基于连续小波变换的抗干扰计算鬼成像

王爽; 王晓茜; 苟立丹; 姚治海; 高超; 冯玉玲

doi:doi:10.3788/LOP202259.1811002

激光与光电子学进展, 2022, 59 (18): 1811002, 网络出版: 2022-08-29

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Strong Robust Computational Ghost Imaging Based on Continuous Wavelet Transform

论文大纲

王爽王晓茜苟立丹姚治海高超 ^**冯玉玲 ^*

作者单位

长春理工大学理学院，吉林长春 130022

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摘要

计算鬼成像由于具有分辨率高和抗干扰能力强等特点，近年来被广泛研究。区别于传统成像方案，由于成像机制，计算鬼成像对物体成像时需要进行大量的测量，因此提高它的成像效率一直是一个重要的研究内容。在此背景下，由于可以较好地对信号进行去相关，进而对信号进行大幅压缩，小波变换受到了广泛的关注。近年来，不少学者将Haar小波引入计算鬼成像系统中，成像效率得到了提高。然而，小波函数的种类有很多，性质各异，关于其他小波函数在计算鬼成像系统中的应用鲜有报道。大部分小波函数只能进行连续小波变换，直接应用于计算鬼成像系统中会面临许多问题，针对这个情况，提出了准连续小波变换架构，在实验上实现了基于Mexihat和Gauss小波的计算鬼成像。实验结果表明，这两种连续小波方案既能够进行正常成像，同时相比于Haar小波，它们也表现出了更强劲的抗干扰能力，更加适用于实际应用环境。

Abstract

Computational ghost imaging (CGI) has been widely studied owing to its high resolution and robustness. In contrast with traditional imaging schemes, CGI requires large amount of measurements to be taken for reconstructing a single image; thus, the efficiency of CGI needs to be improved. In this context, wavelet transform has attracted much attention because it can better decorrelate and then significantly compress a signal. By introducing Haar wavelet transform into the CGI scheme, the imaging speed has been significantly improved. However, because of the presence of various types of wavelets with different features, the application of other wavelets in the CGI scheme is scarcely reported. Because many wavelets are unorthogonal, they can only perform continuous wavelet transform, which may bring problems when applying them to the CGI scheme. Thus, a semicontinuous wavelet transform scheme was proposed. A CGI based on Mexihat and Gauss wavelets (both in 1D and 2D) were experimentally realized. The experimental results show that the two continuous wavelet schemes can perform normal imaging and show stronger antiinterference ability than Haar wavelet, which are more suitable for practical applications.

1　引言

鬼成像（又称关联成像）是一种新型的成像方式，主要利用二阶关联函数对所获得的光强进行计算，从而达到恢复待测物体空间信息的目的。2008年Shapiro^［1］提出计算鬼成像方案，次年Bromberg等^［2］验证了其可行性。相对于传统的双臂鬼成像，计算鬼成像的光路简单，并且能够人为地控制散斑图样，可以设计出具有不同特性的散斑图样来提高成像质量，因此计算鬼成像相比传统的鬼成像具有更高的应用价值^［3-11］。随着对计算鬼成像的深入研究，人们发现成像质量和成像速度严重制约了该技术的进一步发展。近年来，人们通过设计重构算法和应用不同的照明图样，成像质量和成像效率已经有所改进^［12-15］，但仍有提升空间。而成像速度提高的关键是在采样、重构过程中去除不必要的信息。有些人将小波变换引入到鬼成像中，以提高成像速度^［16-19］。小波变换来自傅里叶变换，但优于傅里叶变换，可以通过对小波基函数进行伸缩和平移，对信号的局部特征进行分析。近年来，人们已经利用离散Haar小波变换大幅地提升了计算鬼成像的成像效率^［20］。然而，关于其他小波函数在计算鬼成像系统中的应用鲜见报道。受益于种类繁多的小波函数所带来的不同优异性质，可以进一步地增强计算鬼成像的表现。值得注意的是，大多数小波函数都能实现连续小波变换，而能实现离散小波变换的小波函数却屈指可数，显然连续小波变换对小波函数的限制更小，所以对基于连续小波变换的计算鬼成像的研究是有必要的。

连续小波变换使用的是尺度、平移因子和空间坐标都连续变化的小波函数，因此理论上小波函数系的规模是趋近于无穷大的，需要经合适的离散化处理后才能适用于对照明图样的个数和空间分布都有离散性要求的计算鬼成像系统。基于此，本文提出一种准连续变换方式，它具有连续小波变换和离散小波变换的优势，同时也能使成像所需的测量次数降低为有限次，使得连续小波变换在计算鬼成像中的应用成为可能。通过数值模拟和实验验证了所提成像方案能够对物体进行正常成像。更为重要的是，本文以两种典型的连续Gauss小波和Mexihat小波为例，讨论了外界干扰对不同方案成像结果的影响。结果表明，所提成像方案不仅保持了小波变换在成像效率上的优势，同时在存在外界噪声污染和探测器的光强-电压响应偏离线性响应情况下，所提成像方案相比Haar小波方案具有明显优势，有利于计算鬼成像在实际过程中的应用。

2　理论分析与数值模拟

为了方便分析，先考虑一维的情况，对信号 $f (x)$ 的连续小波变换记作 $W T_{f} (a, b)$ ：

W T_{f} (a, b) = \int f (x) ψ_{a, b} (x) d x

，（1）

式中：参数 $a$ 为尺度因子，控制小波函数伸缩；参数 $b$ 为平移因子，控制小波函数的平移； $ψ_{a, b} (x)$ 为连续小波函数。

在连续小波变换中，参数 $a$ 和 $b$ 是连续变量，对于每个 $a$ ， $b$ 组合都会产生一个照明图样，因此所需要的测量次数是无穷多的。计算鬼成像的测量次数只能是有限次，导致无法在计算鬼成像系统中进行成像，因此需要对这些参数进行一定的离散化处理。首先从离散小波变换出发，对小波函数进行二进伸缩平移，构造小波函数 $ψ_{a, b} (x)$ ：

ψ_{a, b} (x) = \sqrt[]{|a|} ψ [a (x - b)]

。（2）

对于离散小波变换，尺度因子 $a$ 是二进伸缩平移的，对于一个定义区间 $[- x_{m a x}, + x_{m a x}]$ 的母小波，在尺度因子 $a$ 下进行二进伸缩和平移，则平移因子 $b$ 的取值范围为

b = \frac{r m}{a}

，（3）

式中： $a$ 为 $2$ 的整数次幂； $r$ 为母小波定义区间长度， $r = x_{m a x} - (- x_{m a x}) = 2 x_{m a x}$ ； $m = \pm 1, \pm 2, \dots, \pm a / 2$ 。特别指出 $a = 1$ ， $b = 0$ 时，表示伸缩1倍时不平移。

由于连续小波通常是非正交的，因此直接利用离散小波变换对信号进行变换时会出现问题。以一维Mexihat小波为例，母小波定义为

ψ (x) = \frac{2}{\sqrt[]{3 \sqrt[]{π}}} (1 - x^{2}) e^{- \frac{x^{2}}{2}}

。（4）

使用定义在 $[- 5, + 5]$ 区间的一维Mexihat小波对一维正弦信号和三角波信号进行信号变换和重构，结果如图1所示。

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1 引言

2 理论分析与数值模拟

图 1. 一维Mexihat小波对一维信号的重构结果。（a）（c）一维正弦波信号和一维三角波信号；（b）（d）一维Mexihat小波对图1（a）和图1（c）重构出的结果

Fig. 1. Results of 1D signal reconstructed by 1D Mexihat wavelet. (a) (c) 1D sine wave signal and 1D triangle wave signal; (b) (d) results of reconstructing Fig. 1 (a) and Fig. 1 (c) using 1D Mexihat wavelet

图 2. 一维Mexihat小波函数叠加的结果

Fig. 2. Result of 1D Mexihat wavelet function superposition

图 3. 区间长度r=4上的一维Mexihat小波函数在伸缩尺度a=2时进行2次增补相移（n=3）生成的小波函数系

Fig. 3. Wavelet function system generated using 1D Mexihat wavelet function on interval length r=4 with two additive phase shifts (n=3) at the zoom scale a=2

图 4. 基于一维连续小波生成照明图样的示意图

Fig. 4. Schematic of illumination pattern generation based on 1D continuous wavelet

图 6. 在不同区间长度n上的一维Mexihat小波函数

Fig. 6. 1D Mexihat wavelet functions on different interval lengths n

图 7. 在不同定义区间长度r下，基于一维Mexihat小波的鬼成像方案的仿真成像结果（n=3）。（a）~（f）一维Mexihat小波在区间长度r=0.2，1，2，4，6，10的重构结果

Fig. 7. Simulation imaging results of the ghost imaging scheme based on 1D Mexihat wavelet (n=3) under different defined interval lengths r. (a)-(f) Reconstructed results of 1D Mexihat wavelets under interval lengths r= 0.2, 1, 2, 4, 6, 10

图 9. 二维Gauss小波零级小波函数的照明图样（n=2）

Fig. 9. Illumination patterns of the zero-level wavelet functions with 2D Gauss wavelet (n=2)

3 实验验证与分析

图 11. 计算鬼成像的实验装置

Fig. 11. Experimental setup of computing ghost imaging

4 结论

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1　引言

2　理论分析与数值模拟

3　实验验证与分析

4　结论