干涉偏差对四束圆偏振光干涉的影响

吴晓

doi:doi:10.3788/LOP55.061405

激光与光电子学进展, 2018, 55 (6): 061405, 网络出版: 2018-09-11

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Influence of Interference Deviation on Four-Beam Interference with Circular Polarization

论文大纲

吴晓 ^*

作者单位

浙江外国语学院科学技术学院, 浙江杭州 310021

激光光学干涉干涉偏差斜率强度调制 laser optics interference interference deviation slope intensity modulation

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摘要

通过理论计算和MATLAB模拟讨论四束右旋圆偏振干涉光干涉后的光强度分布。当四束干涉光对称分布时,可得均匀的二维周期性强度分布。理论研究发现,干涉强度的最大值出现在3条直线斜率分别为S₁=+1,S₂=￥,S₃=-1的交点处,且在x和y方向存在一定的周期d_x=d_y=λ/sin θ。入射角的不同只改变周期的大小,不改变干涉强度分布的图样。研究发现,当其中一束干涉光发生偏差(θ₁,α₁)时,决定干涉强度的其中2条直线的斜率S_l(l=1,2)以及x和y方向的周期d_xl,d_yl(l=1,2,3)均受影响。

Abstract

The interference intensity distribution of four-beam interference with right-hand circular polarization is theoretically studied and simulated with MATLAB. The impact of incident angle on the intensity distribution of interference is studied. The results show that there is a uniform two-dimensional periodic intensity distribution when four beams show symmetrical distribution. The peak intensity appears at the intersection of three lines with the slopes of S1=+1, S2=￥, S3=-1, respectively. And there are certain periods dx=dy=λ/sin θ in the x and y directions. When incidence angle θ changes, the period of the pattern changes accordingly but not the symmetricity of pattern. However, when the incident angle or azimuthal angle (θ1,α1) changes, both the slopes Sl(l=1,2) and periods dxl,dyl(l=1,2,3) change.

1 引言

激光干涉技术由于其制造过程用时短且能实现大面积均匀分布的周期性结构而被广泛地应用于制造光子晶体、光波导、滤光片等电子器件^[1-15]。通过设置发生干涉光束的数目和曝光次数,可以得到多维的任意周期性结构。其中,四光束干涉技术仅利用单次曝光就能得到二维周期性结构,并已逐渐用于制造微纳米级的多维周期性结构^[16-19]。近年来,文献[ 20-24]已研究干涉强度分布对入射光束偏振态的依赖性,发现了干涉光束的入射角和光强的偏差会影响干涉图形。为了可以更好地用四光束干涉技术实现微纳周期结构,有必要通过理论研究来认识四光束干涉原理,进一步分析干涉偏差对四光束干涉的影响。

本文对四束均为右旋圆偏振(RC)的干涉光的干涉现象进行理论计算和MATLAB模拟研究,并从入射角和方位角设置方面,详细讨论了当干涉光束对称分布和当其中一束干涉光存在偏差时对干涉强度分布产生的影响。

2 四束右旋圆偏振光干涉理论

图1(a)为干涉光束在直角坐标系中的位置表示,图1(b)为四束右旋圆偏振光干涉示意图,四束干涉光(B1,B2,B3,B4)的入射角θ(与z轴夹角)和方位角α(入射光在xy平面投影与x轴正方向的夹角)分别表示为θ₁,θ₂,θ₃,θ₄与α₁,α₂,α₃,α₄。假设四束干涉光均为平面波,初始相位为0且电场幅度均为A,则它们的电场E₁(r,t),E₂(r,t),E₃(r,t),E₄(r,t)可分别表示为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{1} (r, t) = Re {Aexp [i (k_{1} \cdot r - ωt)] e_{1}} \\ E_{2} (r, t) = Re {Aexp [i (k_{2} \cdot r - ωt)] e_{2}} \\ E_{3} (r, t) = Re {Aexp [i (k_{3} \cdot r - ωt)] e_{3}} \\ E_{4} (r, t) = Re {Aexp [i (k_{4} \cdot r - ωt)] e_{4}} \end{matrix}, (1) \end{matrix}

式中:k_n(n=1,2,3,4)和e_n(n=1,2,3,4)分别为对应光束n的波矢和偏振态的单位矢量;ω为干涉光束的频率;r为干涉区域的位置矢量。根据场强叠加原理,干涉后总电场表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{T} (r, t) = Re {[E_{1} \exp (i k_{1} \cdot r) e_{1} + E_{2} \exp (i k_{2} \cdot r) e_{2} + E_{3} \exp (i k_{3} \cdot r) e_{3} + \\ E_{4} \exp (i k_{4} \cdot r) e_{4}] \exp (- iωt)} 。 (2) \end{matrix} \end{matrix}

干涉后强度分布为

\begin{matrix} \begin{matrix} I_{T} = < E_{T}^{*} \cdot E_{T} >_{t} \propto 4 A^{2} + \frac{A^{2}}{2} \overset{4}{\sum_{n, m = 1 (n > m)}} Re {\exp [i (k_{n} - k_{m}) \cdot r] e_{m}^{*} \cdot e_{n} + \\ \exp [i (k_{n} - k_{m}) \cdot r] e_{n}^{*} \cdot e_{m}} 。 (3) \end{matrix} \end{matrix}

图 1. (a)干涉光束在直角坐标系中的位置表示;(b)四束光(B1,B2,B3,B4)干涉的示意图

Fig. 1. (a) Interference beam in rectangular coordinate system; (b) diagram of four beams (B1, B2, B3, B4) interference

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沿z轴传播的右旋圆偏振光的Jones矩阵和波矢可表示为J=1/ $\begin{matrix} \sqrt[]{2} \end{matrix} \begin{matrix} {(\begin{matrix} 1 & - i & 0 \end{matrix})}^{T} \end{matrix}$ 和k₀= $\begin{matrix} {(\begin{matrix} 0 & 0 & k_{0} \end{matrix})}^{T}^{[18]} \end{matrix}$ 。根据旋转矩阵

\begin{matrix} R_{n} (θ_{n}, α_{n}) = (\begin{matrix} \cos α_{n} \cos θ_{n} & - \sin α_{n} & \cos α_{n} \sin θ_{n} \\ \sin α_{n} c os θ_{n} & \cos α_{n} & \sin α_{n} \sin θ_{n} \\ - \sin θ_{n} & 0 & \cos θ_{n} \end{matrix}), (4) \end{matrix}

可得:干涉时,四束光的波矢和偏振态的单位矢量分别为

\begin{matrix} \begin{matrix} k_{n} = R_{n} k_{0} = (\begin{matrix} \cos α_{n} \sin θ_{n} \\ \sin α_{n} \sin θ_{n} \\ \cos θ_{n} \end{matrix}) k_{0}, \\ e_{n} = R_{n} J = \frac{1}{\sqrt[]{2}} (\begin{matrix} \cos α_{n} \cos θ_{n} + isin α_{n} \\ \sin α_{n} \cos θ_{n} - icos α_{n} \\ - \sin θ_{n} \end{matrix}) 。 (5) \end{matrix} \end{matrix}

当四束干涉光对称分布于z轴周围时,即θ₁=θ₂=θ₃=θ₄=θ,α₁=0°,α₂=90°,α₃=180°,α₄=270°,将(4)式和(5)式代入表示干涉强度的(3)式,可得

\begin{matrix} \begin{matrix} I_{T} \propto 4 A^{2} + \frac{A^{2}}{2} {2 \cos [k_{0} (x - y) sinθ] si n^{2} θ + 4 \sin [k_{0} (x - y) sinθ] cosθ - 2 \cos (2 k_{0} xsinθ) co s^{2} θ + \\ 2 \cos [k_{0} (x + y) sinθ] si n^{2} θ + 4 \sin [k_{0} (x + y) sinθ] cosθ + 2} 。 (6) \end{matrix} \end{matrix}

从(6)式可得,四束对称分布的干涉光干涉后其强度分布与z轴无关,且在xy平面内出现二维周期性结构分布,如图2(a)所示。同时,可得干涉强度的最大值出现在直线斜率为S₁=+1,S₂=¥,S₃=-1的交点处(S₂=¥即平行于y轴的直线),且沿x轴和y轴方向存在一定的周期:d_x₁=λ/sinθ,d_x₂=λ/(2sinθ),d_y=λ/sinθ。当同时改变四束干涉光的入射角时,干涉图像的二维周期性分布不会发生变化,只是沿着x轴和y轴方向的周期发生了变化,如图2(b)和(c)所示。

3 干涉偏差分析

当入射光束中的一束干涉光发生偏差,即入射角和方位角分别为:θ₁≠θ, θ₂=θ₃=θ₄=θ; α₁≠0°,α₂=90°, α₃=180°, α₄=270°。当θ₁=θ,α₁=0°时,即四束圆偏振干涉光对称分布时,干涉强度满足(6)式,且沿z轴方向不出现强度调制现象,如图3(a1)~(a2) 所示。将以上参数代入(4)式和(5)式,干涉后(3)式变为

图 2. 利用MATLAB模拟得到四束对称分布的右旋圆偏振干涉光束干涉强度分布。(a)干涉强度分布的三维视图;(b)入射角为θ=10°时干涉强度在xy平面内的分布;(c)入射角为θ=15°时干涉强度在xy平面内的分布

Fig. 2. Interference intensity distributions of four symmetrical RC interference beams using MATLAB simulation. (a) 3-dimensional view of intensity distribution; (b) intensity distribution in xy-plane with the incidence angle θ=10° ; (c) intensity distribution in xy-plane with the incidence angle θ=15°

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\begin{matrix} \begin{matrix} I_{T} \propto 4 A^{2} + \frac{A^{2}}{2} {2 \cos {k_{0} [xsin θ_{1} \cos α_{1} + y (\sin θ_{1} \sin α_{1} - sinθ) + z (\cos θ_{1} - cosθ)]} (\sin α_{1} + \\ \sin θ_{1} sinθ + \sin α_{1} cosθcos θ_{1}) + 2 \sin {k_{0} [xsin θ_{1} \cos α_{1} + y (\sin θ_{1} \sin α_{1} - sinθ) + \\ z (\cos θ_{1} - cosθ)]} (\cos α_{1} \cos θ_{1} + \cos α_{1} cosθ) + \cos {k_{0} [x (\sin θ_{1} \cos α_{1} + sinθ) + ysin θ_{1} \sin α_{1} + \\ z (\cos θ_{1} - cosθ)]} (- \cos α_{1} + \sin θ_{1} sinθ - \cos α_{1} cosθcos θ_{1}) + \sin {k_{0} [x (\sin θ_{1} \cos α_{1} + sinθ) + \\ ysin θ_{1} \sin α_{1} + z (\cos θ_{1} - cosθ)]} (\sin α_{1} cosθ + \sin α_{1} \cos θ_{1}) + \\ 2 \cos [k_{0} (x + y) sinθ] si n^{2} θ + 4 \sin [k_{0} (x + y) sinθ] cosθ + 2} 。 (7) \end{matrix} \end{matrix}

由(7)式可知,入射角θ₁的偏差使干涉后强度在z轴方向出现调制现象,如图3(b1)~(b2)所示,z轴方向的周期d_z=λ/ $\begin{matrix} |\cos θ_{1} - cosθ| \end{matrix}$ ,θ₁与θ相差越大,调制现象会越明显。而方位角的偏差未使干涉后强度在z轴方向出现调制现象,如图3(c1)~(c2)所示。对于垂直于z轴的某一个xy平面,强度图样同时受入射角和方位角的影响。出现强度最大值的3条直线(l代表直线数)中有2条直线的斜率会随着入射角θ₁的偏差发生变化,同时,沿着x轴和y轴方向的周期也发生变化,如表1所示,表中S_l(l=1,2,3)表示干涉强度分布出现最大时的直线所对应的斜率;d_xl,d_yl(l=1,2,3)分别表示对应沿着x轴和y轴方向存在的周期。

图 3. 四束干涉光沿xz轴和yz轴方向的干涉强度分布。(a1)、(a2)对称分布;(b1)、(b2)入射角发生偏差时; (c1)、(c2)方位角发生偏差时

Fig. 3. Interference intensity distributions along the xz-axis and yz-axis. (a1)(a2) Symmetrical distribution; (b1)(b2) under incidence deviation; (c1)(c2) under azimuth deviation

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表 1. 干涉强度分布出现最大值的直线所对应的斜率和干涉周期

Table 1. Slope of lines and interference periods where the maximum interference intensity appears

Parameter	l=1	l=2	l=3
S_l	S₁=- $\begin{matrix} \frac{\sin θ_{1} \cos α_{1}}{\sin θ_{1} \sin α_{1} - sinθ} \end{matrix}$	S₂=- $\begin{matrix} \frac{\sin θ_{1} \cos α_{1} + sinθ}{\sin θ_{1} \sin α_{1}} \end{matrix}$	S₃=-1
d_xl	d_x₁= $\begin{matrix} \frac{λ}{\sin θ_{1} \cos α_{1}} \end{matrix}$	d_x₂= $\begin{matrix} \frac{λ}{\sin θ_{1} \cos α_{1} + sinθ} \end{matrix}$	d_x₃= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$
d_yl	d_y₁= $\begin{matrix} \frac{λ}{\|\sin θ_{1} \sin α_{1} - sinθ\|} \end{matrix}$	d_y₂= $\begin{matrix} \frac{λ}{\sin θ_{1} \sin α_{1}} \end{matrix}$	d_y₃= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$
d_z	d_z= $\begin{matrix} \frac{λ}{\|\cos θ_{1} - cosθ\|} \end{matrix}$

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如表2所示,把造成偏差的原因分为:入射角θ₁偏差和方位角α₁偏差。可以得到:当入射角发生偏差时,其中一个斜率受到θ₁的影响(S₁=sinθ₁/sinθ),所以当入射角偏差越大(θ₁与θ相差越大)时,干涉强度调制现象越明显。方位角α₁的偏差不仅会影响斜率,而且也影响在xy平面内干涉强度分布的周期,这使得干涉强度分布图出现明显的强度调制。

表 2. 当入射角或方位角发生偏差时,所对应的斜率和干涉周期

Table 2. Slope of lines and interference periods when there is a deviation in the incident angle or azimuth angle

Parameter	Deviation of incident angle	Deviation of azimuth angle
S_l	S₁= $\begin{matrix} \frac{\sin θ_{1}}{sinθ} \end{matrix}$ ,S₂=¥,S₃=-1	S₁=- $\begin{matrix} \frac{\cos α_{1}}{\sin α_{1} - 1} \end{matrix}$ ,S₂=- $\begin{matrix} \frac{\cos α_{1} + 1}{\sin α_{1}} \end{matrix}$ ,S₃=-1
d_xl	d_x₁= $\begin{matrix} \frac{λ}{\sin θ_{1}} \end{matrix}$ ,d_x₂= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ + \sin θ_{1}} \end{matrix}$ ,d_x₃= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$	d_x₁= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθcos α_{1}} \end{matrix}$ ,d_x₂= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ (\cos α_{1} + 1)} \end{matrix}$ ,d_x₃= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$
d_yl	d_y₁= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$ ,d_y₂=¥,d_y₃= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$	d_y₁= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ (1 - \sin α_{1})} \end{matrix}$ ,d_y₂= $\begin{matrix} \frac{λ}{\sin α_{1} sinθ} \end{matrix}$ ,d_y₃= $\begin{matrix} \frac{λ}{sinθ} \end{matrix}$
d_z	d_z= $\begin{matrix} \frac{λ}{\|\cos θ_{1} - cosθ\|} \end{matrix}$	d_z=¥

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应用MATLAB程序,得到一束干涉光出现偏差(θ₁,α₁)时,在xy平面内的四光束干涉强度分布,如图4所示。与四束对称分布的圆偏振干涉光束干涉强度分布相比,只要四束干涉光中任意一束光的入射角或者方位角发生偏差,干涉图像就会出现调制。当入射角发生偏差时,如图4(a)所示,沿x 轴方向出现多个周期,但是在y轴方向,其周期性仍然是 d_y₁=λ/sinθ。因此,整个调制主要发生在水平方向上,干涉图像出现准周期性分布。若方位角发生偏差,在x轴和y轴方向上均出现多个周期性,这使得干涉后出现明显的强度调制现象,如图4(b)所示。

图 4. 干涉强度分布图。(a)入射角发生偏差时;(b)方位角发生偏差时;(c)入射角和方位角都发生偏差时

Fig. 4. Interference intensity distributions. (a) Under azimuth deviation; (b) under azimuth deviation; (c) under both incidence and azimuth deviations

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4 结论

综上所述,研究了四束右旋圆偏振光的干涉过程,分析其中一束光的入射角和方位角发生偏差对干涉强度分布的影响。通过理论推导,得出对于四束对称分布的干涉光,干涉后得到均匀的二维周期性强度分布,且沿着x轴和y轴方向的周期相同,均为λ/sinθ。鉴于该特点,四光束干涉技术有时可以取代双光束两次干涉,用于制作二维周期性结构^[10]。通过理论计算发现,四光束干涉过程中,干涉依赖入射角和方位角。入射角或方位角偏差会影响斜率S_l以及沿x,y,z轴的周期,从而使得干涉后的强度分布出现调制现象,且出现的分布图为准周期性结构。同时,从干涉理论出发,发现当入射角发生偏差时,在z轴方向上出现强度调制,即d_z=λ/ $\begin{matrix} |\cos θ_{1} - cosθ| \end{matrix}$ ;而方位角的偏差并未影响z轴方向强度分布。通过对四光束干涉的理论推导计算以及仿真模拟得出,在实现均匀二维周期性结构的过程中,该技术对于实验仪器设备的精密度要求较高,入射角或者方位角的偏差都会使干涉图像出现调制现象。在应用四光束干涉时,根据强度调制空间分布需求,合理设置干涉光束的入射角和方位角,为实验制备中干涉参量的优化提供指导。

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1 引言

2 四束右旋圆偏振光干涉理论

图 1. (a)干涉光束在直角坐标系中的位置表示;(b)四束光(B1,B2,B3,B4)干涉的示意图

Fig. 1. (a) Interference beam in rectangular coordinate system; (b) diagram of four beams (B1, B2, B3, B4) interference

3 干涉偏差分析

图 2. 利用MATLAB模拟得到四束对称分布的右旋圆偏振干涉光束干涉强度分布。(a)干涉强度分布的三维视图;(b)入射角为θ=10°时干涉强度在xy平面内的分布;(c)入射角为θ=15°时干涉强度在xy平面内的分布

图 3. 四束干涉光沿xz轴和yz轴方向的干涉强度分布。(a1)、(a2)对称分布;(b1)、(b2)入射角发生偏差时; (c1)、(c2)方位角发生偏差时

Fig. 3. Interference intensity distributions along the xz-axis and yz-axis. (a1)(a2) Symmetrical distribution; (b1)(b2) under incidence deviation; (c1)(c2) under azimuth deviation

表 1. 干涉强度分布出现最大值的直线所对应的斜率和干涉周期

Table 1. Slope of lines and interference periods where the maximum interference intensity appears

表 2. 当入射角或方位角发生偏差时,所对应的斜率和干涉周期

Table 2. Slope of lines and interference periods when there is a deviation in the incident angle or azimuth angle

图 4. 干涉强度分布图。(a)入射角发生偏差时;(b)方位角发生偏差时;(c)入射角和方位角都发生偏差时

Fig. 4. Interference intensity distributions. (a) Under azimuth deviation; (b) under azimuth deviation; (c) under both incidence and azimuth deviations

4 结论

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干涉偏差对四束圆偏振光干涉的影响 下载： 813次

1 引言

2 四束右旋圆偏振光干涉理论

图 1. (a)干涉光束在直角坐标系中的位置表示;(b)四束光(B1,B2,B3,B4)干涉的示意图

Fig. 1. (a) Interference beam in rectangular coordinate system; (b) diagram of four beams (B1, B2, B3, B4) interference

3 干涉偏差分析

图 2. 利用MATLAB模拟得到四束对称分布的右旋圆偏振干涉光束干涉强度分布。(a)干涉强度分布的三维视图;(b)入射角为θ=10°时干涉强度在xy平面内的分布;(c)入射角为θ=15°时干涉强度在xy平面内的分布

图 3. 四束干涉光沿xz轴和yz轴方向的干涉强度分布。(a1)、(a2)对称分布;(b1)、(b2)入射角发生偏差时; (c1)、(c2)方位角发生偏差时

Fig. 3. Interference intensity distributions along the xz-axis and yz-axis. (a1)(a2) Symmetrical distribution; (b1)(b2) under incidence deviation; (c1)(c2) under azimuth deviation

表 1. 干涉强度分布出现最大值的直线所对应的斜率和干涉周期

Table 1. Slope of lines and interference periods where the maximum interference intensity appears

表 2. 当入射角或方位角发生偏差时,所对应的斜率和干涉周期

Table 2. Slope of lines and interference periods when there is a deviation in the incident angle or azimuth angle

图 4. 干涉强度分布图。(a)入射角发生偏差时;(b)方位角发生偏差时;(c)入射角和方位角都发生偏差时

Fig. 4. Interference intensity distributions. (a) Under azimuth deviation; (b) under azimuth deviation; (c) under both incidence and azimuth deviations

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