1　引言

中国神光Ⅲ装置^［1］、法国兆焦耳装置^［2］、美国国家点火装置^［3］等惯性约束聚变（ICF）研究中的大型激光驱动器，均采用组合式钕玻璃片状放大器结构。在高能量氙灯泵浦结束后，钕玻璃主放大片的热恢复，主要涉及到钕玻璃中由剩余温度场分布所决定的剩余热畸变。剩余热畸变不仅严重制约激光驱动器的工作效率，还必然会被附加到下一发次激光光束的波前畸变上。因此，热恢复后的剩余热畸变，一直是大型激光驱动器装置热管理的重点。

针对组合式片状放大器的热沉积特性，文献［4］研究了钕玻璃放大片的热恢复过程，为4 h的激光运行频率提出了冷却气量的方案。文献［5］模拟了神光Ⅲ主放单元经过优化的冷却方案，能够在4 h的运行周期内将钕玻璃放大片内的温度梯度和总体平均温度冷却到可以接受的水平。关于剩余温度场的进一步研究^［6］，在结合哈特曼波前传感器对光束检测的实验结果基础上，认为钕玻璃主放大片中最大热波前畸变是由钕玻璃片的热变形以及折射率温度效应引起的^［7］。在大口径高通量验证实验平台关于片状放大器热致退偏分布特征分析^［8］的基础上，文献［9］和文献［10］分别研究了N31型钕玻璃的动态热畸变和N41型钕玻璃的热效应，为下一代ICF激光驱动器内片状放大系统的研制提供了重要的理论和实验参考。

钕玻璃中剩余温度场的分布是导致剩余热波前畸变的主要影响因素，也是引起大口径光束退偏效应的重要影响因素。目前的研究已经深入到对上线后钕玻璃主放大片安装载荷等因素的综合考量^［11］。一种可能的方案是，钕玻璃放大片在片框中采用多点接触式安装，固定点与放大片四周侧面接触，并且下部固定点的数量多于上部和左右侧面，当对固定点施加载荷后，放大片内的应力分布出现不对称的情况^［11］。在应力集中区产生退偏，使得激光隔离比无法满足设计要求，并且会有不受控制的光通过并放大，对光学元件造成损坏。同时激光的偏振质量也会降低，从而对器件的效率产生相当大的影响^［11］。

除了载荷引入的不对称，冷却过程中的不对称因素同样会造成温度场和应力场的不均匀分布。文献［12］报道了冷却介质流过放大片表面时流速分布不对称的情况，指出流体入口速度越高，传热速度越快，使得温度降低。温度的不均匀性导致折射率的不均匀，同时考虑到热光效应（dn/dT），导致波前像差。流速的不均匀还会使放大片产生条纹效应，若叠加泵浦光的不均匀性，会进一步影响光束质量。此外，除了直接接触增益介质的不均匀冷却，文献［13］报道了与激光增益介质键合在一起的热沉散热层表面由主动冷却的流体速度分布产生的温度分布不对称情况，流体在刚接触放大片时速度最大，冷却效果最好，换热系数最大，然后随着流体速度的降低，其对流换热系数逐渐降低。这样会使得放大片内温差变大，这一结构与钕玻璃放大片四周包边侧的结构相似，都是非直接接触式冷却。

目前，关于ICF研究用大型激光驱动器的运行周期，其设计要求已经从近十小时，逐步过渡到4~6 h^［14］，直至2~4 h^［15］。如此高效率的运行周期，需要有针对性地研究钕玻璃主放大片内剩余温度场受到的各种影响因素，如放大片上下边缘与左右边缘空间方位的不同，主动冷却时冷却介质（如流动空气或氮气）导致的降温速度差异等。还需要注意的是，钕玻璃主放大片冷却过程中所受到的不对称冷却，应该具有很大的随机性。如果这种不对称冷却对于最终的剩余温度场具有较大影响，则剩余温度场的分布特征很可能也具有相当大的随机性，这种情况的出现不利于对下一发次大口径激光光束的质量控制。即将批量采用的N41型钕玻璃，虽然它的热导率略低于N31型，但其具有更高的受激发射截面等优良性质，在高功率激光驱动器方面的应用具有很大的优势。本文针对N41型钕玻璃主放大片，研究了冷却过程中的不对称性对其剩余温度场分布的影响。

2　模拟计算

COMSOL Multiphysics是一个应用广泛的有限元模拟软件，大量使用该软件的研究表明其能提供可靠的结果。文献［16］使用COMSOL软件计算了高重频小型钕玻璃放大片中的温度场，与FLUENT软件相比计算结果更加准确。本文使用COMSOL Multiphysics 5.6有限元软件中的固体传热模块对大尺寸钕玻璃放大片的热恢复过程进行模拟计算。

钕玻璃主放大片的热恢复过程，其内部温度场采用不含热源的三维瞬态传热方程确定：

式中：T（x，y，z，t）为激光放大片内随时间变化的三维空间温度分布函数；k为玻璃的热导率；ρ为玻璃的密度；C_p为玻璃的比热。激光放大片内的初始温度分布函数T₀（x，y，z），描述泵浦结束后钕玻璃和包边玻璃的初始温升情况，详情见第３节的分析。

放大片大面与包边的冷却都使用第三类对流换热边界进行计算：

式中：s表示钕玻璃的表面；n为该表面的法线方向；Tx,y,z,ts为钕玻璃表面温度分布函数；h_s为钕玻璃表面的换热系数。钕玻璃放大片四周包边侧的边界条件为

式中：e表示包边玻璃表面；n为该表面的法线方向；Tx,y,z,te是放大片四周包边表面的温度分布函数；h_e为放大片四周包边侧的换热系数。上述物理模型的数学表达式联立为方程组，由COMSOL软件进行有限元数值求解。

完成物理场设置后，本文采用扫掠法对400 mm口径的钕玻璃主放大片模型进行网格划分，网格单元为六面体。经过网格无关性验证后，六面体单元的最大边长设置为8 mm，这种网格大小可以保证计算结果的精度。钕玻璃片尺寸为786 mm×436 mm×40 mm，对角线方向长约900 mm，泵浦后将产生严重的放大自发辐射（ASE）。为保障钕玻璃主放大片中的储能，在其四周侧边面上，包覆有采用环氧胶粘接的厚度为12 mm的包边玻璃，构成尺寸为810 mm×460 mm×40 mm的钕玻璃主放大片，如图1所示。其中左右两侧460 mm×40 mm×12 mm的部分称为短包边，上下两侧786 mm×40 mm×12 mm的部分称为长包边。包边玻璃条与钕玻璃片之间的有机环氧胶层厚度为25 μm。此胶层对包边界面处的热传导的影响也需要被考虑，使用固体传热模块中的热薄近似选项对胶层进行设定：

图 1. 钕玻璃主放大片模型。钕玻璃的尺寸为786 mm×436 mm×40 mm，四周被包边胶粘贴有12 mm厚的包边玻璃，坐标原点位于几何中心

Fig. 1. Model of Nd-glass main amplifier slab. Nd-glass plate has dimension of 786 mm×436 mm×40 mm, whose four edges are bonded with 12 mm thick edge-cladding glass by epoxy glue, and origin of coordinates is located at geometric center

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同时增加该胶层附近区域的网格划分密度，有利于准确模拟出包边玻璃冷却条件对钕玻璃主放大片热恢复过程的影响。

3　结果与讨论

放大片热恢复过程的起始点对应于氙灯泵浦结束时。钕玻璃和包边玻璃各自因沉积泵浦光能量和吸收ASE而发生温度升高。关于钕玻璃部分温度升高的报道有：文献［17］中钕玻璃平均温升为0.65 K；文献［4］中钕玻璃初始温升约为0.4 K；文献［6］描述了沿钕玻璃片厚度方向上的温度分布特征，表面温升约为0.9 K，内部温升约为0.2 K；文献［9］报道了钕玻璃表面最高温升约0.85 K、内部最高温升约0.3 K的特征。关于包边玻璃部分温度升高的报道有：文献［18］中长包边平均温升为1.2 K，短包边平均温升为3 K；文献［4］中长包边平均温升为2.5 K，短包边平均温升为5 K，包边角部平均温升为6 K；文献［6］中长包边初始温升约为4 K，短包边初始温升约为5 K。

本文的模型中，钕玻璃部分因沉积泵浦能量而导致的平均温升设置为0.65 K^［17］。此外，组合式片状放大器结构决定了钕玻璃片中的温度分布基本上是对称的^［4］，特别是沿着片厚度方向，两个通光面上的表面温升对称，并且明显高于内部温升^［6，9］。为了反映钕玻璃片泵浦后的这种温度分布特征，在初始温度分布的设定过程中，在保证平均温升为0.65 K的前提下，以二次函数的形式模拟钕玻璃片厚度方向上的温度分布，使表面温度高于内部。

包边玻璃部分因吸收ASE而导致温升，本模型中长包边平均温升设置为2.5 K，短包边平均温升设置为5 K，包边角部平均温升设置为6 K^［4］。长包边和短包边吸收的ASE能量是不同的，主要原因在于钕玻璃片内各方向上产生的ASE强度不同。沿放大片对角线方向ASE具有最大的放大行程，其次是平行于长包边的方向。而平行于短包边的方向，ASE放大行程最短。需要注意的是，包边玻璃内能量沉积还遵循指数吸收规律，这是包边玻璃初始温度分布的最大特征，在包边界面附近较高的温升，导致包边玻璃中的沉积能迅速向钕玻璃部分传导，从而影响到钕玻璃主放大片的热恢复。本文中沿包边12 mm厚度方向采用二次函数模拟该温度分布特征。

放大片热恢复过程主要取决于施加在钕玻璃和其四周包边侧上的冷却措施。对于组合式片状放大器^［4］，室温下钕玻璃片至防爆隔板玻璃的辐射换热系数为1.99 W/（m²·K），钕玻璃片腔中自然对流换热系数为0.515~1.030 W/（m²·K）（对应于腔内氮气流速1.9×10^-3~7.6×10^-3 m³·s^-1）。在单口径片状放大器实验平台中^［7］，钕玻璃片与隔板之间的辐射换热系数为2.52 W/（m²·K），放大器片腔内的自然对流换热系数为0.5 W/（m²·K）。即使采用流速相对较高的主动冷却，对流换热对钕玻璃片热恢复的贡献仅为辐射贡献的20%~50%。钕玻璃部分的两大通光面的换热系数，均设定为2.5 W/（m²·K）。这一设定，基本适应于目前对大型激光驱动器运行周期的设计要求。如果采用氦气冷却^［19］，通光面上换热系数将更大，更有利于钕玻璃主放大片的热恢复。

在组合式片状放大器或单口径片状放大器中，钕玻璃主放大片都被安装在放大器结构中的片框里。在单口径片状放大器实验平台中^［7］，钕玻璃片边缘包边与片框之间的热交换系数约为2.0 W/（m²·K）。这基本对应于被动冷却，属于钕玻璃片四周包边侧的弱冷条件。组合式片状放大器结构，有效提高了驱动器装置的激光能量转换效率，但同时也造成了装置冷却的困难和工程实施上的复杂性^［20］。然而，钕玻璃包边侧不同于钕玻璃部分的是，它没有通光的问题。可以通过对包边侧与片框之间的结构设计，从弱的被动冷却改进为强的主动冷却。实验结果表明，这种结构设计及其所容许的主动冷却措施，能够达到相当于换热系数为30 W/（m²·K）的冷却效果^［7］。将放大片四个外侧面（图1边缘部分）的换热系数设定在2.5~30 W/（m²·K）范围之间。后者是目前报道已被实验证明可以实现的最大换热系数，是对钕玻璃片四周包边玻璃的强冷条件。

保持钕玻璃通光面换热系数为2.5 W/（m²·K）不变的情况下，调节放大片四周外侧面换热系数在2.5~30 W/（m²·K）之间变化，以模拟不同的包边侧冷却条件对钕玻璃主放大片热恢复的影响。这些包边侧冷却条件，是由包边玻璃与片框之间局部结构设计所决定的，反映的是辐射、传导、对流等散热形式的综合冷却效果^［21］，是能够实现的。

3.1　钕玻璃包边侧弱冷和强冷时钕玻璃主放大片中剩余温度场的分布特征

首先对比分析钕玻璃四周包边侧弱冷和强冷条件下放大片热恢复过程中的温度分布特征。它们的热恢复过程主要取决于玻璃内部温度的下降趋势。图2给出N41型钕玻璃xy （z=0）中心剖面在泵浦结束后不同时刻的温度场分布。其中图2（a）~2（e）属于包边侧弱冷情况，而图2（f）~2（j）属于包边侧强冷情况；钕玻璃前后两通光面上的冷却条件均保持一致。

图 2. N41型钕玻璃主放大片在泵浦结束后不同时刻xy （z=0）剖面的温度场分布。钕玻璃通光面的换热系数为2.5 W/（m²·K）。（a）~（e）钕玻璃包边侧换热系数为2.5 W/（m²·K）；（f）~（j）钕玻璃包边侧换热系数为30 W/（m²·K）

Fig. 2. Temperature distribution in xy section (z=0) of N41-type Nd-glass main amplifier slab at different time after pumping. Heat transfer coefficient of Nd-glass surface is 2.5 W/(m²·K). (a)‒(e) Heat transfer coefficient of edge-cladding of Nd-glass is 2.5 W/(m²·K); (f)‒(j) heat transfer coefficient of edge-cladding of Nd-glass is 30 W/(m²·K)

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泵浦结束后约10 min内，主要是沉积在包边玻璃中的热量，在被表面冷却散发到外界环境的同时，其中很大一部分通过热传导进入钕玻璃中。在包边侧弱冷条件下，包边玻璃四个角部及附近的钕玻璃，在10 min时仍然保留较高的温升约3 K。在包边侧强冷条件下，四个角部区域没有保留明显的温升，但在短包边侧附近区域，与弱冷条件下的类似（2 K），仍然保留约1.5 K的温升。同时，强冷条件下长包边侧的温升已经开始下降，温升区已经完全转移进入到钕玻璃。而弱冷条件下，长包边侧的温升，虽然也低于短包边侧，但仍然保留明显的温升，且还没有完全转移进入钕玻璃。

在之后的120~360 min时间段，主要是钕玻璃主放大片中的温度场逐步恢复到接近环境温度的过程。包边侧弱冷条件下，长包边侧温升在120 min时，已经基本上与钕玻璃温升趋同。仅保留短包边侧明显的温升区，且高于钕玻璃的温升。随着热恢复时间延长到240~360 min，短包边侧周围的区域仍然保留明显的高温升，同时不断向钕玻璃中心转移扩展。主要原因是，弱冷条件下没有被迅速散发出去的包边玻璃内的沉积能，只能逐步向钕玻璃传导。包边侧强冷条件下，长包边侧区域的温度不仅没有与钕玻璃趋同，反而在120 min时就已经形成明显的低温区。同时，在原来具有较高温升的短包边侧，也已经形成明显的低温区，虽然其宽度小于长包边侧的低温区。随着热恢复时间延长到240~360 min，放大片一直保持这种四周温度明显低于钕玻璃中心区域温度的趋势。主要原因是，强冷条件下靠近长短包边侧的区域，沉积在该处的热量具有增强的通过包边玻璃向外迅速散发的通道。

即使在完全达到温度平衡状态的456 min和476 min，放大片在包边侧弱冷和强冷这两种情况下均保持热恢复前半程就已经形成的温度场分布特征。而且，这种特征不仅没有随着温升的下降有所趋缓，反而是更为集中地表现出来。包边弱冷和强冷两种情况下，中心区域的温度随时间变化过程基本相同，如图2所示。由于包边玻璃内热沉积能量密度最大，包边弱冷时高温升区集中在短包边处；包边强冷时高温升区集中在中心区域。剩余温度场所决定的剩余热畸变，将被附加于下一发次激光光束的波前畸变上。因此，在选择对钕玻璃四周包边侧进行弱冷或强冷时，考虑各自剩余温度场的特征对波前畸变的影响是有益的。

3.2　钕玻璃包边侧不对称冷却时钕玻璃主放大片中剩余温度场的分布特征

钕玻璃主放大片安装在放大器结构件中的片框内，其四周包边侧与片框内表面存在点、面或间隙、加力等多种接触形式，具体情况依设计而定。实际安装时，因表面粗糙度和力学负载等多种因素的改变^［18］，将使得表面换热系数发生改变。并且如果采取强制气流的主动冷却方式时，文献中也报道了沿流动方向上的换热系数分布导致的不对称冷却的结果。

保持两大通光面上的换热系数不变，同时假定四周包边玻璃外侧面上的换热系数呈现不对称的分布。具体设定如表1中所示，在4种包边侧冷却强度的基础上将上包边和下包边按相同的比例产生差异，并且左右两个包边侧的换热系数自下而上线性过渡。如表1中1#冷却条件下，上包边换热系数为2 W/（m²·K），底部包边侧的换热系数为3 W/（m²·K），左右两个包边的换热系数从底部连接处向顶部连接处线性递减。表1中2#、3#和4#冷却条件下的换热系数设定与1#条件的特征相同，只是数值按比例放大。

表1还记录了N41型钕玻璃主放大片在不对称的包边侧冷却条件下的热恢复特征时间。表1中的片平衡时间是指钕玻璃平均温度降低到不高于环境温度0.13 K所需要的时间^［22］。自平衡时间是指钕玻璃内最大温差降低到0.1 K所需要的时间^［22］。1#不对称的冷却条件相比其对应的对称冷却情况S1#而言，平均降温速度几乎相同，但是温度梯度消失的时间明显延长，表明不对称的包边侧冷却造成了更强的温度分布不均匀。但是对比4#和S4#两个结果，发现包边侧强冷的情况下出现不对称几乎不影响热恢复过程。因此，在弱冷条件下设定的不对称冷却，对片平衡时间和自平衡时间的影响，都要大于在强冷条件下设定的不对称冷却所造成的影响。

为了进一步对比分析不对称的包边侧冷却的实质影响，图3给出N41型钕玻璃在表1所示的4种不对称冷却条件下，放大片热恢复状态（同时满足片平衡和自平衡条件）的温度场分布。图3（a）、3（b）、3（c）和3（d）分别对应表1中1#、2#、3#和4#包边侧不对称冷却条件。

图 3. N41型钕玻璃主放大片在包边不对称冷却情况下热恢复状态xy（z=0）剖面的温度场分布。钕玻璃通光面的换热系数为2.5 W/（m²·K）。（a）上边为2 W/（m²·K），下边为3 W/（m²·K），左右从2到3 W/（m².K）线性过渡；（b）上边为4 W/（m²·K），下边为6 W/（m²·K），左右从4到6 W/（m²·K）线性过渡；（c）上边为12 W/（m²·K），下边为18 W/（m²·K），左右从12到18 W/（m²·K）线性过渡；（d）上边为20 W/（m²·K），下边为30 W/（m²·K），左右从20到30 W/（m²·K） 线性过渡

Fig. 3. Temperature field distribution of N41-type Nd-glass main amplifier slab at thermal recovery state under asymmetric cooling at xy profile with z=0. Heat transfer coefficient of Nd-glass surface is 2.5 W/(m²·K). (a) Up side is 2 W/(m²·K), bottom side is 3 W/(m²·K), and left and right sides linearly transit from 2 to 3 W/(m²·K); (b) up side is 4 W/(m².K), bottom side is 6 W/(m²·K), and left and right sides linearly transit from 4 to 6 W/(m²·K); (c) up side is 12 W/(m²·K), bottom side is 18 W/(m²·K), and left and right sides linearly transit from 12 to 18 W/(m²·K); (d) up side is 20 W/m²K, bottom side is 30 W/m²K, and left and right sides linearly transit from 20 to 30 W/(m²·K)

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从图3可以看出，当保持两大通光面换热系数不变的情况下，放大片内的温度分布在不对称包边侧冷却时大体上保持着与图2相同的特征。包边弱冷条件下（1#），底部包边侧的低温升区在扩大，左右侧面剩余温升区出现倾斜。随着包边冷却的总体增大（2#），四周的低温区域面积扩大并向中心扩展，虽然左右两侧面依旧保留了一些不对称的特征，但相比1#条件下的情况大幅减轻。继续加大包边冷却条件（3#和4#），左右两边自下而上倾斜的剩余温度场轮廓消失，而底部包边侧低温升区的扩宽，则主要是由于不对称的包边侧冷却所导致的。并且当冷却强度从3#提升到4#后，最终热恢复状态时的温度分布特征基本相同。如果仅就钕玻璃放大片通光口径而言，包边侧弱冷时发生的不对称冷却因素，对于剩余温度场所导致的剩余热畸变具有更大的影响。

图4（a）给出了4种不对称包边侧冷却情况下钕玻璃片的平均温度升高随时间的变化曲线，从图中可以看出，随着包边冷却的不断增强，钕玻璃的平均温度下降速度加快，但是曲线的特征保持一致。图4（b）给出了钕玻璃400 mm通光口径边缘左上角点与左下角点温度差随时间的变化曲线。从中可以明显看出，在包边侧弱冷条件下（1#）的不对称会使钕玻璃上下两端对应位置出现长时间存在的温差，随着包边整体冷却效果的提升，即使存在不对称的冷却分布，但是上下两端的温度差异持续的时间在不断减小，早在钕玻璃放大片达到热恢复状态之前就降低到很低的水平。因此，从整体温度分布的图3（c）、3（d）中难以看出差异。

图 4. N41型钕玻璃主放大片在包边不对称冷却情况下的（a）平均温升和（b）上下角点温差曲线

Fig. 4. (a) Average temperature rise and (b) temperature difference between upper-corner point and down-corner point of N41-type Nd-glass main amplifier slab under unsymmetrical edge cooling conditions

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3.3　钕玻璃包边侧冷却由弱变强对钕玻璃主放大片热恢复时间的影响

通过以上分析得出，包边侧弱冷和强冷两种情形下如果出现不对称情况时放大片的温度分布特征的变化，下面分析包边侧冷却从弱变强过程中，热恢复时间的变化趋势。

影响激光驱动器运行周期设计指标的钕玻璃主放大片热恢复时间，是由放大片的片平衡时间和自平衡时间中相对较长者决定的，目标是实现热恢复的均匀性。前者达标，表示钕玻璃主放大片与环境之间的温差已经不足以扰动钕玻璃周围的空气，对光束的发散或偏折没有大的影响^［22］。后者达标，表示钕玻璃主放大片中的最大温差已经不足以导致热应力和折射率变化，对通光口径内的光束畸变没有大的影响^［22］。

图5（a）、5（b）分别为N41型钕玻璃主放大片的片平衡时间和自平衡时间随包边侧换热系数不断增大的变化。保持钕玻璃两大通光面上换热系数2.5 W/（m²·K）不变，同时增强施加于包边玻璃外侧的换热系数，即对应包边侧的冷却逐渐增强的过程。对比发现，N41型钕玻璃主放大片的片平衡时间和自平衡时间展现出完全相反的变化趋势。

图 5. N41型钕玻璃主放大片的（a）片平衡时间和（b）自平衡时间与包边外侧所施加的换热系数之间的关系。钕玻璃通光面所施加的换热系数设定为2.5 W/（m²·K）

Fig. 5. Relationship between (a) slab-equilibration time and (b) self-equilibration time of N41-type Nd-glass main amplifier slab and heat transfer coefficient applied to surfaces of edge-cladding. Heat transfer coefficient applied to Nd-glass optical pass surface is 2.5 W/(m²·K)

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包边侧冷却的不断增强，使得钕玻璃主放大片的片平衡时间持续降低。从456 min降低到312 min。因为增强的包边侧冷却，在热恢复过程中从包边区域向外散发更多的热量，使余下更少的沉积能所决定的平均温度具有较快的下降趋势。但是，由弱变强的包边侧冷却，却使得钕玻璃主放大片的自平衡时间具有上升的趋势，从280 min上升到476 min。其中包边换热系数从15 W/（m²·K）变化到30 W/（m²·K）的过程中，N41型放大片的自平衡时间趋向于476 min，基本保持不变。增强的包边冷却，虽然在热恢复前阶段带走了更多的沉积能，导致平均温度的下降，但同时也突出了钕玻璃放大片中心与边缘处的最大温差，如图2（f）~2（j）所示。由于包边的冷却是作用于钕玻璃四个侧边，两大通光面尤其是中心区域很难被作用到。一方面中心区域难以散热（保持通光面换热系数不变），另一方面包边侧被强制散热，则所形成的最大温差被不断突出并保持，因而自平衡时间也被迫延长。当进一步增强对包边的冷却，即换热系数从15 W/（m²·K）变化到30 W/（m²·K），如果包边侧被强制散热的增量不足以保持更大的最大温差时，自平衡时间也就基本保持不变。

综上所述，随着包边侧冷却由弱增强，钕玻璃主放大片的片平衡时间和自平衡时间的变化趋势是完全相反的。这表明，为了满足驱动器的运行周期设计指标，不能单一地仅仅依赖于增强对包边侧的冷却。更为重要的是，如图5（a）、5（b）所示，随着作用于包边玻璃换热系数的增大，片平衡时间和自平衡时间之间存在交叉关系。使得此二者相等的包边换热系数，就对应于工程上优化的包边冷却条件。

3.4　钕玻璃包边侧冷却由弱变强对各界面上散热量的影响

利用包边界面的热通量解释上述热恢复时间与包边侧冷却的关系。界面的法向热通量q_i（W/m²）表示单位时间内通过单位面积的热流的大小，通过对其符号的定义可以表示热通量的方向。本文规定正号表示热量从钕玻璃向外传导；负号表示热量从包边通过界面向钕玻璃内传导。因此某一时刻通过包边界面的热流h_f表示为面积S_i与该界面平均热通量q_i的乘积：

各界面上通过的热量 Q_i （J）可以用热流对时间积分计算得出：

式中：S_i为界面i的面积；t为时间。热通量数据对时间积分可以得到通过包边界面的净热量，图6分别为不同包边冷却条件下，钕玻璃主放大片中沉积能通过两大通光面、两短包边界面和两长包边界面散发的热量。从图6（a）中可以看出，从钕玻璃通光面向外散发的能量占总沉积能的72%，包边却通过短包边和长包边界面向钕玻璃内传导热量。图6（b）中，从钕玻璃通光面散发的热量占总沉积能的64%，通过短包边和长包边界面传导的净热流几乎为0。图6（c）中，从钕玻璃通光面向外散发的热量占总沉积能的54%，通过短包边和长包边界面传导的净热流占总沉积能的12%。图6（d）中，从钕玻璃通光面向外散发的热量占总沉积能的48%，通过短包边和长包边界面传导的净热流占总沉积能的17%。由弱变强的包边冷却，使得约1/4的总沉积能不再通过通光面散发，而是通过四个包边侧面散发。包边侧面强冷对于总沉积能的散发，对于平均温度的下降，均是有利的。但如3.1节和3.3节所述，包边侧强冷对于温度场分布的特征和最大温差的下降，均是不利的。还要说明的是，即使到了片平衡时间和自平衡时间已经达标的情况下，从图6可以看出，无论是包边弱冷还是强冷条件，仍然有较多的剩余沉积能没有散发出来。特别是对于3.2节所述的由不对称包边冷却所导致的不对称温场分布，这部分剩余沉积能将导致较为严重的剩余热畸变。

图 6. N41型钕玻璃主放大片通过钕玻璃通光面、短包边界面和长包边界面传导的热量。钕玻璃通光面所施加的换热系数设定为2.5 W/（m²·K）。包边换热系数为（a） 2.5 W/（m²·K）；（b） 5 W/（m²·K）； （c） 15 W/（m²·K）；（d） 30 W/（m²·K）。从包边向钕玻璃传导为负，反之为正

Fig. 6. Conducted heat energy when N41-type Nd-glass main amplifier slab transmits through Nd-glass optical pass surface, short edge-cladding interface, and long edge-cladding interface. Heat transfer coefficient of Nd-glass is 2.5 W/(m²·K). Heat transfer coefficient of edge-cladding is (a) 2.5 W/(m²·K); (b) 5 W/(m²·K); (c) 15 W/(m²·K); (d) 30 W/(m²·K). Heat flux from edge-cladding to Nd-glass is negative and on the contrary, it is positive

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图7（a）~7（d）分别为钕玻璃主放大片中沉积能通过短包边界面、长包边界面、钕玻璃通光面和钕玻璃所有界面散发的热量。如图7（a）、7（b）所示，随着包边冷却效果的提升，无论是短边侧还是长边侧，散热量的增量都在逐步减小。这一方面说明，增加包边冷却的效果不是无限的，至少一半以上的总沉积能只能通过通光面向外散发。另一方面也说明，包边冷却增加到一定程度，例如换热系数从15 W/（m²·K）变化到30 W/（m²·K）时，对于一定的总沉积能，这种包边冷却条件已经足够强。没有更多的沉积能需要这类强冷条件，也就不会在放大片边缘与中心造成更大的温差，这就使得图5（b）中的自平衡时间，在15~30 W/（m²·K）范围保持基本不变。从图7（c）中也可以看出，随着包边换热系数提升至15 W/（m²·K）以上，从大面通光口径散发的热量虽然仍在减少，但是减少的量也很小，说明包边冷却在强冷后继续提升不会改变大面的散热量。图7（d）的趋势与图4（a）相对应，实际上反映的是钕玻璃平均温度的变化。

图 7. N41型钕玻璃主放大片通过（a）短包边界面；（b）长包边界面；（c）钕玻璃通光面；（d）钕玻璃所有界面散发的热量。钕玻璃表面换热系数设定为2.5 W/（m²·K），包边玻璃外侧面的换热系数为2.5~30 W/（m²·K）

Fig. 7. N41-type Nd-glass main amplifier slab dissipates heat energy outward through (a) short edge-cladding interface, (b) long edge-cladding interface, (c) Nd-glass optical pass surface, and (d) all interfaces of Nd-glass. Heat transfer coefficient applied to Nd-glass surface is 2.5 W/(m²·K), and heat transfer coefficient applied to edge-cladding surface is from 2.5 to 30 W/(m²·K)

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4　结论

对钕玻璃四周包边侧采取弱冷条件时，钕玻璃主放大片剩余温度场的高温升区靠近两个短包边侧；而强冷时，高温升区分布在中心区域。这两个特征继承于各自热恢复的前半程。当钕玻璃四周包边侧冷却出现不对称情形时，上述特征也基本保留，但高温升区会向相对弱冷的方向转移并向放大片内倾斜。放大片通光口径部分受到不对称冷却的影响，在其四周包边侧弱冷时更为明显，对剩余温度场导致的热畸变作用更大。随着钕玻璃四周包边侧冷却由弱转强，片平衡时间持续降低，而自平衡时间先上升然后趋于稳定。尽管包边侧强冷可以增大通过包边玻璃表面的散热量，但同时也导致钕玻璃边缘与中心区域之间较大的温度梯度。放大片热恢复必须同时满足片平衡和自平衡两个条件，在特定通光面冷却条件下，包边侧冷却优化点只能位于中等偏弱的换热系数区间。然而在这个经过片平衡和自平衡两个条件所优选出的包边侧冷却区间，不对称因素对剩余温度场的影响也相对较大。因此在N41型钕玻璃放大片的冷却过程中，有必要对包边侧采用稍强直至中等强度的冷却。这不仅是适当弥补N41型稍逊于N31型钕玻璃的热性能，更重要的是可以尽可能减少冷却过程中的不对称因素对剩余温度场的影响。此种类型的冷却，能够使得具有更高受激发射截面的N41型钕玻璃获得高功率激光光束发次之间的稳定性和重复性，从而保障高功率激光打靶的精确度。