人工制备的正电子源具有很高的应用价值，在高能物理^[1]、实验室天体物理^[2]、医学^[3]和材料科学^[4]等领域有广阔的应用前景。当前正电子源的产生主要是利用放射性同位素的衰变产生特定能量的正电子，但是这种方法产生正电子的效率很低，且得到的正电子能量仅为MeV量级。基于传统电子加速器可以产生高能量的正电子束，但是一般脉宽较长、密度较低，难以满足实验室天体物理等应用的需求。随着超强激光技术的迅速发展，很多在极端强场中才可以发生的物理现象得以在实验室中实现，这为产生正电子提供了新的途径。

激光驱动产生的正电子源具有高产额、短脉宽、高能量、高密度等优势，近年来成为高能量密度物理领域的研究热点。激光驱动正电子的主要机制有Trident机制^[5]、Bethe-Heitler(BH)机制^[6]、Breit-Wheeler(BW)机制^[7]等。由于BW机制产生正电子所需要的强度阈值约为 $ {10}^{23}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $，超过了当前实验室能够获得的最高激光功率（约 ${10}^{22}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}） $，目前的研究主要限于理论模拟，通过一定的设计让激光在等离子体中聚焦以达到BW过程的发生阈值^[8]。强度超过 $ {10}^{18}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $的激光与高Z靶作用就能够激发Trident机制和BH机制^[9-10]。Trident机制是指高能电子与原子核碰撞直接产生正负电子对的过程，其中并不需要实光子的产生。BH机制产生正电子的过程则分为两个阶段，首先是高能电子在原子核的库伦场中发生轫致辐射，然后轫致辐射的实光子与原子核碰撞产生正负电子对。当激光与μm量级厚度的薄靶作用时，高能电子产生的轫致辐射光子很容易逃逸出靶，因此在μm量级的薄靶中Trident机制占主导；而当靶厚大于20 $ {\text{μ}}{\rm{m}} $时，轫致辐射光子能够与原子核发生充分碰撞，由于轫致辐射光子产生正电子的截面比Trident机制产生正负电子对的截面高2个数量级，BH过程成为主要机制^[11]。中国工程物理研究院的闫永宏等人建立了超短超强激光与固体靶作用产生正电子的蒙特卡罗模拟模型，并用FLUKA模拟程序研究了研究了靶材料、靶厚度及超热电子温度等对正电子产额的影响^[12]。

当前的激光驱动产生正电子源的实验中，高Z转换靶一般为mm量级，主要通过BH机制产生正电子。具体实验方案主要分为两种：固体靶方案和气体靶方案。 固体靶方案利用皮秒激光或者亚皮秒激光直接和高Z转换靶相互作用，激光加热靶等离子体产生超热电子，超热电子再通过BH机制产生正电子。美国劳伦斯·利弗莫尔国家实验室（LLNL）的Hui Chen等人采用固体靶方案得到产额为 $ {10}^{10} $量级，发散角约20°，能量为几十MeV的正电子束^[13-14]。中国工程物理研究院的吴玉迟等人在星光III激光器上开展实验，利用能量约120 J脉宽约0.8 ps的激光辐照Ta靶，得到了产额为2.8×10⁹/sr的正电子束^[15]。气体靶方案主要适用于飞秒激光系统，在物理上可以分为两个阶段：第一阶段，利用能量为几百mJ，强度为 $ {10}^{19} $～ ${10}^{20}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $量级的飞秒激光辐照气体靶由尾场加速机制产生准单能的高能电子(百MeV至数GeV量级)；第二阶段，利用第一阶段产生的准单能电子束轰击高Z材料产生正电子。由于尾波加速产生的高能电子数量有限，气体靶方案所产生的正电子产额较低，但是正电子的能量高、单能性和定向性好。Sarri等人采用气体靶方案获得了产额达 $ {3\times 10}^{7} $/pulse、能量为百MeV量级、发散角半高宽为1.1°的正电子束^[16-17]。

相比于气体靶方案，固体靶方案的实验装置更加简单，且在提高正电子产额上具有明显的优势。然而大多数固体靶方案中使用的是平板靶，激光与靶的耦合效率不高，限制了所产生超热电子的数量和能量。相对于平板靶，前表面经过微纳结构调制的固体靶可以大幅增加激光的吸收率，产生的超热电子温度比平板靶情形高3～5 倍^[18-19]，为激光驱动正电子源的实验方案提供了新思路。我们提出了一种利用表面调制靶（MST）的正电子产生新方案^[20]：飞秒激光首先辐照表面具有层状结构的调制靶（Cu），所产生的超热电子在高Z转换靶（Ta）中传输，通过BH过程产生正电子。我们的模拟结果表明，利用能量约为6 J的飞秒激光脉冲可以得到 $ {7.2\times 10}^{9} $/pulse的正电子产额。2021年，美国LLNL实验室的S. Jiang等人在OMEGA EP激光器上开展实验，利用能量约为500 J、强度为 $ 4.5\times {10}^{20}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $、脉宽约为700 fs的亚皮秒激光和微米丝阵列靶相互作用，得到了高达 $ {10}^{12} $/pluse的正电子产额，刷新了激光驱动正电子源产额的最高纪录^[21]。

本文采用粒子模拟和蒙特卡罗模拟相结合的方法，对飞秒激光驱动微米丝阵列结构的表面调制靶产生正电子的物理过程进行了全三维的数值模拟，重点研究了表面调制靶中的电磁场模式。

1 电子加速的三维数值模拟

我们对飞秒激光辐照具有微米丝阵列结构的MST靶的物理过程进行了三维粒子模拟，并模拟了平面靶的情况作为对照，如图1所示。靶等离子体是一价的金离子，密度为 $ {n}_{{{\rm{Au}}}^{+}}=20{n}_{{\rm{c}}} $,电子密度为 $ {n}_{{\rm{e}}}=100{n}_{{\rm{c}}} $，这里 $ {n}_{{\rm{c}}}=1.01\times {10}^{21}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{3} $。MST靶由1 $ {\text{μ}}{\rm{m}} $厚的基底与微米丝阵列构成，微米丝长为 $ L=12 \;{\text{μ}}{\rm{m}} $，丝截面为边长 $ l=0.3 \;{\text{μ}}{\rm{m}} $的正方形。微米丝的间距是影响激光能量吸收的重要参数^[20]，这里采用优化后的间距参数d=$ 3.7 \;{\text{μ}}{\rm{m}} $，该参数下能够获得较高的激光吸收率。一束沿y方向线极化的高斯激光从 $ x = 0 $处垂直入射，激光在真空中的波长为 $ {\lambda }_{0}=1 \;{\text{μ}}{\rm{m}} $，激光的归一化幅值为 $ a={a}_{0}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{(r/{r}_{0})}^{2}]{\sin}^{2}(\pi t/12{T}_{0})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{0}t\right) $，其中 $ {a}_{0}=20 $，对应的激光强度约为 $ 5.5\times {10}^{20}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}，{T}_{0} $为激光周期，激光焦斑半径 $ {r}_{0}=5{\lambda }_{0} $。对照模拟的平面靶厚度为1 $ {\text{μ}}{\rm{m}} $，即激光直接和基底相互作用。模拟盒子尺寸为 $ x\times y\times {\textit{z}}=30{\lambda }_{0}\times 20{\lambda }_{0}\times 20{\lambda }_{0} $，网格数为 $ {n}_{x}\times {n}_{y}\times {n}_{{\textit{z}}}=900\times 1000\times 1000 $。电磁场和粒子均采用吸收边界条件。

图 1. 激光分别和两种靶型相互作用的三维模拟

Fig. 1. 3D simulations of interaction between laser and two types of target

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图1给出了 $ t=30{T}_{0} $时的激光电场强度 $ {E}_{y} $和靶电子密度的空间分布，此时激光已在MST靶的基底上反射。图1（a）和图1（b）中，靶电子的密度分布采用 $ {n}_{{\rm{e}}}=3{n}_{{\rm{c}}} $等值面的方式展示，黑色的小箭头表示基底后的电场方向和大小。从图1（a）中看到，微米丝中的电子周期性地被激光电场从丝的表面拉出来。对比图1（a）和图1（b）中的 $ {E}_{y} $分布及其投影可以看到，微米丝对于电场模式有明显的调制作用。

为了更好地理解MST靶中激光传播模式的变化及其对电子加速的影响，图2给出了 $ t=13{T}_{0} $时刻的电磁场分布和电子的相空间分布，其中电磁场强度都以初始激光电磁场的峰值强度归一化。图2（a）和2(b)分别为横向电场 $ {E}_{\perp }=\sqrt{{E}_{y}^{2}+{E}_{{\textit{z}}}^{2}} $和横向磁场 $ {B}_{\perp }=\sqrt{{B}_{y}^{2}+{B}_{{\textit{z}}}^{2}} $ 在 $ x=7 \;{\text{μ}}{\rm{m}} $的截面上的分布，微米丝之间的场形成明显的驻波结构。图2（a）中的内插图是中心微米丝处横向电场的放大，其中的白色虚线方框是微米丝的初始轮廓，黑色小箭头表示 $ {E}_{\perp } $的方向。微米丝附近的电场呈现出库伦爆炸的特点，在白色虚线方框外侧的电场是放射状向外分布的，这会对飞散的电子产生一个向内的约束力。图2（b）中的内插图是中心微米丝处横向磁场的放大，围绕着微米丝的高密度中心有一个环向磁场，这个磁场也可以对电子进行箍缩。图2（c）给出了 $ {\textit{z}}=0 $的截面上的纵向电场 $ {E}_{x} $分布，这是由于激光在微米丝阵列中传播时的模式转换产生的。图2（c）中黑色虚线所示区域为： $ 0.3 \;{\text{μ}}{\rm{m}}\leqslant y\leqslant 2.25 \;{\text{μ}}{\rm{m}} $，图2（d）给出了该区域中的电子的相空间 $ \left(x,{P}_{x}\right) $分布，以及在y方向平均后的纵向电场的一维分布。可以看到，电子几乎都处于纵向电场的加速相位中，这是激光与微米丝作用时的纵向锁相机制^[22]。从微米丝上被周期性拉出的电子在纵向电场中迅速加速到相对论能量，由于电子速度接近于光速，它将跟随激光脉冲一起向前运动。由于微米丝附近电磁场对电子的约束作用，这些电子在前向传播时可以保持较好的定向性。

图 2.

Fig. 2. Electromagnetic field distribution and phase space distribution of electrons at 时刻的电磁场分布和电子的相空间分布

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图3给出了MST靶和平板靶所产生的前向运动超热电子（ $ {P}_{x} > 0 $）的角分布，其中红色曲线代表MST靶的情况，蓝色曲线代表平板靶的情况。为了便于对比，对角分布曲线的纵坐标进行归一化。MST靶中的超热电子可分为两部分：一部分是从微米丝上拉出来并在丝间得到加速的超热电子，另一部分是激光传播到基底处时产生的超热电子。图3（a）为 $ t=13{T}_{0} $时刻MST靶中丝间加速电子的角分布，这部分电子受到横向电磁场的约束，具有较好的定向性，半高全宽只有17.2°。图3（b）为 $ t=20{T}_{0} $时刻从MST靶和平板靶的靶背所出射电子的角分布，MST靶中超热电子的角分布明显小于平板靶的情况。我们对角分布曲线进行积分，如图3（b）中的标注所示，MST靶中50%的出射电子的运动方向和激光光轴的夹角小于19.2°，而平板靶中50%的出射电子的运动方向和激光光轴的夹角小于35.3°。MST靶能产生定向性更好的超热电子束。

图 3. 前向运动电子的角分布

Fig. 3. Angular distribution of forward moving electrons

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2 正电子束的产生

我们使用蒙特卡罗程序FLUKA模拟超热电子入射到转换靶中产生正电子的过程。模拟中，转换靶是厚度为2 mm的平板金靶，入射电子从金靶的几何中心入射，电子能量由输入的能谱分布曲线作独立抽样，电子的运动方向与靶面法线方向的夹角由输入的角分布曲线作独立抽样。这种建模忽略了电子的空间分布信息，但是保留了电子的能量分布和角分布信息。

MST靶能够增强激光的吸收效率，产生能量更高、数量更多的超热电子。图4（a）为不同靶型所产生的靶后电子能谱，其中红线为MST靶的情况，蓝线为平板靶的情况，对能谱积分可以得到电子产额。MST靶情况下的电子产额约为 $ {1.1\times 10}^{11}/\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t} $，截止能量超过120 MeV，而平板靶情况下的电子产额约为 $ {6.9\times 10}^{10}/\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t} $，截止能量只有不到10 MeV。把图4（a）所示的电子能谱和图3（b）所示的电子角分布作为FLUKA模拟的输入参数，所得到的正电子能谱如图4（b）所示，对正电子能谱进行积分可以得到正电子的产额和总能量。虽然平板靶的电子产额仅比MST靶的电子产额低一个量级，但由于BH截面在电子能量低于5 MeV时急剧降低^[11]，平板靶产生的大量低能电子对于正电子产生没有贡献。可以看到，MST靶的正电子产额为 $ {8.9\times 10}^{9}/\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t} $，而平板靶的产额只有 $ {1.0\times 10}^{6}/\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t} $，比MST靶低了约3个量级。MST靶情况下产生的正电子截止能量可达50 MeV，而平板靶情况下产生的正电子截止能量只有不到5 MeV。激光能量到正电子的转化率定义为正电子总能量与入射激光能量的比值，MST靶情况下的转化率约为0.4%，而平板靶的转化率只有 $ {10}^{-6} $量级。

图 4. MST靶和平面靶所产生的电子能谱和正电子能谱

Fig. 4. Energy spectrum of electrons and positrons produced by the MST and planar target

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模拟结果表明，MST靶能够产生定向性更好的超热电子。由于正电子的角分布敏感地依赖于超热电子的发散角^[12]，显然MST靶可以提高正电子的定向性。图5给出了不同靶型在距离转换靶靶背10 cm处的正电子通量分布图。对比图5（a）和图5（b）可以看到，MST靶情况下的正电子数量更多，角分布更集中。图5（c）为两种靶型情况下的通量对z轴的投影，纵轴已进行归一化。对图5（c）中的分布曲线进行积分可知：在距离高Z转换靶10 cm处的平面，MST靶情况下50%的正电子从 $ \left|{\textit{z}}\right| < 0.43\;\mathrm{c}\mathrm{m} $的区域出射，这相应于正电子的运动方向与靶背法线方向的夹角小于2.46°，正电子束的发散角为4.92°；而对于平板靶情况，50%的正电子从 $\left|{\textit{z}}\right| < 1.2\;\mathrm{c}\mathrm{m}$的区域出射，相应于夹角小于6.84°，正电子束的发散角为13.68°。相比于平板靶，MST靶能够极大改善所产生正电子束的方向性。

图 5. 正电子通量分布图及正电子角分布

Fig. 5. Positron flux distribution and angular distribution

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我们对比了本文方案与几个典型实验所产生正电子束的品质，如表1所示。丝阵列靶方案可以显著提高正电子的产额，但是正电子的能量低于气体靶方案。

3 结　论

本文首先用开源粒子模拟程序EPOCH^[23]模拟三维的电子加速过程，然后将所得电子能谱和角分布作为蒙特卡罗模拟程序FLUKA^[24]的输入参数，模拟高能电子轰击高Z转换靶产生正电子束的物理过程。MST靶中，大量电子从微米丝上被拉出来并在丝间加速，并在加速过程中受到横向电磁场的约束而保持良好的定向性，这些超热电子轰击高Z转换靶产生正电子，其产额、能量和定向性都显著高于平板靶的情况。模拟表明，在优化的丝阵列参数下，在激光能量约3.2 J，强度约为 $ 5.5\times {10}^{20}\;\mathrm{W}/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $，脉宽约为40 fs的情况下，使用表面具有微米丝阵列的MST靶可得到产额为 $ {10}^{11} $量级、截止能量可达120 MeV的超热电子束，其轰击2 mm的金靶所产生的正电子产额可达 $ {8.9\times 10}^{9}/\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t} $，并且50%的正电子的运动方向和转换靶靶背法线方向的夹角小于2.46°。