基于自相关函数重构的动态光散射偏差加权反演

徐亚南; 申晋; 徐敏; 吴繁言; 毛帅; 王雅静; 刘伟; 孙贤明

doi:doi:10.3788/AOS201838.1229002

光学学报, 2018, 38 (12): 1229002, 网络出版: 2019-05-10

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Deviation-Weighted Inversion of Dynamic Light Scattering Based on Autocorrelation Function Reconstruction

论文大纲

徐亚南 ^*申晋 ^*徐敏吴繁言毛帅王雅静刘伟孙贤明

作者单位

山东理工大学电气与电子工程学院, 山东淄博 255049

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摘要

为充分利用自相关函数(ACF)衰减延迟时段的有效粒度分布信息,提出基于光强ACF重构的信息反馈式偏差加权方法,通过逐次利用偏差加权反演减小下一次偏差,直到信息偏差达到限定的最小值,即反演所得分布重构的ACF与光子相关器得到的ACF达到所要求的吻合程度。对不同噪声水平下的宽分布和近双峰分布颗粒体系模拟数据进行反演,结果表明:与常规加权反演方法相比,所提方法可以获得更准确的宽分布和近双峰分布反演结果,并具有更好的抗噪声性能。采用标准聚苯乙烯乳胶颗粒实测数据的反演结果验证了这一结论。

Abstract

An information feedback deviation-weighted method based on light intensity autocorrelation function (ACF) reconstruction is proposed to make full use of the effective particle size distribution (PSD) information in the decay section of ACF. The deviation-weighted inversion is carried out successively and the next deviation is reduced until the defined minimum information deviation is reached, that is, the distribution-reconstructed ACF obtained by inversion tends to be consistent with that obtained from the photon correlator. The inversion of the simulated data of the broad distribution and closely spaced bimodal distribution granular system at different noise levels is conducted. The results show that, compared with the routine weighting inversion methods, the proposed method can be used to obtain more accurate inversion results for the broad distribution and the closely spaced bimodal distribution and a better anti-noise performance is demonstrated, which are verified by the inversion results of the actual measurement data of standard polystyrene latex particles.

1 引言

动态光散射(DLS)技术是测量亚微米/纳米颗粒粒度及其分布的有效方法,已广泛应用于科学研究和工业生产中^[1-3],该技术通过测量随机涨落的散射光信号,得到散射光强的自相关函数(ACF),再由光强的ACF反演获得颗粒的粒度分布(PSD)。颗粒粒度反演需要求解第一类Fredholm积分方程,该方程是一个典型的病态方程。为了获得准确的PSD,多种颗粒粒度反演算法被相继提出,包括累积分析法^[4-5]、非负约束最小二乘(NNLS)法^[6-8]、CONTIN算法^[9]以及指数采样法^[10]等,上述算法各具特点,其中累积分析法仅适用于单分散及窄分布颗粒体系,不能用于宽分布和多峰分布颗粒体系的测量,CONTIN算法对双峰的辨别能力较弱^[11],指数采样法和NNLS法虽能用于双峰体系的测量,但易受噪声影响^[12]。长期以来,复杂分布颗粒体系(包括宽分布和双峰分布,特别是近双峰分布)的测量问题一直未能得到很好地解决。

2016年,张杰等^[13]提出基于全局搜索算法的图像DLS颗粒粒度反演算法,解决了局部最优和全局最优时精度不高的问题,得到峰值位置比为4.5∶1的双峰分布。同年,Zhu等^[14]将信号加权的思想引入DLS颗粒粒度反演,提出利用ACF作为权重对残差进行加权的正则化反演,有效减少了ACF中长延迟时段的噪声影响,反演出峰值比为1.7∶1的双峰PSD。2018年,徐敏等^[15-16]在分析ACF中粒度信息分布(PSID)的基础上,提出了信息加权约束正则化(IWCR)方法和信息特征加权约束正则化(CW-CR)方法,其中IWCR方法采用以测量数据为底数、PSID为指数构造的权重系数对ACF进行加权,CW-CR方法则利用PSID构建权重对ACF进行加权,这两种算法在减小长延迟时段噪声影响的同时,提高了ACF中的粒度信息利用率,与IWCR方法相比,CW-CR方法的粒度信息利用效果更好,后者在3×10^-2噪声水平下反演得到了峰值位置比为1.5∶1的双峰分布。文献[ 14]提出的加权反演主要是抑制ACF中大延迟时段的信号噪声,文献[ 15-16]则在此基础上提高了对ACF中的粒度信息利用率,由于算法本身不能在反演过程中动态检验信息利用效果,因此,不能保证反演所得PSD是充分提取了ACF数据中有效粒度信息的结果。

反演过程中,信息加权的有效性是通过ACF中粒度信息的利用效果体现的,只有当加权反演得到的PSD对应的ACF与相关器得到的ACF能够达到理想吻合时,才能认为ACF中粒度信息得到了充分的利用。基于这样的思路,本文提出用加权反演得到的PSD重构ACF,将其与实测ACF进行比较,根据比较结果判断是否需要做进一步加权反演,通过逐次重构和重新进行信息偏差加权直到获得稳定的结果。由于宽分布及近双峰分布颗粒准确反演的主要影响因素是ACF数据中粒度信息能否得到有效利用,因此,最大限度地实现ACF数据中粒度信息的利用,使得对宽分布及近双峰分布的准确测量成为可能。

2 ACF中的PSID与加权反演

在DLS技术中,光强ACF为^[17]

\begin{matrix} G (τ_{j}) = [\lim_{M \to \infty} \overset{M}{\sum_{k = 1}} i (τ_{k}) i (τ_{k + j})] / M, (1) \end{matrix}

式中i(τ_k)为τ_k时刻的散射光强信号,τ_j为延迟时间,M为总光子数,j表示光子相关器的第j通道(1≤j≤M)。电场ACF与光强ACF具有Siegert关系^[18],即

\begin{matrix} G (τ_{j}) = B (1 + β | g (τ_{j}) |^{2}), (2) \end{matrix}

式中:B为实验基线;β为空间相干因子,β≤1; g(τ_j)为归一化电场ACF。

散射角θ处的电场ACF为^[19]

\begin{matrix} g (τ_{j}) = \overset{N}{\sum_{i = 1}} \exp [- \frac{16 π k_{B} T {n^{2}}_{m} si n^{2} (θ / 2) τ_{j}}{3 η d_{i} λ_{0}^{2}}] f (d_{i}), (3) \end{matrix}

式中k_B为Boltzmann常数,T为样品溶液的绝对温度,n_m为溶液的折射率,η为溶液的粘度系数, d_i为颗粒粒度,λ₀入射光在真空中的波长,f(d_i)为离散的PSD,N为离散点个数。 (3)式可简化为

\begin{matrix} g = Af, (4) \end{matrix}

式中:g为由归一化电场ACF数据组成的向量,其元素为g(τ_j),维数为M×1;f为由离散的PSD组成的向量,其元素为f(d_i),维数为N×1;A为电场ACF数据对应的核矩阵,其维数为M×N,其元素为

\begin{matrix} A (j, i) = \exp [- \frac{16 π k_{B} T n_{m}^{2} (λ_{0}) si n^{2} (θ / 2) τ_{j}}{3 η d_{i} λ_{0}^{2}}] 。 (5) \end{matrix}

为了分析ACF中的PSID,以300 nm/500 nm混合颗粒为例计算了双峰颗粒体系的ACF[图1(a)]及其ACF中的PSID[图1(b)] ,PSID为双峰颗粒体系的ACF与由该体系平均粒度重构ACF的差值。从图1(b)可以看出,反映粒度特征的信息集中分布在Ⅱ段,数据噪声主要集中在Ⅲ段,文献[ 14]将ACF作为权重对残差进行加权,以抑制Ⅲ段的数据噪声。图1(c)表明,ACF中的近双峰分布的粒度信息明显少于远双峰,这也是导致近双峰分布反演困难的根本原因。文献[ 16]采用与图1(b)中PSID一致的权重系数,在抑制Ⅲ段数据噪声的同时,利用了Ⅱ段的粒度信息。

3 ACF重构与信息偏差加权

为评估文献[ 16]的加权效果,对300 nm/500 nm混合颗粒加权反演后的PSD进行ACF重构[图2(a)],通过与原ACF比较可以看出,两者并未实现理想吻合,即ACF中的粒度信息并未被充分利用。为进一步利用ACF中的粒度信息,以重构ACF与原ACF的差值为底数、加权调节参数为指数重新构造权重系数,修正上一次的信息权重,进行新一次的ACF加权反演。同样,为检验第二次的加权反演效果,再将重构ACF与原ACF比较,如果两个ACF仍未吻合,重复第二次的加权反演过程,直到两个ACF差值达到限定的最小值。逐次重构的ACF与原ACF差值变化如图2(b)所示,图中r1、r2、r3和rL分别表示第一次、第二次、第三次和第L次重构的ACF与原ACF的差值。可以看出,随着重构次数的增加,重构的ACF与原ACF的差值逐渐变小。

图 1. (a) 300 nm/500 nm双峰颗粒的ACF;(b) PSID;(c) 300 nm/500 nm双峰分布颗粒与300 nm/800 nm双峰分布颗粒的PSID在对应ACF中的分布

Fig. 1. (a) ACF of 300 nm/500 nm bimodal particles; (b) PSID; (c) PSID of 300 nm/500 nm and 300 nm/800 nm bimodal particles in corresponding ACF

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图 2. (a) 300 nm/500 nm双峰颗粒的真实ACF与第一次重构的ACF;(b)真实ACF与重构1次、2次、3次以及L次的ACF的差值

Fig. 2. (a) True ACF and first reconstructed ACF of 300 nm/500 nm bimodal particles; (b) difference of true ACF from reconstructed ACF for once, twice, three times and L times

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信息偏差加权可以表示为约束优化问题:

\begin{matrix} M^{α} (f) = ‖ (\overset{n}{\prod_{i = 1}} W_{i}) W_{0} (Af - g) ‖^{2} + α ‖ Lf ‖^{2} s . t . f \geq 0, (6) \end{matrix}

式中M为稳定泛函,α为正则参数,L为正则矩阵,‖·‖为欧几里得范数,‖Lf‖²为惩罚因子,W₀为未做偏差的加权矩阵,W_i为第i次所用的信息偏差加权矩阵。 (6)式的极小解即为待求PSD,其求解过程不需预先设定分布函数,属于约束条件下的正则化方法^[20], α用来控制解的准确性和稳定性,可通过L曲线准则^[21-22]确定,同时选用单位矩阵作为正则矩阵。

加权过程(图3)为:

1)采用累积量分析法^[5,23]求出平均粒径D,由平均粒径重构ACF₀。

2)构造测量数据相对应的加权矩阵W_0,_j,满足W_0,_j=diag[w_0,_j],其中w_0,_j=PSID₀(τ_j $\begin{matrix} )^{P_{r} / 2} \end{matrix}$ ,diag[·]为主对角线矩阵,P_r为加权调节参数,P_r的选取至关重要,当P_r的值过大时,虽然可以抑制Ⅲ段的噪声,但权重系数分布会偏离PSID,导致粒度信息利用率低;若P_r的值偏小,Ⅲ段的权重系数会增大,抑制噪声的能力下降,所以将ACF残差范数最小值对应的P_r值作为参数P_r的最终取值。PSID₀(τ_j)=|g_T(τ_j)-g_R0(τ_j) $\begin{matrix} |^{P_{r} / 2} \end{matrix}$ 为测量数据对应的PSID,其中g_T(τ_j)和g_R0(τ_j)分别为实测的ACF和重构的ACF₀。

3)根据步骤2)得到的W_0,_j对ACF进行加权反演得到PSD₀,求出PSD₀所对应的ACF₁。

4)判断实测ACF与重构ACF₁的差值是否小于10^-4,若符合,输出PSD;若不符合,重新构造新的信息偏差加权矩阵W_1,_j, W_1,_j=diag[w_1,_j],w_1,_j=IDA₁ $\begin{matrix} (τ_{j})^{P_{r} / 2} \end{matrix}$ ,其中IDA₁(τ_j)=|g_T(τ_j)-g_R1(τ_j)|,g_R1(τ_j)为重构的ACF₁,此时用W_1,_j修正上一次的W_0,_j,用W_1,_jW_0,_j对ACF进行加权反演得到PSD₁,求出PSD₁所对应的ACF₂。

5)重复步骤4),依次求取信息偏差加权矩阵W_2,_j、W_3,_j、…、W_i_,_j,直到两个ACF差值达到限定的最小值。

图 3. 信息偏差加权方法基本过程

Fig. 3. Basic procedure of information deviation-weighted method

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4 信息偏差加权的模拟数据反演

采用对数正态分布^[24]模拟不同模式的PSD(单峰窄/宽分布、双峰分布),并对其在不同噪声水平(3×10^-4和3×10^-3)下进行了逐次信息偏差加权反演。对数正态分布的表达式为

\begin{matrix} \begin{matrix} f (d) = & \frac{a}{d σ_{1} \sqrt[]{2 π}} \exp \{- 0.5 {[\frac{\ln (d / d_{1})}{σ_{1}}]}^{2}\} + \frac{b}{d σ_{2} \sqrt[]{2 π}} \exp \{- 0.5 {[\frac{\ln (d / d_{2})}{σ_{2}}]}^{2}\}, (7) \end{matrix} \end{matrix}

式中:a和b为颗粒PSD参数,且满足a+b=1;d和f(d)分别为颗粒粒度及其分布;d₁和d₂为颗粒的标称直径;σ₁和σ₂为相应的标准偏差。为了模拟噪声影响,通过添加高斯噪声来获得含噪ACF,其表达式为

\begin{matrix} G_{noise} (τ_{j}) = G (τ_{j}) + δn (τ_{j}), (8) \end{matrix}

式中G_noise(τ_j)为含有噪声的光强ACF,G(τ_j)为不含噪声的光强ACF,δ为噪声水平,n(τ_j)为高斯噪声。

模拟实验条件为:λ₀=632.8 nm,T=298.15 K,n_m=1.3316,k_B=1.3807×10^-23 J/K,η=0.89 MPa·s,θ=90°,B=1,β=0.7,d_min=100.01 nm,d_max=1100.01 nm,其中d_min和d_max分别为最小和最大的颗粒粒度,离散粒度共100点。

表 1. PSD的参数和属性

Table 1. Parameters and properties of PSD

Sample														R_PP	R_PH	d₁	σ₁	d₂	σ₂	a	b	δ	D
Unimodal	Narrow	375	-	-	-	-	375	0.050	-	1.00	3×10^-43×10^-3	380379
Unimodal	Broad	400	-	-	-	-	400	0.130	-	1.00	3×10^-43×10^-3												434436
Bimodal														400/800	2∶1	-	400	0.090	800	0.060	0.35	0.65	3×10^-43×10^-3	780777
														500/800	1.6∶1	-	500	0.080	800	0.050	0.40	0.60	3×10^-43×10^-3	758757
													500/750	1.5∶1	-	500	0.080	750	0.050	0.40	0.60	3×10^-43×10^-3	712711

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表1为PSD的分布参数及其属性,其中P_P为双峰位置对应的波长,R_PP为峰值位置比。为表征PSD反演的准确性,引入了三个性能指标:双峰强度比R_PH、峰值位置相对误差E_PP和分布误差V,分别可表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{PH} = H_{IP, 1} / H_{IP, 2}, (9) \\ E_{PP} = | (P_{P, true} - P_{P, meas}) / P_{P, true} |, (10) \\ V = {\{(\overset{K}{\sum_{1}} {[f_{true} (d) - f_{meas} (d)]}^{2}) / K\}}^{\frac{1}{2}}, (11) \end{matrix} \end{matrix}

式中:H_IP,1、H_IP,2为PSD的峰值,下标true和meas分别表示真实值和反演测量值。相应的模拟反演结果如图4~6所示,对应的性能指标如表2~6所示。图中 true表示真实的PSD,m0、m1、m2和mL分别表示CW-CR以及信息偏差加权1次、2次、L次的反演结果,图4(a)、5(a)表示3×10^-4噪声水平下DLS的反演结果,图4(b)、5(b)表示3×10^-3 噪声水平下的反演结果,图6(a1)~(a3)分别表示400 nm/800 nm、500 nm/800 nm和500 nm/750 nm双峰分布在3×10^-4噪声水平下的反演结果,图6(b1)~(b3)分别表示400 nm/800 nm,500 nm/800 nm和500 nm/750 nm双峰分布在3×10^-3 噪声水平下的反演结果。

图 4. 375 nm单峰窄PSD的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 4. Inversion results of 375 nm unimodal narrow PSD. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

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表 2. 375 nm单峰窄PSD反演的性能指标(L=10)

Table 2. Performance indexes for inversion of 375 nm unimodal narrow PSD (L=10)

Condition		P_P/nm	E_PP	R_PH	V
	true	375	0	-	0
	m0	361	0.037	-	0.263
δ=3×10^-4	m1	361	0.037	-	0.268
	m2	360	0.040	-	0.259
	mL	363	0.032	-	0.253
	m0	361	0.037	-	0.262
δ=3×10^-3	m1	353	0.059	-	0.269
	m2	361	0.037	-	0.258
	mL	369	0.016	-	0.246

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从图4和表2可以看出,对于375 nm单峰窄PSD,在相同噪声条件下,与CW-CR方法相比,采用信息偏差加权方法能够得到更准确的反演结果。在δ=3×10^-4时,采用信息偏差加权方法所得结果的峰值误差从未做偏差加权时的0.037降为0.032;在δ=3×10^-3时,峰值误差从0.037降为0.016。因此,在较高噪声水平下,信息偏差加权方法对反演结果的改善更为显著。

图5和表3表明,采用信息偏差加权方法对400 nm单峰宽分布反演结果的改善,与前述的对375nm单峰窄分布反演的改善具有相同的特点,但其改善程度更为显著。在δ=3×10^-4时,采用信息偏差加权方法所得结果的峰值误差从未做信息偏差加权时的0.078降为0.018;在δ=3×10^-3时,峰值误差从0.058降至0.003。

表 3. 400 nm 单峰宽PSD反演的性能指标(L=12)

Table 3. Performance indexes for inversion of 400 nm bimodal broad PSD (L=12)

Condition		P_P/nm	E_PP	R_PH	V
	true	400	0	-	0
	m0	369	0.078	-	0.059
δ=3×10^-4	m1	369	0.078	-	0.068
	m2	377	0.058	-	0.055
	mL	393	0.018	-	0.042
	m0	377	0.058	-	0.056
δ=3×10^-3	m1	361	0.098	-	0.062
	m2	385	0.038	-	0.038
	mL	401	0.003	-	0.031

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图 5. 400 nm单峰宽PSD的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 5. Inversion results of 400 nm unimodal broad PSD. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

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图 6. 3×10-4、3×10-3 噪声水平下的反演结果。(a) 400 nm/800 nm双峰PSD;(b) 500 nm/800 nm双峰PSD;(c) 500 nm/750 nm双峰PSD

Fig. 6. Inversion results under noise levels of 3×10-4 and 3×10-3. (a) 400 nm/800 nm bimodal PSD; (b) 500 nm/800 nm bimodal PSD; (c) 500 nm/750 nm bimodal PSD

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表 4. 400 nm/800 nm双峰PSD反演的性能指标(L=17)

Table 4. Performance indexes for inversion of 400 nm/800 nm bimodal PSD (L=17)

Condition		P_P/nm	E_PP	R_PH	V
	true	400/800	0/0	0.716∶1	0
	m0	390/690	0.025/0.138	0.619∶1	0.133
δ=3×10^-4	m1	440/830	0.100/0.038	0.188∶1	0.108
	m2	430/830	0.075/0.038	0.255∶1	0.100
	mL	440/800	0.100/0	0.425∶1	0.063
	m0	440/710	0.100/0.113	0.197∶1	0.148
δ=3×10^-3	m1	440/830	0.100/0.038	0.219∶1	0.104
	m2	430/830	0.075/0..038	0.258∶1	0.100
	mL	441/790	0.103 /0.013	0.513∶1	0.062

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表 5. 500 nm/800 nm双峰PSD反演的性能指标(L=16)

Table 5. Performance indexes for inversion of 500 nm/800 nm bimodal PSD (L=16)

Condition		P_P/nm	E_PP	R_PH	V
	true	500/800	0/0	0.673∶1	0
	m0	425/731	0.150/0.086	0.214∶1	0.143
δ=3×10^-4	m1	443/839	0.114/0.049	0.161∶1	0.122
	m2	425/830	0.150/0.038	0.298∶1	0.113
	mL	470/803	0.060/0.004	0.415∶1	0.068
	m0	-/740	-/0.075	-	0.146
δ=3×10^-3	m1	434/830	0. 132/0.038	0.239∶1	0.115
	m2	434/830	0.132/0.038	0.291∶1	0.112
	mL	461/803	0.078/0.004	0.407∶1	0.069

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表 6. 500 nm/750 nm 双峰PSD反演的性能指标(L=15)

Table 6. Performance indexes for inversion of 500 nm/750 nm bimodal PSD (L=15)

Condition		P_P/nm	E_PP	R_PH	V
	true	500/750	0/0	0.625∶1	0
	m0	425/713	0.150/0.049	0.232∶1	0.127
δ=3×10^-4	m1	434/830	0.132/0.107	0.235∶1	0.125
	m2	425/803	0.150/0.071	0.752∶1	0.120
	mL	443/767	0.114/0.023	0.506∶1	0.093
	m0	443/704	0.114/0.131	0.173∶1	0.127
δ=3×10^-3	m1	425/821	0.150/0.095	0.338∶1	0.118
	m2	425/794	0.150/0.059	0.710∶1	0.102
	mL	479/767	0.042/0.023	0.567∶1	0.052

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由图6和表4~6可以看出,对于400 nm/800 nm、500 nm/800 nm和500 nm/750 nm双峰分布,采用未进行信息偏差加权正则化方法得到的分布严重偏离真实分布,信息偏差加权后即可获得双峰分布,但重构次数少时,反演得到的峰值位置和分布误差偏大,信息偏差加权到最后一次后,可得到更加准确的峰值位置、双峰强度比和更小的分布误差。

5 实验验证

实验所用数据来自由波长632.8 nm的垂直偏振氦氖激光器、步进电机控制的测角仪和64通道光子相关器组成的测量装置,θ=90°。被测样品为由标准聚苯乙烯乳胶颗粒配制的双峰体系(300±3) nm/(502±4) nm,双峰强度比为5∶1,经去离子蒸馏水稀释后放置在直径为25 mm的石英样品池中,测量保持恒温298.15 K,使用单模光纤探针接收散射光。反演结果如图5所示,对应的性能指标如表7所示。

图 7. 300 nm/502 nm标准聚苯乙烯乳胶颗粒的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 7. Inversion results of 300 nm/502 nm standard polystyrene latex particles. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

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表 7. 300 nm/502 nm 标准聚苯乙烯乳胶颗粒的粒度反演性能指标

Table 7. Performance indexes for inversion of 300 nm/502 nm standard polystyrene latex particles

Condition		P_P/nm	E_PP	R_PH
	true	300/502	0/0	5∶1
	m0	350/-	0.167/-	-
δ=3×1 $\begin{matrix} {0^{-}}^{4} \end{matrix}$	m1	310/520	0.033/0.036	2.271∶1
	m2	360/650	0.200/0.295	4.938∶1
	mL	300/520	0.000/0.036	4.048∶1
	m0	380/-	0.267/-	-
δ=3×10^-3	m1	310/520	0.033/0.036	2.271∶1
	m2	359/650	0.197/0.295	4.360∶1
	mL	300/521	0.000 /0.038	4.107∶1

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可以看出,在相同噪声水平下,对于峰值位置比为1.67∶1的300 nm/502 nm双峰分布颗粒体系,采用未进行信息偏差加权正则化方法得到的分布偏离真实值,进行信息偏差加权后,反演结果随着迭代次数的增加向实际值趋近,重构次数达到最后一次时,可得到与实际双峰接近的峰值位置,在3×10^-4噪声水平下,双峰位置相对误差降至0/0.036,双峰强度比达4.048∶1;在3×10^-3噪声水平下,双峰位置相对误差降至0/0.038,双峰强度比达4.107∶1,接近实际值5∶1。

6 结论

提出基于ACF重构的DLS偏差加权正则化反演方法,通过对加权反演所得分布对应的ACF与实测ACF进行比较,逐次更新权重,直到反演所得PSD对应的相关函数与相关器得到的相关函数实现理想匹配,从而实现相关函数中粒度信息最大程度的利用。采用宽分布和近双峰分布颗粒体系模拟数据在不同噪声水平下的反演,结果表明:与常规加权反演方法相比,信息偏差加权方法可以明显改善宽分布和近双峰分布的反演结果,这种改善程度随着重构次数的增加逐渐提高,并且在较高噪声水平下更为显著。对峰值位置比为1.67∶1的300 nm/502 nm双峰分布颗粒体系的实测数据进行反演,得到了双峰位置相对误差低至0/0.036的理想测量结果。

参考文献

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1 引言

2 ACF中的PSID与加权反演

3 ACF重构与信息偏差加权

图 1. (a) 300 nm/500 nm双峰颗粒的ACF;(b) PSID;(c) 300 nm/500 nm双峰分布颗粒与300 nm/800 nm双峰分布颗粒的PSID在对应ACF中的分布

Fig. 1. (a) ACF of 300 nm/500 nm bimodal particles; (b) PSID; (c) PSID of 300 nm/500 nm and 300 nm/800 nm bimodal particles in corresponding ACF

图 2. (a) 300 nm/500 nm双峰颗粒的真实ACF与第一次重构的ACF;(b)真实ACF与重构1次、2次、3次以及L次的ACF的差值

Fig. 2. (a) True ACF and first reconstructed ACF of 300 nm/500 nm bimodal particles; (b) difference of true ACF from reconstructed ACF for once, twice, three times and L times

图 3. 信息偏差加权方法基本过程

Fig. 3. Basic procedure of information deviation-weighted method

4 信息偏差加权的模拟数据反演

表 1. PSD的参数和属性

Table 1. Parameters and properties of PSD

图 4. 375 nm单峰窄PSD的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 4. Inversion results of 375 nm unimodal narrow PSD. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

表 2. 375 nm单峰窄PSD反演的性能指标(L=10)

Table 2. Performance indexes for inversion of 375 nm unimodal narrow PSD (L=10)

表 3. 400 nm 单峰宽PSD反演的性能指标(L=12)

Table 3. Performance indexes for inversion of 400 nm bimodal broad PSD (L=12)

图 5. 400 nm单峰宽PSD的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 5. Inversion results of 400 nm unimodal broad PSD. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

图 6. 3×10-4、3×10-3 噪声水平下的反演结果。(a) 400 nm/800 nm双峰PSD;(b) 500 nm/800 nm双峰PSD;(c) 500 nm/750 nm双峰PSD

Fig. 6. Inversion results under noise levels of 3×10-4 and 3×10-3. (a) 400 nm/800 nm bimodal PSD; (b) 500 nm/800 nm bimodal PSD; (c) 500 nm/750 nm bimodal PSD

表 4. 400 nm/800 nm双峰PSD反演的性能指标(L=17)

Table 4. Performance indexes for inversion of 400 nm/800 nm bimodal PSD (L=17)

表 5. 500 nm/800 nm双峰PSD反演的性能指标(L=16)

Table 5. Performance indexes for inversion of 500 nm/800 nm bimodal PSD (L=16)

表 6. 500 nm/750 nm 双峰PSD反演的性能指标(L=15)

Table 6. Performance indexes for inversion of 500 nm/750 nm bimodal PSD (L=15)

5 实验验证

图 7. 300 nm/502 nm标准聚苯乙烯乳胶颗粒的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 7. Inversion results of 300 nm/502 nm standard polystyrene latex particles. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

表 7. 300 nm/502 nm 标准聚苯乙烯乳胶颗粒的粒度反演性能指标

Table 7. Performance indexes for inversion of 300 nm/502 nm standard polystyrene latex particles

6 结论

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1 引言

2 ACF中的PSID与加权反演

3 ACF重构与信息偏差加权

图 1. (a) 300 nm/500 nm双峰颗粒的ACF;(b) PSID;(c) 300 nm/500 nm双峰分布颗粒与300 nm/800 nm双峰分布颗粒的PSID在对应ACF中的分布

Fig. 1. (a) ACF of 300 nm/500 nm bimodal particles; (b) PSID; (c) PSID of 300 nm/500 nm and 300 nm/800 nm bimodal particles in corresponding ACF

图 2. (a) 300 nm/500 nm双峰颗粒的真实ACF与第一次重构的ACF;(b)真实ACF与重构1次、2次、3次以及L次的ACF的差值

Fig. 2. (a) True ACF and first reconstructed ACF of 300 nm/500 nm bimodal particles; (b) difference of true ACF from reconstructed ACF for once, twice, three times and L times

图 3. 信息偏差加权方法基本过程

Fig. 3. Basic procedure of information deviation-weighted method

4 信息偏差加权的模拟数据反演

表 1. PSD的参数和属性

Table 1. Parameters and properties of PSD

图 4. 375 nm单峰窄PSD的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 4. Inversion results of 375 nm unimodal narrow PSD. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

表 2. 375 nm单峰窄PSD反演的性能指标(L=10)

Table 2. Performance indexes for inversion of 375 nm unimodal narrow PSD (L=10)

表 3. 400 nm 单峰宽PSD反演的性能指标(L=12)

Table 3. Performance indexes for inversion of 400 nm bimodal broad PSD (L=12)

图 5. 400 nm单峰宽PSD的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 5. Inversion results of 400 nm unimodal broad PSD. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

图 6. 3×10-4、3×10-3 噪声水平下的反演结果。(a) 400 nm/800 nm双峰PSD;(b) 500 nm/800 nm双峰PSD;(c) 500 nm/750 nm双峰PSD

Fig. 6. Inversion results under noise levels of 3×10-4 and 3×10-3. (a) 400 nm/800 nm bimodal PSD; (b) 500 nm/800 nm bimodal PSD; (c) 500 nm/750 nm bimodal PSD

表 4. 400 nm/800 nm双峰PSD反演的性能指标(L=17)

Table 4. Performance indexes for inversion of 400 nm/800 nm bimodal PSD (L=17)

表 5. 500 nm/800 nm双峰PSD反演的性能指标(L=16)

Table 5. Performance indexes for inversion of 500 nm/800 nm bimodal PSD (L=16)

表 6. 500 nm/750 nm 双峰PSD反演的性能指标(L=15)

Table 6. Performance indexes for inversion of 500 nm/750 nm bimodal PSD (L=15)

5 实验验证

图 7. 300 nm/502 nm标准聚苯乙烯乳胶颗粒的反演结果。(a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

Fig. 7. Inversion results of 300 nm/502 nm standard polystyrene latex particles. (a) δ=3×10-4; (b) δ=3×10-3

表 7. 300 nm/502 nm 标准聚苯乙烯乳胶颗粒的粒度反演性能指标

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