几何结构标定误差对偏折术的影响 下载: 843次
1 引言
偏折术是一种基于光线偏折来实现面形检测的测量技术。相比于干涉仪测量,偏折术具有动态范围大、灵敏度高、装置灵活、成本低等特点。近年来偏折术在三维面形测量、逆向工程、生物医学、样品检查等领域具有非常广泛的应用,并且发展出了许多商业化的产品[1-3],其精度通常为微米量级。相位测量偏折术[4](PMD)是一种针对反射镜或类反射镜面形测量的偏折术,只须使用商用显示器、CCD相机和计算机就可以对被测反射面进行测量。国内外很多学者对相位测量偏折术做了大量的研究[5-12],其中的一个重要研究是将PMD应用于天文望远镜中大口径非球面镜面的面形检测,如GMT(Giant Magellan Telescope)主镜[5]、LBT(Large Binocular Telescope)次镜[6]、DKIST(Daniel K. Inouye Solar Telescope)主镜[7]、E-ELT(European Extremely Large Telescope)反射镜[8]和大口径平面镜[9]等。
PMD的测量结果可以达到与干涉仪相媲美的精度,但通常情况下PMD对直径大于100 mm的被测镜面形的测量精度不小于1 μm。PMD的测量精度依赖于系统标定的精度[13]。PMD系统的标定包括各部分的几何结构标定、相机成像畸变、显示器的光强非线性和显示器面形变形等[6]。要获得高精度的PMD测量结果,需要对系统进行复杂的标定和补偿[6,13-16]。系统的标定精度主要影响被测面形的低阶测量结果,因此PMD在中高频面形的测量上有很高的测量精度,而在低阶面形的测量上则存在着很大的测量误差[16]。总之,物体的低阶面形测量误差是制约PMD精度提高的主要因素,而低阶面形的测量则依赖于系统几何结构标定的精度。
针对系统各部分几何结构标定不确定问题,本文通过数学模型、理论分析和实验,研究了几何结构标定误差对PMD面形测量精度的影响,目的是为PMD测量结果的分析提供理论依据,为选择合适的测量结构提高PMD低阶面形测量精度提供指导。
2 相位测量偏折术
2.1 基本原理
PMD通过CCD相机对被测面进行成像,获得经被测面面形调制后的来自显示器的编码条纹。PMD实验的光路结构如
假设一个理想参考平面(称为标定平面)为
式中:下标
假设被测镜的面形起伏远小于标定平面与相机或显示器之间的距离,即
假设被测面的面形连续可微分,面形斜率连续可导,则面形斜率积分结果与积分路径无关。此时,被测镜的面形可通过分段积分方法得到
2.2 系统的几何结构标定
PMD测量系统中的几何结构标定是指在同一个坐标系下确定相机、显示器屏幕和被测镜的位置以及这三者之间的位置关系[6-7]。在PMD测量系统中,根据面形斜率计算(1)式和(2)式可知,需要进行测量和计算的参数有相机针孔的位置
3 数学模型
设被测面中心位置“镜像素”为世界坐标原点
3.1 x/y轴平移测量误差
由(1)式和(2)式可以看出,
将(4)式和(2)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测面的面形为
同理,假设含有误差的显示器平面位置测量结果为
假设含有误差的被测面标定平面位置测量结果为
从(5)~(7)式可以看出,系统几何结构在
3.2 z轴平移测量误差
系统的几何结构标定结果中不仅存在沿
3.2.1 相机针孔
假设相机针孔的
其中:
将(8)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测镜的面形为
3.2.2 显示器平面
假设显示器的
其中:
将(11)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测面的面形为
由(13)式可知,显示器的
3.2.3 被测面切平面
假设被测面切平面的
将(14)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测面的面形为
由(15)式可知,当被测面
综上所述,系统几何结构存在
1)会导致被测面面形测量结果中附加
2)附加倾斜、离焦面形与Δ
3)被测面存在平移误差Δ
4)附加的在
3.3 数学模型结果分析
被测面在
引入在
当Δ
当
引入
当Δ
当
引入离焦面形误差的各误差参量(Δ
4 模型模拟
假设PMD系统模型的几何结构为:被测反射面高为200 mm,宽为200 mm,被测面中心坐标为(0,0,0)。LCD显示器高为324 mm,宽为432 mm,显示器中心点坐标为(100,0,1500)。相机针孔坐标为
对该PMD模型进行光线追迹,得到光线在被测面和显示器面上的分布,并代入斜率计算公式,即(1)式,通过斜率积分算法[17-19]得到反射镜的重构面形。由于被测面形接近平面,面形峰谷值(PV)约为0.3 μm,被测镜与显示器之间的距离远小于被测面的曲率半径,被测面的测量区域将受限于显示器的尺寸。因此该模型中被测面上还有一部分区域无法被测量到,如
从
4.1 面形误差
分别在相机针孔、显示器平面和被测面的
图 4. PMD模型中被测面形误差与几何结构误差的关系。误差面形PV值随(a) Δx, (b) Δy和(c) Δz的变化
Fig. 4. Relationship between tested surface errors and geometric calibration errors in PMD model. PV values of error surfaces change with (a) Δx, (b) Δy and (c) Δz
从
4.2 倾斜面形误差
由于PMD模型中的被测面是方形的,因此使用方域内标准正交的
对比不同误差参量对应的倾斜面形误差的像差系数,总结在
从
图 5. PMD模型中倾斜面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) x方向的; (b) y方向
Fig. 5. Relationship between tilt surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) In x direction; (b) in y direction
4.3 离焦面形误差
对比不同误差参量对应的离焦面形误差的像差系数,总结离焦面形误差随Δ
图 6. PMD模型中离焦面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM
Fig. 6. Relationship between defocus surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM
从
5 实验验证
搭建PMD实验光路,对上述理论结果进行验证。PMD实验系统的几何结构测量结果为:相机针孔的坐标位置为(-134.426 mm,36.041 mm,-1765.7 mm),显示器中心的坐标位置为(137.886 mm,11.386 mm,-1810.8 mm),被测面分别与相机和显示器之间的
选用一块高精度的反射镜作为被测镜,其干涉仪面形测量结果所对应的前7阶Zernike系数如
图 7. 被测面的干涉仪测量结果。(a) Zerrnike系数; (b)波前像差
Fig. 7. Measured results of the tested surface using interferometer. (a) Zernike coefficients; (b) wavefront aberration
从
在实际PMD系统的几何结构测量中实验者由于无法获得各参数的真实值,因此假设第一次的测量结果为“真实值”,然后依次引入一定的测量误差,研究各次测量得到的面形结果随着参数测量误差的变化情况。下面以离焦误差为例,每次使被测面的位置沿着远离相机的
图 9. 面形测量结果随被测面z坐标误差的变化情况。 (a) 测量面形的PV值;(b) 测量面形的离焦系数
Fig. 9. Measured surfaces change with z-coordinate translation of mirror. (a) PV of tested surface; (b) defocus coefficient of tested surface
由
6 结论
PMD系统的几何结构标定精度是制约低阶面形测量精度的重要因素,本文推导了几何结构标定精度与倾斜、离焦面形误差之间的数学关系式,并通过模拟实验和实验验证了所推导数学关系式的正确性。
系统几何结构的位置标定的横向平移误差会导致被测面面形测量结果中附加一个倾斜平面面形,该倾斜平面的斜率与平移误差线性相关。系统几何结构的位置标定存在纵向平移误差时,被测面形的测量结果除了可能会被引入倾斜面形误差外,还可能会被引入离焦面形误差。在PMD系统中的某一个结构(相机、显示器或被测面)的位置标定中,相同的横向和纵向平移误差给PMD系统引入的倾斜面形误差之比为针孔与被测面在
根据PMD系统几何结构标定平移误差与面形测量误差之间的数学关系式可知,在同样的几何结构标定精度下,被测面分别与相机、显示器之间的距离越接近,两个距离的值越大,相机针孔坐标位置则越接近(0,0),被测面误差受几何结构标定平移误差的影响越小。此外,还可以根据上述数学关系式对PMD系统的面形测量误差进行估计甚至是扣除(有待进一步研究),从而减小低阶面形测量的误差,提高PMD系统测量面形的精度。
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李萌阳, 袁晓东, 曹庭分, 刘长春, 张尽力, 熊召, 陈海平, 全旭松, 易聪之. 几何结构标定误差对偏折术的影响[J]. 光学学报, 2018, 38(11): 1112006. Mengyang Li, Xiaodong Yuan, Tingfen Cao, Changchun Liu, Jinli Zhang, Zhao Xiong, Haiping Chen, Xusong Quan, Congzhi Yi. Effect of Geometric Calibration Errors on Deflectometry[J]. Acta Optica Sinica, 2018, 38(11): 1112006.