1　引言

变形反射镜的主要作用是产生受控变形以引入波前误差^［1］，是自适应光学系统具有能动可变特性的关键，其研制水平是自适应光学技术能力的重要标志之一。因此，变形反射镜一直是自适应光学技术的研究重点。

关于变形反射镜的设计问题，人们探索了不同驱动方式、驱动原理以及驱动器排布方式对变形反射镜校正能力的影响^［2-8］，形成一套行之有效的结构参数设计优化流程：1）根据校正需求及相关经验公式确定驱动器数量量级；2）根据有效校正面积需求确定初始结构尺寸等参数；3）建立三维模型，分析驱动器的影响函数；4）根据驱动器影响函数分析校正残差，评估校正效果；5）利用控制变量法调整设计参数，迭代优化获得合理的结果。基于上述设计流程：曹朔等^［9-10］研究了镜面材料、物理参数、磁体尺寸、线圈尺寸以及驱动器对音圈变形反射镜校正面形的影响；刘李辉等^［11］分析了极头半径和驱动器间距对变形反射镜镜面形变的影响；吴伟彬等^［12］主要分析了横向压电变形反射镜镜面厚度和压电陶瓷驱动器（PZT）厚度对变形反射镜镜面形变的影响；谢丽等^［13］分析了失效驱动器对变形反射镜校正性能的影响；Ma等^［14］分析了极头间距和支撑方式对变形反射镜校正性能的影响；杨开科等^［15］研究了压电变形反射镜材料、支撑方式、厚度等对变形反射镜校正能力的影响，并利用正交组合遍历算法优化变形反射镜参数。上述研究分析了各种因素对变形反射镜校正能力的影响，为变形反射镜的研制提供了很好的参考。但对于调参数目较多的变形反射镜，无论是控制变量法，还是遍历算法，均会导致个体计算量较大，从而限制变形反射镜研制效率的提升。

针对上述问题，本文提出一种新型变形反射镜设计方法，以弹性力学为出发点构造变形反射镜影响函数，利用遗传算法对变形反射镜结构参数进行参数选择、优化，通过算法有目的进行迭代优化，大幅度减少个体计算量，完成变形反射镜的快速设计。

2　基本原理

以弹性力学为出发点构造变形反射镜影响函数，利用遗传算法完成变形反射镜的快速设计，具体流程如图1所示。先根据校正要求明确校正目标，确定遗传算法的适应度函数与驱动器初始排布，然后根据驱动器初始排布明确变形反射镜校正能力的影响因素，以确定参数个体及取值空间。分析变形反射镜校正能力的步骤如下：1）将变量值代入弹性力学模型计算驱动器的影响函数；2）采用最小二乘法计算校正目标所需的驱动系数；3）通过线性叠加原理得到拟合面形；4）对比拟合面形与校正目标，得到校正残差。参数迭代步骤如下：1）将校正残差代入适应度函数，计算适应度；2）判断算法是否收敛或达到设定循环次数；3）若满足收敛条件则输出并储存变量及残差，否则对参数个体进行遗传、交叉、变异得到新参数值，重新进行迭代计算，直至满足适应度函数条件。最后，评估设计结果是否满足校正要求，若满足则输出相应驱动排布及结构参数值，反之则调整初始驱动器排布或参数个体取值空间重新进行优化。

图 1. 基于遗传算法的变形反射镜结构优化流程图

Fig. 1. Flow chart of structural optimization of deformable mirror based on genetic algorithm

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2.1　遗传算法

遗传算法是一种基于自然选择和群体遗传机理的搜索算法，可模拟自然选择和自然遗传过程中的繁殖、杂交和突变现象^［16］，其流程如图2所示。遗传算法是一个不断优化的过程，由随机产生的个体初始解计算适应度值，然后基于该适应度值选择个体，个体经交叉和变异算子组合生成新一代个体。新一代个体继承了上一代个体的优良性状且在性能上优于上一代个体，从而逐步朝着最优解的方向进化。本文方法以影响校正效果的变形反射镜结构参数作为遗传算法的个体，取值范围作为个体取值范围，通过校正残差建立适应度函数。

图 2. 遗传算法的流程图

Fig. 2. Flow chart of the genetic algorithm

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2.1.1　算法的个体及取值空间

影响不同变形反射镜镜面形变的因素不同，通常考虑的因素有变形反射镜厚度、变形反射镜的镜面尺寸、驱动器位置、粘胶强度、粘胶点面积大小等。遗传算法的个体及取值根据影响变形反射镜形变的参数取值确定，个体主要为影响变形反射镜形变的参数，取值空间则对应参数的取值范围。面对不同变形反射镜的设计要求，可定义不同的个体以及取值空间，根据实际情况以浮动的参数作为个体变量求解最优结构参数。本文算法所涉及的个体有变形反射镜的厚度、环布驱动器位置、固定约束位置以及中心驱动器面积。其中，以驱动器离中心距离作为变量个体时，个体数目随驱动层层数的变化而变化。

2.1.2　算法的适应度函数

在自适应光学系统内进行像差校正分析时，通常以对Zernike像差的拟合能力作为基准，通过变形反射镜拟合面形与待校正面形的残差判断其校正能力^［17-20］。数值仿真时，以残差面形的均方根（RMS）值为像差校正效果的评判数值。由于待校正面形可由不同的Zernike像差面形叠加组合，变形反射镜的校正能力由多种Zernike像差进行综合校正，则变形反射镜的校正能力可表示为

式中：Z_i为Zernike多项式的第i项；C_i为Zernike多项式对应的系数；εi为每一项的校正残差。如果变形反射镜可以很好地拟合所需Zernike多项式中每一项Zernike像差，就能通过调整Zernike多项式前的系数很好地拟合波前像差。考虑到变形反射镜需动态实时校正不同面形，为使结构尽可能校正各种像差，将算法适应度函数设置为像差校正后残差面形的RMS值与Zernike像差面形RMS值比的和，可表示为

式中：Xiafter为校正后残差面形的RMS值；Xibefore为原始像差面形的RMS值；a_i为对应系数。适应度函数由待校正Zernike像差的项数决定，可根据各项Zernike像差的占比适当调整残差占比前的系数。

2.1.3　算法的迭代次数

算法的个体数随着驱动层数的增加而增加。假定变形反射镜除中心驱动器外有x层驱动层，则算法个体数为3+x。假定每个变量取100个值，传统算法的个体计算量在100⁴~100¹¹之间，而利用遗传算法进行收敛迭代可大幅度降低个体计算量。传统算法和遗传算法的迭代次数如图3所示。可以发现，相比传统算法，遗传算法的迭代次数有大幅度降低，且变量个体数目越多，遗传算法的优势越明显。

图 3. 不同算法的迭代次数

Fig. 3. Iteration times of different algorithms

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2.1.4　算法的优化效果

为验证遗传算法的优化效果，以待校正像差的离焦和像散为例，以两者校正残差的占比和为判断依据，计算100组随机参数与算法优化后参数的校正效果，结果如图4所示。可以发现：在变量范围下随机取值后得到的校正效果不稳定，像差综合校正能力较差；相反，经遗传算法优化后，随着结构参数值的逐渐稳定，像差校正后的残差也逐渐收敛直至稳定，且残差占比相比随机参数校正后的残差占比有大幅下降。

图 4. 遗传算法的优化效果

Fig. 4. Optimization effect of the genetic algorithm

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2.2　基于弹性力学的影响函数模型

影响函数为单位力或单位位移驱动下变形反射镜的面形，描述方法主要有类高斯函数近似拟合、有限元仿真分析模型^［21］以及利用弹性力学公式拟合。其中：类高斯函数拟合的影响函数与结构参数关系较弱，主要用于系统校正能力仿真；有限元仿真计算得到的影响函数精确度较高，但计算量较大，且需要较为复杂的结构参数与计算结果传递，影响优化效率；弹性力学公式可以利用准确描述具体结构参数下变形反射镜的影响函数。因此，本方法采用弹性力学构造结构参数与影响函数的关系。

变形反射镜的形变符合弹性薄板小变形原理，可根据弹性薄板小变形挠度公式得到影响函数面形。不同的驱动器位置对应不同的影响函数面形公式。主要包括驱动器在中心位置的影响函数和驱动器处于偏心位置下的影响函数^［22］。

对于中心载荷驱动，当所求点在载荷作用面内部，即r0≥r≥0时，存在

当所求点在载荷作用面外部，即a≥r≥r0时，存在

对于偏心载荷驱动，存在

式中：A₀，A₁，A₂，b₀，b₁，b₂，c₀，c₁，c₂均可由K、k表示；t为镜面厚度；m=a/t；q为施加载荷；E为镜面弹性模量；φ为两条线之间夹角，一条线为偏心载荷圆中心与圆板中心连线；另一条线为所求点到圆板中心的连线。

仿真得到不同位置驱动下的影响函数面形如图5所示。在完成驱动器影响函数解析计算的基础上，采用有限元方法计算驱动器影响函数，观察弹性力学模型和有限元模型下的影响函数面形是否一致。以中心驱动器影响函数为例，令变形反射镜的镜面半径为60 mm，厚度为7 mm，中心驱动器的作用半径为5 mm，仿真得到的影响函数如图6所示。可以发现，两种模型下残差面形的峰谷（PV）值为0.0838，RMS值为0.0584，验证了弹性力学模型的有效性。

图 5. 变形反射镜的影响函数。（a）中心驱动；（b）偏心驱动

Fig. 5. Influence function of the deformable mirror. (a) Center actuator; (b) eccentric actuator

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图 6. 影响函数的面形。（a）解析模型；（b）有限元模型；（c）残差面形

Fig. 6. Surface shape of the influence function. (a) Analytical model; (b) finite element model; (c) residual surface shape

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3　低阶变形反射镜的优化设计

3.1　设计要求

基于上述变形反射镜的快速设计方法，对一块变形反射镜进行优化设计。主要要求：1）变形反射镜既能校正离焦像差又能校正像散像差；2）离焦校正残差小于10%，像散校正残差小于8%；3）变形反射镜的有效校正口径为100 mm；4）驱动层数及驱动器数目尽可能少。

3.2　设计过程

首先，根据变形反射镜要求确定算法的适应度函数及驱动器初始排布。由于变形反射镜需要校正的像差为离焦和像散像差，则根据式（2）得到的适应度函数可表示为

式中：Xdefocusrms为变形反射镜校正离焦像差后残差面形的RMS值；XdefocusRMS为待校正离焦像差面形的RMS值；Xastigmatismrms为变形反射镜像散像差后残差面形的RMS值；XastigmatismRMS为待校正像散像差面形的RMS值。

考虑到目标校正像差只有离焦和像散，介于离焦和像散的面形，参考Dibaee等^［23］的研究，采用的驱动器排布为中心驱动器与周边环布驱动器。周边环布驱动器由一层或多层驱动环组成，每一层驱动环上驱动器数为均布4点或均布8点，如图7所示。

图 7. 驱动器的排布示意图。（a）4点驱动层；（b）8点驱动层；（c）混合驱动层

Fig. 7. Schematic diagram of the actuator arrangement. (a) 4-point actuator layer; (b) 8-point actuator layer; (c) hybrid actuator layer

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驱动器层数由最低1层增至8层，驱动器数量由5增值到33个。考虑到驱动器数越多，变形反射镜拟合面形越接近真实值，初始驱动器排布由中心驱动器加8层驱动器组合排布逐步减小驱动层与驱动器数。确定算法个体及取值范围的方法如下：令l为变形反射镜有效校正圆半径；a为变形反射镜的镜面半径；b为中心驱动器的作用面半径；t为变形反射镜的厚度；r_i为第i层驱动层离中心的距离；θ为两驱动层之间夹角，取值范围为45°或90°。根据离焦、像散像差面形特征，初始驱动排布中心层采用8点驱动，由内向外驱动层采用均布4点与8点交叉分布，具体示意图如图8所示。

图 8. 变形反射镜的参数示意图

Fig. 8. Schematic diagram of the parameters of the deformable mirror

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假设变形反射镜的有效校正区域半径为z（单位为mm），为保证像散像差的校正效果，进行如下设置：固定点离中心的距离应适当大于变形反射镜的有效校正直径，将a的取值范围设置为1.2z~1.7z；根据薄板定义，厚度与横向最小尺寸比值介于0.0125~0.2之间，当a取最小值和最大值时，t的取值范围分别为0.03z~0.48z和0.05z~0.68z，考虑到变形反射镜为薄板，将t的取值范围设置为0.051z~0.48z；b的取值范围为1~20 mm；r_i的取值范围为b~a之间。当z=50 mm时，变形反射镜其余参数的取值范围如表1所示。

利用算法个体初始值计算变形反射镜校正能力。以3层驱动层为例，由式（3）~（5）得到变形反射镜单个驱动下中心和偏心驱动层的影响函数面形，如图9所示。

图 9. 变形反射镜的影响函数。（a）中心驱动；（b）内层；（c）中心层；（d）外层

Fig. 9. Influence function of the deformable mirror. (a) Center drive; (b) inner layer; (c) center layer; (d) outer layer

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以影响函数面形为子面形，计算各个驱动器下的系数，通过线性叠加得到与离焦、像散最接近的面形并计算变形反射镜的拟合面形与离焦、像散像差面形的残差面形，通过残差面形的RMS值反映反射镜的校正能力。利用自适应函数值为循环依据评判算法的个体值是否合理，在自适应函数值未达到最小值时，算法需不断调整个体值完成迭代。其中，算法的迭代次数及收敛速度取决于个体数目及个体取值范围的大小。最后，判断该驱动器排布下变形反射镜在个体空间内能否达到校正要求：若达到要求，则输出算法的个体值；若不能达到要求，则可根据校正效果进一步更换驱动排布或驱动器层直至满足校正要求。

初始驱动器排布设定为8层驱动，在算法迭代时，以11个变量为优化个体，根据11个变量下变形反射镜校正的残差效果适当减少驱动器层数及驱动器数目。根据表1中的参数取值范围，仿真得到变形反射镜驱动层为8，驱动排布为图8时算法收敛情况，如图10所示。可以发现，在初始驱动层为8、个体数为11时，本文算法可在100次内完成迭代优化，且优化后的残差占比和比较理想。考虑到加工成本以及迭代次数随着变量个体增加而增加的问题，在实际情况中会尽量选择驱动层少的驱动排布。

图 10. 遗传算法的收敛曲线

Fig. 10. Convergence curve of the genetic algorithm

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3.3　实验结果与分析

3.3.1　变形反射镜的优化设计结果

针对待优化的变形反射镜，通过不断迭代计算，观察不同驱动层数下变形反射镜校正效果，以结合实际情况选择驱动器的排布方式，像差校正效果与驱动器层数的关系图如图11所示。可以发现，变形反射镜对离焦、像散的校正效果随着驱动层数的增加而增强，但驱动层大于3后，再增加层数对变形镜校正能力的提升效果不大。基于有限元方法对变形镜的校正能力进行分析，结果表明，3层驱动层数下变形反射镜对离焦、像散的校正能力均满足技术要求。因此，设置变形反射镜最终结构驱动排布层数为3层，通过不断迭代得到其他结构参数值，如表2所示。其中，第1个驱动层为4个驱动器，第2个驱动层为8个驱动器，第3个驱动层为4个驱动器。

图 11. 不同驱动层下变形反射镜的校正效果

Fig. 11. Correction effect of deformable mirror under different driving layers

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3.3.2　结果验证与对比

利用表2中变形反射镜的结构参数建立变形反射镜模型，通过有限元分析变形反射镜形变，拟合得到变形反射镜模型的离焦、像散面形如图12所示。可以发现，对于像差PV值为1的标准Zernike像差而言，通过调整驱动器的驱动系数可做到大致拟合变形反射镜模型，且拟合面形轮廓与幅度值和标准Zernike像差相似。

图 12. 变形反射镜的网格模型与拟合像差。（a）像散拟合面形；（b）离焦拟合面形

Fig. 12. Mesh model and fitted aberration of the deformable mirror. (a) Astigmatism fitted surface; (b) defocus fitted surface

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通过有限元仿真计算同一参数结构下变形反射镜模型的校正效果。利用变形反射镜模型分别对PV值为1的离焦、像散面形进行拟合，并将拟合像差面形与PV值为1的标准Zernike像差面形做差，得到的两种像差的残差面形如图13所示。可以发现，无论是离焦像差还是像散像差，针对PV值为1的标准像差，变形反射镜模型均能将残差面形PV值控制在10%以内，且最终像散残差面形RMS值为原始面形的5%，离焦残差面形为原始面形的4%。这表明本文算法得到的变形反射镜模型能够很好地满足变形反射镜校正要求。

图 13. 变形反射镜的校正残差。（a）像散残差；（b）离焦残差

Fig. 13. Correction residuals of the deformable mirror. (a) Astigmatism residual; (b) defocus residual

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4　结论

本文提出了一种基于遗传算法的变形反射镜快速设计方法，以弹性力学为出发点构造影响函数，以校正残差的RMS建立适应度函数，完成离焦、像散校正变形反射镜结构参数设计。结果表明，该算法仅通过100次迭代就实现包含11个变量的变形反射镜结构参数优化设计，且离焦、像散残差面形RMS分别为输入波前的4%和5%，达到设计要求，提升了变形反射镜的研制效率。