涂覆石墨烯的三根电介质纳米线波导的模式特性

卫壮志; 薛文瑞; 彭艳玲; 程鑫; 李昌勇

doi:doi:10.3788/AOS201939.0124001

光学学报, 2019, 39 (1): 0124001, 网络出版: 2019-05-10

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Mode Characteristics of Waveguides Based on Three Graphene-Coated Dielectric Nanowires

论文大纲

卫壮志 ^1,*薛文瑞 ^1,*彭艳玲 ¹程鑫 ¹李昌勇 ^2,3

作者单位

¹ 山西大学物理电子工程学院, 山西太原 030006

² 山西大学量子光学与光量子器件国家重点实验室,激光光谱研究所, 山西太原 030006

³ 山西大学极端光学协同创新中心, 山西太原 030006

表面光学表面等离子体石墨烯波导多极方法模式 optics at surfaces surface plasmons graphene waveguides multipole method modes

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摘要

采用多极方法,通过改变工作频率、中间纳米线半径、中间纳米线高度、水平方向上纳米线之间的距离以及石墨烯的费米能,对涂覆石墨烯的三根轴心非共面的电介质纳米线波导所支持的5种低阶模的有效折射率实部和传播长度进行分析。当工作频率从30 THz增加到40 THz时,有效折射率实部增大,传播长度减小。当中间纳米线的半径从20 nm增加到55 nm时,有效折射率的实部增大,传播长度变化各不相同。当中间纳米线的高度从0增加到100 nm时,有效折射率的实部减小,除了模式5外,其他模式的传播长度都增大。当水平方向上纳米线之间的距离从160 nm增加到200 nm,石墨烯的费米能从0.4 eV增加到0.8 eV时,有效折射率的实部减小,传播长度增大。

Abstract

We propose a waveguide based on three graphene-coated dielectric nanowires with a non-coplanar axis using the multipole method, and analyze the real part of effective refractive index and propagation length of five supported low-order modes by changing the operating frequency, radius and height of the central nanowires, the horizontal space between the nanowires, and the Fermi energy of graphene. When the operating frequency increases from 30 THz to 40 THz, the real part of the effective refractive index increases, whereas the propagation length decreases. When the radius of the central nanowire increases from 20 nm to 55 nm, the real part of effective refractive index increases; however, the corresponding propagation length varies. When the height of the central nanowire increases from 0 to 100 nm, the real part of effective refractive index decreases, whereas the propagation length increases, except for that of mode 5. When the horizontal space between the nanowires increases from 160 nm to 200 nm or the Fermi energy increases from 0.4 eV to 0.8 eV, the propagation length increases, whereas the real part of the effective refractive index decreases.

1 引言

石墨烯是一种重要的电子^[1-2]和光子学材料^[3-4]。作为二维单层原子材料^[5],石墨烯具有若干区别于传统材料的优越特性,包括可调的表面电导率^[6]、极强的中远红外-太赫兹波段电磁波耦合能力^[7]等,同时具有显著的场效应,被认为是电子学器件中硅材料的理想代替者,在太阳能电池^[8]、天线^[9]等方面具有广泛的应用。

表面等离子激元(SPPs)^[10]具有独特的色散和传输特性。石墨烯的表面支持SPPs的传输,可以用石墨烯代替传统金属作为表面等离子的传输载体^[11]。与传统金属波导相比,基于石墨烯的表面等离子波导具有额外的优越性,包括红外到太赫兹波段的工作区域和高度电可调以及更强的电磁波场局域。因此,基于石墨烯的表面等离子波导在纳米光子学领域具有广阔的应用前景^[12-14]。

基于平面石墨烯的纳米带结构可以支持边缘模式和波导模式^[15]。当石墨烯涂覆在纳米线上时,由于具有无边缘几何形状,只能传播波导模式,因此可以明显降低由石墨烯边缘引起的损耗^[16]。目前,涂覆石墨烯的电介质纳米线波导成为研究热点之一。已有的研究结果表明:涂覆单层石墨烯的单根纳米线波导中石墨烯有助于提高模式的传播长度^[17];涂覆双层石墨烯的单根纳米线波导对模式具有较强的约束性,可以减小有效模式面积,增大传播长度^[18];涂覆多层石墨烯的单根纳米线波导的场限制强于具有相同外半径的涂覆单层石墨烯的纳米线波导^[19];在涂覆单层石墨烯的纳米并行线之间的狭缝区域,场的增强效应非常明显,可产生较高的梯度力^[20];在涂覆双层石墨烯的纳米并行线波导的狭缝区域,可以得到更高的场增强^[21]。

本课题组曾经对基于涂覆石墨烯的三根轴心共面的电介质纳米线波导进行研究,在这种结构中,三根电介质纳米线的轴心共面,是一种特殊的情况^[22]。现将其推广到更加普遍的情形,即非共面的情形。通过改变工作频率、中间纳米线半径、中间纳米线高度、水平方向上两根纳米线之间的距离以及石墨烯的费米能,对模式的有效折射率实部和传播长度进行详细分析。这种波导在模分复用方面具有潜在的应用前景^[23-25],与单根结构相比,本文提出的结构在相邻的两根纳米线之间形成缝隙,可以利用这个缝隙来导引SPPs的传输;和双根结构相比,本文结构的优势是增加了一条缝隙,更加有利于其在模分复用方面的应用。利用石墨烯SPPs来传输和控制电磁波就是利用了其亚波长的特性,这可为全光集成芯片的实现提供依据^[26]。

2 理论模型

涂覆石墨烯的三根轴心非共面电介质纳米线波导的结构如图1所示,该波导是由三根半径分别为ρ₀、ρ₁和ρ₂且轴心非共面的涂覆了单层石墨烯的电介质纳米线组成。假设该结构左右对称,且取ρ₀=ρ₁=100 nm。纳米线0和纳米线1的圆心(在x轴上)到原点的距离均为a,纳米线2的圆心(在y轴上)到原点的距离为b。电介质纳米线的相对介电常数为ε₁,整个结构镶嵌在相对介电常数为ε₂的电介质中,并假设ε₁=2,ε₂=1。将石墨烯看成厚度为零的导体介质,其电导率σ_g=σ_intra+σ_inter,其中σ_intra和σ_inter分别为带内和带间电导率,它们可以由库珀公式^[27]得到。

图 1. 涂覆石墨烯的三根轴心非共面电介质纳米线波导的横截面示意图,其中电介质纳米线外侧黑色的圆环为石墨烯

Fig. 1. Cross section of waveguides based on three graphene-coated dielectric nanowires with non-coplanar axis. The black rings on the outside of the dielectric nanowires are graphene

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3 计算方法

采用多极方法(MM)^[28-33]对图1所示结构支持的模式进行分析。假设波导结构中的模式在z方向上传播,以三根电介质纳米线的轴心为原点,分别建立极坐标系(r₀,ϕ₀),(r₁,ϕ₁)和(r₂,ϕ₂)。三根纳米线在各自的坐标系中,其z方向的电场和磁场分量如下:

纳米线0内部的电场分量E_z₀₁和磁场分量H_z₀₁分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z 01} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [A_{n} \cos (n ϕ_{0}) + A'_{n} \sin (n ϕ_{0})] I_{n} (λ_{1} r_{0}) \\ H_{z 01} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [B_{n} \cos (n ϕ_{0}) + B'_{n} \sin (n ϕ_{0})] I_{n} (λ_{1} r_{0}) \end{matrix}, (1) \end{matrix}

纳米线0外部的电场分量E_z₀₂和磁场分量H_z₀₂分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z 02} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [C_{n} \cos (n ϕ_{0}) + C'_{n} \sin (n ϕ_{0})] K_{n} (λ_{2} r_{0}) \\ H_{z 02} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [D_{n} \cos (n ϕ_{0}) + D'_{n} \sin (n ϕ_{0})] K_{n} (λ_{2} r_{0}) \end{matrix}, (2) \end{matrix}

纳米线1内部的电场分量E_z₁₁和磁场分量H_z₁₁分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z 11} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [E_{n} \cos (n ϕ_{1}) + E'_{n} \sin (n ϕ_{1})] I_{n} (λ_{1} r_{1}) \\ H_{z 11} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [F_{n} \cos (n ϕ_{1}) + F'_{n} si n (n ϕ_{1})] I_{n} (λ_{1} r_{1}) \end{matrix}, (3) \end{matrix}

纳米线1外部的电场分量E_z₁₂和磁场分量H_z₁₂分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z 12} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [G_{n} \cos (n ϕ_{1}) + G'_{n} \sin (n ϕ_{1})] K_{n} (λ_{2} r_{1}) \\ H_{z 12} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [H_{n} \cos (n ϕ_{1}) + H'_{n} \sin (n ϕ_{1})] K_{n} (λ_{2} r_{1}) \end{matrix}, (4) \end{matrix}

纳米线2内部的电场分量E_z₂₁和磁场分量H_z₂₁分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z 21} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [P_{n} \cos (n ϕ_{2}) + P'_{n} \sin (n ϕ_{2})] I_{n} (λ_{1} r_{2}) \\ H_{z 21} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [Q_{n} \cos (n ϕ_{2}) + Q'_{n} \sin (n ϕ_{2})] I_{n} (λ_{1} r_{2}) \end{matrix}, (5) \end{matrix}

纳米线2外部的电场分量E_z₂₂和磁场分量H_z₂₂分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z 22} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [R_{n} \cos (n ϕ_{2}) + R'_{n} \sin (n ϕ_{2})] K_{n} (λ_{2} r_{2}) \\ H_{z 22} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} [S_{n} \cos (n ϕ_{2}) + S'_{n} \sin (n ϕ_{2})] K_{n} (λ_{2} r_{2}) \end{matrix}, (6) \end{matrix}

式中:I_n和K_n为修正的贝塞尔函数;A_n、A'_n、B_n、B'_n、C_n、C'_n、D_n、D'_n、E_n、E'_n、F_n、F'_n、G_n、G'_n、H_n、H'_n、P_n、P'_n、Q_n、Q'_n、R_n、R'_n、S_n和S'_n均为待定系数;λ₁= $\begin{matrix} \sqrt[]{β^{2} - ω^{2} ε_{1} μ_{0}} \end{matrix}$ ,λ₂= $\begin{matrix} \sqrt[]{β^{2} - ω^{2} ε_{2} μ_{0}} \end{matrix}$ ,其中β为传播常数,μ₀为真空的磁导率,ω为角频率。利用加法定理^[28],将纳米线1与纳米线2的外电场E_z₁₂、E_z₂₂和外磁场H_z₁₂、H_z₂₂分别变换到纳米线0的坐标系中,可以得到纳米线0的外电场E_z|_{0 outer}和外磁场H_z|_{0 outer}。同理可以得到纳米线1的外电场E_z|_{1 outer}和外磁场H_z|_{1 outer}及纳米线2的外电场E_z|_{2 outer}和外磁场H_z|_{2 outer}。根据Maxwell方程组可由纳米线外的z方向的电磁场计算出其他场分量。把单层石墨烯看成厚度为零的导体边界,其切向边界条件为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{z} |_{iinner} = E_{z} |_{iouter} \\ H_{z} |_{iouter} - H_{z} |_{iinner} = - σ_{g} E_{ϕ} |_{iinner} \\ E_{ϕ} |_{iinner} = E_{ϕ} |_{iouter} \\ H_{ϕ} |_{iouter} - H_{ϕ} |_{iinner} = σ_{g} E_{z} |_{iinner} \end{matrix}, (7) \end{matrix}

式中:i=0、1和2分别表示纳米线0、纳米线1和纳米线2。利用(7)式可以建立一个齐次线性代数方程组:

\begin{matrix} A \cdot X = 0, (8) \end{matrix}

式中:X为(1)~(6)式的待定系数组成的一个列矢量,假设M为(1)~(6)式及其他场分量中n的上限值,也就是说,把无穷项求和截断为M项求和,则A为一个方阵,且这个方阵由24×24个子方阵a(i,j)组成,每个子方阵a(i,j)中包含M×M个矩阵元a_mn(i,j),其中i=0,1,…,23;j=0,1,…,23;m=0,1,…,M;n=0,1,…,M。例如:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{mn} (0,0) = I_{n} (λ_{1} ρ_{0}) δ_{mn}, (9) \\ a_{mn} (1,1) = I_{n} (λ_{1} ρ_{0}) δ_{mn}, (10) \\ a_{mn} (2,2) = [j \frac{σ_{g} μ_{0} ω}{λ_{1}} I'_{n} (λ_{1} ρ_{0}) - I_{n} (λ_{1} ρ_{0})] δ_{mn}, (11) \end{matrix} \end{matrix}

式中:δ_mn为克罗尼克符号。

根据线性代数理论,齐次线性代数方程组[(8)式]有解的充分必要条件是方阵A的行列式为0,即

\begin{matrix} |\begin{matrix} a (0,0) & a (1,0) & \dots & a (23,0) \\ a (0,1) & a (1,1) & \dots & a (23,1) \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ a (0,23) & a (1,23) & \dots & a (23,23) \end{matrix}| = 0 。 (12) \end{matrix}

通过求解(12)式,就可以得到模式的有效折射率的实部Re n_eff和有效折射率的虚部Im n_eff,以及对应模式的场分布。进一步可以得到传播长度L_prop= $\begin{matrix} \frac{c}{4 πfIm n_{eff}} \end{matrix}$ ,其中c为光速,f为工作频率。

4 结果与讨论

1) 确定最低阶模式。对于如图1所示的结构,当频率f=35 THz,半径ρ₀=ρ₁=100 nm,ρ₂=50 nm,间距a=175 nm,高度b=60 nm,费米能E_F=0.5 eV时,利用多极方法可以得到5个最低阶模式,依次命名为模式1、模式2、模式3、模式4和模式5(mode 1、mode 2、mode 3、mode 4和mode 5),如图2所示。这5个最低阶模式可由三根纳米线单独存在时所支持的两个最低阶模式(文献[ 22]中图3所示的#0模式和#1模式)组合而成,见图2(a)~(d)。为了表述方便,采用符号“+”和“-”分别表示正、负表面电荷^[20]。可以看出,模式1是由#0、#0和#0组成;模式2是由#0、#1和#0组成;模式3是由#1、#0和#1组成;模式4和模式5均是由#1、#1和#1组成。

图 2. 当工作频率f=35 THz,纳米线半径ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,间距a=175 nm,高度b=60 nm,以及费米能EF=0.5 eV时,5种模式的场分布

Fig. 2. Field distributions of five modes at f=35 THz,ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

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2) 研究工作频率f对波导的模式特性的影响。图3所示为当ρ₀=ρ₁=100 nm,ρ₂=50 nm,a=175 nm,b=60 nm,E_F=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re n_eff和传播长度L_prop随工作频率f变化的关系。其中,曲线是采用有限元方法(FEM)得到的数值解,数据点是采用多极方法得到的半解析解,下文中均采用这种标注方法。由图3可以看出,两种方法所得到的结果基本吻合,但还是存在微小的差异。这主要是因为多极方法把无穷项求和截断为M项求和,这一处理会带来一定的误差。计算结果表明,随着M的增加,误差逐渐减小,但计算量却逐渐增大。为了兼顾精度和计算量,取M=5。当频率由30 THz增大到40 THz时,各个模式的有效折射率的实部逐渐增大,而传播长度逐渐减小。在变化的过程中,模式1的有效折射率的实部和传播长度明显大于其他模式的值,高阶模式的传播长度会出现交叉现象。当频率较低时,模式1与其他模式的传播长度差值较大,随着频率增大,差值逐渐减小。此外,模式3和模式4的有效折射率的实部和传播长度基本相同。

图4所示为其他参数不变,工作频率f分别为31 THz和39 THz时模式1的电场分布。通过对比可以看出,当频率为31 THz时,石墨烯表面的电场强度相对较弱,这是由于电场与石墨烯之间的相互作用较弱,波导对模式的束缚性较小,导致有效折射率的实部较小,传播长度较大;当频率为39 THz时,石墨烯表面的电场强度增强,这主要是因为场与石墨烯之间的相互作用增强,波导对模式的束缚增大,导致有效折射率的实部增大,传播长度减小。

图 3. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随工作频率f的变化关系

Fig. 3. Dependency of (a) real part of the effective refractive index and (b) propagation length on the operating frequency f

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图 4. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm,EF=0.5 eV,工作频率分别为(a) 31 THz和(b) 39 THz时,模式1的电场分布

Fig. 4. Distributions of electric field of mode 1 when the operating frequency f is (a) 31 THz and (b) 39 THz at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

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图 5. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随半径ρ2的变化关系

Fig. 5. Dependency of (a) real part of the effective refractive index and (b) propagation length on the radius ρ2

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3) 研究纳米线2的半径ρ₂对波导的模式特性的影响。图5所示为当ρ₀=ρ₁=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,E_F=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re n_eff和传播长度L_prop随半径ρ₂变化的关系。当半径由20 nm增大到55 nm时,模式1和模式2的有效折射率的实部增大,并且变化幅度较大。而其他模式的有效折射率的实部均缓慢增大。模式1和模式4的传播长度随半径的增大而减小,模式2的传播长度先增大后减小,但变化幅度较小。模式5的传播长度随半径的增大而缓慢增大。此外,模式3的传播长度基本不受半径变化的影响。在变化的过程中,模式1的有效折射率实部和传播长度始终最大。

图6所示为其他参数不变,半径ρ₂分别为25 nm和55 nm时模式1的电场分布。通过对比可以看出,当纳米线2的半径为25 nm时,场和石墨烯的接触面积相对较小,石墨烯表面的电场强度相对较弱,这主要是因为场与石墨烯之间的的相互作用比较弱,波导对模式的束缚较小,导致有效折射率的实部比较小,传播长度比较大;当半径为55 nm时,场和石墨烯的接触面积增大,石墨烯表面的电场强度增强,这是由于场与石墨烯之间的相互作用增强,波导对模式的束缚性增大,导致有效折射率的实部增大,传播长度减小。

4) 研究高度b对波导的模式特性的影响。图7所示为当ρ₀=ρ₁=100 nm,ρ₂=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,E_F=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re n_eff和传播长度L_prop随高度b变化的关系。当高度为0时,所对应的结构为文献[ 22]的研究结构。当高度由0增大到100 nm时,5种模式的有效折射率的实部都减小,其中模式1和模式2变化明显,其值明显大于其他模式,而模式5变化缓慢。除模式5的传播长度稍微减小外,其他模式的传播长度都在增大,并且模式1和模式2变化明显。模式3和模式4的有效折射率实部和传播长度基本不受高度变化的影响,并且这两个模式的值基本相同。在变化的过程中,模式1的有效折射率实部和传播长度始终最大。

图 6. 当ρ0=ρ1=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,EF=0.5 eV,纳米线2的半径分别为(a) 25 nm和(b) 55 nm时,模式1的电场分布

Fig. 6. Distributions of electric field of mode 1 when the radius ρ2 of the nanowire 2 is (a) 25 nm and (b) 55 nm at ρ0=ρ1=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

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图 7. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随高度b的变化关系

Fig. 7. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on height b

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图8所示为其他参数不变,高度b分别为10 nm和100 nm时模式1的电场分布。通过对比可以看出,当高度为10 nm时,石墨烯表面的电场强度相对较强,这是由于场与石墨烯之间的相互作用比较强,波导对模式的束缚性大,导致有效折射率的实部比较大,传播长度比较小;当高度为100 nm时,石墨烯表面的电场强度减弱,这是由于场与石墨烯之间的相互作用减弱,波导对模式的束缚性减小,导致有效折射率的实部减小,传播长度增大。

5) 研究间距a对波导的模式特性的影响。图9所示为当ρ₀=ρ₁=100 nm,ρ₂=50 nm,f=35 THz,b=60 nm,E_F=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re n_eff和传播长度L_prop随间距a变化的关系。当间距由160 nm增大到200 nm时,5种模式的有效折射率实部均减小,传播长度均增大并最终都趋于稳定。其中模式1和模式2的变化幅度比其他模式大,并且二者的有效折射率实部明显大于其他模式。相比较而言,模式5的有效折射率实部和传播长度的变化比较平缓,而模式3和模式4的有效折射率实部和传播长度基本不受间距变化的影响,并且这两个模式的值基本相同。在变化的过程中,模式1的有效折射率实部和传播长度始终最大,并且模式2~5的传播长度出现了交叉现象。

图 8. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,EF=0.5 eV,高度分别为(a) 10 nm和(b) 100 nm时,模式1的电场分布

Fig. 8. Distributions of electric field of mode 1 when the height b is (a) 10 nm and (b) 100 nm at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm, and EF=0.5 eV

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图 9. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随间距a的变化关系

Fig. 9. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on space a

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图10所示为其他参数不变,间距a分别为160 nm和195 nm时模式1的电场分布。通过对比可以看出,当间距为160 nm时,水平方向上两根纳米线之间的距离较小,场的耦合作用较大,波导对场的束缚性相对较强,场分布比较集中,导致有效折射率的实部比较大,传播长度比较小;当间距为195 nm时,水平方向上两根纳米线之间的距离比较大,场的耦合作用减弱,波导对场的束缚性减弱,场分布比较散,导致传播损耗降低,有效折射率实部变小,传播长度变大。

6) 研究石墨烯的费米能E_F对波导的模式特性的影响。图11所示为当ρ₀=ρ₁=100 nm,ρ₂=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm时,各个模式的有效折射率的实部Re n_eff和传播长度L_prop随费米能E_F变化的关系。当费米能由0.4 eV增大到0.8 eV时,各个模式的有效折射率的实部均逐渐减小,而传播长度均逐渐增大,其中模式3和模式4的有效折射率实部基本相同。当频率较低时,模式1与其他模式的传播长度差值较小,随着频率增大,差值在逐渐增大。在变化的过程中,模式1的有效折射率实部和传播长度始终最大。

图12所示为其他参数不变,费米能E_F分别为0.4 eV和0.8 eV时模式1的电场分布。通过对比可以看出,当石墨烯费米能为0.4 eV时,石墨烯表面的电场强度比较大,它们之间的相互作用较强,结构对模式的束缚性较强,导致有效折射率实部比较大,传播长度比较小;当石墨烯费米能为0.8 eV时,石墨烯表面的电场强度减小,场与石墨烯之间的相互作用减弱,结构对模式的束缚性减弱,导致有效折射率实部减小,传播长度增大。

图 10. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,b=60 nm,EF=0.5 eV,间距分别为(a) 160 nm和(b) 195 nm时,模式1的电场分布

Fig. 10. Distributions of electric field of mode 1 when the space a is (a) 160 nm and (b) 195 nm at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,b=60 nm, and EF=0.5 eV

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图 11. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随费米能EF的变化关系

Fig. 11. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on Fermi energy EF

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图 12. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,费米能分别为(a) 0.4 eV和(b) 0.8 eV时,模式1的电场分布

Fig. 12. Distributions of electric field of mode 1 when the Fermi energy EF is (a) 0.4 eV and (b) 0.8 eV at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm, and b=60 nm

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5 结构对比

以模式1为例,对文献[ 22]的结构和本文所提结构中模式1的传播长度进行比较,结果如图13所示。从图13可以看出,当中间纳米线的圆心到原点的距离b为60 nm,其他参数一样时,通过改变工作频率、中间纳米线的半径、水平方向上两根纳米线之间的距离和石墨烯的费米能,可以明显看出三根轴心非共面纳米波导中模式1的传播长度较长。

以图13(b)为例,图14给出了当中间纳米线半径ρ₂=40 nm时,轴心共面波导与轴心非共面波导的电场分布。通过对比可以看出,共面结构中石墨烯表面的电场强度比较大,它们之间的相互作用较强,结构对模式的束缚性较强,导致传播长度比较小;非共面结构中石墨烯表面的电场强度较小,场与石墨烯之间的相互作用减弱,结构对模式的束缚性减弱,传播长度较大。

图 13. 轴心共面波导与轴心非共面波导的模式1的传播长度比较。(a)频率;(b)中间纳米线的半径;(c)水平方向上两根纳米线的距离;(d)费米能

Fig. 13. Comparison of propagation length of mode 1 of the waveguide with coplanar axis and the waveguide with non-coplanar axis. (a) Frequency; (b) radius of the middle nanowire; (c) distance between two nanowires in the horizontal direction; (d) Fermi energy

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图 14. 当ρ2=40 nm时,(a)轴心共面波导与(b)轴心非共面波导的电场分布

Fig. 14. Electric field distribution of (a) waveguide with coplanar axis and (b) waveguide with non-coplanar axis when ρ2=40 nm

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6 结论

研究了一种涂覆石墨烯的三根轴心非共面的电介质纳米线波导,通过改变工作频率、中间纳米线半径、中间纳米线高度、水平方向上两纳米线之间的距离以及石墨烯的费米能,采用多极方法对这种波导所支持的5种低阶模的有效折射率实部和传播长度进行分析。结果表明:当频率增大时,有效折射率实部增大,传播长度减小。当中间纳米线半径增大时,有效折射率实部增大;模式1和模式4的传播长度随半径的增大而减小,模式2的传播长度先增大后减小,但变化幅度较小,模式5的传播长度随半径的增大而缓慢增大,模式3的传播长度基本不受半径变化的影响。当高度增大时,模式1、模式2和模式5的有效折射率实部减小;模式1和模式2的传播长度增大,模式5的传播长度减小,模式3和模式4基本不受高度变化的影响,并且这两个模式的传播长度基本相同。当间距增大时,有效折射率实部均减小,传播长度均增大并最终趋于稳定,其中模式1和模式2的变化幅度较大,模式5的变化平缓,而模式3和模式4基本不受间距变化的影响。当费米能增大时,有效折射率实部逐渐减小,而传播长度逐渐增大。通过与三根轴心共面纳米波导相比较,所提结构中模式1的传播长度较大。本研究结果可为电介质纳米线波导在模分复用方面的应用提供参考。

参考文献

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1 引言

2 理论模型

图 1. 涂覆石墨烯的三根轴心非共面电介质纳米线波导的横截面示意图,其中电介质纳米线外侧黑色的圆环为石墨烯

Fig. 1. Cross section of waveguides based on three graphene-coated dielectric nanowires with non-coplanar axis. The black rings on the outside of the dielectric nanowires are graphene

3 计算方法

4 结果与讨论

图 2. 当工作频率f=35 THz,纳米线半径ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,间距a=175 nm,高度b=60 nm,以及费米能EF=0.5 eV时,5种模式的场分布

Fig. 2. Field distributions of five modes at f=35 THz,ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 3. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随工作频率f的变化关系

Fig. 3. Dependency of (a) real part of the effective refractive index and (b) propagation length on the operating frequency f

图 4. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm,EF=0.5 eV,工作频率分别为(a) 31 THz和(b) 39 THz时,模式1的电场分布

Fig. 4. Distributions of electric field of mode 1 when the operating frequency f is (a) 31 THz and (b) 39 THz at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 5. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随半径ρ2的变化关系

Fig. 5. Dependency of (a) real part of the effective refractive index and (b) propagation length on the radius ρ2

图 6. 当ρ0=ρ1=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,EF=0.5 eV,纳米线2的半径分别为(a) 25 nm和(b) 55 nm时,模式1的电场分布

Fig. 6. Distributions of electric field of mode 1 when the radius ρ2 of the nanowire 2 is (a) 25 nm and (b) 55 nm at ρ0=ρ1=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 7. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随高度b的变化关系

Fig. 7. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on height b

图 8. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,EF=0.5 eV,高度分别为(a) 10 nm和(b) 100 nm时,模式1的电场分布

Fig. 8. Distributions of electric field of mode 1 when the height b is (a) 10 nm and (b) 100 nm at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm, and EF=0.5 eV

图 9. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随间距a的变化关系

Fig. 9. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on space a

图 10. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,b=60 nm,EF=0.5 eV,间距分别为(a) 160 nm和(b) 195 nm时,模式1的电场分布

Fig. 10. Distributions of electric field of mode 1 when the space a is (a) 160 nm and (b) 195 nm at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 11. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随费米能EF的变化关系

Fig. 11. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on Fermi energy EF

图 12. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,费米能分别为(a) 0.4 eV和(b) 0.8 eV时,模式1的电场分布

Fig. 12. Distributions of electric field of mode 1 when the Fermi energy EF is (a) 0.4 eV and (b) 0.8 eV at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm, and b=60 nm

5 结构对比

图 13. 轴心共面波导与轴心非共面波导的模式1的传播长度比较。(a)频率;(b)中间纳米线的半径;(c)水平方向上两根纳米线的距离;(d)费米能

Fig. 13. Comparison of propagation length of mode 1 of the waveguide with coplanar axis and the waveguide with non-coplanar axis. (a) Frequency; (b) radius of the middle nanowire; (c) distance between two nanowires in the horizontal direction; (d) Fermi energy

图 14. 当ρ2=40 nm时,(a)轴心共面波导与(b)轴心非共面波导的电场分布

Fig. 14. Electric field distribution of (a) waveguide with coplanar axis and (b) waveguide with non-coplanar axis when ρ2=40 nm

6 结论

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1 引言

2 理论模型

图 1. 涂覆石墨烯的三根轴心非共面电介质纳米线波导的横截面示意图,其中电介质纳米线外侧黑色的圆环为石墨烯

Fig. 1. Cross section of waveguides based on three graphene-coated dielectric nanowires with non-coplanar axis. The black rings on the outside of the dielectric nanowires are graphene

3 计算方法

4 结果与讨论

图 2. 当工作频率f=35 THz,纳米线半径ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,间距a=175 nm,高度b=60 nm,以及费米能EF=0.5 eV时,5种模式的场分布

Fig. 2. Field distributions of five modes at f=35 THz,ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 3. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随工作频率f的变化关系

Fig. 3. Dependency of (a) real part of the effective refractive index and (b) propagation length on the operating frequency f

图 4. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm,EF=0.5 eV,工作频率分别为(a) 31 THz和(b) 39 THz时,模式1的电场分布

Fig. 4. Distributions of electric field of mode 1 when the operating frequency f is (a) 31 THz and (b) 39 THz at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 5. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随半径ρ2的变化关系

Fig. 5. Dependency of (a) real part of the effective refractive index and (b) propagation length on the radius ρ2

图 6. 当ρ0=ρ1=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,EF=0.5 eV,纳米线2的半径分别为(a) 25 nm和(b) 55 nm时,模式1的电场分布

Fig. 6. Distributions of electric field of mode 1 when the radius ρ2 of the nanowire 2 is (a) 25 nm and (b) 55 nm at ρ0=ρ1=100 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 7. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随高度b的变化关系

Fig. 7. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on height b

图 8. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,EF=0.5 eV,高度分别为(a) 10 nm和(b) 100 nm时,模式1的电场分布

Fig. 8. Distributions of electric field of mode 1 when the height b is (a) 10 nm and (b) 100 nm at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm, and EF=0.5 eV

图 9. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随间距a的变化关系

Fig. 9. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on space a

图 10. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,b=60 nm,EF=0.5 eV,间距分别为(a) 160 nm和(b) 195 nm时,模式1的电场分布

Fig. 10. Distributions of electric field of mode 1 when the space a is (a) 160 nm and (b) 195 nm at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,b=60 nm, and EF=0.5 eV

图 11. (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随费米能EF的变化关系

Fig. 11. Dependency of (a) real part of effective refractive index and (b) propagation length on Fermi energy EF

图 12. 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm,b=60 nm,费米能分别为(a) 0.4 eV和(b) 0.8 eV时,模式1的电场分布

Fig. 12. Distributions of electric field of mode 1 when the Fermi energy EF is (a) 0.4 eV and (b) 0.8 eV at ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,a=175 nm, and b=60 nm

5 结构对比

图 13. 轴心共面波导与轴心非共面波导的模式1的传播长度比较。(a)频率;(b)中间纳米线的半径;(c)水平方向上两根纳米线的距离;(d)费米能

Fig. 13. Comparison of propagation length of mode 1 of the waveguide with coplanar axis and the waveguide with non-coplanar axis. (a) Frequency; (b) radius of the middle nanowire; (c) distance between two nanowires in the horizontal direction; (d) Fermi energy

图 14. 当ρ2=40 nm时,(a)轴心共面波导与(b)轴心非共面波导的电场分布

Fig. 14. Electric field distribution of (a) waveguide with coplanar axis and (b) waveguide with non-coplanar axis when ρ2=40 nm

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