1 引言

自适应光学系统通常由三部分组成,即波前传感器、计算控制处理器和波前校正器,变形镜(DM)作为最常用的波前校正器,通过改变反射镜面的形貌来补偿波前相位畸变^[1],是自适应光学系统中的关键器件,其性能直接影响整个系统的波前校正能力。变形镜在使用过程中的性能退化受到人们的广泛关注。已有研究结果表明,变形镜在波前校正的过程中,驱动器会对镜面产生非均匀的机械驱动作用,导致镜面产生非均匀的应力分布^[2]。在驱动器的循环驱动作用下,变形镜镜面内部原子的平衡会被逐渐打破^[3],从而产生一定的缺陷,导致变形镜材料性能退化,最终出现疲劳损伤。在随机畸变波前的校正过程中,变形镜受变幅应力循环作用后会产生疲劳损伤,根据疲劳累积损伤理论,可对元件在变幅应力循环作用下的疲劳寿命进行有效预测。目前,工程上广泛采用Miner理论来计算元件的疲劳寿命,该理论计算模型不仅简单实用,而且精度较高。由Miner理论可知,当元件发生疲劳损伤时,荷载循环的次数近似等于元件的疲劳寿命^[4-5]。

除了通光孔径和表面面形精度外,变形镜的面形影响函数与交连值也是表征其性能的重要指标。随着变形镜结构参数的变化,面形影响函数与交连值会发生相应变化,不仅影响变形镜的校正能力^[6],还会影响其疲劳寿命。19世纪初,人们逐渐开始对材料的疲劳特性展开研究,迄今为止,已在机械工程和航空等领域开展了大量的研究^[7-8]。在光学领域内,于善猛等^[9]对空间光学系统中光学元件的疲劳寿命进行了研究,陈丽霞等^[2]利用有限元分析方法研究了变形镜的疲劳损伤特性以及影响变形镜疲劳寿命的主要因素。然而,目前鲜有关于变形镜结构参数对其疲劳寿命影响的报道。本文利用有限元分析软件ANSYS,建立了变形镜在校正畸变波前过程中的应力分析模型,根据Miner疲劳累积损伤理论,对变形镜的疲劳寿命进行仿真计算,并通过改变变形镜的结构参数,重点分析变形镜的结构参数与交连值的关系,以及变形镜的结构参数对疲劳寿命的影响。

2 理论模型

2.1 变形镜的影响函数模型

在自适应光学系统中,变形镜作为一种典型的波前校正器件,是自适应光学系统的重要组成部分,其校正性能主要由面形影响函数决定。影响函数表示仅由单一驱动器驱动时镜面所产生的形状^[10],可由高斯函数近似表示为^[11]

Ii(x,y)=explnb·(x-xi)2+(y-yi)2d2,i=1,2,…,n,(1)

式中(x_i,y_i)为第i个驱动器的位置坐标;d为驱动器的间距;b为交连值,表示相邻驱动器中心的影响函数值,与变形镜镜面、驱动器的刚度和配置形状有关^[12]。单个驱动器产生的形变量很小且相互独立,因此,整个变形镜的镜面面形可视为每个驱动器作用产生的镜面面形的线性叠加^[13],而权值即为各个驱动器的等效控制电压,由此得到的变形镜面形W(x,y)为

W(x,y)=∑i=1nVi·Ii(x,y),(2)

式中V_i为第i个驱动器的等效控制电压。

假设待校正波前为ϕ(x,y)时,变形镜对ϕ(x,y)进行校正的目标驱动电压控制方程为

ϕ(x,y)=∑i=1nVi·Ii(x,y)。(3)

在对波前进行拟合的过程中,难以对(3)式中的控制电压V_i进行解析求解,通常是在误差允许范围内寻求最优解,从而使变形镜构造波前W(x,y)最大程度地接近待校正波前ϕ(x,y)。于是,经变形镜校正后的残余波前可以表示为

R(x,y)=ϕ(x,y)-∑i=1nVi·Ii(x,y)。(4)

采用最小二乘法对畸变波前进行拟合^[14],以残余波前R(x,y)作为目标函数,使其方差取极小值,即可得到变形镜各驱动器的控制电压矩阵。

2.2 疲劳模型

材料在应力或应变的反复作用下所发生的性能退化称为疲劳,通常特指会导致材料开裂或者破坏的性能退化。疲劳寿命是指材料结构在机械驱动作用下由完好直至破坏所需循环荷载的次数或者时间。变形镜在实际工作中主要受到变幅应力循环作用,因而可以根据Miner疲劳累积损伤理论对变形镜的疲劳寿命进行估算。

在机械驱动作用下,一个循环荷载作用对元件造成的损伤可表示为

D=1N,(5)

式中N为对应于当前荷载水平S的疲劳寿命。

在等幅荷载下,n个循环造成的损伤为

D=nN。(6)

当D=1时,元件将发生疲劳破坏,此时,元件的平均疲劳寿命等于荷载的循环次数。

在变幅荷载下,假设元件受到m个不同的应力水平作用,在应力水平S_i下达到破坏的循环次数为N_i,设D为元件最终破坏时累积损伤的临界值,则应力S_i每对元件作用一次的损伤为D/N_i,经过n_i次循环后,对材料造成的总损伤为n_iD/N_i。当各级应力对材料的总损伤综合到达临界值D时,元件即发生破坏,因此有

∑i=1mniNi=1。(7)

在疲劳寿命的计算中,通常采用雨流计数法^[15]来计算应力循环次数。常思伟等^[16]根据Miner疲劳累积损伤理论和雨流计数法对齿根进行弯曲疲劳寿命仿真分析。利用上述疲劳模型对文献[ 16]中的齿根进行疲劳寿命复算,得到的疲劳寿命结果与文献一致,证实了该方法的正确性和有效性。

2.3 变形镜模型

变形镜通常由镜面、极头、驱动器和基座4部分组成,其基本结构如图1所示。极头为变形镜镜面与驱动器之间的连接单元,极头的材料与镜面相同;驱动器的材料通常为压电陶瓷;基底材料为Si,其基本物理特性参数为:材料密度为2329 kg·m^-3,比热容为733 J·kg·K^-1,导热系数为173.6 W·m^-1·K^-1,热膨胀系数为4.15×10^-6 K^-1,杨氏模量为130.91 GPa,泊松比为0.266。以61单元变形镜模型为例进行仿真计算,变形镜尺寸为Φ220 mm×2.5 mm,极头尺寸为Φ8 mm×10 mm,间距为25 mm。

图 1. 变形镜的基本结构

Fig. 1. Fundamental structure of DM

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3 变形镜疲劳寿命分析

以随机相位屏构建的相位分布为待校正波前,根据变形镜的影响函数模型,利用最小二乘法对畸变波前进行拟合,求得变形镜各驱动器的控制电压。利用有限元方法对机械驱动作用下变形镜的应力分布进行仿真,得到机械应力荷载谱后,利用疲劳分析软件并结合材料的疲劳参数计算变形镜的疲劳寿命。具体仿真流程如图2所示。

图 2. 仿真流程图

Fig. 2. Flowchart of the simulation

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当变形镜的结构和参数发生改变时,其交连值也会随之改变。当交连值变化时,根据(1)式可知,变形镜的影响函数也会发生相应的变化。通过拟合畸变波前可得到不同的驱动器等效控制电压,进而计算出变形镜相应的等效应力和疲劳寿命。

待校正波前如图3(a)所示,通过仿真计算得到的变形镜拟合面形如图3(b)所示。

图 3. (a)畸变波前;(b)变形镜拟合面形

Fig. 3. (a) Distorted wavefront; (b) fitting surface shape of DM

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由图3可以看出,通过计算拟合得到的变形镜面形分布与待校正波前分布基本一致,此时,变形镜的等效应力分布及其对应的疲劳寿命云图如图4所示。

图 4. 变形镜的(a)等效应力分布与(b)疲劳寿命云图

Fig. 4. (a) Equivalent stress distribution and (a) fatigue life nephogram of DM

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由图4可知,变形镜表面的最大等效应力约为24.60 MPa,位于47号极头与镜面连接处;从疲劳寿命云图中可以看出,变形镜的对数寿命最小为9.70,也位于47号极头与镜面连接处,对应于图3(b)变形镜中产生形变量最大的位置。疲劳寿命的计算结果通常用对数疲劳寿命lg N来表示,参考轴数据为10的指数,单位为次。图4中的计算结果与文献[ 2]中所报道的变形镜等效应力和疲劳寿命量级一致,得出的变形镜疲劳特性也一致,说明计算结果正确有效。

3.1 极头排布方式对变形镜疲劳寿命的影响

根据本文变形镜模型,首先比较了极头间距为25 mm、半径为4 mm和长度为10 mm时,在不同的极头排布方式下变形镜的交连值、影响函数和疲劳寿命。变形镜极头常见的排布方式有三角形、圆形和正方形,如图5所示。

图 5. 极头常见的排布方式。(a)三角形排布;(b)圆形排布;(c)正方形排布

Fig. 5. Common arrangements of poles. (a) Triangular arrangement; (b) circular arrangement; (c) square arrangement

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极头分别采用图5所示的排布方式,通过计算单个极头驱动对变形镜面形的影响,拟合得到影响函数中的交连值b。经计算,不同极头排布方式下单个极头归一化的影响函数曲线如图6所示,交连值如表1所示。

图 6. 单个极头归一化影响函数曲线

Fig. 6. Normalized influence function curves of single pole

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由图6和表1可知,在三角形极头排布方式下,变形镜的交连值最小,单个极头驱动对变形镜的影响最小;在正方形极头排布方式下,变形镜的交连值最大,单个极头驱动对变形镜的影响最大;在圆形极头排布方式下,变形镜的交连值居中。

根据影响函数模型计算得到驱动器控制电压后,进一步分析比较了变形镜极头在3种排布方式下对应的最大等效应力与疲劳寿命,如表3所示。

由表2可知,三角形排布方式所产生的变形镜表面最大等效应力值最小,疲劳寿命最大;正方形排布方式所产生的最大等效应力值最大,疲劳寿命最小;圆形排布方式下,最大等效应力值和疲劳寿命居中。

3.2 极头间距对变形镜疲劳寿命的影响

当变形镜口径给定时,极头间距会影响极头的密度。根据(1)式可知,间距是影响函数中的重要参数,因此,极头间距的变化必然会引起影响函数和镜面应力分布的变化。为了研究极头间距对变形镜影响函数和疲劳寿命的影响,当极头半径为4 mm、长度为10 mm时,分别计算了3种排布方式下不同极头间距时的交连值、变形镜表面的最大等效应力和疲劳寿命,结果如图7所示。

图 7. 不同极头间距对应的变形镜。(a)交连值;(b)最大等效应力;(c)疲劳寿命

Fig. 7. Deformable mirrors with different pole spacings. (a) Coupling coefficient; (b) maximum equivalent stress; (c) fatigue life

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由图7(a)可知,随着极头间距的增大,变形镜的交连值逐渐减小,表明相邻极头间的影响逐渐减小,单个极头驱动对镜面的影响也会减小。由图7(b)、(c)可知,随着极头间距的增加,变形镜的最大等效应力会逐渐减小,变形镜的疲劳寿命则会随之变长。分析其原因在于:极头间距逐渐增大,而极头的形状不变,交连值逐渐减小,根据(1)式可知,变形镜的面形影响函数会逐渐减小,也就是说变形镜在驱动器作用下所产生的形变会逐渐变小,因此,变形镜的等效应力也会逐渐变小,疲劳寿命逐渐变长。此外,在相同的间距下,采用不同的极头排布方式时,所需的极头数目有所不同。变形镜所需的极头数越多,其表面应力越大,疲劳寿命就越短。具体来说,当极头间距为15 mm时,采用三角形排布时所需的极头数最多,变形镜的疲劳寿命最短;采用正方形排布时所需的极头数最少,变形镜的疲劳寿命最长。由于极头会对镜面产生一定的约束作用,极头间距越小,极头数目越多,会增加变形镜表面面形的起伏,使相邻极头间的相对位移增大,导致变形镜表面的应力增大、疲劳寿命变短。因此,在设计变形镜极头间距时,应当同时考虑不同排布方式下极头数目对变形镜的影响。

3.3 极头半径对变形镜疲劳寿命的影响

极头半径直接决定了极头与镜面的接触面积,极头半径的变化会影响极头对镜面施加的作用力,从而影响变形镜的影响函数和疲劳寿命。当极头间距为25 mm、长度为10 mm时,分别计算了3种排布方式下不同极头半径所对应的变形镜的交连值、最大等效应力和疲劳寿命,结果如图8所示。

图 8. 不同极头半径对应的变形镜。(a)交连值;(b)最大等效应力;(c)疲劳寿命

Fig. 8. Deformable mirrors with different pole radii. (a) Coupling coefficient; (b) maximum equivalent stress; (c) fatigue life

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从图8(a)可以看出,随着极头半径的增大,变形镜交连值逐渐减小,表明相邻极头间的影响逐渐减小,而极头间距是给定的,因此,影响函数也会逐渐减小。当极头采用三角形和圆形排布方式时,变形镜的交连值相近;当极头采用正方形排布方式时,变形镜的交连值相对较大。分析图8(b)、(c)可知,随着极头半径的增大,变形镜表面的最大等效应力逐渐变大,疲劳寿命逐渐变短。此外,当极头半径在一定范围内(如6 mm)时,变形镜疲劳寿命的变化速率逐渐增大;当极头半径超过一定范围(如6 mm)时,变形镜的疲劳寿命变化有所变缓。

3.4 极头长度对变形镜疲劳寿命的影响

极头是连接镜面与驱动器的关键部分,极头长度的变化必然会导致驱动器对镜面施加的作用力发生变化,使影响函数发生变化,进而使镜面的应力分布发生变化,最终影响变形镜的疲劳寿命。当极头间距为25 mm、半径为4 mm时,分别计算了3种排布方式下不同极头长度所对应的变形镜的交连值、最大等效应力和疲劳寿命,结果如图9所示。

图 9. 不同极头长度对应的变形镜。(a)交连值;(b)最大等效应力;(c)疲劳寿命

Fig. 9. Deformable mirrors with different pole lengths. (a) Coupling coefficient; (b) maximum equivalent stress; (c) fatigue life

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由图9(a)可知,随着极头长度的增加,交连值逐渐增大,表明相邻极头间的影响逐渐增大,由于极头的间距始终不变,因此,影响函数会逐渐增大。当极头采用三角形和圆形排布方式时,变形镜的交连值相近;当极头采用正方形排布方式时,变形镜的交连值相对较大。由图9(b)、(c)可知,随着极头长度的增大,变形镜表面的最大等效应力值逐渐减小,疲劳寿命随之逐渐增大。此外,当极头长度在一定范围(如25 mm)内时,其变化速率逐渐增加;当极头长度超过一定范围(如25 mm)后,其变化速率变缓。

对比图7(c)、图8(c)和图9(c)可知,改变极头的间距,会使变形镜的疲劳寿命产生约3个量级的变化;改变极头的半径,变形镜的疲劳寿命约变化1.5个量级;改变极头的长度,变形镜的疲劳寿命变化范围还不到1个量级。由此可见,极头间距对变形镜疲劳寿命的影响程度远大于极头的长度和半径对变形镜疲劳寿命的影响。当极头间距小于20 mm时,变形镜极头数大于100,但其疲劳寿命小于10^8.5。然而,当极头间距大于20 mm时,变形镜的疲劳寿命迅速增长,甚至可达到10¹¹以上。但是随着极头数的迅速减少,变形镜校正畸变波前的能力也会降低。因此,当对变形镜校正能力要求不高时,极头间距最好大于20 mm但不超过35 mm。当极头半径超过5 mm时,变形镜疲劳寿命的减小速率增大,且疲劳寿命低于10⁹,所以极头半径最好控制在5 mm以内。对变形镜校正能力要求较高时,则可通过选取合理的极头间距和半径来尽量延长变形镜的疲劳寿命。此外,极头长度对变形镜疲劳寿命的影响相对较小,因而采取合理的极头长度即可。

4 结论

利用有限元分析方法,建立了变形镜在校正畸变波前过程中的应力分析模型,结合Miner疲劳累积损伤理论,分析了变形镜的疲劳特性。重点分析了变形镜的结构参数与交连值、影响函数之间的关系,以及这些参数对疲劳寿命的影响。研究结果表明:在相同的畸变波前下,变形镜的结构参数会对影响函数和疲劳寿命产生不同的影响。针对本文的变形镜模型及参数,通过分析比较可以得出以下结论:1)不同的极头排布方式下,若极头的数目相同,则采用三角形排布方式为最佳,变形镜表面等效应力最小,疲劳寿命最长;2)随着极头间距的增大,变形镜交连值会逐渐减小,影响函数也逐渐变小,导致变形镜表面的等效应力减小,疲劳寿命变长,在对变形镜波前校正能力要求不高的前提下,极头间距可控制在20~35 mm之间;3)在相同极头间距下,变形镜采用不同的极头排布方式时,所需要的极头数目不同,极头数目越多,变形镜表面的等效应力越大,疲劳寿命越短;4)随着极头半径的增大或极头长度的缩短,变形镜的交连值会逐渐减小,致使变形镜的表面应力增大,疲劳寿命变短。针对本文的变形镜模型参数,极头半径应当控制在5 mm内,并适当增加极头的长度即可。在诸多结构参数中,变形镜的疲劳寿命受极头间距的影响程度大于极头半径和长度。因此,在对变形镜进行优化设计时,不仅需要考虑变形镜的校正能力,还应综合考虑各参数对变形镜疲劳寿命的影响。其中,变形镜结构以三角形排布方式较优,并需要优先考虑极头间距,其次考虑极头半径和长度对变形镜疲劳寿命的影响。