基于卡尔曼滤波的PGC解调非线性误差补偿方法

严利平; 周春宇; 谢建东; 陈本永; 楼盈天; 杨涛

doi:doi:10.3788/CJL202047.0904002

中国激光, 2020, 47 (9): 0904002, 网络出版: 2020-09-16

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Nonlinear Error Compensation Method for PGC Demodulation Based on Kalman Filtering

论文大纲

严利平周春宇谢建东陈本永 ^*楼盈天杨涛

作者单位

浙江理工大学纳米测量技术实验室, 浙江杭州 310018

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摘要

针对载波相位延迟和调制深度漂移对正弦相位调制干涉仪中相位解调精度的影响,提出一种基于卡尔曼滤波的相位生成载波(PGC)解调非线性误差补偿方法。首先建立由PGC正交分量参数构成的卡尔曼滤波状态空间观测模型。然后对PGC解调的正交分量幅值和偏置进行最优估计与修正,减小相位解调的非线性误差。最后理论分析阐述该补偿方法的原理,开展模拟干涉信号的相位解调仿真测试和正弦相位调制干涉位移测量实验。实验结果表明:提出的方法能够有效减小PGC相位解调非线性误差,实现纳米级精度的位移测量。

Abstract

To determine the influence of carrier phase delay and modulation depth drift on the accuracy of phase demodulation in sinusoidal phase modulation interferometers, a phase-generated carrier (PGC) demodulation nonlinear error compensation method based on a Kalman filter is proposed. First, we establish a Kalman filter state space observation model composed of PGC orthogonal component parameters. Next, the amplitude and offset of the orthogonal components of the PGC demodulation are optimally estimated and corrected to reduce the nonlinear error of the phase demodulation. Finally, a theoretical analysis is conducted and used to explain the principle of the compensation method, and we carry out the phase demodulation simulation test of an analog interference signal and a sinusoidal phase modulation interference displacement measurement experiment. The experimental results show that the proposed method can effectively reduce the nonlinear error of PGC phase demodulation and facilitate displacement measurement with nanometer precision.

1 引言

正弦相位调制干涉仪(SPMI)具有结构简单、精度高和动态范围大等优点,广泛应用于位移、振动和表面形貌的精密测量^[1-4]。SPMI中,通常采用压电促动器(PZT)或电光调制器(EOM)对参考臂光程进行高频正弦调制以引入载波相位,通过相位生成载波(PGC)技术来解调干涉信号的相位以实现精密的位移测量。PGC解调算法主要有微分交叉相乘(PGC-DCM)法^[5]和反正切(PGC-Arctan)法^[6]两类,均需要将干涉信号与载波信号及其二倍频信号进行混频后经过低通滤波,进而获得含有待测干涉相位信息的正交分量。因载波相位延迟和相位调制深度偏离理想值(PGC-DCM为2.37 rad和PGC-Arctan为2.63 rad)^[7-8],则都会在相位解调的结果中引入较大的误差,严重时甚至造成相位解调失败。

在消除载波相位延迟的影响方面,Nikitenko等^[9]采用了两对正交分量的平方和来构建一对与载波相位延迟无关的新正交分量,实现了在0°~360°的角度范围内载波相位延迟的实时补偿;Zhang等^[10]通过寻找正交信号最大值的方法实现了对载波相位延迟的实时测量和补偿;施清平等^[11]提出了基于固定相位延迟的检测方法,采用3×2耦合器产生固定相位延迟,分别利用两路干涉信号进行解调,有效消除信号相位延迟的影响;李树旺等^[12]提出了基于同步载波复原的混频基频、二倍频信号生成方法,直接从干涉信号中提取载波信息并进行同步载波复原,从而消除了相位延迟的影响。在补偿调制深度波动的影响方面,He等^[13]提出了反正切与微分自相乘相结合的解调算法,求得一阶与二阶贝塞尔系数的比来消除调制深度的影响;段发阶等^[14]采用了干涉信号的前4阶谐波分量来计算调制深度;Volkov等^[15]通过比例积分(PI)调节器将相位调制深度稳定在PGC-Actran法的最优值(2.63 rad),这可以消除调制深度的影响,但是当存在相位延迟时,调制深度的计算和补偿模型会发生变化,导致补偿精度降低。通常情况下,载波相位延迟和相位调制深度波动会导致混频低通后的正交分量的交流幅值不等,且包含直流偏置分量。Ni等^[16]采用了椭圆拟合算法来获得并修正正交分量的幅值和偏置,但是椭圆拟合算法需要大量数据且涉及复杂的矩阵运算,对信号的实时处理有着非常高的要求,通常用于离线测量系统。因此,现有的方法大多偏重于解决载波相位延迟或调制深度单一因素的影响问题,而椭圆拟合算法是同时解决这两个影响因素的最有效手段之一,但是其实时性有待进一步提高。

卡尔曼滤波技术是一种基于最小均方误差估计的递归滤波方法,适用于对线性动态系统模型进行实时、最优的估计^[17-19]。本文将离散卡尔曼滤波技术应用于SPMI的相位解调误差修正,对混频低通后的PGC解调正交信号建立卡尔曼滤波观测模型,对正交信号的幅值和偏置进行迭代最优估计和修正,达到消除载波相位延迟和调制深度波动对PGC-Arctan相位解调结果影响的目的。

2 基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿

2.1 PGC-Arctan相位解调非线性误差理论分析与建模

在SPMI中,干涉信号可以表示为

\begin{matrix} S (t) = A + Bcos [Ccos (ω_{c} t + Δθ) + φ (t)], (1) \end{matrix}

式中:A和B分别为干涉信号的直流偏置和交流幅值;C为相位调制深度;ω_c为高频调制信号(载波信号)的频率;Δθ为由光路传播、电路传输以及数模转换等因素引起的载波相位延迟;t为采样的时间点;φ(t)为干涉仪的待测相位,φ(t)=2πd(t)/λ,其中d(t)为干涉仪的待测位移,λ为激光的波长。

当使用PGC-Arctan算法解调时,将干涉信号分别与载波基频和二倍频信号相乘并经过低通滤波后得到一对包含待测相位信号的正交分量,表达式为

\begin{matrix} P = x_{LPF} [S (t) \times \cos (ω_{c} t)] = - B J_{1} (C) \cos (Δθ) sinφ (t), (2) \end{matrix}

Q = x_{LPF} {S (t) \times \cos [2 (ω_{c} t)]} = - B J_{2} (C) \cos (2 Δθ) cosφ (t), (3)

式中:P、Q为一对包含待测相位信号的正交分量;x_LPF[·]为低通滤波运算;J₁(C)和J₂(C)分别为第一类的一阶和二阶贝塞尔函数。实验研究的过程中,C的取值范围为1.5~3.5 rad,对应的J₁(C)和J₂(C)的值在0~1之间。

进一步对正交分量进行除法和反正切运算,得到

\begin{matrix} Φ (t) = \arctan (P / Q) = \arctan [\frac{J_{1} (C) \cos (Δθ) sinφ (t)}{J_{2} (C) \cos (2 Δθ) cosφ (t)}] 。 (4) \end{matrix}

令v=[J₁(C)cos(Δθ)]/[J₂(C)cos(2Δθ)],则(4)式可以表示为

\begin{matrix} Φ (t) = φ (t) + \arctan \{\frac{- \sin [2 φ (t)]}{\cos [2 φ (t)] + (1 + v) / (1 - v)}\} 。 (5) \end{matrix}

由(5)式可知,当Δθ≠0、C值偏离2.63 rad[J₁(C)≠J₂(C)]时,PGC-Arctan算法的相位解调结果包含误差φ_nonl=arctan $\begin{matrix} [\frac{- \sin 2 φ (t)}{\cos 2 φ (t) + (1 + v) / (1 - v)}] \end{matrix}$ 。当Δθ的取值范围为0°~360°、C值在1.5~3.5 rad范围内时,对φ_nonl与φ(t)的关系进行仿真分析,结果如图1所示。图1(a)为φ_nonl与Δθ和φ(t)之间的关系,图1(b)为φ_nonl与C和φ(t)之间的关系。从图1可以看到,φ_nonl随φ(t)呈周期性变化,周期为π;Δθ对解调结果引入较大的非线性误差,严重时误差近90°,此时解调失败;当C值偏离2.63 rad较多时,会对相位解调结果引入20°~30°的误差。

图 1. PGC-Arctan算法在不同情况下的相位解调误差。(a)相位延迟变化;(b)调制深度变化

Fig. 1. Phase demodulation errors of PGC-Arctan algorithm in different situations. (a) Phase delay change; (b) modulation depth change

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实际的干涉仪装置中,由环境温度变化引起的电路漂移、调制信号谐波失真和EOM半波电压波动等都会使Δθ和C值发生动态变化,从而导致PGC解调得到的正交分量不仅带来幅值波动还包含偏置,表达式为

\begin{matrix} P (t) = X (t) sinφ (t) + X_{0} (t), (6) \end{matrix}

Q (t) = Y (t) cosφ (t) + Y_{0} (t), (7)

式中:X(t)、Y(t)和X₀(t)、Y₀(t)分别为正交分量随时间变化的幅值和偏置。

由(5)~(7)式可知,如果对P(t)和Q(t)直接进行相除和反正切运算,则解调所得的Φ(t)包含非线性误差。因此,为了精确解调φ(t),需要测量并修正P(t)和Q(t)的幅值和偏置。

2.2 基于卡尔曼滤波的正交信号参数估计与修正

从数学的角度来看,P(t)和Q(t)满足椭圆方程,表达式为

\begin{matrix} a P^{2} (t) + b Q^{2} (t) + cP (t) + dQ (t) + e = 0, (8) \end{matrix}

式中:a, b, c, d, e为椭圆参数,其中

\begin{matrix} \{\begin{matrix} a = Y^{2} (t) \\ b = X^{2} (t) \\ c = - 2 X_{0} (t) Y^{2} (t) \\ d = - 2 Y_{0} (t) X^{2} (t) \\ e = X_{0}^{2} (t) Y^{2} (t) + Y_{0}^{2} (t) X^{2} (t) - X^{2} (t) Y^{2} (t) \end{matrix} 。 (9) \end{matrix}

因此,当φ(t)值超过360°时,可建立基于卡尔曼滤波技术的椭圆参数估计模型,估计椭圆参数后进一步对P(t)和Q(t)进行修正。

通常,X(t)、Y(t)值和X₀(t)、Y₀(t)值变化缓慢且信号的采样时间短。采样的过程中,将P(t)和Q(t)离散化为P_n和Q_n,其中n为采样次数,椭圆参数视为常量,因此(8)式的离散化处理结果为

\begin{matrix} a_{n} P_{n}^{2} + b_{n} Q_{n}^{2} + c_{n} P_{n} + d_{n} Q_{n} + e_{n} = 0, (10) \end{matrix}

式中:a_n, b_n, c_n, d_n, e_n为离散化后的椭圆参数。

将P_n和Q_n作为输入,则椭圆参数的观测模型为

\begin{matrix} L_{n} = h (x_{n}, P_{n}, Q_{n}) = a_{n} P_{n}^{2} + b_{n} Q_{n}^{2} + c_{n} P_{n} + d_{n} Q_{n} + e_{n}, (11) \end{matrix}

式中:x_n=[a_n b_n c_n d_n e_n]^T为状态向量;L_n为观测模型,且不恒为零。

线性离散卡尔曼滤波的状态方程和观测方程分别为

\begin{matrix} x_{n} = F_{n} \times x_{n - 1} + v_{n} + w_{n}, (12) \end{matrix}

z_{n} = H_{n} \times x_{n - 1} + u_{n}, (13)

式中:F_n为状态转移矩阵;v_n为控制矩阵;w_n为过程噪声;z_n为系统观测向量;H_n为观测矩阵;u_n为观测噪声,通常为高斯白噪声。由式(11)可知,x_n为椭圆参数,而椭圆上每一点的椭圆参数都相同,所以(12)式可简化为

\begin{matrix} x_{n} = x_{n - 1}, (14) \end{matrix}

此时F_n为单位矩阵,v_n和w_n值为零。

由于L_n为非线性模型,而离散卡尔曼滤波描述的是线性模型,所以在观测模型中对每一采样点都进行线性化展开,展开后H_n和协方差R_n分别为

\begin{matrix} H_{n} = \frac{\partial L_{n}}{\partial x_{n}} = [P_{n}^{2} Q_{n}^{2} P_{n} Q_{n} 1], (15) \end{matrix}

R_{n} = σ [(\partial L_{n} / \partial P_{n})^{2} + (\partial L_{n} / \partial Q_{n})^{2}] = σ [(2 a P_{n} + c) + (2 b Q_{n} + d)], (16)

式中:σ为常数1。

根据给出的系统观测模型和基本方程,使用图2卡尔曼滤波器的预测方程和更新方程来迭代计算状态向量的最优估计向量 $\begin{matrix} {\tilde{x}}_{n} \end{matrix}$ 。其中 $\begin{matrix} {\hat{x}}_{n + 1} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} {\tilde{x}}_{n + 1} \end{matrix}$ 分别表示由第n次的最优状态估计向量预测得到的第n+1次先验状态估计向量和最优状态估计向量; $\begin{matrix} {\hat{G}}_{n + 1} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} {\tilde{G}}_{n + 1} \end{matrix}$ 分别表示第n+1次的先验估计协方差矩阵和最优估计协方差矩阵;K_n+₁表示第n+1次的卡尔曼滤波增益矩阵,表示实际观测值与先验估计值之间的残差的加权矩阵;I为单位矩阵。

图 2. 卡尔曼滤波迭代过程示意图

Fig. 2. Schematic of Kalman filter iteration process

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根据图2中5个基本方程,即可完成从第n次到第n+1次的迭代递推。迭代计算的过程中,当| $\begin{matrix} {\tilde{x}}_{n + 1} \end{matrix}$ - $\begin{matrix} {\tilde{x}}_{n} \end{matrix}$ |<5×10^-5时,待求状态向量 $\begin{matrix} {\tilde{x}}_{n} \end{matrix}$ (即椭圆参数)可视为稳定矩阵,将x_n中各个值代入(9)式,即可求得离散后正交分量的幅值和偏置,表达式为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} X (n) = \sqrt[]{{\tilde{b}}_{n}} \\ Y (n) = \sqrt[]{{\tilde{a}}_{n}} \\ X_{0} (n) = - {\tilde{c}}_{n} / 2 {\tilde{a}}_{n} \\ Y_{0} (n) = - {\tilde{d}}_{n} / 2 {\tilde{b}}_{n} \end{matrix}, (17) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} {\tilde{a}}_{n} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{b}}_{n} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{c}}_{n} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{d}}_{n} \end{matrix}$ 为迭代计算后的椭圆参数。根据

\begin{matrix} φ (t) = \arctan [\frac{P (t) - X_{0} (t)}{X (t)} \cdot \frac{Y (t)}{Q (t) - Y_{0} (t)}], (18) \end{matrix}

可以获得消除载波相位延迟和调制深度波动等影响的待测相位。为了验证使用卡尔曼滤波估计正交分量参数的可行性,根据(6)式和(7)式将X(t)、Y(t)和X₀(t)、Y₀(t)的值设置为常数,从而测量φ(t)在0°~360°的角度范围内的步进变化,对得到的P_i和Q_i(i=0~1400)添加高斯白噪声(标准偏差为0.0005),并将其作为椭圆参数估计的观测量,在MATLAB商业数学软件中根据图2流程对椭圆参数进行估计,并进一步根据(17)式来获得正交分量参数。当仿真模拟椭圆参数时, $\begin{matrix} {\tilde{x}}_{1} \end{matrix}$ =[0 0 0 0 0]^T,最优估计协方差矩阵 $\begin{matrix} {\tilde{G}}_{1} \end{matrix}$ 为单位矩阵。同时,在LabVIEW软件中调用L-M(Levenberg-Marquardt)最小二乘算法对P_i和Q_i构建的椭圆参数进行拟合运算,两种方法得到的结果如表1所示。从表1可以看到,两种方法均够能获得精确的正交分量参数,其偏差为10^-5量级。

图3为使用卡尔曼滤波估计参数的收敛趋势曲线。从图3可以看到,经过半个周期的迭代计算,使用卡尔曼滤波估计得到的正交分量参数值均趋于稳定。

表 1. 正交分量参数的仿真计算结果

Table 1. Simulation results of orthogonal component parameters

Process	X(t)	Y(t)	X₀(t)	Y₀(t)
Set value	0.90000	1.10000	-0.03500	-0.09000
Kalman estimated value	0.90001	1.10003	-0.03496	-0.09001
Ellipse fitting value	0.90002	1.10003	-0.03504	-0.09003
Deviation of two methods	-0.00001	0	0.00008	0.00020

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图 3. 卡尔曼滤波估计正交分量参数的收敛趋势。(a)交流幅值;(b)直流偏置

Fig. 3. Kalman filter estimates convergence trend graph of orthogonal component parameters. (a) Alternating current amplitude; (b) direct current bias

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3 实验与结果分析

为了验证提出的基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿方法的有效性和可行性,分别进行模拟干涉信号的相位解调仿真测试和正弦相位调制干涉位移的测量实验。基于EOM的正弦相位调制干涉仪的原理框图和搭建的实验装置,如图4所示。从图4可以看到,激光器出射的光经过偏振片P后射向由分光镜BS、参考角锥棱镜M₁和测量角锥棱镜M₂组成的单频干涉仪,EOM置于BS与M₁之间,对干涉仪参考臂光束引入相位调制,干涉信号S(t)由光电探测器(PD)接收。实验装置中采用的是He-Ne稳频激光器,波长为632.990577 nm,M₂的待测位移由行程为15 μm、分辨率为0.05 nm的纳米定位台P-753.1CD提供。信号的处理是在火龙果平台STEMlab上实现的,该平台的硬件核心是集成FPGA(Field Programmable Gate Array)与ARM(Advanced RISC Machines)的ZYNQ7010高性能信号处理器、高速双通道同步模数转换(ADC)和数模转换(DAC)模块。其中ADC中频采样频率为125 MHz,有效位数为14 bit;DAC中频采样频率为125 MHz,有效位数为14 bit。频率为244 kHz的正弦调制信号由FPGA中的DDS IP(Direct Digital Frequency Synthesizer Intellectual Property)核生成,经DA转换和高压放大器(HVA)放大后施加在EOM上,EOM半波电压V_π约为135 V,正弦调制信号的幅值根据调制深度来设定,且有A_c=CV_π/π。干涉信号经过AD转换后,在FPGA中进行基于卡尔曼滤波的PGC相位解调。

图 4. 基于EOM的正弦相位调制干涉仪。(a)原理框图;(b)实验装置

Fig. 4. Sine phase modulation interferometer based on EOM. (a) Principle block diagram; (b) experimental device

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3.1 仿真干涉信号相位解调实验

为了验证基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿方法的有效性,按照(1)式产生数字调制干涉信号,经过信号处理板的DA输出和AD采样后,在FPGA中计算补偿前后的相位解调值。实验步骤:1)设置Δθ和C;2)采集φ(t)变化2个周期的干涉信号数据,将其经过卡尔曼滤波迭代后获得PGC解调正交分量的修正系数X(t)、Y(t)和X₀(t)、Y₀(t);3)φ(t)以10°为步长在0°~360°范围内变化,计算补偿前后的解调相位,分别与设定的相位值作差以得到相位解调误差。在C=1.7 rad、Δθ=20°和C=2.0 rad、Δθ=10°两种情况下的相位解调误差如图5所示。

从图5可以看到,两种情况下补偿前的相位解调误差以π为周期,分别在±25°和±15°的范围内波动,补偿后的相位解调误差范围下降到±0.03°,周期性不明显。这表明所提算法和设计的PGC相位解调算法均能大幅度减小由载波相位延迟和调制深度引入的非线性误差。

图 5. 补偿前后的相位解调误差。(a)补偿前;(b)补偿后

Fig. 5. Phase demodulation error before and after compensation. (a) Before compensation; (b) after compensation

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3.2 位移测量实验

为了验证所提的PGC相位解调误差实时补偿方法在实际位移测量中的可行性,开展正弦位移测量和步进位移测量的实验。实验过程中,EOM相位调制深度约为2.6 rad。位移测量前,利用P-753.1CD工作台驱动测量镜M₂线性运动1 μm以采集3个周期的干涉信号数据,通过卡尔曼滤波迭代预估计PGC解调正交分量参数。实验进行中,卡尔曼滤波持续工作,实时更新正交分量参数。

首先,P-753.1CD工作台在长度为200 nm以内作正弦运动,频率分别为100 Hz和200 Hz,补偿前后的位移测量结果如图6所示。从图6可以看到,受干涉系统固有载波相位延迟的影响,补偿前的解调位移测量结果中包含明显的高阶谐波误差,总谐波失真(THD)和信噪比(SINAD)分别为0.732%、0.751%和42.715 dB、44.487 dB;补偿后的解调位移测量结果中的高阶谐波误差大大减小,信噪比显著提高,THD和SINAD分别为0.049%、0.068%和66.056 dB、62.259 dB。

图 6. 不同频率下补偿前后的位移测量结果。(a) 100 Hz;(b) 200 Hz

Fig. 6. Displacement measurement results before and after compensation at different frequencies. (a) 100 Hz; (b) 200 Hz

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步进位移的测量实验中,P-753.1CD工作台从2 μm位置处开始,以10 nm为步长步进300次,步进长度为3 μm,测量结果如图7所示。从图7(a)可以看到,位移偏差在±1.5 nm范围内波动,平均值接近零,标准偏差为0.5 nm。为了进一步分析解调位移的非线性误差,对位移偏差进行快速傅里叶变换(FFT),结果如图7(b)所示。根据(5)式,若存在由PGC-Arctan解调引起的非线性误差,周期应为π(即λ/4,λ=633 nm),则在序列号为10×300/(633/4)≈19处出现的峰值即为非线性误差。从图7(b)可以看到,序号为19处的峰值不超过0.15 nm。实验结果表明,所提的基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿方法能够有效减小干涉仪的非线性误差,实现纳米级精度的位移测量。

图 7. 非线性误差分析结果。(a)位移测量的误差结果;(b) FFT分析结果

Fig. 7. Non-linear error analysis results. (a) Error results of displacement measurement; (b) FFT analysis result

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4 结论

针对SPMI中由载波相位延迟和调制深度等引入的相位解调非线性误差问题,提出一种基于卡尔曼滤波技术的PGC-Arctan解调算法,通过构建椭圆观测模型以实时获得PGC正交分量幅值和偏置的最优估计向量,从而尽可能消除相位解调非线性误差,提高干涉仪位移测量的精度。实验结果表明:卡尔曼滤波能够精确获得PGC解调正交分量参数;修正正交分量参数后,相位解调非线性误差范围从±25°和±15°大幅度减小到±0.03°,对干涉仪位移测量的影响可忽略不计。将该相位解调误差补偿方法应用于干涉仪位移测量,实验结果表明:正弦运动测量结果的THD从0.732%和0.751%下降到0.049%和0.068%,SINAD从42.715 dB和44.487 dB提高到66.056 dB、62.259 dB;步进位移测量结果的残余非线性误差不超过0.15 nm,验证所提的相位解调非线性误差修正方法的可行性。

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[14] 段发阶, 黄婷婷, 蒋佳佳, 等. 用于正弦相位调制干涉测量的调制度和初相位测量方法: CN107014289B[P].2017-08-04.

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[17] 侯冰洁, 杨彦甫, 向前, 等. 基于EKF和LKF级联的频偏和相位估计联合方案[J]. 光学学报, 2018, 38(1): 0106004.

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[18] 李耀祖, 王目光, 郭玉箫, 等. 基于简化扩展卡尔曼滤波的双偏振载波相位恢复算法[J]. 光学学报, 2019, 39(11): 1106005.

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[19] 代亮亮, 闫连山, 易安林, 等. 基于线型卡尔曼滤波器的双偏振并行载波相位恢复算法[J]. 光学学报, 2018, 38(9): 0906004.

Dai L L, Yan L S, Yi A L, et al. Dual-polarization paralleled carrier phase recovery algorithm based on linear Kalman filter[J]. Acta Optica Sinica, 2018, 38(9): 0906004.

1 引言

2 基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿

2.1 PGC-Arctan相位解调非线性误差理论分析与建模

2.2 基于卡尔曼滤波的正交信号参数估计与修正

严利平, 周春宇, 谢建东, 陈本永, 楼盈天, 杨涛. 基于卡尔曼滤波的PGC解调非线性误差补偿方法[J]. 中国激光, 2020, 47(9): 0904002. Yan Liping, Zhou Chunyu, Xie Jiandong, Chen Benyong, Lou Yingtian, Yang Tao. Nonlinear Error Compensation Method for PGC Demodulation Based on Kalman Filtering[J]. Chinese Journal of Lasers, 2020, 47(9): 0904002.

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1 引言

2 基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿

2.1 PGC-Arctan相位解调非线性误差理论分析与建模

图 1. PGC-Arctan算法在不同情况下的相位解调误差。(a)相位延迟变化;(b)调制深度变化

Fig. 1. Phase demodulation errors of PGC-Arctan algorithm in different situations. (a) Phase delay change; (b) modulation depth change

2.2 基于卡尔曼滤波的正交信号参数估计与修正

图 2. 卡尔曼滤波迭代过程示意图

Fig. 2. Schematic of Kalman filter iteration process

表 1. 正交分量参数的仿真计算结果

Table 1. Simulation results of orthogonal component parameters

图 3. 卡尔曼滤波估计正交分量参数的收敛趋势。(a)交流幅值;(b)直流偏置

Fig. 3. Kalman filter estimates convergence trend graph of orthogonal component parameters. (a) Alternating current amplitude; (b) direct current bias

3 实验与结果分析

图 4. 基于EOM的正弦相位调制干涉仪。(a)原理框图;(b)实验装置

Fig. 4. Sine phase modulation interferometer based on EOM. (a) Principle block diagram; (b) experimental device

3.1 仿真干涉信号相位解调实验

图 5. 补偿前后的相位解调误差。(a)补偿前;(b)补偿后

Fig. 5. Phase demodulation error before and after compensation. (a) Before compensation; (b) after compensation

3.2 位移测量实验

图 6. 不同频率下补偿前后的位移测量结果。(a) 100 Hz;(b) 200 Hz

Fig. 6. Displacement measurement results before and after compensation at different frequencies. (a) 100 Hz; (b) 200 Hz

图 7. 非线性误差分析结果。(a)位移测量的误差结果;(b) FFT分析结果

Fig. 7. Non-linear error analysis results. (a) Error results of displacement measurement; (b) FFT analysis result

4 结论

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1 引言

2 基于卡尔曼滤波的PGC相位解调非线性误差补偿

2.1 PGC-Arctan相位解调非线性误差理论分析与建模

图 1. PGC-Arctan算法在不同情况下的相位解调误差。(a)相位延迟变化;(b)调制深度变化

Fig. 1. Phase demodulation errors of PGC-Arctan algorithm in different situations. (a) Phase delay change; (b) modulation depth change

2.2 基于卡尔曼滤波的正交信号参数估计与修正

图 2. 卡尔曼滤波迭代过程示意图

Fig. 2. Schematic of Kalman filter iteration process

表 1. 正交分量参数的仿真计算结果

Table 1. Simulation results of orthogonal component parameters

图 3. 卡尔曼滤波估计正交分量参数的收敛趋势。(a)交流幅值;(b)直流偏置

Fig. 3. Kalman filter estimates convergence trend graph of orthogonal component parameters. (a) Alternating current amplitude; (b) direct current bias

3 实验与结果分析

图 4. 基于EOM的正弦相位调制干涉仪。(a)原理框图;(b)实验装置

Fig. 4. Sine phase modulation interferometer based on EOM. (a) Principle block diagram; (b) experimental device

3.1 仿真干涉信号相位解调实验

图 5. 补偿前后的相位解调误差。(a)补偿前;(b)补偿后

Fig. 5. Phase demodulation error before and after compensation. (a) Before compensation; (b) after compensation

3.2 位移测量实验

图 6. 不同频率下补偿前后的位移测量结果。(a) 100 Hz;(b) 200 Hz

Fig. 6. Displacement measurement results before and after compensation at different frequencies. (a) 100 Hz; (b) 200 Hz

图 7. 非线性误差分析结果。(a)位移测量的误差结果;(b) FFT分析结果

Fig. 7. Non-linear error analysis results. (a) Error results of displacement measurement; (b) FFT analysis result

4 结论

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