1 引言

涡旋光束能够稳定地捕获和操作微粒,在与微粒相互作用的过程中,其所携带的轨道角动量可以传递给微粒并驱动微粒旋转^[1]。与普通光束相比,涡旋光束具有很多独特的物理特性,在光吸收型粒子捕获、低折射率粒子捕获、光学旋转、微流体导引等领域有重要的应用。1996年,Gahagan等^[2-3]利用涡旋光束实现了对低折射率粒子的捕获,实验中稳定捕获了20 μm的空心球,并且实现了对高低折射率粒子的同时捕获。涡旋光束具有独特的相位结构且中心光强为零。高聚焦的涡旋光束对金属粒子的较大散射力恰好能够将金属微粒束缚在涡旋光束的中心,从而实现对金属粒子的稳定捕获^[4]。Dienerowitz等^[5]利用涡旋光束首次成功捕获与旋转100 nm级别的金属微粒。Shvedov等^[6]利用两个相对传输的涡旋光束形成的光阱实现了对空气中光吸收型粒子的稳定捕获。除此以外,Ladavac等^[7]利用涡旋光束阵列实现了光学泵的功能,用来导引微流。与传统涡旋光束相同,调制的涡旋光束,如分数型涡旋光束,也具有轨道角动量,在光学微操作实验中能够对微粒施加转矩^[8-10]。Tao等^[9]通过全息光学的方法产生了分数型涡旋光束,并利用该光束实现了对粒子的稳定捕获。分数型涡旋光束在强度环上出现的缺口,阻碍了粒子的平滑旋转,因此,利用这种特点能够快速定向导引粒子。同年,Lin等^[10]利用全息光学方法产生了任意形状的调制涡旋光束,并利用调制的光束实现了对微粒的捕获与旋转,证明调制涡旋光束仍然具有轨道角动量。除了涡旋光束可以束缚低折射率介质微粒、金属微粒之外,一种在传播方向上存在暗域的特殊光束——局域空心光束,也可应用于光学的许多领域,如束缚低折射率微粒、激光导管等^[11-13]。Shvedov等^[13]利用空心光束在空气中捕获直径约5 μm的石墨微粒。程治明等^[14]提出了圆顶轴棱锥新型光学元件,并从理论上证明平行光通过圆顶轴棱锥后可以形成多个局域空心光束,从而大幅度提高了囚禁粒子的效率。尽管涡旋光束、局域空心光束等被广泛应用于光镊技术领域,实现了对金属微粒、低折射率微粒的捕获与操作,但是这种技术以及微粒在光场中的捕获稳定性受限于高倍显微物镜聚焦特性,并且不能够产生三维的涡旋光束阵列^[15]。基于达曼波带片既可产生轴向聚焦涡旋光束,也可在透镜的后场实现按照规则晶格结构排布的聚焦光斑三维阵列,但是这种类型波带片的轴向焦点强度是近似相等的^[16]。

新型光子学元件分形波带片的产生使得产生轴向多涡旋光束成为可能,分形波带片沿轴向具有多个自相似特性的焦点,而且不同结构的分形波带片轴向焦点位置也不相同^[17],这类型光子学元件在三维光镊技术领域有着潜在应用^[18]。基于康托尔集分形结构的Devil透镜沿轴向具有多个焦点,Devil透镜叠加螺旋相位后形成Devil涡旋透镜,该透镜轴向具有一个强度较大的聚焦涡旋光束以及多个次级聚焦涡旋光束^[19]。将螺旋相位叠加到相位型分形波带片上,即可在分形波带片的每个焦点位置处得到相应的涡旋光束,产生沿传播方向的聚焦涡旋光束阵列^[20],但是各个焦点位置处的聚焦涡旋光束光强均不相同。随着更多的非周期数学序列应用于波带片的设计中,Monsori等^[21]、Calatayud等 ^[22]基于斐波那契序列并结合螺旋相位,产生了斐波那契涡旋透镜,沿轴向产生了一对强度相等的聚焦涡旋光束,但是轴向聚焦涡旋光束的数目固定,而且聚焦涡旋光束距离波带片之间的距离之比为定值,不能够灵活调整。本文基于Thue-Morse(T-M)非周期数学序列以及T-M波带片的双焦点分形特性^[23],通过叠加螺旋相位产生了一种新型光子学元件——T-M涡旋透镜,新产生的涡旋透镜沿轴向存在多对强度相等的聚焦涡旋光束,能够实现多平面金属微粒、低折射率微粒等的束缚,在光镊、光信息处理和非线性光学等领域具有潜在的应用价值。

2 T-M涡旋透镜

构造T-M涡旋透镜,首先基于二值非周期T-M序列构造相应的波带片,这种非周期数学序列可用多种方法构造形成,可以由替代规则生成,也可以由迭代关系写出^[24]。首先定义一个初始种子S₀=A,T-M二值(A/B)非周期序列可以通过迭代规律A→AB与B→BA得到,其中“→”表示“被替换成”。初始种子的共轭元素定义为 A-=B,则 B-=A。因此,结合上述迭代规律可以得到:第1级T-M二值(A/B)非周期序列可表示为S₁=AB;第2级T-M二值(A/B)非周期序列可表示为S₂=ABBA;第3级T-M二值(A/B)非周期序列可表示为S₃=ABBABAAB;第4级T-M二值(A/B)非周期序列可表示为S₄=ABBABAABBAABABBA;第5级T-M二值(A/B)非周期序列可表示为S₅=ABBABAABBAABABBABAABABBAABBABAAB,依此类推,第n级T-M二值序列可按照相同迭代规律得到。S_n是第n级T-M非周期序列,相应序列中二值元素的数目为2ⁿ。一个波带片是由透光和不透光的波带按照一定规律交替组成的,设A代表透光波带、B代表不透光波带,T-M非周期波带片的构造可依据相应的透过率函数来完成^[24]。图1(d)展示了基于第5级T-M非周期序列所构造的波带片,作为对比,图1(a)是与图1(d)所示波带片具有相同分辨率的菲涅耳波带片。将螺旋相位叠加在相位型T-M波带片上即可得到T-M涡旋透镜^[24],T-M涡旋透镜的相位分布用φ_STM表示,φ_STM=φ_MT +φ_S,其中,φ_MT表示二维相位型T-M波带片,φ_S表示螺旋相位板的螺旋相位。图1(e)与(f)展示了拓扑荷数分别为l=2与l=5的第5级T-M涡旋透镜,为了进行对比,图1(b)和(c)分别展示了与图1(e)和(f)具有相同分辨率的菲涅耳涡旋透镜,相应拓扑荷数也分别为l=2与l=5。

图 1. 不同拓扑荷数l=0, 2, 5下菲涅耳涡旋透镜和涡旋透镜。(a)~(c)与(d)~(f)所示透镜具有相同分辨率的菲涅耳涡旋透镜;(d)~(f)基于第5级T-M非周期序列的T-M涡旋透镜

Fig. 1. Fresnel lenses and T-M vortex lenses with the topological charges of l=0, 2, 5, respectively. (a)-(c) Equivalent periodic Fresnel vortex lenses with the same number of zones; (d)-(f) T-M vortex lens based on the T-M sequence of order 5

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3 T-M涡旋透镜的轴向衍射特性

为了研究T-M涡旋透镜的轴向聚焦特性,考虑波长为λ的平面波照射T-M涡旋透镜,基于T-M涡旋透镜的透过率函数t表示为

t(ζ,φ)=q(ζ)exp(ilφ),(1)

式中:q(ζ)为T-M波带片的透过率函数,ζ=(r/a)²。基于(1)式,由菲涅耳近似可求出T-M涡旋透镜的轴向强度分布。对轴向坐标z进行简化,令u=a²/(2λz),u为无量纲的量^[24],a为涡旋透镜的半径;v=r/a为归一化轴向截面坐标,r为涡旋透镜的径向坐标。轴向强度分布可以表示为^[22]

I(u,v)=4π2u2|∫01q(ζ)exp(-i2πuζ)Jl(4πuvζ12)dζ|2,(2)

式中:J_l为l阶第一类贝塞尔函数。

利用(2)式得到的带有不同拓扑荷数的第5级T-M涡旋透镜的轴向强度分布,如图2(d)~(f)所示,对应T-M涡旋透镜所携带的拓扑荷数分别为l=0, 2,5。图2(a)~(c)展示了与图2(d)~(f)具有相同分辨率的菲涅耳涡旋透镜的轴向强度分布,相应拓扑荷数也分别为l=0, 2,5。图2(a)所示涡旋透镜由于所携带拓扑荷数为零,其实际为菲涅耳透镜。图2(b)和(c)中菲涅耳涡旋透镜所携带的拓扑荷数分别为l=2,5,可以看到,菲涅耳涡旋透镜沿轴向在相应菲涅耳透镜的焦点位置处产生一个聚焦涡旋光束,随着携带的拓扑荷数增大,涡旋光束的半径也随之增大。图2(d)所示T-M涡旋透镜由于所携带的拓扑荷数为0,因此,其实际为T-M透镜,从图中能够看出该透镜沿轴向具有多个焦点,且这些焦点对称分布在如图2(a)所示的菲涅耳透镜的焦点的两侧^[20]。图2(e)和(f)中T-M涡旋透镜所携带的拓扑荷数也分别为l=2,5,可以看出,T-M涡旋透镜的焦点位置处可以产生相应的聚焦涡旋光束。因此,T-M涡旋透镜能够沿轴向产生多个涡旋光束。涡旋光束能广泛地应用于焦点附近微粒的捕捉和旋转^[2-6]。然而,由于聚焦涡旋光束经过焦平面后迅速发散,如果嵌入式的涡旋光束不集中,那么光束的聚焦深度将难以维持,而聚焦深度会影响对粒子的操控范围。因此,T-M涡旋透镜产生的多个轴向涡旋光束为多平面束缚低折射率微粒提供了可能。

图 2. 不同拓扑荷数l=0, 2, 5下菲涅耳涡旋透镜和涡旋透镜的强度分布。(a)~(c)第5级菲涅耳透镜的轴向强度分布;(d)~(f)第5级T-M透镜轴向纵切面强度分布

Fig. 2. Irradiance evolution of Fresnel lenses and T-M vortex lenses with the topological charges of l=0, 2, 5, respectively. (a)-(c) Evolution of the transverse irradiance of the Fresnel lens of order 5; (d)-(e)evolution of the transverse irradiance of the T-M vortex lens of order 5

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以携带拓扑荷数为l=5的第5级T-M涡旋透镜为例,分析T-M涡旋透镜轴向强度分布特性以及多个涡旋光束的强度分布。T-M涡旋透镜的主焦点位置可表示为

f=a22Sλ,(3)

式中:S为T-M涡旋透镜采用的T-M数学序列的级数。模拟实验中,入射光的波长λ=532 nm,相应T-M涡旋透镜的半径a=1.15 mm,选取T-M涡旋透镜主焦点两侧对称位置处的涡旋光束进行分析。为了直观展示焦点位置处的螺旋相位与强度分布,以拓扑荷数为5的T-M涡旋透镜为例,主要分析其相对主焦点位置对称分布的一对涡旋光束[图2(f)中标示为1与4的两个焦点]。在研究焦点位置处相位分布时采取了角谱传播理论,图3(a)与(b)分别展示了图2(f)中1与4标示的两个焦平面的相位分布,为了方便观察,只截取了平面焦点的中心区域,中心采集点区域面积的像素数为40×40,每个像素大小为15 μm×15 μm。图3(c)与(d)分别展示了图2(f)中1与4标示的两个焦平面的强度分布,为了方便观察只截取了平面焦点的中心区域,中心采集点区域面积的像素数为60×60,每个像素大小为15 μm×15 μm。为了证明T-M涡旋透镜轴向位于主焦点两侧对称位置处的聚焦涡旋光束具有相等的强度,同样选取图2(f)中1与4标示的两个聚焦涡旋光束进行分析,并选取其中一个涡旋光束的最大强度值作为标准,对两个涡旋光束的所有强度作归一化处理。图3(e)与(f)分别展示了图3(c)与(d)中白色虚线区域内的强度分布,对比图3(e)与(f)可以看出,两个涡旋光束强度相等,图2(f)中1标示的涡旋光束直径的像素数大约为Δx₁=30,4标示的涡旋光束直径的像素数大约为Δx₄=15。理论模拟结果显示,与T-M波带片轴向强度分布相同,T-M涡旋透镜轴向聚焦涡旋光束相对主焦点位置对称分布,且对称位置处的聚焦涡旋光束的强度相等。除了这些聚焦涡旋光束之外,在轴向其他焦点位置处也存在聚焦涡旋光束。这种T-M涡旋透镜沿轴向具有多个聚焦涡旋光束,且相对主焦点对称位置处的聚焦涡旋光束强度相同,这种涡旋透镜通过组合可以产生三维涡旋光束阵列,在三维光镊技术领域有潜在应用价值。

图 3. (a)和(b)图2(f)中1与4标示的两个焦平面的相位分布; (c)和(d)图2(f)中1与4标示的两个焦平面处强度分布图; (e)和(f)图3(c)与图3(d)中白色的虚线区域的强度分布图

Fig. 3. (a)-(b) Phase distribution in the two focal planes marked with 1 and 4 in Fig. 2(f); (c)-(d) transverse intensity distribution in the two focal planes marked with 1 and 4 in Fig. 2(f); (e)-(f) intensity profiles along the white dotted lines showed in Fig.3 (c) and Fig.3 (d)

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4 实验分析

前面已经对T-M涡旋透镜的轴向衍射特性进行了分析,下面将从实验的角度对轴向衍射特性进行探索,实验系统采用了相位型空间光调制器(SLM,Boulder Nonlinear System,P512-532 nm)。实验过程中将拓扑荷数为l=2的第5级相位型T-M涡旋透镜加载到如图4所示的空间光调制器中,为了使经过空间光调制器反射之后的光束与空间光调制器液晶表面的衍射零级光斑分开,需要在图1(e)所示的相位型T-M涡旋透镜中加入一个闪耀光栅。图4展示了实验装置示意图,一束由半导体固体激光器发射并由准直器准直扩束的激光经过滤波之后,入射在SLM的表面上并被反射,反射光束最后经一个由透镜L₁与L₂构成的倒置望远系统后成倍缩小,其中光束的准直扩束系统由两个透镜组成,CCD (Newport,LBP-2-USB)用来采集T-M涡旋透镜轴向某一位置处的光束强度分布。为了进行对比分析,图5分别展示了图2(e)中1,2,3,4标示的4个聚焦涡旋光束的强度分布。实验中,在距离携带拓扑荷数为l=2的第5级T-M涡旋透镜u=12.5, 15, 20, 23 [图2(e)中1,2,3,4标示的位置]处采集到的聚焦涡旋光束的强度分布如图6(a)~(d)所示,为了便于观察,只截取了平面焦点的中心区域,实验结果验证了理论模拟结果的正确性,随着衍射距离的增加,T-M涡旋透镜焦点位置处的涡旋光束的半径会随之增大,实验中通过测量发现,T-M涡旋透镜相对主焦点对称分布的两对聚焦涡旋光束的强度基本一致。除了这4个涡旋光束之外,沿着轴向移动CCD能够观察到多个聚焦涡旋光束。因此,T-M涡旋透镜能够产生多个轴向涡旋光束,为三维空间捕获金属微粒、低折射率微粒等提供了可能,这种新型T-M涡旋透镜将在三维光镊、微纳光子学领域有潜在应用价值。

图 4. 实验装置示意图

Fig. 4. Schematic of the experimental setup

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图 5. (a)~(d)图2(e)中1,2,3,4标示的4个焦平面上的强度分布的理论模拟图

Fig. 5. (a)-(d) Simulated transverse irradiance distributions at the focal planes marked with 1, 2, 3 and 4 in Fig.2 (e)

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图 6. (a)~(d) 图2(e)中1,2,3,4标示的4个焦平面处聚焦涡旋光束强度分布实验图

Fig. 6. (a)-(d)Experimental transverse irradiance at the focal planes marked with 1, 2, 3 and 4 in Fig.2 (e)

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5 结论

基于T-M非周期性数学序列设计了一种新的光子学元件——T-M涡旋透镜,轴向衍射特性模拟结果显示,T-M涡旋透镜轴向具有多个聚焦涡旋焦点,各个焦点相对主焦点位置对称分布,对称位置处的焦点强度相同。实验结果显示距离透镜距离u=12.5,15,20,23处分别存在一个聚焦涡旋光束,不同级次T-M涡旋透镜具有的聚焦涡旋数目以及距离棱镜的位置也不相同。这种类型的T-M涡旋透镜能够产生轴向涡旋阵列,其衍射特性不受被捕获微粒的影响,能够实现空间多平面捕获金属微粒、低折射率微粒等,在三维光镊技术等领域有着广泛、潜在的应用价值。