1 引言

科学技术的快速发展,对光学加工与制造提出了更高的要求。天文光学、光刻技术和惯性约束聚变等领域的大口径光学系统,均对其中的光学元件提出了大口径、超光滑和高面形精度的综合要求。区别于传统光学系统,高功率激光系统要求对光学元件的波面误差进行全频段控制,因为大口径光学元件的低频位相调制将影响激光束焦斑主瓣的能量分布,直接关系到能否满足打靶要求;中高频位相调制既影响了焦斑旁瓣的能量分布,又增大了光斑的尺寸,甚至会导致严重的光学元件损伤,降低激光光束的输出质量^[1]。因此,对高功率激光系统来说,评价光学元件质量不能仅分析波前畸变的峰谷值d_pv和均方根值W_RMS,而应引入波前误差的频谱分布进行评价。

波前功率谱密度(PSD)是光学元件波面误差的傅里叶变换与空间频率间隔的比值,表征位相误差各种空间频率成分的权重分布,可用于光学元件中高频加工误差的评价。采用高分辨率干涉仪测量光学元件的波面误差再进行傅里叶变换可分析得到PSD。但高分辨率干涉仪的检测口径通常不能满足大口径光学元件的检测需求。高精度大口径干涉仪的标准镜加工难度大,口径一般不超过600 mm,对CCD(charge coupled device)分辨率及光学系统传递函数要求也较高,因而价格昂贵。为降低检测成本,徐建程等^[2]研究了功率谱密度的统计测量方法,由于该方法不能得到全口径的PSD分布及一维(1D)塌陷曲线,且要求采样区域的数量不低于8×8,故无法高效、准确地反映元件中高频误差。杨相会等^[3]认为干涉仪的传递函数关系到PSD检测精度,并提出了依据干涉仪传递函数与PSD的关系对测量结果进行修正的方法,但该方法不确定因素多且无法解决检测口径不足的问题。因此,有必要提出一种拼接检测方法实现对光学元件高精度、低成本及全口径的检测需求。

拼接测量技术最早由美国Arizona大学光学中心的Kim^[4]于1982年提出,采用小口径干涉仪、离轴抛物面准直镜及参考镜面建立测量装置,实现了1.6 m平面镜的面形测量^[5]。中国科学院长春光学精密机械与物理研究所采用精密平移系统定位子孔径坐标,基于综合优化和误差均化的拼接模型实现了大口径光学元件的面形测量,并提出了机械定位误差的补偿算法;但是检测系统依赖的电控精密平移装置,不仅挤占了有限的测量空间,增大了检测系统复杂程度,而且伺服电机在长期使用后会因耗损产生控制故障,产生安全隐患^[6-9]。

本文利用小口径干涉仪的高分辨优势结合拼接技术拓展检测口径的能力,提出了一种波前PSD拼接检测方法。通过图像处理算法精确定位子孔径,设计误差抑制算法消除分次测量引入的误差,最后对波前畸变进行傅里叶分析并求取PSD。该方法未引入电控机械平移装置,且整个拼接过程由算法自动完成,可降低检测成本,提高检测效率。

2 PSD的检测技术

波前PSD的检测实际是通过检测光学元件的反射波前或透射波前,然后对波前数据进行傅里叶分析。光学元件波前干涉检测光路如图1所示,TF为干涉仪标准参考镜,RF为标准反射镜。

图 1. 光学元件波前检测示意图。(a)反射波前检测;(b)透射波前检测

Fig. 1. Schematic of wavefront detection of optical elements. (a) Reflected wavefront detection; (b) transmitted wavefront detection

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2.1 二维波前PSD计算方法

二维PSD离散化后,二维PSD分布可表示为^[2]

WPSDνx,νy=ΔxΔyNxNy×∑x=0Nx-1∑y=0Ny-1W(x,y)exp-i·2πmxNx+nyNy2,1

式中:ν_x,ν_y分别为空间频率;Δx,Δy为采样间距;W(x,y)为波前畸变;N_x,N_y分别为x,y方向的采样点数;m,n分别为采样点序号。波前畸变在传播过程中可看作周期信号的叠加,依据Parseval定理:

∑νx1νx2∑νy1νy2W(νx,νy)2=1NxNy∑m=0Nx-1∑n=0Ny-1W(m,n)2,(2)

可得到用频域波前表示的波前均方根值W_RMS:

WRMS=∑νx1νx2∑νy1νy2W(νx,νy)2。(3)

二维波前PSD与频域波前畸变的关系可表示为

WPSD(νx,νy)=W*(νx,νy)W(νx,νy)LxLy,(4)

式中,L_x、L_y分别为x、y方向的采样长度,W^*(ν_x,ν_y)为波前畸变W(ν_x,ν_y)的共轭。基于上述理论推导,为使二维PSD更加直观地反映光学元件的中频误差,可对波前畸变进行中频波段的带通滤波,并以波前均方根值表示二维PSD:

WRMS=∑νx=νx1νx2∑νy=νy1νy2WPSD(νx,νy)Lx·Ly,(5)

式中:ν_x2,ν_y2分别为光学元件中频段的上截止频率;ν_x1,ν_y1分别为中频波段的下截止频率。由于波前数据为有限序列,进行傅里叶变换的过程会引入误差,为提高计算精度需按以下步骤进行处理。

1) 对波前数据的填充。波前数据中的缺失点会在滤波过程中产生高频噪声,而矩形元件波前数据的四角通常因数据异常,滤波后会发生塌边、塌角,影响PSD的客观评价。因此,针对矩形口径元件,需要进行先倒角后填充的处理。数据填充方式采用双线性插值方法。

2) 对波前数据矩阵进行扩展。波前数据在傅里叶变换时会因边缘截断产生振铃效应,造成高频起伏,因此需采用空间扩展方法(quad-flip)将大小为N×N的波前矩阵,扩展为2N×2N的矩阵,使得波前边缘数值连续。对扩展后的矩阵再进行傅里叶变换。

3)选取误差函数窗进行带通滤波并计算均方根值^[10]。滤波窗函数为

F(fx,fy)=0.5×1-erf20fflc-1+0.5×1-erf20ffhc-1,f∉[flc,fhc]1-0.5×1-erf20fflc-1+0.5×1-erf20ffhc-1,f∈[flc,fhc],(6)

式中:F表示滤波窗函数;f=fx2+fy2,f_x、f_y分别为水平及竖直方向的空间频率;erf为误差函数;f_lc,f_hc分别为波前PSD滤波窗的下截止频率及上截止频率。

2.2 一维PSD计算方法

由二维PSD分布统计计算得到的一维PSD 塌陷曲线可用于直观判别产生空间调制各频率成分的影响程度。一维PSD塌陷曲线的计算方法是先选取特定方向,再基于二维PSD分布计算垂直于该方向的线积分。如图2所示,选取x'轴(蓝线)方向,其与水平轴x轴成θ角,则其一维PSD曲线可通过计算W_PSD沿y'轴(红线)方向的线积分得到。为提高一维PSD评价的准确性,一般θ的取值分别为0°、30°、60°、90°、120°、150°,各方向角的塌陷曲线与指标截止线构成综合评价方法。

图 2. 一维PSD计算示意图

Fig. 2. Schematic of 1D PSD calculation

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一维PSD塌陷曲线可通过拉东(Radon)变换计算得到,拉东变换的表达式为

W1Dθ=∫-∞+∞WPSD(x'cosθ-y'sinθ,x'sinθ+y'cosθ)dy',(7)

x'y'=cosθsinθ-sinθcosθxy,(8)

式中 W1Dθ表示θ方向的一维PSD分布。

3 子孔径的拼接

拼接检测的关键在于子孔径的定位与校正,可采用图像配准的算法取代精密机械平移系统。本研究采用5维气浮平台取代常规电控机械平台,移动表面有标记的光学元件进行子孔径测量,首先基于标记特征初步确定重叠区,再从重叠区提取模板通过相关算法对子孔径进行定位,最后通过校正算法消除拼接误差。关键过程分为子孔径的定位和拼接误差校正^[11-13],具体流程如图3所示。

图 3. 子孔径的拼接流程图

Fig. 3. Flow chart of subaperture stitching

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3.1 子孔径定位

对子孔径重叠区的识别与匹配是子孔径精确定位的关键。测量前,在光学元件通光口径外(如下边缘)人为设置一处标记,要求标记图像与波前数据有明显差异,且尺寸不大于元件尺寸的5%。由检测人员操作气浮平台移动元件进行分区域测量,要求每个子孔径区域都包含标记。由于本研究的重叠区定位算法不依赖元件移动位置与平移精度,可以不限制每次移动的行程与路径。

子孔径精确定位分以下4步完成。

1)识别光学元件波前数据边界,提取有效数据,剔除无效点。由于光线散射,元件波前数据边缘外的CCD背景中,存在杂散点,会对波前数据提取分析构成干扰,应剔除。分别取波前数据中间三行(或列)的像素数平均值为参考值,如果数据矩阵的某行(或列)的像素个数小于参考值的90%,则认为此行(或列)为元件边界,将边界外的数据定义为无效数据。

2)波前数据插值与二值化。为实现子孔径的亚像素级精度定位,采用双线性插值方法对各子孔径波前数据进行插值,将1 pixel细分为4 pixel,即像素尺寸减小一半;定义各子孔径边界内波前数据点取值为0,标记数据取值为1,得到波前数据(含标记)的二值图像。

3)重叠区粗定位。对每个二值化后的子孔径数据求质心坐标,可快速确定标记在各子孔径中的位置,即可初步识别重叠区的位置,粗定位偏差不大于标记尺寸。

4)相关运算精确定位子孔径。选择一子孔径为基准,根据质心坐标(G_i,G_j),从基准孔径波前重叠区选取一方形区域作为模板A,大小为31 pixel×31 pixel;从另外子孔径中选取相同大小的待匹配矩阵B,矩阵B中心像素的行和列坐标分别为i和j。由于已通过重叠区粗定位,为提高匹配效率和精度,限定B沿横向与纵向遍历范围均不超过标记尺寸。以标记在底部边缘为例,匹配过程如图4所示,M为波前数据取整后的中心行坐标,G_jl与G_jr分别为两子孔径质心的列坐标。

图 4. 相关匹配示意图。(a)左子口径模板提取;(b)右子孔径待匹配矩阵的选取

Fig. 4. Schematic of correlation match. (a) Template extraction from left aperture; (b) matrix to be matched extracted from right aperture

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模板A与矩阵B_ij的二维相关系数r的求解式为

r=∑x=131∑y=131[W(x,y)-W-(x,y)][T(s,t)-T-(s,t)]∑x=131∑y=131[W(x,y)-W-(x,y)]∑s=131∑t=131[T(s,t)-T-(s,t)]12,(9)

式中:W(x,y)为模板A的波前数据; W-(x,y)为模板各像素的平均值;T(s,t)为待匹配矩阵B的波前数据; T-(s,t)为矩阵B各像素的平均值;s、t分别为矩阵B的行和列坐标。经相关运算后,相关系数最大的位置表示B与模板A在全口径中位置重叠^[14]。依据矩阵A与B在各自子孔径中的位置,可确定重叠区域的尺寸及子孔径的相对位置关系。经插值后,波前数据的横向分辨能力提高了一倍,基于相关匹配得到的定位精度相比插值前提高0.5 pixel。

3.2 拼接误差校正

因测量过程中的元件姿态及外部环境等因素不同,各子孔径测量结果中会引入倾斜和平移,若不消除此类像差,即使子孔径定位准确,拼接后的全口径数据也会失真^[15-16]。另外,各子孔径数据拼接成全口径后,在重叠区会形成明显的拼接痕迹,这会影响功率谱密度的计算。拼接误差的校正主要分两部分:子孔径姿态校正和全口径重叠区修正。其中,子孔径姿态校正的原则是保持子孔径重叠区的姿态一致,利用重叠区姿态调整子孔径的姿态。

假设左右两个子孔径的波前数据分别为ϕ₁(x₁,y₁)和ϕ₂(x₂,y₂),因测量环境不同它们之间的重叠区会存在位相偏差σ(x,y),进行zernike多项式拟合可得:

σ(x,y)=ax+by+c,(10)

式中,a、b为行、列方向的倾斜系数,c为平移系数。可按

abc=∑x2∑xy∑x∑xy∑y2∑y∑x∑yn-1∑xσ(x,y)∑yσ(x,y)∑σ(x,y),(11)

采用最小二乘法求得a、b、c的值。根据子孔径姿态校正的原则,采用重叠区的姿态差异对右孔径的波前值ϕ₂(x₂,y₂)进行校正,得到ϕ'₂(x₂,y₂),其表达式为

ϕ'2(x2,y2)=ϕ2(x2,y2)+ax+by+c。(12)

最后将校正后的子孔径依据相对位置关系进行拼接,可得到全口径波前数据。为消除全口径拼接结果中的拼接痕迹,采用融合算法对重叠区数据进行修正,得到修正后的全口径波前数据。融合算法可表示为

ϕ0(x,y)=d0-d1xd0ϕ1(x1,y1)+d1xd0ϕ2(x2,y2),(13)

式中,d₀为重叠区域的宽度,ϕ₀(x,y)为重叠区的波前数据,d₁(x)为像素点与重叠区域左边界之间的距离。

4 仿真验证

仿真验证拼接方法的拼接精度,以口径为713 pixel×508 pixel的波前数据作为全口径参考值,将全口径划分为左右两个子孔径,且均包含标记,设置重叠区大小为41 pixel×508 pixel。为贴合实际检测现状,引入干涉仪系统噪声(峰谷值为0.015λ,其中波长λ=632.8 nm),并将波前峰谷值(d_pv)、W_PSD的均方根值(P_RMS)、数据口径(D)作为评价指标。仿真验证结果如表1所示。

由表1可知,拼接波前与参考波前的尺寸相同,拼接结果与参考值的d_pv偏差为0.0033λ,P_RMS偏差为0.002 nm,相对偏差分别为1.2%和0.1%。根据图5的仿真结果,拼接波前和参考波前的分布基本一致,证明了所提拼接算法的准确性。

图 5. 仿真结果。(a)参考面;(b)拼接波面;(c)相关系数

Fig. 5. Simulation results. (a) Reference surface; (b) stitching surface; (c) correlation coefficient

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5 实验与误差分析

5.1 实验验证

采用美国ZYGO公司32″Verifire MST干涉仪对口径为620 mm×450 mm的反射镜进行波前PSD-1(空间周期:2.5~33 mm)检测,干涉仪参考镜面形的P_RMS为0.5 nm,测量重复性为0.05 nm。为排除设备差异性,子孔径与全口径波前检测均采用该干涉仪。

根据实验需要,将反射镜通光面划分为左右两个子孔径,如图6(a)所示。按图3的拼接流程,分别检测左右两个子孔径的波前畸变,如图6(b)和6(c)所示,并按顺序通过质心算法和相关匹配对重叠区进行识别。运算结果如表2所示。

图 6. 拼接运算过程。(a)子孔径规划;(b)子孔径1;(c)子孔径2;(d)相关系数

Fig. 6. Process of stitching operation. (a) Plan of subaperture; (b) sub1; (c) sub2; (d) correlation coefficient

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由表2可知,采用质心法对左右子孔径的标记进行定位,标记的行位置相差2 pixel,列位置相差387 pixel。从左子孔径近似重叠区中(329,480)处选取一矩阵作为模板,遍历右子孔径近似重叠区进行相关匹配后,得到二维相关系数矩阵,如图6(d)所示,最大系数为0.88,匹配位置为(330,92)。可以发现,相关匹配在质心法定位基础上对行和列均进行了1 pixel的精度调整。利用(5)式得到的重叠区校正系数对右子孔径进行姿态校正,并通过(7)式数据融合后拼接得到全口径波前数据,如图7(a)所示。按二维PSD计算方法进行带通滤波,可得到以均方根值表示的W_PSD,如图7(c)所示。由图7可知,拼接检测与全口径直接检测相比,波前畸变分布完全一致,d_pv与P_RMS的偏差分别为0.006λ与0.030 nm,相对偏差分别为2.6%和2.2%。

图 7. 拼接结果与全口径检测结果对比。(a)拼接检测的波前;(b)全口径检测波前;(c)拼接检测的波前二维PSD分布;(d)全口径检测的波前二维PSD分布

Fig. 7. Comparison between stitching and full-aperture test results. (a) Stitching wavefront measurement; (b) full-aperture wavefront measurement; (c) stitching wavefront WPSD; (d) full-aperture wavefront WPSD

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为验证拼接检测方法的可靠性,另选取5件口径为620 mm×450 mm的光学元件进行拼接检测实验,实验结果如表3所示。5次实验结果中,拼接检测与全口径直接检测的波前d_pv最大偏差为0.012λ,P_RMS最大偏差为0.020 nm;拼接检测误差均小于干涉仪重复测量误差。

为验证拼接检测方法计算一维PSD曲线的有效性,对一口径为620 mm×450 mm的反射镜进行实验,比较左子孔径、右子孔径、拼接全口径和全口径直接检测的一维PSD结果。图8为分别按0°、30°、60°、90°、120°、150°这6种角度投影得到的一维PSD曲线。由图8可知,特定角度下,拼接检测与全口径检测的一维PSD在中频段(空间周期:2.5~33 mm)基本一致,曲线接近重合,而两个子孔径在中频段的低频区(空间周期:10~33 mm)与拼接检测及全口径检测结果均有明显差异,因此,对一维PSD采用所提拼接检测方法能代替全口径检测结果,且相比子孔径统计法具有信息更全面的优势。

图 8. 一维PSD曲线结果比对。(a) 0°;(b) 30°;(c) 60°;(d) 90°;(e) 120°;(f) 150°

Fig. 8. Comparison of 1D PSD calculation. (a) 0°; (b) 30°; (c) 60°; (d) 90°; (e) 120°; (f) 150°

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5.2 误差分析

拼接干涉检测的误差来源主要有随机噪声、干涉仪系统噪声、子孔径定位误差及干涉仪标准镜面形引入的误差。

1) 随机噪声。随机噪声是由干涉腔内的环境因素(气流扰动、温湿度波动)及干涉仪电子噪声等因素引起的,噪声源的变化具有随机性,通过多次重复测量取平均值的方式可明显降低随机噪声,随机噪声对检测结果的影响可忽略。

2) 干涉仪系统噪声。干涉仪系统噪声主要由干涉仪光路结构、元件装夹机构及隔振平台的低频振动引入。上述机械结构如不能保证元件测量过程中的稳定状态,会导致干涉条纹发生漂移或抖动,影响相位展开的准确性,该噪声为测量误差的主要来源。因此,对干涉仪装夹系统的稳定性要求较高,同时可采取多次重复测量取平均值的方式降低该部分的影响。

3) 子孔径定位误差。定位误差会导致拼接错位,从而引入高频误差。但所提算法可将定位误差降低到0.5 pixel以内,该误差对大口径光学元件的检测结果影响可忽略。

4) 干涉仪标准镜面形引入的误差。相邻子孔径的重叠区是相对标准镜不同位置的检测结果,通常会引入倾斜、平移及高阶像差。在多次拼接后,重叠区的差异会导致误差累积,应在拼接前去除参考镜面形^[17]。

6 结论

检测口径、分辨力及传递函数是影响大口径干涉仪检测光学元件波前PSD的关键因素。在推导PSD计算方法的基础上,提出了一种基于标记特征和相关匹配结合的拼接检测方法。通过设置标记初步获取重叠区位置,采用相关匹配精确识别重叠区,最后通过误差校正算法降低拼接误差。开展了仿真模拟及验证,结果表明波前d_pv偏差及P_RMS偏差均在重复测量误差范围内,且针对一维PSD,拼接检测比子孔径统计法检测更准确。另外,所提拼接方法不需额外引入机械位移平台,仅对波前数据进行处理即可自动拼接,子孔径定位精度为亚像素级,操作简便及安全性高,可实现大口径光学元件功率谱密度的高精度和低成本检测。