1　引言

电磁振镜系统是控制光源与接收端之间的光束传播方向的装置，因具有响应带宽高、定位精度高、角分辨率高等优点，被广泛应用于空间光通信^［1］、激光雷达^［2］、机器视觉、激光加工^［3-7］等领域。对于这些应用，尤其需要检测镜面的偏转角度，以达到镜面状态监测和闭环控制的目的。实现镜面角度传感方式最常用的有电容式、压阻式和电涡流式^［8-10］，然而这三种方式难以对镜面较大偏转角度进行传感，因此对被测量物角度的光电式传感研究成为了热点。

电磁振镜中用来检测镜面角度的光电式传感器主要有位置敏感探测器（PSD）和四象限探测器（QD）^［11-14］，这两种器件的测量方式都是将光斑质心在探测器光敏面上的移动量转换为镜面的转角，由于光源和探测器不处于同一平面，且光路设计相对复杂，较难实现大角度范围的测量。Ishikawa等^［15］为了检测镜面的转角，利用微机电系统技术（MEMS）开发了一种角度传感器芯片，该芯片将垂直腔面发射激光器（VCSEL）与两单元探测器设计在同一平面，测量范围达到5°。Cheng等^［16-17］推导了高斯光源模型下镜面角度测量公式，制作了集成VCSEL与四单元探测器的芯片，并将其应用于测量MEMS微镜的角度，测量范围达到±5°。Optotune公司在2019年推出了大偏转角度范围的微型振镜，其内部的测量系统采用比激光光斑半径更大的LED作发射光源，四单元独立式光电二极管作为探测器，该装置的镜面角度测量范围为±25°。Hung等^［18］设计的镜面角度检测装置与Optotune公司相似，在选定使用器件后，采用实验测试的方法分析器件之间的几何参数，而没有建立系统数学模型，最终实现了镜面±10°角度测量。目前为止，国内外针对在LED光源模型下镜面角度测量的数学模型研究及各参数对系统指标的影响研究鲜见报道。

因此本文基于LED朗伯辐射模型对四单元光电探测器的镜面角度检测原理进行深入分析，建立镜面角度解算值与角度真实值之间的数学模型，利用该模型对影响角度检测范围的主要因素进行仿真分析，并设计实验进行模型验证。本文所建立的数学模型为系统参数设计及优化提供理论依据，对工程实践有指导意义。

2　系统工作原理及数学模型推导

2.1　系统工作原理

二维微型电磁振镜系统结构示意图如图1所示，该系统主要由外部反射镜、万向节框架、机械驱动系统、基座、镜面角度探测系统等构成。其中，机械驱动系统由磁铁和通电线圈组成，镜面角度检测系统由附着在磁铁下方且平行于外部镜面的内部反射镜、LED光源、光电探测器及印刷电路板（PCB）等组成。系统工作原理为：万向框架与外部反射镜连接实现镜面两个转动自由度；在通电线圈产生的磁场中，附着于外部反射镜下方的磁铁受到安培力作用，磁铁产生转矩带动内、外部反射镜按照万向框架结构进行偏转。光源发射出的光线经过内部反射镜反射后到达探测器，镜面角度检测系统对反射镜的角度偏转量进行测量并传递给电子控制系统。集成控制算法的电子控制系统根据角度偏转量闭环控制机械驱动系统带动镜面偏转至预期角度。

图 1. 二维微型电磁振镜系统结构示意图

Fig. 1. Structure diagram of two-dimensional miniature electromagnetic galvanometer system

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图2为镜面转角检测系统结构及信号处理电路示意图。LED中心与探测器阵列中心重合，且处于一个平面。四只PD通过阵列排布测量光斑在两个正交方向X、Y轴上的移动量，进而测量镜面偏转角度。PD感光面接收反射镜出射光线，PD内部产生光电效应，响应出与接收光功率成正比的光电流。当反射镜偏转时，探测器接收光功率改变，继而PD的光电流改变。四只光电流I_i （i=1，2，3，4）通过跨阻放大电路，产生四只与光电流大小成正比的电压信号

图 2. 镜面角度检测系统结构及信号处理电路示意图

Fig. 2. Schematic diagram of mirror angle detection system structure and signal processing circuit

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式中：K为放大增益。对电压信号进行模数转换、数据采集之后，再对数字信号进行处理。当内部反射镜面实现二维旋转时，可近似看作绕A轴和B轴旋转，以图2所示箭头旋转方向为正方向。利用经典归一化和差比算法^［19］描述镜面偏转角度与角度解算值(σX,σY)之间的关系，即

式中：σX和σY分别为X轴和Y轴的镜面角度解算值。

2.2　系统数学模型推导

在本文讨论的镜面转角检测系统中，探测器为理想探测器。构建镜面转角检测系统的数学模型如图3（a）所示：以LED中心为原点O，LED光轴为Z轴，建立空间直角坐标系。由于X、Y方向的坐标解算相互独立，本文仅对内部反射镜绕A轴旋转、B轴未旋转时的Y方向镜面角度解算值进行分析，X方向同理。设镜面未绕A轴旋转时的镜面法向量N=(0,0,1)。图3（b）为反射镜面绕A轴旋转时系统示意图。

图 3. 镜面转角检测系统示意图。（a）反射镜面未偏转；（b）反射镜面绕A轴旋转θy

Fig. 3. Schematic diagram of mirror angle detection system. (a) Mirror is not deflected; (b) mirror rotates θy around the A-axis

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由欧拉旋转定理可知，当镜面绕A轴旋转角度θy时，镜面法向量N'=(0,-sinθy,cosθy)。由平面的点法式方程可知，当镜面恒过点H（0，0，d_lm）时，镜面的平面方程为

式中：dlm为镜面中心与光源中心距离。

假设模型满足以下条件：1）镜面反射率ρ为1；2）镜面尺寸满足在一定角度范围偏转时，PD感光面始终被反射光斑覆盖；3）LED和PD之间可视距离远大于PD尺寸时，LED光源近似作为朗伯型点光源处理，PD_i （i=1，2，3，4）感光面上所有接收光线与LED光轴夹角分别近似看作光线到达各个探测器中心点S_i时与LED光轴的夹角。由三维欧氏空间中点关于面的对称点公式得到点O关于反射镜面对称点O'的坐标(0,-2dlmsinθycosθy,2dlmcos2θy)。那么LED与PD_i之间的信道可近似看作直射链路（LOS）传输环境，不同信道的直流增益为

式中：Ar为PD的感光面积；d_i为LED和PD_i之间可视距离；ϕi为辐射光线O'S_i与LED光轴O'P夹角；ψi为辐射光线与感光面夹角；θFOV为PD_i的视场角；T(ψi)为接收端光学滤波器增益；g(ψi)为光学聚光器增益；m为辐射瓣的模式数，即m=-ln2/ln(cosϕ1/2)，其中ϕ1/2为LED半功率角。那么PD_i产生的光电流为

式中：P_t为LED发射光功率；H_i（0）为PD_i与LED之间的直流增益；R为探测器响应度。设PD_i的感光面在同一平面且中心对称分布，中心点S_i的坐标分别为(ax,ay,az)、(-ax,ay,az)、(-ax,-ay,az)、(ax,-ay,az)，探测器未采用滤光片和透镜，则T(ψi)=1，g(ψi)=1。Hi(0)中各项可由向量或向量夹角的余弦表示为di2=O'Si2，cos(ϕi)=cosO'Si,O'H，cos(ψi)=cosO'Si,HO。至此，Ii可表示为

综合式（1）、（2）、（7）可得，镜面角度θy与角度解算值σY的关系为

式中：a,b,c,d均为θy的函数，分别表示为 a=(O'S1·O'H)/dlm=(O'S2·O'H)/dlm，b=O'S1=O'S2，c=(O'S3·O'H)/dlm=(O'S4·O'H)/dlm，d=O'S3=O'S4；σY亦可表示为σY=f(θy)=g(ax,ay,az,dlm,ϕ1/2)。

通过式（8）可以看出：探测器输出电压值将镜面角度θy与解算值联系起来，且角度解算值受系统参数影响。将表1所示系统模型典型参数代入式（7）得到4只探测器输出的光电流随镜面角度变化关系曲线如图4（a）所示，探测器能量随角度变化呈现“钟形”分布。将表1参数代入式（8）得到角度真实值θy与解算值σY的关系如图4（b）所示，角度解算曲线呈“S”形，在±25°之外曲线接近直线，实际情况的噪声影响会导致该部分角度很难进行检测，因此该角度范围在不满足系统指标时可忽略。当内部反射镜绕B轴旋转、A轴未旋转时，X方向镜面角度解算值推导及分析同理。

图 4. 系统测量值与镜面偏转角度的关系曲线。（a）探测器光电流与镜面角度的关系；（b）角度解算值与真实值的关系

Fig. 4. Relationship between system measurement value and mirror deflection angle. (a) Relationship between detector photocurrent and mirror deflection angle; (b) relationship between mirror deflection angle calculated value and true value

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3　系统角度检测范围分析

前面介绍了镜面角度检测系统的基本原理，推导了镜面角度解算值与探测器中心位置、镜面中心与光源中心距离dlm、光源半功率角ϕ1/2的闭合表达式。通过定义镜面转角检测系统角度检测范围，在MATLAB中仿真分析各变化因素对系统角度检测范围的影响。

镜面角度解算值σY与真实值之间呈非线性的“S”形，采用多项式函数对“S”形曲线进行拟合，在一定非线性度或误差允许范围内，确定镜面转角检测系统的角度检测范围。假设内部反射镜面以角度步长A_m从-θyj移动到θyj，记录每间隔A_m时，镜面偏转角度θyi和各个探测器产生的电压值，根据式（3）计算出各点的解算值σYi。为了获得相对准确的系统角度检测范围，利用最小二乘法对所得曲线进行线性拟合。同时定义曲线非线性度为

式中：ΔσYMax为角度解算误差最大值的绝对值；L表示角度从-θyj移动到θyj时σY的测量范围。角度解算值与角度解算拟合值对比如图5所示，规定在非线性度为δY范围内时，镜面转角检测系统角度检测范围为[-θyj,θyj]。

图 5. 角度解算值与角度解算拟合值对比

Fig. 5. Comparison between angle calculated value and angle calculated fitting value

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3.1　探测器水平位置对角度检测范围的影响

由于位置坐标(ax,ay,az)中感光面垂直高度az变化较小，因此本文仅讨论探测器中心水平位置(ax,ay)对角度检测范围的影响。根据式（8）可知，探测器中心不同水平距离时的角度解算曲线和角度检测范围有差异。为方便讨论，假定镜面中心与光源中心距离d_lm=5 mm，LED半功率角ϕ1/2=17°， a_z=0 mm。以S₁位置为例，a_x和a_y变化范围为1.7~4.4 mm，步长为0.3 mm。图6给出了不同探测器水平位置时镜面角度真实值与解算值关系，可以看出，a_x和a_y越大，“S”形曲线越陡峭。这是因为探测器越远离光源，单个探测器接收到的能量随角度呈现出“钟形”曲线的极值点就越远离0°，在相同角度下，X轴左右两侧探测器PD₁+PD₂与PD₃+PD₄之间的光能量差异越大，因此曲线中心斜率越大。根据对非线性度和角度测量范围的定义，在保证非线性度为5%时，通过迭代运算可得到探测器不同水平位置时系统单方向检测最大角度值θyj，如图7所示。通过比较不同参数时的θyj可以看出，当a_x和a_y变大或探测器远离光源时，系统的检测范围变小，且探测器越远离光源，检测范围减小的速度越慢。一般情况下，为了扩大系统检测范围，可以在器件空间位置合理的情况下使探测器靠近光源。

图 6. 不同探测器水平位置时，镜面角度真实值与解算值关系

Fig. 6. Relationship between the true value and the calculated value of the mirror angle at different detector horizontal positions

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图 7. 非线性度为5%时，探测器水平位置与单方向检测最大角度值变化关系

Fig. 7. Relationship between the horizontal position of the detector and the maximum angle value of single-direction detection, when the nonlinearity is 5%

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3.2　镜面中心与LED距离对角度检测范围影响

分析式（8）可知，镜面中心与LED距离对镜面角度解算关系也有重要影响，因此进行了关于镜面中心与LED不同距离的单因素系统模型仿真实验。假定LED半功率角ϕ1/2=17°，a_x和a_y为2.6 mm，a_z为0 mm。图8给出了镜面中心与光源中心距离d_lm为1~11 mm，步长为1 mm变化时镜面角度解算的仿真曲线。从图8可以看出，随着d_lm的增加，“S”形曲线越来越缓，中心角度探测区域的斜率越小。这是因为镜面相同偏转角度时，增加d_lm的同时改变了LED与PD之间可视距离d_i、出射光线与LED夹角ϕi和入射光线与PD夹角ψi，进而PD₁+PD₂与PD₃+PD₄接收的光能量差值变小。在保证非线性度为5%时，得到镜面中心与LED不同距离时的θyj如图9所示。从图9可以看出，随着d_lm的增加，镜面角度检测范围变大。因此认为，镜面中心与LED距离对镜面角度检测范围起到了正相关作用。

图 8. 不同距离d_lm时，镜面角度真实值与解算值关系

Fig. 8. Relationship between the true value and the calculated value of the mirror angle at different distances d_lm

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图 9. 非线性度为5%时，不同距离d_lm与单方向检测最大角度值变化关系

Fig. 9. Relationship between different distances d_lm and the maximum angle value of single-direction detection, when the nonlinearity is 5%

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3.3　LED半功率角对角度检测范围影响

LED半功率角ϕ1/2的大小反映了LED发射光功率的集中程度，即ϕ1/2越大，相同区域所受到的辐照强度越小。分析式（8）可知，LED半功率角对镜面角度解算关系也有一定影响，因此，本文进行了关于LED不同半功率角的单因素系统模型仿真实验。现假定镜面中心与光源中心距离d_lm=5 mm，a_x和a_y为2.3 mm，a_z为0 mm。图10给出了LED半功率角ϕ1/2变化范围为8°~24°，步长为2°镜面角度解算值仿真曲线，可以看出，LED半功率角增大过程中，角度解算曲线中心斜率越来越小。这是因为镜面相同偏转角度时，ϕ1/2越大，探测器感光面单位面积接收的辐照度越小。在保证非线性度为5%时，得到感光面不同垂直高度时的θyj如图11所示。从图11可以看出，随着LED半功率角的增加，镜面角度检测范围呈增大趋势。因此，LED半功率角对镜面角度检测范围起到了正相关作用。因为LED半功率角ϕ1/2是器件确定的参数，并不能在系统设计时改变，所以在系统设计之前，通过理论模型仿真以确定LED半功率角是有必要的。

图 10. LED不同半功率角时，镜面角度真实值与解算值关系

Fig. 10. Relationship between the true value of the mirror angle and the calculated value when the LED has different half-power angles

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图 11. 非线性度为5%时，LED不同半功率角与单方向检测最大角度值变化关系

Fig. 11. Relationship between different half-power angles of LEDs and the maximum angle value of single-direction detection, when the nonlinearity is 5%

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4　实验结果与分析

4.1　实验平台搭建

为验证所建模型的有效性和正确性，搭建镜面角度检测系统实验平台如图12所示。

图 12. 镜面角度检测系统实验平台。（a）实验平台示意图；（b）实验平台实物图

Fig. 12. Experimental platform of mirror angle detection system. (a) Schematic diagram of experimental platform; (b) physical diagram of experimental platform

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在该实验平台中：为减小检测系统的体积，选择EVERLIGHT公司生产的PIN型光电二极管PD15-22B/TR8；为使光源更贴近理想朗伯光源模型，选择OSRAM公司生产窄半功率角（±17°）的红外波段LED SFH 4441；旋转执行器为ZeroErr公司生产的eRob 70 I，角度绝对精度为150 μrad；采用四通道低噪声跨阻放大器AD8624，放大增益为2×10⁵ V/A；为满足LED发射光功率的调节，采用超低噪声电荷泵芯片LTC3201，实现驱动电流在0.63~126 mA范围内可调节；数据采集模块集成了16位200kSPS SAR型ADC，实现对探测器信号1 kHz数据的采集；在PC机上，采用自编软件对接收数据进行存储，使用MATLAB进行数据处理。

系统工作过程为：LED发出940 nm波段光，经过前方反射镜面反射后入射在四单元光电探测器感光面上，四单元探测器将接收到光能量转换成四路光电流，经过跨阻放大、AD转换后将电流模拟量转换成相应的电压数字量传输给PC进行数据处理。当光电探测器和光源型号选定后，感光面高度az与半功率角ϕ1/2就已确定，无法在相同条件下对这两个参数的影响进行验证。为探究系统中另外两个几何参数对系统角度检测范围的影响，分别改变系统中探测器水平位置、镜面中心到LED的距离，重复上述工作过程进行实验。

4.2　数学模型验证

实验采用的光源SFH 4441与理想朗伯光源的相对辐射曲线有所区别，曲线对比如图13（a）所示。从图13（a）可以看到：1）理想朗伯光源相对辐射曲线在22°之前与实验光源吻合得较好，在之后的角度范围内，实验光源的相对辐照度明显大于理想朗伯光源；2）随角度增加，实验光源的相对辐射值衰减速度比理想朗伯光源慢；3）相对辐照值相同时，实验光源的光斑半径明显大于理想朗伯光源。已知镜面出射光线偏转角度是镜面偏转角度的2倍，四单元探测器接收镜面出射光线相当于光源光轴绕镜面中心旋转了镜面偏转角度的2倍。分析可以得知，在镜面偏转角度大于11°之后，探测器接收到的能量因两光源相对辐照曲线的不同而有差异。

图 13. 理论模型验证思路。（a）实验光源SFH 4441与朗伯光源辐射曲线对比图；（b）理想朗伯光源的探测器能量和、差、比曲线；（c）实验光源SFH 4441的探测器能量和、差、比曲线；（d）理论与实验的镜面角度真实值与解算值关系对比

Fig. 13. Verification ideas of theoretical model. (a) Radiation curves comparison of SFH 4441 and Lambert light source; (b) detector energy sum, difference, and ratio curves of ideal Lambert light source; (c) detector energy sum, difference, and ratio curves of experimental light source SFH 4441; (d) comparison of the relationship between the true value and the calculated value of the mirror angle in theory and experiment

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为验证理论模型的正确性和有效性进行实验：采用探测器感光面中心坐标a_x和a_y为2.6 mm的电路板，调节实验光源的驱动电流为10 mA，将四单元探测器的对角输出值调节至近似相等，将镜面中心到LED的距离调至5 mm，旋转执行器以步长1°进行旋转，在镜面旋转角度±35°范围内，采集四单元探测器的测量数据，最终在PC机上对数据处理。图13（b）、（c）分别给出了理想朗伯光源、实验光源SFH 4441的探测器能量和、差、比曲线。对比图13（b）、（c）可以看出：在11°之后，作为归一化差和比算法中分母的探测器的能量和，实验光源比理想朗伯光源衰减慢；作为归一化差和比算法中分子的探测器能量差的变化趋势相差较小，这导致了使用归一化差和比的方法计算时，角度解算曲线出现“非单调部分”。

图13（d）给出了理论与实验的镜面角度真实值与解算值关系对比。可以看出：1）实验所得到的“S”形曲线并非单调曲线，以曲线右半部分为例，实验曲线在14°存在极值，由于在大于14°的区域内进行角度解算时，将会存在一个角度解算值对应两个角度真实值的情况，因此该区域不适合对镜面角度解算，需要舍弃；2）若用直线分别对图13（d）中的理论和实验曲线中心区域进行拟合，并以相同的非线性度定义检测范围，可以发现实验曲线两侧的“非单调部分”的斜率“提前改变”，导致实验曲线的检测范围小于理论曲线；3）在曲线中心附近，理论仿真曲线解算值与实验曲线吻合得较好，这说明了所建立的理论模型的正确性和有效性。

4.3　探测器水平位置对角度检测范围的影响

为探究探测器水平位置对系统角度测量范围的影响，实验设计五组探测器的水平位置，a_x和a_y分别为2.3、2.6、2.9、3.2、3.5 mm，其中，d_lm=5 mm，ϕ1/2=17°，重复上述实验步骤，得到探测器不同水平位置时的镜面角度解算曲线如图14所示。可以看出，随着a_x和a_y的减小，“S”曲线的中心斜率越来越小，与仿真结果变化趋势相同。以非线性度5%为标准，得到探测器不同水平位置时θyj的理论值和实验值对比结果如图15所示。可以看出：1）平均探测器水平坐标a_x和a_y每增加1 mm，理论上角度测量范围减小约4.84°，实验中减小约4.2°；2）随着探测器水平位置坐标的增加，θyj变小，系统角度检测范围变小，实验结果与理论仿真趋势一致。

图 14. 探测器不同水平位置时的镜面角度解算曲线

Fig. 14. Mirror angle calculated curve at different horizontal positions of the detector

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图 15. 非线性度为5%且探测器不同水平位置时，单方向检测最大角度理论值和实验值对比

Fig. 15. Comparison of theoretical and experimental values for maximum angle value of single‑direction detection, when the nonlinearity is 5% and the detector is at different horizontal positions

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4.4　镜面中心与LED距离对角度检测范围影响

为探究镜面中心与LED距离对系统角度测量范围的影响，采用探测器水平位置a_x和a_y均为2.6 mm的电路板进行探测，其中 d_lm=5 mm，ϕ1/2=17°，改变镜面中心与LED之间的距离，重复上述实验步骤。图16给出了镜面中心与LED之间不同距离时的镜面角度解算曲线，可以看出，随着d_lm的增加，曲线中心斜率变小，与仿真结果变化趋势相同。以非线性度5%为标准，得到镜面中心与LED之间不同距离时θyj的理论值和实验值对比结果如图17所示。可以看出：1）平均镜面中心与LED距离d_lm每增加1 mm，理论上角度测量范围增加约6.94°，实验中增加约2.25°；2）总体变化趋势是随着d_lm的增加，θyj逐渐变大，系统角度检测范围变大，实验结果与理论仿真趋势一致。

图 16. 不同距离d_lm时，镜面角度解算曲线

Fig. 16. Calculation curves of the mirror angle at different distances d_lm

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图 17. 非线性度为5%且不同距离d_lm时，单方向检测最大角度理论值和实验值对比

Fig. 17. Comparison of theoretical and experimental values for maximum angle value of single‑direction detection, when the nonlinearity is 5% and different distances d_lm

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综合实验分析可以得知：1）当系统参数变化时，实验中采用的非理想朗伯光源会限制角度检测范围增大；2）从总体上看，实验结果与理论仿真结果趋势相符，验证了基于LED朗伯光源模型所建立的四单元探测器检测镜面角度的数学模型的有效性；3）提升角度测量范围时，可以考虑使探测器水平位置靠近光源、增大镜面中心到光源的距离。

5　结论

本文首先将LED朗伯光源模型应用于镜面偏转角度测量系统，推导了镜面偏转角度与角度解算值的数学模型，其次定义了以非线性度为评价标准时的系统测量范围，并利用所建立的数学模型对影响系统测量范围的主要参数进行了仿真和分析，设计了相关实验进行验证。仿真及实验结果表明：1）建立的数学模型在一定角度范围内是有效的；2）探测器中心位置、镜面中心与LED中心距离和LED半功率角是系统测量范围的主要影响因素，为增大系统角度测量范围，设计时可以选择半功率角大的LED，使探测器水平位置上尽量靠近光源，尽量增加镜面中心与LED中心距离。因此，所建立的模型对系统设计和器件选型具有指导作用，为进一步工程应用奠定了基础。