (m, n)], (4) \end{matrix}

\begin{matrix} I_{2} (m, n) = a (m, n) + b (m, n) \times \\ \cos [2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + \frac{2 π c_{1}}{M} + ϕ (m + 1, n)], (5) \end{matrix}

\begin{matrix} I_{3} (m, n) = a (m, n) + b (m, n) \times \\ \cos [2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + \frac{2 π c_{2}}{N} + ϕ (m, n + 1)] 。 (6) \end{matrix}

通过傅里叶变换可求得3帧相移干涉条纹图的含载频的相位,其表达式分别为

φ_{1} (m, n) = 2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + ϕ (m, n), (7)

φ_{2} (m, n) = 2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + \frac{2 π c_{1}}{M} + ϕ (m + 1, n), (8)

φ_{3} (m, n) = 2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + \frac{2 π c_{2}}{N} + ϕ (m, n + 1) 。 (9)

(8)式、(9)式分别减去(7)式可得:

l_{21} (m, n) = ϕ (m + 1, n) + \frac{2 π c_{1}}{M} - ϕ (m, n), (10)

l_{31} (m, n) = ϕ (m, n + 1) + \frac{2 π c_{2}}{N} - ϕ (m, n) 。 (11)

分别对l₂₁(m,n),l₃₁(m,n)各点求和并取均值得

s_{21} = \frac{\overset{N - 1}{\sum_{n = 1}} [ϕ (M, n) - ϕ (1, n)]}{(M - 1) \times (N - 1)} + \frac{2 π c_{1}}{M}, (12)

s_{31} = \frac{\overset{M - 1}{\sum_{m = 1}} [ϕ (m, N) - ϕ (m, 1)]}{(M - 1) \times (N - 1)} + \frac{2 π c_{2}}{N} 。 (13)

由2.1节分析可知,激光器输出的高斯光束传输一定距离后,其相位为曲率不同的对称凹面或凸面,即

\begin{matrix} \{\begin{matrix} \overset{N - 1}{\sum_{n = 1}} [ϕ (M, n) - ϕ (1, n)] = 0, & for concave \\ \overset{M - 1}{\sum_{m = 1}} [ϕ (m, N) - ϕ (m, 1)] = 0, & for convex \end{matrix} 。 (14) \end{matrix}

由(11)式和(12)式可求得载频c₁和c₂,其表达式为

c_{1} = \frac{s_{21} \times M}{2 π}, (15)

c_{2} = \frac{s_{31} \times N}{2 π} 。 (16)

根据(3)式,通过对实验采集的干涉图进行傅里叶变化求得载频相位与待测相位之和,利用所求载频重构载频相位并恢复待测相位:

\begin{matrix} \begin{matrix} φ (m, n) = \\ \underset{sum}{\underset{︷}{2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N}) + ϕ (m, n)}} - \underset{reconstruction}{\underset{︷}{2 π (\frac{c_{1} m}{M} + \frac{c_{2} n}{N})}} 。 (17) \end{matrix} \end{matrix}

3 模拟仿真

图2为模拟的干涉图与相位。图2(a)中所模拟的包含待测相位信息的干涉条纹图表达式为I(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos[2π(c₁x+c₂y)+ϕ(x,y)]。图2(b)中待测相位的表达式为ϕ(x,y)=7×[exp(x²/16+y²/16)-1]。载频c₁=22.728,c₂=16.482,背景光强及调制度表达式为a(x,y)=b(x,y)=7.5exp(-x²-y²)。x,y 方向上采样点数都为128,取值范围为-2≤x≤2,-2≤y≤2。

图 2. 模拟的干涉图与相位。(a)干涉图;(b)相位

Fig. 2. Analog interferogram and phase. (a) Interferogram; (b) phase

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图 3. 恢复的相位及误差。 (a) FTM恢复的相位;(b) FTM恢复误差;(c) TFM恢复的相位;(d) TFM恢复误差

Fig. 3. Recovery phase and error. (a) Recovery phase by FTM; (b) recovery error of FTM; (c) recovery phase by TFM; (d) recovery error of TFM

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表 2. 不同噪声水平下的相位恢复误差

Table 2. Phase recovery error under different noise levels

Error	Noise level /%
Error	0	2	4	6	8	10
PV /rad	0.3158	0.4458	0.6658	0.7287	0.8297	0.9550
RMS /rad	0.0290	0.0292	0.0332	0.0406	0.0552	0.0682

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表 1. 两种方法的模拟结果

Table 1. Detailed simulation results by using two methods

Item	Real	Method
Item	Real	FTM	TFM
c₁	22.728	23.000	22.7374
c₂	16.482	16.000	16.4978
Phase PV /rad	3.1168	5.3089	3.1382
Phase RMS /rad	0.6279	1.0556	0.6293
Error PV /rad		3.9783	0.3158
Error RMS /rad		0.8550	0.0290

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采用传统FTM和所提TFM对干涉图进行相位恢复。利用TFM可解得载频为c₁=22.7374,c₂=16.4978,所求的载频与实际载频非常接近。而用FTM求得的载频为c₁=23,c₂=16,误差较大,主要原因是离散化处理所致的载频小数部分误差。图3(a)和(c)分别为采用FTM和TFM恢复的相位。将恢复的相位与待测相位ϕ(x,y)之间的差值定义为恢复误差。图3(b)、(d)分别为对应的恢复误差,图中彩条单位为弧度。由图3(b)、(d)可见,FTM的离散化处理会导致较大的载频误差,致使恢复相位存在明显的倾斜误差,而用TFM则基本不存在这一现象。TFM的相位恢复误差的峰谷(PV)值和均方根(RMS)值分别为0.3158 rad和0.0290 rad,远小于FTM的3.9783 rad和0.8550 rad。两种方法的模拟结果如表1所示。从表1可知,TFM可以非常精确地恢复待测相位。

为了对所提方法的抗噪性进行检测,计算了在不同噪声水平下相位恢复误差的RMS值以及PV值。不同噪声水平下的相位恢复误差如表2所示。随着噪声的增大,相位恢复误差也增大,这是由于噪声在傅里叶频谱中存在杂频,因此所求干涉图的含载频的相位即(17)式的sum项受影响,致使恢复的相位有轻微误差。但整体的相位恢复误差依然保持在一个很低的水平,这表明所提方法有较强的抗噪能力。

4 实验结果

为了证明所提方法的可行性,对实验室激光器光束传输一定距离后的相位进行了测量。实验所用激光器的波长为632.8 nm,束腰半径为0.35 mm,在距束腰半径56 cm处采集干涉图。实验中所用的光纤点衍射干涉仪的示意图如图4所示。光束经分光镜(BS)后分为两束,其中反射光为包含待测相位的信号光,透射光为参考光。信号光直接反射在CCD上,透射光经过透镜L1聚焦进入单模光纤(SMF)后,通过光纤传导并由透镜L2准直形成放大的近似平面参考光。参考光再次透过分光镜并与信号光在CCD处发生干涉,干涉图被CCD采集。透镜L1、L2的焦距f₁、f₂分别为1 cm和3 cm。

图 4. 光纤点衍射干涉仪示意图

Fig. 4. Schematic of optical fiber point diffraction interferometer

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通过上述干涉仪采集的干涉条纹图如图5(a)所示。图5(b)为待测相位的理论分布,其PV值和RMS值分别为3.2965 rad和0.7038 rad。通过传统FTM求得的x,y方向上的载频分别为30,20,所恢复的相位如图5(c)所示,恢复相位的PV值及RMS值分别为4.9973 rad和1.0302 rad。由图5(c)可以看到所恢复的相位存在明显的倾斜误差。通过所提方法求得的x,y方向上的载频分别为30.0428、19.5469,恢复的相位如图5(d)所示,恢复相位的PV值及RMS值分别为3.3441 rad和0.6954 rad。定义恢复的相位与待测相位理论分布之差为恢复误差,则TFM恢复误差的PV值和RMS值分别为0.4091 rad和0.0670 rad,远低于FTM恢复误差的PV值3.0541 rad和RMS值0.7829 rad。采用所提方法恢复的相位与模拟的待测相位理论分布都为一对称凹面,这与2.1节理论分析所得结果一致。

5 结论

传统FTM通过干涉条纹图恢复激光待测相位,所得结果误差比较大,主要原因是计算所得的载频不够准确。本研究基于高斯光束的传播特性提出了一种新的测量方法。该方法仅需采集一幅干涉条纹图即可准确计算出载频大小,精确地恢复待测相位。该方法具有抗噪能力较强、易于操作等优点。模拟仿真和实验结果都证明该方法测量规则光束相位具有很高的可靠性及准确性。

图 5. 测量结果。 (a)干涉条纹图;(b)待测相位理论分布;(c) FTM恢复相位;(d) TFM恢复相位

Fig. 5. Measurement results. (a) Interference fringes; (b) theoretical distribution of measured phase; (c) recovery phase by FTM; (d) recovery phase by TFM

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参考文献

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彭金平, 冯国英, 兰斌. 基于高斯光束传播性质的激光相位恢复[J]. 中国激光, 2018, 45(10): 1005001. Peng Jinping, Feng Guoying, Lan Bin. Laser Phase Recovery Based on Propagation Properties of Gaussian Beam[J]. Chinese Journal of Lasers, 2018, 45(10): 1005001.

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1 引言

2 理论分析

2.1 高斯光束传播性质

2.2 激光器高斯光束的相位恢复

图 1. 干涉图相移。(a)实验所得干涉图像素分布;(b) 3帧相移干涉图像素分布

Fig. 1. Phase shift of interferogram. (a) Pixel distribution of experimental interferogram; (b) pixel distribution ofthree frame phase shift interferograms

3 模拟仿真

图 2. 模拟的干涉图与相位。(a)干涉图;(b)相位

Fig. 2. Analog interferogram and phase. (a) Interferogram; (b) phase

图 3. 恢复的相位及误差。 (a) FTM恢复的相位;(b) FTM恢复误差;(c) TFM恢复的相位;(d) TFM恢复误差

Fig. 3. Recovery phase and error. (a) Recovery phase by FTM; (b) recovery error of FTM; (c) recovery phase by TFM; (d) recovery error of TFM

表 2. 不同噪声水平下的相位恢复误差

Table 2. Phase recovery error under different noise levels

表 1. 两种方法的模拟结果

Table 1. Detailed simulation results by using two methods

4 实验结果

图 4. 光纤点衍射干涉仪示意图

Fig. 4. Schematic of optical fiber point diffraction interferometer

5 结论

图 5. 测量结果。 (a)干涉条纹图;(b)待测相位理论分布;(c) FTM恢复相位;(d) TFM恢复相位

Fig. 5. Measurement results. (a) Interference fringes; (b) theoretical distribution of measured phase; (c) recovery phase by FTM; (d) recovery phase by TFM

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1 引言

2 理论分析

2.1 高斯光束传播性质

2.2 激光器高斯光束的相位恢复

图 1. 干涉图相移。(a)实验所得干涉图像素分布;(b) 3帧相移干涉图像素分布

Fig. 1. Phase shift of interferogram. (a) Pixel distribution of experimental interferogram; (b) pixel distribution ofthree frame phase shift interferograms

3 模拟仿真

图 2. 模拟的干涉图与相位。(a)干涉图;(b)相位

Fig. 2. Analog interferogram and phase. (a) Interferogram; (b) phase

图 3. 恢复的相位及误差。 (a) FTM恢复的相位;(b) FTM恢复误差;(c) TFM恢复的相位;(d) TFM恢复误差

Fig. 3. Recovery phase and error. (a) Recovery phase by FTM; (b) recovery error of FTM; (c) recovery phase by TFM; (d) recovery error of TFM

表 2. 不同噪声水平下的相位恢复误差

Table 2. Phase recovery error under different noise levels

表 1. 两种方法的模拟结果

Table 1. Detailed simulation results by using two methods

4 实验结果

图 4. 光纤点衍射干涉仪示意图

Fig. 4. Schematic of optical fiber point diffraction interferometer

5 结论

图 5. 测量结果。 (a)干涉条纹图;(b)待测相位理论分布;(c) FTM恢复相位;(d) TFM恢复相位

Fig. 5. Measurement results. (a) Interference fringes; (b) theoretical distribution of measured phase; (c) recovery phase by FTM; (d) recovery phase by TFM

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