1 引言

二维光子晶体是指在空间的两个方向上,由具有不同介电常数的介质周期性排列形成的一种人工光学微结构材料,由Yablonovitch^[1]和John^[2]于1987年提出,其最基本的特征就是具有光子能隙, 即频率落在光子禁带范围内的电磁波均不能通过光子晶体。不同于以往光纤等利用全反射原理进行光传输,光子晶体利用光子禁带和光子局域特性来控制光子流^[3]。近年来,基于光子晶体的光通信器件和太阳能电池等的研究都取得了很大的进展,如利用光子晶体增强太阳能电池的光俘获^[4-5]、光子晶体光纤^[6-7]、光子晶体隐身材料^[8]以及光子晶体波导^[9-11]等。这些应用都是基于光子晶体的完全带隙特性进行的,完全光子带隙越宽,光电器件性能就越稳定。

为获得更宽的完全带隙,Kurt等^[12]提出了一种由圆形空气孔与圆形介质柱复合而成的空气环型结构,研究发现,该复合结构可以得到较宽的完全带隙。研究者基于这种空气环型结构进行了大量研究,提出了许多具有较宽完全带隙的光子晶体结构^[13-15]。众所周知,制备工艺会带来光子晶体介质柱尺寸和角度等方面的偏差,进而对完全带隙宽度造成很大影响,因此设计出具有较宽且稳定的完全带隙的光子晶体结构具有重要的现实意义。已有的研究表明,棋盘嵌套复式晶格结构^[16]能有效地增大介质柱型光子晶体的完全带隙宽度。本文基于二维六角晶格,构建了一种棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体结构。考虑到实际制备工艺的复杂性,在几何结构设计时选用方形和圆形的介质柱及空气孔的优化组合。这两种基础形状的制备技术相对成熟,降低晶格对称性的同时增加了系统的不均匀性,能获得稳定且较宽的完全带隙,有利于该光子晶体的实际应用。采用平面波展开法,计算它的完全光子禁带宽度。通过对参量的仿真优化,获得了一组完全带隙最宽的最优结构参量。

2 模型构建与计算方法

首先通过在二维六角晶格结构中隔行删除介质柱的方式,构建长方棋盘格子介质柱结构(介质柱截面为方形,并使之沿中轴线旋转45°),然后将另一个长方棋盘格子介质柱结构(介质柱截面为圆形)嵌套在一起,引入两套晶格降低其对称性。接着在方形介质柱的中心位置引入圆形空气孔,在圆形介质柱的中心位置引入矩形空气孔,降低对称性的同时增加了系统的不均匀性,构建了棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体结构。为计算简便,选用这两套晶格的介质柱互相放置在它们晶格原胞中心位置的情况。该设计不但可以获得更宽的完全带隙,并且在几何结构参量的设计上也更加灵活。

图1所示为棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体结构及其相对介电常数空间分布示意图。背景介质为空气,其相对介电常数取1,散射体选用半导体材料Ge,其相对介电常数ε=16,晶格常数a=1 μm。棋盘格子方形介质柱宽度为W,其中心位置引入的圆形空气孔半径为r,嵌套格子圆形介质柱的半径为R,其中心位置引入的矩形空气孔的宽度为w,长度为γ·w(其中γ为该矩形空气孔长与宽的比例系数),矩形空气孔的旋转角为Y(Y沿顺时针方向为正)。

图 1. (a)结构;(b)相对介电常数空间分布

Fig. 1. (a) Structure; (b) spatial distribution of relative dielectric constant

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采用平面波展开法计算二维光子晶体的光子带隙^[17-18]。通过麦克斯韦方程组,可得二维光子晶体中电、磁场^[19]应该满足如下方程:

∇×∇×E(r)=ε(r)ωc2E(r),(1)∇×1ε(r)∇×H(r)=ωc2H(r),(2)

式中E为电场强度,H为磁场强度,ω为电磁波的频率,c为光在真空中的速度。

运用布洛赫定理,将相对介电常数与电场或者磁场进行平面波展开,并结合光子晶体介电常数周期性分布的特性,得到两个独立的本征方程:

∑G,G'ε-1G-G'k+Gk+G'HG=ω2c2HG',(3)∑G,G'ε-1G-G'(k+G)k+G'HG=ω2c2HG',(4)

式中k为第一布里渊区波矢,G、G'为倒格矢,H_G和H_G'分别为两个不同倒格失下的磁场强度。对(3)、(4)式进行求解,就可得到二维光子晶体的光子能带结构。

运用平面波展开法,计算棋盘复式晶格介质环型光子晶体的带隙结构,并研究结构参量对光子晶体完全带隙的影响。

3 计算结果与分析

3.1 长方棋盘晶格介质柱型光子晶体的完全带隙

首先构建长方棋盘晶格方形介质柱结构,它由截面为正方形的介质柱绕其中心轴旋转45°构成,其晶格结构和相对介电常数空间分布分别如图2(a)、(b)所示。研究该长方棋盘晶格方形介质柱的宽度W对完全带隙宽度的影响,W从0.01 μm开始以0.01 μm为步长增加至1 μm,采用平面波展开法计算其完全带隙特性,计算结果如图2(c)、(d)所示,其中完全带隙宽度和频率均在归一化入射电磁波频率下取得(全文同),TM表示横磁波,TE表示横电波。

从图2可以看出,当方形介质柱的宽度W小于0.16 μm时,没有完全带隙产生;当W增大到0.39 μm时,完全带隙宽度达到最大值0.037,中心频率为0.530 ,带隙率(完全带隙与中心频率之比)为7.0%。并在0.38 μm≤W≤0.41 μm范围内保持该完全带隙宽度,使得该结构对由制备工艺引起的方形介质柱宽度的偏离具有一定的稳定性。

图 2. (a)结构;(b)相对介电常数空间分布;(c)不同W对应的完全带隙宽度;(d) W=0.39 μm时的带隙图

Fig. 2. (a) Structure; (b) spatial distribution of relative dielectric constant; (c) complete bandgap width versus W; (d) bandgap diagram when W=0.39 μm

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图 3. (a)结构;(b)相对介电常数空间分布;(c)不同的R对应的完全带隙宽度;(d) R=0.22 μm时的带隙图

Fig. 3. (a) Structure; (b) spatial distribution of relative dielectric constant; (c) complete bandgap width versus R; (d) bandgap diagram when R=0.22 μm

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3.2 棋盘嵌套晶格介质柱型光子晶体的完全带隙

棋盘嵌套晶格结构是在长方棋盘晶格介质柱型光子晶体的基础上,在棋盘格子的原胞中心引入截面为圆形的介质柱,其晶格结构和相对介电常数空间分布如图3(a)、(b)所示。研究该圆形介质柱的半径R对完全带隙宽度的影响,R从0.01 μm开始以0.01 μm为步长增加至1 μm,采用平面波展开法计算该嵌套复式晶格结构的完全带隙特性,计算结果如图3(c)、(d)所示。

相比于长方棋盘晶格而言,嵌套复式格子在原棋盘晶格的原胞中心引入了圆形介质柱,不仅降低了晶格的对称性,还增加了介质材料的占空比,故能得到更大的完全带隙。可以看出,当嵌套圆形介质柱的半径R取0.22 μm时,完全带隙宽度达到最大值0.081,中心频率为0.506,带隙率为16.01%。

3.3 棋盘嵌套晶格介质环型光子晶体的完全带隙

为了进一步降低介质柱的对称性,增加系统的不均匀性,获得大完全带隙,在方形介质柱的中心位置引入圆形空气孔,在圆形介质柱的中心位置引入矩形空气孔,构建了棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体,其晶格结构和相对介电常数空间分布如图4(a)、(b)所示。分别研究了引入的圆形空气孔的半径r和矩形空气孔的宽度w对该介质环型光子晶体完全带隙的影响。r从0.01 μm开始以0.01 μm为步长增加到0.20 μm,w从0.01 μm开始以0.01 μm为步长增加到0.44 μm,其计算结果分别如图4(c)、(d)所示。

由图4可以看出,当引入的圆形空气孔的半径r取0.09 μm、引入的矩形空气孔的宽度w取0.16 μm时,完全带隙宽度达到最大值0.143,中心频率为0.553,带隙率为25.86%。并且完全带隙宽度在0.08 μm≤r≤0.10 μm、0.14 μm≤w≤0.19 μm条件下保持平坦,这使得棋盘嵌套晶格介质环型光子晶体结构对由制备工艺引起的空气孔尺寸的偏离具有较好的稳定性。

再考虑矩形空气孔的长宽比γ及旋转角度ϕ对完全带隙和中心频率的影响。取ε=16,R=0.22 μm,r=0.09 μm,W=0.39 μm,w=0.16 μm,矩形空气孔长宽比γ从0.1开始以0.01为步长增加至3;考虑到正方形的旋转对称性,将旋转角度ϕ从0°开始以1°为步长增加至90°,采用平面波展开法,计算γ和ϕ对完全带隙的影响,结果如图5(a)、(b)所示。

图 4. (a)结构;(b)相对介电常数空间分布;(c)不同r对应的完全带隙宽度;(d)不同w对应的完全带隙宽度

Fig. 4. (a) Structure; (b) spatial distribution of relative dielectric constant; (c) complete bandgap width versus r; (d) complete bandgap width versus w

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由图5可知,当长宽比γ取1,即为方形空气孔时,完全带隙宽度达到最大值,并且在0.9≤γ≤1.3条件下保持平坦;同时,对矩形空气孔的旋转角度ϕ而言,大完全带隙在0°≤ϕ≤25°条件下保持平坦。这说明棋盘嵌套晶格介质环型光子晶体对由制备工艺引起的空气孔的尺寸和角度的偏离都具有很好的稳定性。

最后,考虑具有不同相对介电常数的介质材料以及晶格常数a对完全带隙宽度和中心频率的影响。基于二维六角晶格构建嵌套复式介质环结构,在其等边三角形原胞中,方形介质柱和方形介质柱、方形介质柱和圆形介质柱的间距都等于晶格常数a。取R=0.22 μm,r=0.09 μm,W=0.39 μm,w=0.16 μm,γ=1,ϕ=0°。相对介电常数ε从1开始以1为步长增加至50,晶格常数a从0.8 μm开始以0.01 μm为步长增加到1.2 μm,采用平面波展开法,计算ε和a对完全带隙的影响,结果如图6所示。

图 5. (a)不同γ对应的完全带隙宽度;(b)不同?对应的完全带隙宽度

Fig. 5. (a) Complete bandgap width versus γ; (b) complete bandgap width versus ?

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图 6. 不同(a) ε和(b) a对应的完全带隙宽度

Fig. 6. Complete bandgap width versus (a) ε and (b) a

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光子晶体要获得完全带隙必须要有足够大的相对介电常数差。由图6可知,当选择介电常数为ε=41的介质材料,并调整晶格常数a=1.02 μm时,能得到最大完全带隙宽度,其值为0.160,中心频率为0.523,带隙率为30.59%。同时发现,在36≤ε≤44、0.95 μm≤a≤1.09 μm条件下可维持所获得的大完全带隙,这不仅说明该介质环型结构对实际制备过程中晶格周期偏离及材料掺杂引起的介电常数偏差均具有良好的稳定性,且使得可供选择的介质材料种类更多样化。

所提介质环型光子晶体之所以能获得如此大的完全带隙,究其原因有三点。1) 背景为空气的介质柱型光子晶体易得到TM带隙,背景为介质的空气孔型光子晶体易得到TE带隙。棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体结合了这两大特点,易同时得到TM和TE带隙重叠形成的完全光子禁带。2) 介质柱和空气孔的结合,使得它们几何结构参量的变化更加灵活,更有效地降低了光子晶体结构的对称性。3) 高介电常数介质材料的使用以及介质柱中空气孔的引入,共同增强了该二维光子晶体微结构对光的散射能力,大完全带隙得以形成。表1给出了近三年最新研究成果,可以看出,该棋盘复式晶格介质环型光子晶体结构能获得较大的完全带隙宽度和较好的带隙率。

4 结论

基于平面波展开法,对影响棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体完全带隙的结构参量分别进行了优化计算,得到了最优参量组合。研究结果表明,相较于已有的光子晶体结构,所设计的棋盘嵌套复式晶格介质环型光子晶体具有更宽的完全带隙和较大的带隙率。同时,该完全带隙对由制备工艺引起的晶格常数和介电常数偏差,介质柱和空气孔的尺寸、角度偏离都具有一定的稳健性。所设计的大带隙光子晶体微结构为未来新型光电器件和高吸光效率太阳能电池等的研发提供了一定的参考。