一种可矫正图像横向偏移的光学镜面相位恢复算法 
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1 引言
在镜面面形测量方法中,相位恢复(PR)算法具有检测光路简单,测量范围大,对中低阶像差检测效率高,精度高,抗平台振动等优点,是镜面测量技术的研究热点之一[1-3]。进行PR检测时,将CCD相机沿被测镜光轴移动以采集多幅离焦面光强信息,以实际光强作为约束进行迭代计算以得到被测镜面像差[4-7]。PR算法利用快速傅里叶变换精确计算点扩散函数时,需要设定频域坐标的计算中心[8],该计算中心通常为CCD中心位置,因此在装调检测光路时要将被测镜光轴与CCD相机中心像素对准,这无疑增加了光路装调难度。为了达到精度要求,需要额外引入相机标定[9-10]系统,对检测光路进行精密调整,再根据图像中特征点像素的位置进行图像处理,这种方法对于工程实践意义不大。因此需要开展相关研究,利用错位图像快速进行相位恢复检测。
基于快速傅里叶变换的亚像素图像配准(Subpixel Image Registration, SIR)算法可以将两幅存在错位的图像进行重新匹配, 具有精度高、速度快的优点[11]。SIR算法根据参照图与采集图的互相关性确定两幅图的中心偏移关系,然而在相位恢复过程中,特别是在算法迭代初期,输入镜面误差与真实误差差异较大,导致计算离焦面光斑与采集离焦面光斑结构特征差别较大,因此以单次计算光斑为参照无法精确矫正CCD采集光斑的偏移。本文将多幅离焦图相位恢复方法与亚像素图像匹配方法相结合,提出亚像素图像配准相位恢复算法(Subpixel Image Registration Phase Retrieval, SIRPR),利用点扩展函数(PSF)计算光斑结构特征在迭代过程中逐渐逼近真实光斑的特点,反复进行高精度矫正,实现对采集图的精确重建,最后根据重建的离焦面光强恢复镜面像差。
本文第二部分介绍了算法的原理和具体步骤。第三部分通过仿真测量光路中的横向偏移和镜面倾斜,对SIRPR算法和现有PR算法进行分析比较,验证了SIRPR算法对图像偏移的矫正能力以及计算精度和效率。第四部分通过实际测量实验,证明了SIRPR算法具有正确恢复真实镜面误差的能力,并对算法进行进一步讨论。最后对全文进行了总结。
2 算法原理
首先定义被测镜出瞳面的光场,出瞳面光场的数学表达式为
式中: A(x,y)为镜面光场的振幅幅值和分布,由于被测镜面被点光源均匀照射,因此振幅设为常量且与镜面形状匹配;W(x,y)为光场所包含的光程差或者波前差,在镜面检测应用中也表示镜面面形误差,W(x,y)既可以用点阵表示也可以用包括泽尼克多项式在内的多项式函数表示;(x,y)为出瞳面坐标。根据菲尼尔近似理论,可以推导镜面光场传播一定距离后形成的新光场,并可以用快速傅里叶变换方法进行精确求解。两光场之间的光学传递函数可以简要写为
式中:(μ,ν)为像面坐标;P(·)为出瞳到离焦面的传递变换函数;f为被测镜焦距;z为离焦面位置。ck(μ,ν)和dk(μ,ν)分别为经过PSF计算和CCD相机采集的离焦面k处的光斑,有
对ck(μ,ν)与dk(μ,ν)进行比较,建立关于归一化方差系数E2的目标函数:
式中:a,b分别表示采集图像的增益和偏置[12]。接着计算W(x,y)关于E2的梯度[5,7],基于梯度下降的优化方法[4,7],如共轭梯度算法和BFGS算法,或者GS算法[4],求解使E2最小的W(x,y)最优解。
当实验光路存在横向偏移时,采集光斑会偏离CCD中心位置,因此ck(μ,ν)与dk(μ,ν)两幅图像位置不再匹配,这会严重影响算法的收敛速度与稳定性,因此在执行恢复算法之前需要对图像的横向错位进行矫正。
假设(Δμ,Δν)为CCD相机的横向失调量,ck(μ,ν)与dk(μ,ν)互相匹配的目标函数[13]为
式中:Rcd(Δμ,Δν)代表ck(μ,ν)与dk(μ,ν)之间的互相关函数。根据文献[ 11,13],有
式中:(μ',ν')为像面频域坐标;*代表取复共轭;M,N为图像维度;C(μ',ν')和D(μ',ν')分别为ck(μ,ν)和dk(μ,ν)的傅里叶变换结果。为了使(5)式最小,需要计算相应的Δμ,Δν,使两幅图的互相关性最大,即arg maxΔμ,Δν
式中:F(·)为傅里叶变换。
对采样图像进行重建,并将重建后的图片作为相位恢复的约束条件,以恢复被测镜面的面形误差。在相位恢复过程中,镜面的估计误差随着迭代次数的增加而逐步逼近真实误差。在迭代初期,初始误差与真实误差之间差异较大, ck(μ,ν)与dk(μ,ν)光斑结构特征差异较大,图像无法精确配准。随着迭代次数的增加,镜面估计误差逼近真实误差,ck(μ,ν)与dk(μ,ν)的相似度增加,图像配准精度增大。因此,将图像配准算法引入到相位恢复迭代过程中,对采集图片d(μ,ν)进行多次重建。对于l幅含有横向失调的离焦图,SIRPR算法的具体步骤为: 1) 给定镜面估计误差Φ0(x,y),根据(2)式计算第j幅离焦光场gj(μ,ν)以及光强cj(μ,ν); 2) 根据(6)式计算cj(μ,ν)与第j幅采集光斑dj(μ,ν)之间的互相关性,利用SIR算法对dj(μ,ν)进行重建并进行替换; 3) 利用重建的dj(μ,ν)根据(4)式进行相应的相位恢复迭代,迭代几次后停止迭代,输出面形误差Φ(x,y); 4) 将Φ(x,y)作为新一轮的镜面误差估值,令j=j+1, 执行步骤1)~3)直至满足条件。这里满足条件即根据(4)式使E2足够小,或根据(6)式使各离焦面的计算光斑c(μ,ν)与采集光斑d(μ,ν)的互相关
3 算法仿真
为了验证算法的有效性,用直径为10 mm、焦距为100 mm的凸透镜作为研究对象进行仿真实验。光路结构如
图 2. 仿真透镜的出瞳面光场。(a) 出瞳函数;(b) 出瞳像差
Fig. 2. Light field at exit pupil surface of simulated lens. (a) Exit pupil function; (b) exit pupil aberration
根据(2)式,分别计算透镜焦前5,6,7 mm处的离焦面光强,并加入均值为0、方差为0.01的高斯白噪声。偏移量为
式中:Δμ0和Δν0为CCD与光轴的固有横向偏量,是常量;δμ和δν为CCD沿光轴运动时的横向偏移,随离焦量呈线性变化。将(8)式代入(7)式计算错位光斑图,经过偏移处理后的光强如
图 3. 含有横向错位和噪声的离焦面光强仿真结果
Fig. 3. Simulation results of defocusing surface light intensity with lateral dislocation and noise
将
图 4. 两种算法的恢复结果。(a) SIRPR算法;(b) 普通PR算法
Fig. 4. Retrieved results by two algorithms. (a) SIRPR algorithm; (b) general PR algorithm
图 5. 图像误差和互相关指数随迭代次数的变化曲线。(a) 图像误差;(b) 图像的互相关指数
Fig. 5. Image error and cross-correlation index versus number of iterations. (a) Image error; (b) image cross-correlation index
图 6. SIRPR算法重建的离焦面光强图像
Fig. 6. Light intensity images of defocusing surface reconstructed by SIRPR algorithm
接下来研究SIRPR算法对光学系统中倾斜误差的矫正能力。在光学检测中,倾斜误差同样会使像面光斑产生偏移。这里将倾斜像差引入到镜面面形误差中,在
图 7. 出瞳像差和恢复结果。(a) 加入倾斜像差后的出瞳像差;(b) SIRPR算法恢复结果
Fig. 7. Exit pupil aberration and reconstructed result. (a) Exit pupil aberration after adding tilt aberration; (b) reconstructed result by SIRPR algorithm
4 实验验证与讨论
利用SIRPR算法对抛光后的凹面反射镜进行检测,被测镜为球面反射镜,直径为110 mm,焦距为1330 mm。检测光路如
调整光路时,将CCD位置调整至近似焦点位置,此时检测结果中会引入离焦像差,可以根据泽尼克多项式拟合系数消去对应的离焦项,从而去除离焦像差。由于光路倾斜,CCD在不同离焦面拍摄的光斑中心位置会发生变化,在调整光路时仅确保CCD相机能完全接收到反射光斑,未对CCD中心进行找正。检测时调节CCD的位置,由于光强信息在相位恢复过程中是一个重要的约束条件,非镜面像差引起的采集光强均匀性不佳会直接影响测量结果的准确性,因此通过调节光源来确保球面光能够均匀照射被测镜面,并通过合理调整CCD的曝光时间来提高图像的对比度,同时保证光斑完整,避免光斑受气流扰动而发生畸变。
图 8. 球面反射镜的检测光路。(a) 光路示意图;(b) 实物图
Fig. 8. Optical path for spherical reflector. (a) Schematic of optical path; (b) physical picture
选择前焦面6,7,8 mm位置处拍摄3幅离焦图,如
图 10. 对直径为110 mm的反射镜的检测结果。(a) SIRPR算法的测量结果;(b) 4D干涉仪的测量结果
Fig. 10. Detection results for reflector with diameter of 110 mm. (a) Measured result by SIRPR algorithm; (b) measured result by 4D interferometer
图 11. SIRPR测量镜面误差与4D干涉仪测量结果之差
Fig. 11. Difference between mirror error measured by SIRPR and that measured by 4D interferometer
实验展示了SIRPR算法的实际应用能力。考虑到镜面以低阶误差为主,为了便于计算,采用泽尼克多项式拟合表示镜面的像差,由于拟合项只有前26项,加上4D干涉仪的拟合误差,SIRPR测量结果与干涉测量结果存在0.1λ左右的误差,但这并不影响镜面误差的整体判断,在镜面抛光初期这种检测精度依然有指导意义。通过增加泽尼克多项式拟合项数,可以提高对高频误差的恢复能力,从而提高算法的整体恢复精度[14]。
SIRPR算法重建偏移图像时,随着恢复相位逐渐逼近真实镜面误差,计算图与采集图的结构相似度增大,重建精度得到提高。因此只要对光瞳的位置和形状进行正确约束,各离焦面的PSF就可以作为CCD图像的配准参照。对于子孔径拼接测量方法[14-15],对轴外子孔径进行PSF计算后,各离焦面衍射成像的位置相对固定,因此检测时CCD相机即使有横向偏差也会被SIRPR算法矫正。对于离轴光学镜面,其检测光路通常根据母镜光轴进行设计,且通常采用共轭无像差成像方法进行检测,由于光轴基准完全依靠空间位置关系进行判断,因此在检测光路较长的情况下,很难准确定位光轴位置。PR算法需要随时调整横向位移以确保各离焦面光强成像在CCD中心位置处,且由于光斑形状未必规则,中心不能直接定位。在SIRPR算法中,CCD只需近似沿光轴方向进行移动,并确保采集光斑能够完全成像,无需对每个离焦面进行精密调整,简化了检测过程,因此该方法在离轴非球面检测中具有很好的应用前景。
5 结论
经过分析比较发现,针对光斑错位图像,SIRPR算法比PR算法的恢复速度更快,恢复结果更接近真实结果,同时对于检测光路中倾斜误差造成光斑成像位置偏移,也可以成功矫正。对直径为110 mm的球面反光镜进行实验测量,在简单调整光路后,CCD位置的调整误差为毫米量级,并得到光斑明显偏离中心位置的离焦图像。利用SIRPR算法检测被测镜面,面形误差RMS为0.1777λ,与4D干涉仪的测量结果对比,面形之差RMS值为0.1047λ,实验验证了SIRPR算法能够利用错位图像正确恢复被测镜镜面像差的能力。最后,对该方法用于子孔径拼接测量和离轴非球面测量等的应用前景进行了讨论。
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