1　引言

太赫兹波频率范围介于红外与微波之间，为0.1~10 THz，以能量低、穿透力强、谱信息丰富等特性，在6G通信^［1］、安全检查^［2］、生物医学^［3-5］等诸多应用领域有着广泛的应用前景。频率选择表面（FSS）作为一种二维平面结构的超材料，可对太赫兹波前振幅、相位、偏振等参量进行灵活多样的调控，从而为微型化、高性能的太赫兹微纳光学器件设计提供全新的平台。然而FSS设计面临着单元结构繁多、参数优化耗时等困难，如何通过简洁高效统一的方法完成各类FSS的设计是FSS从仿真走向工程实践亟须解决的问题之一。

常用的FSS设计方法有等效电路法和全波仿真法。等效电路法不能计算散射场的相位和偏振信息，严重限制了应用范围。全波仿真法对计算资源要求高，单次计算时间较长，严重影响了FSS设计及优化效率。另外对于复杂结构FSS，等效电路法和全波仿真法均难以精确建立单元结构参数，包括几何尺寸参数、电磁特性参数，与散射参数之间的精准解析关系^［6］，亦无法对FSS设计加以明确指导。因此在FSS新结构的设计中，只能依靠科研人员的经验不断尝试，效率低下且具有极大的盲目性。即使有学者通过将FSS的周期结构单元离散化，联合全波仿真法和遗传算法^［7］、粒子群优化算法^［8］完成对FSS的智能化设计^［9］，也无法改变其迭代法的本质^［10］，需要反复求解麦克斯韦方程组，冗长的计算时间和高昂的计算成本成为其难以克服的瓶颈问题。

近年来，随着人工智能的发展，深度学习通过对输入数据进行特征提取和特征映射，从大量数据中“学习”内在规律，完成复杂的非线性数据映射，已经广泛应用于图像识别与分类^［11］、自然语言处理^［12］、自动驾驶^［13］等领域。在光学超表面领域，Wiecha等^［14］使用卷积神经网络（CNN）对硅纳米柱和平面多边形金纳米结构的近场和远场响应进行快速预测。Liu等^［15］使用对抗式生成网络（GAN）完成了不同几何模式的FSS的光谱预测和按需设计。Qiu等^［16］使用多层感知机（MLP）实现了基于FSS的三波段吸波器设计。可以看出，采用深度学习方法设计FSS具有极高的效率优势，然而如何对自由度更大的FSS实现更精准的预测，从而对THz实现按需调控仍需深入研究。

本文对FSS进行离散拓扑编码，使用卷积神经网络对自由度更高的FSS的频谱响应实现精准预测，并结合遗传算法简洁高效地完成各类典型带通和带阻FSS优化设计，克服了传统方法产生FSS新结构的盲目性，同时极大提高了FSS的优化设计效率。

2　基于深度学习的FSS光谱预测

2.1　FSS结构与数据集制作

FSS仿真结构示意图如图1所示。图1（a）为FSS三维仿真示意图，介质基底为Si，在太赫兹波段，其相对介电常数εr=3.42，吸收可忽略^［17］，厚度h=5μm，外部媒介为空气；介质基底表面覆盖薄金层，电导率S=4.1×107S/m，厚度h0=0.2μm；D=80μm为FSS的周期长度，略小于最大频率对应的波长。对应的编码单元结构如图1（b）所示，将周期单元离散为边长l=5μm的小方块，其中数字“1”表示金薄层，数字“0”表示介质基底，使得FSS与大小为16×16的“0/1”矩阵一一对应，完成FSS的拓扑编码。

图 1. FSS仿真结构示意图。（a）三维仿真结构；（b）FSS拓扑编码

Fig. 1. Schematic of the FSS simulation structure. (a) 3D simulation structure; (b) FSS topological code

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考虑FSS的极化稳定性，所有FSS设置为旋转对称结构，具体流程如图2所示。先构建1/8区域的结构，即一个由36个小方块组成的等腰直角三角形，然后经过3次对称翻转完成FSS构建，其中粗直线为FSS的4条对称轴。与此同时，所设计的方法使FSS的自由度由2256降为236，极大地降低了FSS优化设计的难度。

图 2. 旋转对称FSS构建示意图

Fig. 2. Illustration of rotationally symmetric FSS construction

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FSS旋转对称结构建模完成后，使用COMSOL软件完成模型仿真，采用Floquet边界条件模拟无限大周期阵列，仿真频段为0.5~3 THz，步长为0.02 THz，总计126个频点。采用总透射率、总反射率和总吸收率表征FSS的电磁特性。图3（a）和图3（b）分别为“圆环型”编码FSS在TE和TM极化模式下的频谱，可以发现二者几乎完全相同，从其他满足旋转对称性的随机编码FSS的计算结果可以得出相同结论，验证了旋转对称结构的极化稳定性。

图 3. “圆环型”编码FSS极化对比

Fig. 3. Comparison of the polarization of the"circular"encoded FSS

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数据集是深度学习的核心关键，数据集的数量和质量均直接影响神经网络的训练效果。本文数据集包括两部分，FSS对应的“0/1”矩阵和FSS的频谱响应。为了提高数据获取效率，使用Python程序随机产生26000组两两不同的“0/1”矩阵，利用Python程序控制COMSOL软件依次构建“0/1”矩阵对应的FSS模型，并完成计算，最后将计算结果传入Python程序加以保存。

由于需要收集大量数据，为了节省计算时间，使用“过渡边界条件”代替薄金层，避免对其进行网格剖分。同时对网格剖分进行设置，尽量减少单元数量，加快计算速度。图4显示了两种网格剖分方式对同一FSS的计算结果，结果基本一致。图4中，虚线为默认的物理场网格剖分模式对应的频谱曲线，完整物理场网格包含11242个域单元、5664个边界单元和1645个边单元，单次计算时间为7 min 29 s；实线为自定义网格剖分模式对应的频谱曲线，完整自定义网格包含3072个域单元、4768个边界单元和1513个边单元，计算时间为3 min 14 s，减少了56.7%。两种网格剖分方式下，透射率最大误差为0.0445，平均绝对误差为0.0193；反射率最大误差为0.2425，平均绝对误差为0.0291；吸收率最大误差为0.1265，平均绝对误差为0.0173。其中反射率的最大误差出现在1.86 THz处，这是该点在FSS谐振频点附近，FSS透射率剧烈起伏造成的。反射率的平均绝对误差为0.0291，表明网格剖分数量减少导致谐振点的轻微偏移不影响FSS的整体频谱特性，将该方法应用于数据集的收集，从而大幅减少计算时间。在此基础上，将COMSOL求解器由默认的“MUMPS”更改为专为并行计算编写的“PARDISO”，可以进一步将单次计算时间压缩至2 min 22 s。

图 4. 不同网格剖分的仿真结果对比

Fig. 4. Comparison of simulation results of different mesh profiles

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2.2　神经网络结构与预测结果

使用CNN对FSS光谱进行预测，CNN结构如图5所示。输入图像为16×16的“0/1”矩阵，经过3次卷积-池化操作后完成特征提取，然后通过3个全连接层完成特征映射，输出1×126的预测光谱曲线。其中卷积核尺寸为2×2，步长为1，填充数量保持矩阵大小不变，填充方式为对称填充，以符合FSS的周期性特征，卷积核通道数量依次为64、128、256。池化层采用最大池化，尺寸为2×2，全连接层神经元个数依次为512、512、126。输出层为回归层，使用均方误差（MSE）作为损失函数对CNN的权重参数进行更新，表达式为

图 5. 卷积神经网络结构示意图

Fig. 5. Illustration of the structure of the convolutional neural network

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式中：Ti'为CNN预测结果；Ti为COMSOL软件仿真结果；N为频率点个数。在第二个全连接层后添加Dropout层，其作用为训练过程中随机失效一部分神经元，随机失效概率为0.2，从而增强神经网络的泛化性，防止过拟合。所有激活函数都采用Leaky ReLU函数，超参数α值为默认的0.01。

神经网络训练过程中，采用Adam算法更新权重，初始学习率设置为0.001，采用指数衰减调整学习率的方法，即每隔5轮，学习率下降为原来的0.5，学习率的计算公式为

式中：Rlearn为每轮训练对应的学习率；E_epoch为训练的轮数。欧几里得范数（L2范数）正则化参数设置为0.0001，用于平滑曲线，防止过拟合。批量参数（mini batch size）经过反复尝试后，设置为100，从而提高计算精度并减少计算资源，加快训练速度。

将数据集按照8∶2划分为训练集和测试集进行训练，使用平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）监控训练过程，如图6所示。图6（a）为训练集和测试集的MAE下降过程，图6（b）为训练集和测试集的RMSE下降过程。可以发现经过30轮训练后，训练集损失下降至0.4020，测试集损失下降至0.7519，且经过20轮训练，测试集误差趋于稳定，训练集误差小幅波动。进一步降低学习率，测试集误差已无法继续下降，达到CNN训练结束条件，总训练时间为18 min。MAE和RMSE的公式分别为

图 6. 卷积神经网络的训练过程。（a）损失值变化；（b）RMSE变化

Fig. 6. Illustration of CNN training process. (a) Loss value variation; (b) RMSE variation

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训练完成后，对测试集进行预测，预测结果与仿真结果相比，MAE为0.0592，RMSE为0.1005，R²为0.6692。R²用于评价预测结果与仿真结果的拟合度，越接近1，表明两者的拟合度越高，公式为

式中：Ti¯为仿真结果的平均值。从训练集与测试集中各随机抽取4组结果进行对比，如图7（a）~（h）所示。可以发现神经网络对测试集FSS能够进行比较精准的预测，验证了CNN预测FSS透反射光谱的有效性和准确性，其中训练集预测结果比测试集更为精准，这与训练集损失值小于测试集损失值相符。对于平滑曲线，CNN能够进行十分精准的预测，但是对于波动较为剧烈的频段，神经网络预测的是其大致趋势，对次要谐振峰的预测不是十分精准，造成这一现象的原因是次要谐振峰与数据集平均值差值较小且数据量占整体比例也较小^［18］。为了使神经网络预测结果的整体损失MSE更小，神经网络倾向于均值预测。

图 7. CNN预测结果与仿真结果对比。（a）~（d）训练集；（e）~（h）测试集

Fig. 7. Comparison of prediction results and simulation results of CNN. (a)‒(d) Training set; (e)‒(h) testing set

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3　典型滤波FSS优化设计

使用遗传算法（GA）优化设计FSS的流程如图8所示。首先产生长度为36的二进制编码，初始种群数量为200；根据图2所示流程产生对应的FSS拓扑编码，调用CNN预测对应光谱，计算适应度，并利用其更新二进制编码，直到适应度连续10次不再减小，或者达到最大优化次数50，完成优化。适应度函数为

图 8. CNN-GA优化设计FSS的流程

Fig. 8. Flowchart of FSS design optimized by CNN-GA

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式中：Gi是设计目标；wi是对应点的权重系数。通过对设计目标曲线和权重系数进行合理取值，即可完成不同FSS的设计。

图9为CNN-GA对窄带带通FSS的设计优化结果。如图9（a）所示，该FSS的设计目标是在2.5~2.6 THz频率范围内实现透射率为1，1.2~2.5 THz和2.5~3 THz频率范围内实现透射率为0。由于2.5~2.6 THz范围内频率点较少，将其权重设置为10，2~2.5 THz和2.5~3 THz频率范围内权重设置为1，其余频率点权重设置为0，不考虑这些频率点的透射率对设计结果的影响。根据图8的CNN-GA设计流程，采用CNN快速预测FSS的透射率，结果如图9（a）菱形标志线所示；然后利用GA对预测结果进行筛选和优化，得到如图9（b）所示的拓扑结构FSS；最后，使用COMSOL软件进行全波仿真结果对照，如图9（a）球形标志线所示。CNN预测结果显示，该FSS在设计频率范围内的峰值透射率为0.9，同时位于带外的透射率曲线快速下降，满足窄带带通的设计要求。COMSOL软件仿真结果表明：FSS的峰值透射率为0.77，略低于预测结果，但整体性能仍然满足设计需求；在带外的透射率曲线与预测结果基本吻合，仅在1.3 THz处出现跳变点，在不考虑透射率对设计结果影响的频率范围内。此外，该FSS的半峰全宽为0.36 THz，与CNN预测结果基本一致。

图 9. 窄带带通FSS设计结果。（a）优化结果；（b）拓扑编码矩阵

Fig. 9. Narrowband bandpass FSS design result. (a) Optimal result; (b) topological encoding matrix

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图10给出宽带带通FSS的设计优化结果。如图10（a）所示，该FSS的设计目标是在2.0~2.5 THz频率范围内实现透射率为1，权重设置为2，1.7~2.0 THz和2.5~2.8 THz频率范围内实现透射率为0，权重设置为1，其余频率点权重设置为0。具体算法流程如图8所示，CNN预测结果和仿真结果都在1.7 THz处透射率趋于0，在2.28 THz处为透射率峰值，分别为1和0.89。在2.8 THz处预测透射率为0.23，仿真透射率为0.05，这是由于FSS透射率有一个剧烈波动，CNN预测结果有偏差。总体而言，根据CNN预测结果完成的FSS优化设计满足设计目标。图10（b）为FSS对应的拓扑编码矩阵。

图 10. 宽带带通FSS设计结果。（a）优化结果；（b）拓扑编码矩阵

Fig. 10. Broadband bandpass FSS design result. (a) Optimal result; (b) topological encoding matrix

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图11给出窄带带阻FSS的设计优化结果。如图11（a）所示，该FSS的设计目标是在2.0~2.1 THz频率范围内实现透射率为0，权重设置为5，1.7~2.0 THz和2.1~2.4 THz频率范围内实现透射率为1，权重设置为1，其余频率点权重设置为0。CNN预测透射率和仿真透射率都在2.0~2.1 THz范围内小于0.05，1.7 THz和2.4 THz附近有一极大值。总体而言，根据CNN预测结果完成的FSS优化设计满足设计目标。图11（b）为FSS对应的拓扑编码矩阵。

图 11. 窄带带阻FSS设计结果。（a）优化结果；（b）拓扑编码矩阵

Fig. 11. Narrowband bandstop FSS design result. (a) Optimal result; (b) topological encoding matrix

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图12给出宽带带阻FSS的设计优化结果。如图12（a）所示，在遗传算法中完成相关参数设置，将FSS的设计目标设置为在2.0~2.5 THz频率范围内实现透射率为0，权重设置为2，1.5~2.0 THz和2.5~3.0 THz频率范围内实现透射率为1，权重设置为1，其余频率点权重设置为0。CNN预测透射率和仿真透射率都在2.0~2.5 THz范围内小于0.2，在2.12~2.44 THz范围内小于0.05，1.7 THz和2.7 THz附近有一极大值。总体而言，根据CNN预测结果完成的FSS优化设计满足设计目标。图12（b）为FSS对应的拓扑编码矩阵。

图 12. 宽带带阻FSS设计结果。（a）优化结果；（b）拓扑编码矩阵

Fig. 12. Broadband bandstop FSS design result. (a) Optimal result; (b) topological encoding matrix

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图13给出双频窄带带通FSS的设计优化结果。首先完成参数设置，如图13（a）所示，该FSS的设计目标是在1.4~1.6 THz和2.4~2.6 THz频率范围内实现透射率为1，权重设置为10，1.0~1.4 THz、1.6~2.4 THz、2.6~3.0 THz频率范围内实现透射率为0，权重设置为1，其余频率点权重设置为0，然后根据图8所示的CNN-GA FSS设计流程完成优化。CNN预测透射率和仿真透射率都在1.4~1.6 THz和2.4~2.6 THz范围内有极大值点，在1.4~1.6 THz范围内极大值分别为0.78和0.80，在2.4~2.6 THz范围内极大值分别为0.62和0.75。在1.6~2.4 THz范围内，CNN预测透射率和仿真透射率的极小值分别为0.07和0.003。根据CNN预测结果完成的FSS优化设计实现了间隔为1 THz、带宽为0.2 THz的双频窄带带通FSS。图13（b）为FSS对应的拓扑编码矩阵。

图 13. 双频窄带带通FSS设计结果。（a）优化结果；（b）拓扑编码矩阵

Fig. 13. Dual-band narrowband bandpass FSS design result. (a) Optimal result; (b) topological encoding matrix

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4　结论

使用基于拓扑编码-卷积神经网络-遗传算法的FSS设计方法实现了各类典型FSS滤波器。将太赫兹波段FSS离散拓扑编码，使其与16×16的“0/1”矩阵一一对应，采用旋转对称结构保证FSS的极化稳定性，利用CNN实现对FSS频谱响应的精准预测，测试集平均绝对误差为0.06，且单次计算时间为0.09 s，相对于优化后的COMSOL软件单次全波仿真时间2 min 22 s，效率提高了上千倍，验证了深度学习方法在FSS设计中的准确性和高效性。在此基础上，结合遗传算法，完成了带宽为0.1 THz的单频带通和带阻FSS、带宽为0.5 THz的单频带通和带阻FSS、带宽为0.2 THz的双频带通FSS设计，它们均具有良好的极化稳定性。该FSS设计方法极大简化了FSS的设计难度，大幅提高了FSS的设计效率，克服了人为尝试FSS新结构的盲目性，可在相同的基础结构上对0.5~3 THz范围内的太赫兹波实现按需调控，在太赫兹滤波、太赫兹成像、太赫兹通信等领域有着广泛的应用前景。