高峰值功率超短激光被广泛运用于物理学前沿，如激光驱动加速器^[1-10]、激光驱动新型辐射源^[11-17]、惯性约束核聚变和相关等离子体诊断技术^[18-22]、实验室天体物理^[23-25]、以及探索强场相关的量子电动力学(QED)效应（如辐射反作用力、高能γ光子、正负电子对的产生）^[26-31]。随着超强超短激光技术的快速发展，尤其是在啁啾脉冲放大技术(CPA)提出后（2018年诺贝尔物理学奖）^[32]，激光在聚焦后其峰值强度已经可以达到10²²～10²³ W/cm^2[33-36]。当下，随着全球各国10PW-100PW激光器的陆续建成^[37]（如中国的羲和激光^[38-39]和SEL^[40-41]，欧洲ELI项目的ELI-NP^[42]和ELI-BL^[43]两条束线，法国的Apollo^[44]，英国的Vulcan^[45]），有望将激光峰值强度再提高1个数量级以上。

人类在实验室可实现的最强激光峰值强度一直是强场物理研究的重要课题，2005年Science将该问题列为125个重要科学问题之一^[46]。当激光强度超过10²⁵ W/cm²并且传播路径存在轻子（如电子）时，会激发QED级联效应^[47-48]，此时γ光子和正负电子对的产生数目将指数增加，从而使得激光在达到聚焦强度前快速耗散，形成了对其强度上限的约束。具体来说，当聚焦位置处存在一个电子时，Fetodov等人基于单粒子模拟发现激光峰值功率达到5×10²⁶ W/cm²时由级联效应产生的正负电子对能量将与激光能量相当^[49]。在完全理想的QED真空情形下，激光的极限场强则一般认为与施温格（Schwinger）场 $ {E}_{{\rm{S}}}={m}_{{\rm{e}}}^{2}{c}^{3}/e\hslash \approx 1.32\times {10}^{18}\;{\rm{V}}/{\rm{m}} $相当^[50]。当激光强度接近或超过该阈值后，其由于紧聚焦或相干合成产生的极端场可以从真空中将虚电子实化触发前述QED级联效应，并产生正负电子对等离子体^[51-52]。考虑到实验室条件无法实现完美的真空，残余在靶室的粒子会作为QED级联的种子，因而激光的峰值功率会与前述Fetodov等人的估计相当^[49]。值得一提的是，单粒子分析没有考虑到QED级联过程中的激光能量耗散演化，因而不能准确直观评估激光在聚焦过程中的真实峰值功率。为了更好追踪在聚焦过程的激光峰值功率变化，研究者结合自洽的理论分析和PIC模拟，发现在真空残留电子密度在10⁹ cm⁻³（常温H₂O分子情况下对应压强3.7×10⁻⁷ Pa）时，激光的极限强度在10²⁶ W/cm²量级^[53]。

事实上，超强激光驱动的QED级联过程与激光参数（偏振、焦斑大小、脉宽等）和电子种子源（密度，位置）密切相关^[54-62]，因而对于特定真空度下实现的激光强度极限也会随之变化。基于此，本文将激光的偏振、焦斑以及脉宽糅合进激光演化自洽方程，进而分析其对激光强度极限的影响，并与PIC仿真模拟的结果进行对比。该研究对后续极端强场产生和探索QED效应有借鉴意义。

1 研究方法

1.1 理论模型

极端强场与等离子体相互作用激发到QED级联过程实际上是非线性逆康普顿（Compton）散射过程^[63]和非线性布莱特-惠勒（Breit–Wheeler）过程^[64-65]两个通道的链式正反馈雪崩放大过程。具体来说，当强激光场与电子相互作用使得电子运动状态发生变化时，电子有一定概率辐射出γ光子，即 $ {{\rm{e}}}^{-}+{\rm{n}}\omega \to {{\rm{e}}}^{-}+{\text{γ}}$；被辐射的γ光子与强场背景反应，有一定几率湮灭产生正负电子对， $ {\text{γ}} +n\omega \to {{\rm{e}}}^{-}+{{\rm{e}}}^{+} $；而产生的正负电子对与激光作用时又会进一步激发第一步逆康普顿散射过程从而激发所谓的QED级联效应。为了获得上述两个通道的反应截面，需要使用局部恒定场（Local Constant Field Approximation, LCFA）近似^[66]，即在粒子与场的作用过程中所有的能量变化仅仅来自于粒子而场的能量保持不变。在LCFA近似下，上述两个通道的微分散射截面均与粒子的QED参数 $ {\chi }_{i} $有关^[67-68]

$ \begin{array}{c}\dfrac{{{\rm{d}}}^{2}{N}_{{\text{γ}} }}{{\rm{d}}\tau {\rm{d}}{x}_{{\text{γ}} }}=\dfrac{\sqrt{3}}{3\pi }\dfrac{{\alpha }^{2}c}{{r}_{{\rm{e}}}}\dfrac{1}{{\chi }_{{\rm{e}}^{-/+}}}\left[{\displaystyle\int }_{\tfrac{2{\chi }_{{\text{γ}} }}{3{\chi }_{{{\rm{e}}}^{-/+}}({\chi }_{{{\rm{e}}^{-/+}}}-{\chi }_{{\text{γ}} })}}^{+\infty }{{\rm{K}}}_{5/3}\left(y\right){\rm{d}}y+{{\rm{K}}}_{3/2}\left(\dfrac{2{\chi }_{{\text{γ}} }}{3{\chi }_{{{\rm{e}}}^{-/+}}\left({\chi }_{{{\rm{e}}}^{-/+}}-{\chi }_{{\text{γ}} }\right)}\right)\right]\end{array} $ (1)

$ \begin{array}{c}\dfrac{{{\rm{d}}}^{2}{N}_{{\rm{BW}}}}{{\rm{d}}\tau {\rm{d}}{x}_{{{\rm{e}}}^{\pm }}}=\dfrac{2\sqrt{3}\alpha m{c}^{2}}{3h{\chi }_{{\text{γ}} }{{\text{γ}} }_{{\text{γ}} }}{\displaystyle\int }_{{\left[{\chi }_{{\text{γ}} }/\left({\chi }_{{{\rm{e}}}^-}{\chi }_{{{\rm{e}}}^+}\right)\right]}^{2/3}}^{+\infty }\sqrt{s}{{\rm{K}}}_{1/3}\left(\dfrac{2}{3}{s}^{3/2}\right){\rm{d}}s-\left(2-\dfrac{{\chi }_{{\text{γ}} }^{2}}{{\chi }_{{{\rm{e}}}^-}{\chi }_{{{\rm{e}}}^+}}\right){{\rm{K}}}_{2/3}\left(\dfrac{2{\chi }_{{\text{γ}} }}{3{\chi }_{{{\rm{e}}}^-}{\chi }_{{e}^+}}\right)\end{array} $ (2)

$ \begin{array}{c}{\chi }_{i}=\dfrac{{ \epsilon}_{i}}{{E}_{{\rm{S}}}}\sqrt{{\left({\boldsymbol{E}}+{\boldsymbol{v}}_{\mathit{i}}\times {\boldsymbol{B}}\right)}^{2}-{\left({\boldsymbol{v}}_{\mathit{i}}\cdot {\boldsymbol{E}}\right)}^{2}/{c}^{2}},\quad i={{\rm{e}}}^-,{{\rm{e}}}^+,{\text{γ}} \end{array} $ (3)

式中： $ {r}_{{\rm{e}}} $为电子经典半径； $ \alpha =1/137 $为精细常数； $ c $为真空中的光速； $ h $为普朗克常数； $ m $为电子质量； $ { \epsilon}_{i} $和 $ {\boldsymbol{v}}_{\mathit{i}} $分别表示粒子i的归一化的能量和速度； $ {E}_{{\rm{S}}} $为施温格场； $ {{\rm{K}}}_{j}(\cdot ) $表示第一类j阶贝塞尔函数。通常采用蒙特卡罗（Monte-Carlo）的方法将上述过程耦合到PIC模拟中^{[47-49, 58]}。

事实上，上述方程主要用来衡量QED级联的粒子产生过程，在上述的两个反应通道中，电子首先将能量部分传递给γ光子，随后γ光子的能量再完全传递给正负电子对，并不会涉及到激光场能量的吸收。激光场的能量实际上是通过对电子的加速从而被耗散的，而该过程需要使用麦克斯韦进行求解来描述。

1.2 PIC模拟参数

为了动态研究极端强场在聚焦过程中由于QED级联效应导致的耗散，本文使用带有蒙特卡罗QED模块的二维PIC模拟程序VLPL（Virtual Laser Plasma Lab）^[69-70] 进行模拟分析。在模拟中，激光从左侧穿入大小 $ 40\; {\text{μ}} {\rm{m}}\left(x\right)\times 80\; {\text{μ}} {\rm{m}}\left(y\right) $分辨率为4000×1000的模拟窗口。为了实时跟踪激光，当激光中心与模拟窗口重合时，模拟窗口将以光速沿着激光脉冲同向运动。在粒子初始化时，考虑到非理想真空下参与电子的密度非常小（＜10¹³ cm⁻³），因而单一网格内初始的粒子权重可能小于1，此时需要利用随机数权重判断法随机设定初始粒子的位置^[50]。在粒子生成过程中，为了避免由于宏粒子数目过多导致的内存溢出，每个网格单组分宏粒子的上限设置为4，当超过此阈值后，将对粒子进行融合。对于场初始化而言，输入的激光场满足如下形式

$ \begin{array}{c}{\boldsymbol{E}}_{\rm{L}}\left(x,y,{\textit{z}},t\right)=\left[\dfrac{a{\omega }_{0}}{\omega \left(x\right)}\right]{\mathrm{cos}}^{2}\left[\dfrac{\pi \left(t-{t}_{{\rm{f}}}\right)}{2{\tau }_{0}}\right]{\exp}\left[-\dfrac{{y}^{2}+{{\textit{z}}}^{2}}{{\omega }^{2}\left(x\right)}\right]\left[\cos\left(\dfrac{2\pi }{\lambda }x\right){\boldsymbol{e}}_{\mathit{y}}+\delta \sin\left(\dfrac{2\pi }{\lambda }x\right){\boldsymbol{e}}_{\mathit{{\textit{z}}}}\right]\end{array} $ (4)

$ \begin{array}{c}\omega \left(x\right)={\omega }_{0}\sqrt{\dfrac{{\left(x-{x}_{{\rm{f}}}\right)}^{2}+{x}_{{\rm{R}}}^{2}}{{x}_{{\rm{R}}}^{2}}}\end{array} $ (5)

式中： $ {t}_{{\rm{f}}} $和 $ {\omega }_{0} $分别为激光聚焦到焦点位置 $ {x}_{{\rm{f}}}=240\; {\text{μ}}{\rm{m}} $对应的模拟时间和焦斑大小； $ {\tau }_{0} $为激光脉宽； $ \lambda =800\;{\rm{nm}} $为激光波长； $ {x}_{{\rm{R}}}=\pi {\omega }_{0}^{2}/\lambda $为激光的瑞利长度； $ \delta =0 $或1为偏振系数分别对应线偏振和圆偏振； $ a $为归一化的激光强度，其与激光峰值功率 $ {I}_{0} $的关系为 $ {I}_{0}[{\rm{W}}\cdot {\rm{c}}{{\rm{m}}}^{-2}]={c}_{1}{a}^{2}{\lambda }^{-2}\left[ {\text{μ}} {\rm{m}}\right] $，其中 $ {c}_{1}=1.38\times {10}^{18} $。

为了研究激光参数在不同真空度情形下对激光强度极限的影响，本文进行了系统的参数扫描，其中激光的强度归一化参数从1500扫描到20000，背景的等离子体密度 $ {n}_{0} $从10¹¹ cm⁻³扫描到10¹⁵ cm⁻³（常温下H₂O分子情况下对应压强3.7×10⁻⁵ Pa～3.7×10⁻¹ Pa）。对于其他参数，本文将其分为3组进行参数扫描，分别为：（1）在焦斑为 $ 3\lambda $、脉宽为 $ 5\lambda /c $的情形下考虑激光的偏振参数为 $ \delta =\mathrm{0,1} $（即线偏振和圆偏振）；（2）在线偏振激光脉宽为 $ 5\lambda /c $下，从 $ \lambda $到 $ 5\lambda $扫面焦斑参数；（3）在线偏振激光焦斑为 $ 3\lambda $情形时，从 $ \lambda /c $到 $ 7\lambda /c $扫描脉宽。模拟的时间步长设置为 $ 0.008\lambda /c $，保证结果收敛的同时又不会过度占用计算资源。为确保模拟结果可以实现有效对比，对于不同参数条件初始化粒子使用的随机数种子保持完全一致。此外，为了避免初始电子位置随机性对结果的影响，每一组模拟参数都在控制其余变量情况下，利用不同随机数种子完成了10次计算，并将计算结果的平均值、最大最小值进行了统计。

1.3 QED级联演化方程

为了更好地衡量不同参数的效应，本文参照相关定标率和演化方程，推广了一套可以自洽的描述不同激光参数和真空度情形下的激光峰值功率演化方程。对于正负电子总数 $ {N}_{{\rm{e}}+{\rm{p}}} $和γ光子数 $ {N}_{{\text{γ}} } $而言，其随时间演化方程可以描述为

$ \begin{array}{c}\dfrac{{\rm{d}}{N}_{{\rm{e}}+{\rm{p}}}}{{\rm{d}}t}=2{\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|}{N}_{{\text{γ}} }\end{array} $ (6)

$ \begin{array}{c}\dfrac{{\rm{d}}{N}_{{\text{γ}} }}{{\rm{d}}t}={\mathit{\Gamma }}_{{\text{γ}} }{N}_{{\rm{e}}+{\rm{p}}}-{\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|}{N}_{{\text{γ}} }\end{array} $ (7)

式中： ${\mathit{\Gamma }}_{{\text{γ}} }，{\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|}$分别为γ光子和正负电子的对应的反应速率。基于前人研究，反应速率与归一化激光强度满足定标率 $ \mathit{\Gamma }\propto {\chi }^{\frac{2}{3}}\propto \sqrt{1+{\delta }^{2}}a $^{[49, 58]}，考虑到低 $ \chi $值下的定标率偏移以及 $ {\mathit{\Gamma }}_{{\text{γ}} }～4{\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|} $^[54]，本文采用了之前使用的添加衰减修正项后的关系 $ {\mathit{\Gamma }}_{{\text{γ}} }～4{\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|}～\sqrt{1+{\delta }^{2}}ac \exp\left(-{a}_{{\rm{cas}}}/a\right)/{a}_{{\rm{cas}}}\lambda $^[52]，其中 $ {a}_{{\rm{cas}}}～0.01{a}_{{\rm{S}}} $对应于QED级联开始出现的阈值条件（ $ {a}_{{\rm{S}}} $为归一化后的施温格场）。对于不同激光偏振态产生的粒子能量都可以大致估计为 $ a{m}_{{\rm{e}}}{c}^{2}/2 $^[71-73]，因而激光能量损耗可以表述为 $ {\rm{d}}E～-a{m}_{{\rm{e}}}{c}^{2}{\rm{d}}({N}_{{\rm{e}}+{\rm{p}}}+{N}_{{\text{γ}} })/2 $。假设激光包络在QED级联效应下保持不变即 $ a=T(t,{\omega }_{0})\xi =\xi {\left[1+{c}^{2}{\left(t-{t}_{{\rm{f}}}\right)}^{2}/{x}_{{\rm{R}}}^{2}\right]}^{-1/2} $^[55]，其中 $ G(t,{\omega }_{0}) $为激光包络函数，进而激光的耗散可以近似表述为

$ \begin{array}{c}\xi \left({t}',{\tau }_{0},\delta ,{\omega }_{0}\right)=-\dfrac{{m}_{{\rm{e}}}{c}^{3}}{{c}_{1}}{\displaystyle\int }_{{{t}_{{\rm{f}}}-t}_{{\rm{cas}}}/2}^{t'}\dfrac{{N}_{{\text{γ}} }\left(t\right)+4{N}_{{\rm{e}}+{\rm{p}}}\left(t\right)}{4{V}_{{\rm{d}}}\left({t,\tau }_{0},\delta ,{\omega }_{0}\right)}{\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|}[\delta ,\xi \left(t\right)]T(t,{\omega }_{0}){\rm{d}}t\end{array} $ (8)

其中， $ {t}_{{\rm{cas}}}\left({\omega }_{0}\right)=[{\left(a/{a}_{{\rm{cas}}}\right)}^{2}-1    ]{x}_{{\rm{R}}}\left({\omega }_{0}\right)/c $对应于QED级联的时间尺度^[52]， $ {V}_{{\rm{d}}}({t,\tau }_{0},\delta ,{\omega }_{0}) $为耗散体积对应于t时刻激光场强分布中大于 $ {a}_{{\rm{cas}}} $的体积，其与激光偏振、脉宽和焦斑大小均相关。结合初始情况下的条件 $ {N}_{{\rm{e}}+{\rm{p}}}\left({{t}_{{\rm{f}}}-t}_{{\rm{{\rm{cas}}}}}/2\right)={n}_{0} $， $ {N}_{{\text{γ}} }\left({{t}_{{\rm{f}}}-t}_{{\rm{cas}}}/2\right)=0 $，通过对上述自洽方程的数值求解，也可以获得激光的强度极限随时间演化情况。

2 结果与讨论

2.1 PIC模拟结果

图1给出了超强激光与真空残留电子相互作用产生QED级联效应和能量耗散的示意图，其中右边的典型示意数据结果来自于线偏振激光a=8000, τ₀=5λ/c, ω₀=3λ与电子密度n_e=10¹¹ cm⁻³ （常温H₂O分子情况下3.7×10⁻⁵ Pa）在t=t_f的沿着y=0轴上的PIC模拟结果。蓝色和橘红色的线分别代表理论设计和实际的激光场强，由左边刻度轴定标；青色和粉色的线代表γ光密度和正负电子对密度，由右边刻度定标。激光场强由mωc/e归一，而密度由激光波长对应的临界密度n_c归一。如图所示，高功率激光通过抛物面镜聚集后，与残留在真空靶室里的电子相互作用，激发QED级联效应产生大量的γ光子和正负电子对，其密度可以达到数10倍临界密度。进而激光场能量被新产生的粒子吸收而快速耗散，设计激光场峰值在a=8000，在达到聚焦位置处的时候近乎衰减了一半。

图 1. 超强激光驱动的QED级联效应和场能量耗散示意图

Fig. 1. Sketch of QED cascade triggered by ultra-intense laser and the depletion of the field

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为了更好地呈现激光场和产生的粒子的分布情况并对比不同参数下QED级联效应和激光强度的差异，图2展示了不同参数情况下的场强分布粒子密度，其中除了图2（b）的场强由mωc/ $ \sqrt{2} $归一外，其余场强由mωc/e归一。所有的密度都是用临界密度n_c归一并使用对数坐标呈现，初始残余电子密度n₀=10¹³ cm⁻³（常温H₂O分子情况下对应于3.7×10⁻³Pa）。从图中可以看出，对于不同的情形都产生了大量的γ光子和正负电子对，而且激光强度都有较为明显的衰减，意味着QED级联效应显著的耗散了激光场的能量，尤其是在一些强场区域，激光的耗散使得场的振荡特征开始变得不规律。值得说明的是，产生的正负电子对由于辐射反作用力捕获的原因^{[26, 53]}，大多没有被激光场的有质动力推出模拟窗口，而是被捕获在激光场附近不断的作为种子源，使得QED级联过程可以实现指数级增长的新粒子数增长。对比图2（a）和图2（b）可以发现，相同能量的线偏振（LP）激光和圆偏振（CP）激光能量耗散近乎相同，产生粒子总数目也基本在同一量级。但是可以发现在激光场最强的位置，线偏振的光子和正负电子对其有一定的振荡分布而圆偏振的振荡情况相对而言不太明显，其可能原因在于圆偏振激光场的场结构带有一定的自旋角动量，使得新粒子可以在不同的激光相位都会产生，与之前的结果相吻合^{[54, 57-58]}。对比图2（a）和图2（c）不难发现，当激光焦斑变小时，产生的γ光子和正负电子对数目显著下降，激光的能量吸收显著被抑制，进而激光的峰值强度明显更高。对比图2（a）和图2（d），当激光的脉宽变短时，其激光包络的上升沿和下降沿均变陡峭，由于QED级联产生的γ光子和正负电子对的区域明显变小，单密度有显著的提升，进而对激光峰值区域的激光吸收有所增强，从而导致激光峰值功率比长脉冲情形下更低。

图 2. 不同参数下电场y分量、γ光子和正负电子对密度分布

Fig. 2. Distributions of y component of electric field, and density of γ photons and electron positron pairs

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2.2 结果分析

图3给出了基于式（8）的理论分析结果和PIC模拟结果，其中误差棒的上下须代表10组PIC模拟结果的最大值和最小值，中间符号代表平均值。从结果中可以看出，在部分情形下激光能量在达到聚焦位置前就会显著下降，并且二者结果吻合较好。其主要在于QED级联效应可能在激光达到聚焦位置前就开始，产生的正负电子对会被背景激光场加速，从而快速耗散激光能量，从而使得整个过程中激光强度极限出现的位置会早于聚焦位置。此外，从图2可以看出，激光能量的耗散并不均匀，因而激光的横向分布不再严格满足高斯分布，此时激光的传播也受到一定程度的影响。

图 3.

Fig. 3. Normalized peak intensity evolution from analytical calculation based on Eq. (8) and PIC simulations, where the cases 1～4 represent the parameters of Fig.2(a)～Fig. 2(d), respectively 基于式（8）和PIC模拟得到的归一化强度 在不同情形下的演化结果，其中情形1～4分别对应于图2(a)～图2(d)的四种情况

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本文对固定输入参数下不同输入激光强度的PIC模拟和基于自洽方程数值求解的激光场强演化中峰值进行记录，并求解出其极大值，进而准确评估激光的强度极限。不同激光参数和真空度的激光极限强度I₁测量结果如图4所示，可以看出在参数扫描空间范围内，无论是PIC模拟的结果还是自洽方程的数值结果，激光的极限强度始终低于10²⁷ W/cm²，在部分参数区间可获得的激光强度极限在10²⁶ W/cm²，与前人的研究较为一致^{[49, 53]}。图4（a）给出了在τ₀=5λ/c, ω₀=3λ的线偏振(红实线和红色五角星)和圆偏振(蓝虚线和蓝色正方形)情形下真空残余密度与激光可实现峰值强度的关系。从结果中可以看出在相同的真空度的情形下，圆偏振的激光能量耗散情况会更显著，即圆偏振的激光强度极限会更低，并且自洽方程的理论分析结果与PIC模拟吻合较好。事实上，同等激光能量下，圆偏振激光的峰值功率是线偏振的 $ 1/\sqrt{2} $，因而对于达到极限光强的情形下，其激光能量实际上与线偏振相当。图4（b）给出了τ₀=5λ/c的线偏振情况不同残余电子密度下激光峰值强度与焦斑的关系。不难看出，无论理论分析还是PIC模拟都表明随着激光焦斑的减小，其激光强度上限都会显著提升。特别地，当激光聚焦到衍射极限时(ω₀≈λ)，激光强度极限可以到达10²⁷ W/cm²。从图4（c）可以发现（对应于ω₀=3λ的线偏振情形下），激光可实现峰值强度随着脉宽长度增加而增加，理论自洽方程与PIC模拟大部分情形下吻合得较好。但是值得注意的是，当激光脉宽变得极短后（如单周期），PIC模拟表明激光强度极限反而有所上升，与理论分析有明显的差异，随后会进行详细讨论。值得注意的是，从图3和图4可以看出，当残余电子密度较低或者激光强度大于QED级联的阈值对应的区域 $ {V}_{{\rm{d}}} $过小时（如小焦斑、短脉冲的情形），误差棒的范围较大，说明此情形下，初始电子位置的随机性会对激光强度极限有较大的影响。

图 4. 激光极限强度与不同偏振下真空残余电子密度、τ₀=5λ/c的线偏情况下焦斑大小以及在ω₀=3λ的线偏情形下激光脉宽的关系

Fig. 4. Attainable peak intensity I₁ as a function of vacuum electron residual density for linearly and circularly polarized pulse with τ₀=5λ/c, ω₀=3λ, waist of laser for linearly polarized pulse with τ₀=5λ/c and duration of the laser for linearly polarized pulse with ω₀=3λ

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事实上，从自洽方程式（8）不难看出，激光偏振参数 $ \delta $对光强演化的影响主要源于对QED级联反应速率 $ {\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|} $和耗散区域 $ {V}_{{\rm{d}}} $的影响。其中 $ {\mathit{\Gamma }}_{\left|{\rm{e}}\right|} $项的差异主要源自于 $ \sqrt{1+{\delta }^{2}} $的因子项，即相同归一化强度下，圆偏振会产生更多的正负电子对，从而激光耗散得会更剧烈。对于相同能量的圆偏振和线偏振光，线偏振产生的正负电子对数目会更低但平均能量会更高，但是二者总能量相当；而对于相同设计峰值功率的圆偏振和线偏振光，圆偏振光的正负电子对产量有2倍左右的提升，并且平均能量近乎相当，因而其由于QED级联产生新粒子而带来的能量损失会更显著^{[54, 58-59]}。另一方面，圆偏振激光的耗散区域 $ {V}_{{\rm{d}}} $会明显大于同峰值功率的线偏振光，进而损失的能量会分配到更广的空间，从而一定程度上补偿前者带来的更高的极限强度阈值下降，故圆偏振极限强度只略微低于线偏振的情形。基于式（8），图5给出了线偏振和圆偏振光强度比I₁/I₀值随真空残余电子密度n₀和设计峰值强度I₀的关系。可以看出，相较于线偏振光，圆偏振光在设计峰值强度更低时，其比值就开始出现下降。在10²⁶ W/cm²量级附近时，二者可获得的激光峰值功率都在设计功率的一半以下，即I₁/I₀＜0.5。

图 5. 线偏振和圆偏振在τ₀=5λ/c, ω₀=3λ情形下实际可实现峰值强度I₁与设计强度I₀比值与背景真空残留电子密度和设计可实现强度I₀关系

Fig. 5. Ratio between real attainable peak intensity I₁ and design peak intensity I₀ as a function of vacuum electron residual density for (a) linearly and (b) circularly polarized case with τ₀=5λ/c, ω₀=3λ

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对于焦斑而言，其主要影响的是激光的传播的瑞利长度，进而影响QED级联的持续时间 $ {t}_{{\rm{cas}}} $、激光的包络 $ T(t,{\omega }_{0}) $。随着焦斑的变小，激光聚焦到触发QED的强度的时空间尺度会随之下降，进而上述的两个变量都会有所下降。基于式（8），此时的积分上小限的区域进一步缩小的同时积分中的项也有所变小（最后的乘积项 $ T(t,{\omega }_{0}) $有所下降），进而导致由于QED产生的粒子数目和总能量大幅度下降（如图1（d）所示），因而可以实现的激光强度上限明显提升，如图6（a）所示。实际上，对于同等功率的激光，其聚焦越紧凑对应的峰值强度越高。为了获得更高的峰值场强的同时，抑制非理想真空下的QED级联效应的影响，紧聚焦是最可行的一种方案。

图 6. 不同真空度下的激光强度极限与激光焦斑大小和脉宽的关系

Fig. 6. Attainable peak intensity for different vacuum electron residual density as a function of beam waist and beam duration

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对于脉宽强度而言，依据式（8）的自洽方程，其影响主要体现在对耗散体积 $ {V}_{{\rm{d}}} $的影响，数值计算得到参数扫描结果如图6（b）所示。从结果可以看出，随着脉宽长度的增加，激光强度大于阈值强度的区域会有所增加，即耗散体积 $ {V}_{{\rm{d}}} $增大。由式（8）可以发现该项在积分的分母上，意味着积分式里的项值会对应变小。其对应的物理意义在于，激光被吸收的能量被分散到更广的空间，从而使得激光的峰值强度极限会随之上升，其极限强度可以达到10²⁶ W/cm²以上。然而值得说明的是，从图3（c）可以发现，当激光脉宽特别窄到单脉冲时，PIC模拟的结果与自洽方程的结果相差甚远，并且出现了趋势反转，即脉宽缩小后反而峰值强度更高了。其可能原因在于单周期激光不能很好地形成辐射反作用力捕获，部分电子被激光排开至脉冲区域外，从而无法使得产生的电子持续作为种子源触发雪崩级联过程，进而使得激光吸收被明显抑制。

值得注意的是，本文探讨的非理想真空下的QED级联效应严重依赖于初始电子种子源^[53]。当电子种子源完全处在激光聚焦路径之外时，超强激光的传播将不会激发起相应的QED级联效应，从而可以使得激光的峰值功率大幅度提高。未来可以通过增加真空度和利用特殊的光学设计的方法清楚激光传播通道的电子，进而提高极端强场的上限阈值。此外，激光脉冲形态^[55-56]和饱和效应^[57]也会影响QED级联的效应，后续研究可以进一步推广考虑上述效应的自洽方程，并对辐射反作用力捕获进行评估从而对极短脉宽的情形进行修正。另外值得说明的是，由于预脉冲的存在，靶室残余分子可能在主脉冲到达前被电离为等离子体。因而当主脉冲强度聚焦在相对论强度之上时，就有可能对被电离电子进行捕获并加速。因而当主脉冲达到QED级联强度阈值时，与激光相互作用的电子数目可能会高于本研究的估计。受限于PIC模拟的计算能力，该时空间尺度的模拟较难直接衡量，因而该效应的具体影响还有待进行一步讨论分析。

3 结　论

综上所述，本文基于内嵌QED蒙特卡洛的PIC模拟和数值求解自洽方程方法分析评估了激光参数对非理想真空环境下激光极限强度的影响。通过分析发现，当超强激光与非理想真空的残余电子相互作用后，会激发QED级联效应从而对激光能量进行快速的吸收，进而使得可以实现的激光强度极限低于设计预期。结合PIC模拟分析结果，在扫描参数的区间，激光的强度极限在10²⁶～10²⁷ W/cm²，并且明显受到激光的偏振、焦斑以及脉宽的影响。为了更好分析评估参数的影响，我们构建了考虑上述参数的自洽方程，并整体上与PIC模拟结果保持一致。具体来说，偏振状态主要对QED级联过程中新粒子的产生速率和激光吸收区域产生影响。同等真空度和激光参数下，圆偏振激光通过QED级联产生的γ光子和正负电子对的数目和总能量更高，其对激光的耗散更显著从而使得圆偏振的极限强度低于线偏振。此外，激光聚焦越紧凑时，QED级联的时间尺度会降低、激光包络会变得更紧凑，最终会导致小焦斑的情形可以获得更高的极限强度。对于激光脉宽而言，当脉宽长度增加时，由于激光的耗散区域增大，激光被吸收的总能量会进一步分散，从而可以实现更高的极限强度。但值得注意的是，在极短脉宽的情形下（单周期时）由于产生的正负电子不能较为有限的捕获在激光区域内，自洽方程会显著高估QED级联产生的粒子数目，从而评估的峰值激光强度会远低于PIC模拟的结果。未来的研究中可以考虑激光脉冲和饱和效应的影响，并对自洽方程进行推广修正。本文分析对后续极端强场产生方案和强场QED实验设想提供参考建议。