1 引言

对于平行光管、干涉仪、相机镜头等光学系统而言，准直波前是衡量光学系统质量的重要指标。常用的准直波前检测方法有干涉检测法^[1-3]、哈特曼法^[4]、夏克-哈特曼法^[5-6]等。这些检测方法往往需要与待测准直波前口径相当的附加元件，检测成本较高。五棱镜扫描法通过测量准直波前斜率的变化，实现对大口径准直波前的扫描检测^[7-9]。五棱镜扫描法光学结构简单，成本低，对于准直波前中低阶像差的检测具有重要价值。

传统的五棱镜扫描法通过单个五棱镜扫描待测波前一条线上的斜率从而复原准直波前在该条线上的波前分布。刘兆栋等^[10]采用该方法对大口径近红外干涉仪的准直波前进行了检测，并对检测误差进行了详细分析。为了提高五棱镜扫描法的稳定性，减小五棱镜运动误差的影响，研究人员提出了差分五棱镜扫描法^[11]、双五棱镜扫描法^[12-13]等改进方法。这些方法极大地提高了五棱镜扫描法的检测精度，但是都只能测量准直波前一条线上的波前分布，无法得到待测波前全口径的像差分布。为了获得全口径的三维波面分布，需要进行多次扫描，获得待测波前多条线上的斜率。这种多条线的扫描方式常被用于大口径平面光学元件的面形检测^[14-17]，通过旋转待测光学元件，在极坐标下扫描测量面形多条线上的斜率，再通过Zernike多项式系数拟合的方式，实现对大口径平面光学元件全口径的三维面形检测。但旋转待测件的方式不适用于测量光学系统的准直波前。

若要测量全口径准直波前，一般需要X、Y两个方向的五棱镜扫描系统，扫描机构复杂，并且耗时长，易受环境扰动的影响。若能够只用一个X方向的扫描机构完成准直波前X、Y两个方向的斜率测量，则能简化扫描机构，缩短扫描时间。考虑Y方向斜率依靠多个五棱镜组合完成采样，X方向仍依靠扫描完成采样，即可形成X方向和Y方向的非均匀采样。本文提出在扫描机构上用三个平行于扫描方向的并联五棱镜测量X方向的斜率，三个垂直于扫描方向的串联五棱镜测量Y方向的斜率，所有五棱镜随机械扫描机构同时运动，只需要进行一次X方向的扫描测量就可以复原全口径的准直波前三维分布。该方法极大地减少了五棱镜扫描法检测全口径准直波前需要的扫描时间。

2 基本原理

2.1 五棱镜扫描法检测原理

五棱镜扫描法的原理如图1所示。准直波前沿Z轴正方向传播，经过五棱镜后偏折90°，变成沿X轴正方向传播，经会聚透镜会聚在探测器靶面上。五棱镜由位置1移动到位置2时，由于待测波前在两个位置处X方向的斜率不同，会聚在探测器上的光斑位置也会发生改变，通过求解光斑质心在探测器上移动的距离，就可以计算出待测波前由位置1移动到位置2处的斜率变化量。

图 1. 五棱镜扫描法原理

Fig. 1. Principle of pentaprism scanning method

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五棱镜由位置1移动到位置2，光斑在探测器上移动的距离为Δc，会聚透镜的焦距为f，则待测波前在位置1和位置2处X方向的斜率差Δk_x由下式可得：Δcf=Δkx。(1)

若五棱镜以位置1作为起始点沿X方向对待测波前上每个点进行扫描，则待测波前上每个位置处的斜率与位置1处的斜率之差都可以计算得到。

2.2 非均匀采样的五棱镜阵列原理

由2.1可知，单个五棱镜沿一个方向扫描只能获得待测波前一条线上的斜率变化，为了得到待测波前全口径的斜率分布，需要分别测量待测波前多条线上的X方向和Y方向斜率。本文提出一种非均匀采样的五棱镜阵列，Y方向仅采样三个位置的斜率，X方向通过扫描采样多个位置的斜率，一次扫描就可以同时获得待测波前三条线上的X方向和Y方向斜率。其原理如图2(a)所示，通过三个并联的五棱镜即五棱镜1、五棱镜2、五棱镜3同时测量X方向的斜率，通过三个串联的五棱镜即五棱镜4、分光五棱镜1、分光五棱镜2同时测量Y方向的斜率。

图 2. 非均匀采样的五棱镜阵列原理图。（a）非均匀采样的五棱镜阵列原理三维示意图；（b）X方向斜率测量原理；（c）Y方向斜率测量原理

Fig. 2. Principle of nonuniform sampling pentaprism array. (a) Three-dimensional diagram of principle of nonuniform sampling pentaprism array; (b) principle of slope measurement in X direction; (c) principle of slope measurement in Y direction

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三个并联的五棱镜测量X方向斜率的原理如图2(b)所示。待测波前的半口径为R，在待测波前中心高处放置五棱镜2，并在中心高两侧距离中心高R/2的地方再分别放置五棱镜1和五棱镜3，这三个五棱镜可以同时沿X正方向扫描，同时测量待测波前三条线上的X方向斜率变化量。其中，五棱镜1所在的待测波前Y方向坐标为y₁，五棱镜2所在的Y方向位置为y₀，五棱镜3所在的Y方向位置为y_－1。

三个串联的五棱镜测量Y方向斜率的原理如图2(c)所示。通过在五棱镜上胶合一个楔形棱镜形成分光五棱镜，分光五棱镜既可以透射入射光又可以使入射光偏折90°。分别在待测波前的y₁、y₀、y_－1位置处放置五棱镜4、分光五棱镜1、分光五棱镜2，用于测量待测波前Y方向的斜率变化，五棱镜运动方向仍然沿X轴正方向。以五棱镜4为例，入射光沿Z轴正方向传播，经五棱镜4折转90°，再透射分光五棱镜1和分光五棱镜2后，经反射镜反射，最终出射光沿X轴正方向传播，经会聚透镜成像在探测器4上。若五棱镜4存在一个较小的俯仰角误差α，即五棱镜4存在绕Z轴的旋转角α，则根据五棱镜的误差理论可知，经五棱镜4后的出射光线方向在YZ平面上不会有变化，在YX平面上会产生角度为tan α的偏转。五棱镜4出射的光线经过反射镜反射，会聚透镜成像在探测器上(YZ平面)，光斑中心在探测器靶面Y方向会产生大小为ftan α的位移。实验中通过调整串联的三个五棱镜的俯仰角大小，就可以实现三个光斑的分离，从而在探测器上同时采集三个五棱镜的光斑质心。同理，分光五棱镜1与分光五棱镜2使得待测波前同样会聚在探测器4上，如果待测波前在y₁、y₀、y_－1位置处的斜率不同，则最终成像在探测器4上的三个光斑质心位置在Z轴方向上会产生变化，通过计算光斑质心的变化量就可以求得待测波前Y方向斜率在y₁、y₀、y_－1位置处的斜率差。

2.3 复原准直波前三维分布的原理

准直波前W(x，y)可以用Zernike多项式表征：W(x,y)=∑i=4nai·Zi(x,y),（2）式中：n为Zernike多项式的项数；a_i为多项式系数；Z_i(x,y)为Zernike多项式的第i项。

对于五棱镜扫描系统而言，其扫描方向可以表示为icosθ+jsinθ,（3）式中：θ为极坐标系中的角度；i和j分别为X方向和Y方向的单位向量。

因此，待测准直波前沿扫描方向的斜率g(x,y,θ)可以表征为g(x,y,θ)=∑i=4Nai·∇Zi(x,y)·(icosθ+jsinθ),（4）式中：∇Z_i(x,y)为Zernike多项式第i项的一阶偏导数。

五棱镜扫描法获得的数据为离散扫描点与起始位置点波前斜率的差值，因此该离散点的数据可以表征为Aa=b,（5）式中：a为Zernike多项式的系数；b为采样获得的波前斜率变化量的离散数据；A为Zernike多项式一阶偏导数的矩阵，A=[∇Z4(2)−∇Z4(1)∇Z5(2)−∇Z5(1) ⋯∇Zn(2)−∇Zn(1)∇Z4(3)−∇Z4(1)∇Z5(3)−∇Z5(1) ⋯∇Zn(3)−∇Zn(1)⋮⋮⋯⋮∇Z4(m)−∇Z4(1)∇Z5(m)−∇Z5(1) ⋯∇Zn(m)−∇Zn(1)],（6）式中：m为采样点个数。

可由最小二乘法计算获得式(5)中Zernike多项式的系数：a=(ATA)−1ATb。（7）

待测准直波前可由Zernike多项式系数利用式（2）计算得到。准直波前一般只需要考虑其低阶像差，因此采用Zernike多项中的低阶像差项即4~11项即可。由于45°像散的Zernike多项式为xy，待测波前上任意点的一阶偏导数与起始点的一阶偏导数作差之后等于0，因此该五棱镜阵列法在复原待测波前时无法求解其45°像散大小。考虑到大口径准直系统中，像散一般是由于大口径的光学元件支撑或者光源偏心造成的，多表现为0°像散与45°像散的叠加，因此检测到0°像散后可以判断出系统的问题并指导装调。

3 仿真分析

实际检测系统的准直波前以低阶像差为主。为了验证非均匀采样的五棱镜阵列法复原准直波前三维分布的可行性与准确性，通过Zernike多项式的4~11项仿真一个待测的准直波前，并按照图2的位置获得准直波前三条线上的X方向与Y方向的斜率。考虑到检测过程中环境扰动等影响因素，本文在仿真准直波前时加入了峰-谷（PV）值0.1倍光波长（0.1λ）的随机误差，其中λ = 632.8 nm。仿真采用了1000×1000的准直波前矩阵，在三条线上沿X方向每隔25个点获得一个准直波前的斜率值。按照式（6）和式（7）计算准直波前的Zernike多项式系数，并复原准直波前的三维分布。仿真的待测准直波前如图3（a）所示，其中随机误差如图3（b）所示。采用五棱镜阵列法复原得到的准直波前如图3（c）所示，复原的准直波前与仿真的准直波前低阶像差的误差如图3（d）所示，复原的Zernike多项式各项系数与仿真的系数如图3（e）所示。

图 3. 五棱镜阵列复原待测波前。（a）仿真的准直波前；（b）仿真的准直波前中的随机误差；（c）复原的准直波前；（d）准直波前复原误差；（e）仿真的Zernike多项式系数与复原的Zernike多项式系数

Fig. 3. Reconstruction of wavefront with pentaprism array. (a) Simulated collimated wavefront; (b) random error in simulated collimated wavefront; (c) reconstructed collimated wavefront; (d) errors of reconstructed collimated wavefront; (e) simulated and reconstructed Zernike polynomial coefficients

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可以看出用待测波前三条线上斜率复原的准直波前与仿真的准直波前像差分布一致，Zernike多项式系数也基本一致。仿真的准直波前PV值为2.12λ，均方根（RMS）值为0.38λ，复原的准直波前PV值为2.10λ，RMS值为0.37λ。将复原的准直波前与仿真的准直波前点对点相减后得到的复原误差PV值为0.058λ，RMS值为0.009λ，该方法复原的准直波前结果准确。为了证明该方法对任意准直波前都具有较高的复原精度，对其鲁棒性进行了仿真，每次仿真随机给定待测波前的Zernike多项式4~11项的系数，并且每次添加随机误差，比较复原出的准直波前与仿真的准直波前误差的PV值与RMS值。仿真了500次准直波前的复原误差，结果如图4所示。可以看出该方法的准直波前复原误差PV值在95%的情况下优于0.12λ，RMS值在95%的情况下优于0.02λ，因此该方法具有很好的鲁棒性。

图 4. 复原准直波前的鲁棒性。（a）误差PV值；（b）误差RMS值

Fig. 4. Robustness of reconstructing collimated wavefront. (a) PV values of errors; (b) RMS values of errors

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4 实验

4.1 五棱镜阵列扫描实验

为了验证本文方法的可行性，对1 m口径的准直波前进行了实验测量，准直波前波长为632.8 nm。实验装置如图5所示。实验采用的电动导轨型号为MTS324，行程1.2 m，分辨率0.39 μm，重复定位精度4 μm，可以满足本文的实验需要；采用的探测器型号为IMPERX-B1410M，像素大小为6.45 μm；会聚透镜焦距300 mm；五棱镜棱长8 mm。

图 5. 五棱镜阵列扫描装置

Fig. 5. Scanning mechanism with pentaprism array

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实验中待测波前传播方向为Z轴正方向，波前圆心为坐标原点，沿待测波前X轴正方向扫描。待测波前半径为500 mm，则扫描待测波前三条线的Y坐标位置分别为y₁=354 mm，y₀=0，y_-1=-354 mm。由于y₁与y_-1位置处的两条线上点的X方向坐标范围为-354~354 mm，因此实验中机械扫描范围为X方向坐标-354~354 mm，每隔25 mm测量一次，每次采集5幅图做平均之后用于计算光斑质心，经过二值化与插值处理后再根据质心计算公式获得每个采样点的质心在CCD上的像素位置。将每个扫描点的质心位置与起始位置的质心位置作差后得到质心的变化量。待测波前三条线上X方向测得的光斑质心移动量如图6（a）所示。计算待测波前Y方向的斜率差时，以每个扫描点处y₀位置的光斑质心为基准，y₁位置与y_-1位置的光斑质心位置都与y₀位置的质心位置作差，结果如图6（b）所示。

图 6. 五棱镜阵列扫描测量的光斑质心移动量。（a）X方向移动量；（b）Y方向移动量

Fig. 6. Spot centroid displacement measured with pentaprism array scanning. (a) Spot centroid displacement in X direction; (b) spot centroid displacement in Y direction

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该实验数据需要考虑扫描过程中机械导轨的俯仰倾斜以及偏摆角对光斑质心位置的影响。根据五棱镜扫描法的机械扫描误差分析可知^[18]，在X方向斜率的扫描过程中，五棱镜测量精度只受到机械导轨的滚转角影响。当机械导轨存在一个滚转角β时，五棱镜测量的斜率误差为tan βsin β，因此实验中需要将机械导轨在测量点处的滚转角测量出来。测量点处的导轨滚转角如图7所示。

图 7. 导轨滚转角

Fig. 7. Roll angle of rail

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对于Y方向斜率测量的数据，由于计算的是每个测量点处上下两个五棱镜与中间五棱镜的光斑质心的偏差，导轨的俯仰、偏摆和滚转角作差之后抵消掉了，因此Y方向的测量数据不需要考虑导轨的影响。综上所述，在测量数据中，X方向的斜率数据需要扣除导轨的滚转角误差。消除机械误差后的数据如图8所示。

图 8. 消除机械误差后的光斑质心移动量

Fig. 8. Spot centroid displacement with mechanical error eliminated

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用校正后的数据复原待测波前，结果如图9（a）所示，测得的准直波前PV值为2.495λ，RMS值为0.448λ。为了验证该结果的准确性，在1 m口径准直波前的后方放上平面反射镜2，形成准直波前的干涉检验光路，如图9（b）所示。采用干涉法获得的准直波前如图9（c）所示，准直波前PV值为2.752λ，RMS值为0.496λ。可以看出五棱镜阵列法测量得到的准直波前与干涉法测量得到的准直波前低阶像差分布基本一致，主要是离焦、球差和X方向彗差。五棱镜阵列法拟合的低阶像差Zernike多项式系数与干涉法拟合得到的低阶像差Zernike多项式系数如图9（d）所示，两种方法拟合的Zernike多项式系数也基本一致。两者存在偏差的主要原因是干涉检测中平面反射镜2的面形会对检测结果有影响，并且五棱镜阵列扫描法相比于干涉法而言检测时间长，更容易受到环境扰动的影响，因此两者检测结果会有一些偏差。综上所述，五棱镜阵列扫描法可以比较准确地测量出大口径准直波前的三维分布。

图 9. 五棱镜阵列扫描测量结果与干涉法测量结果比较。（a）五棱镜阵列扫描测量结果；（b）干涉法检测光路；（c）干涉法测量结果；（d）两种方法测量结果的Zernike多项式系数

Fig. 9. Comparison between pentaprism array scanning measurement results and interferometric measurement results. (a) Pentaprism array scanning measurement results; (b) optical path of interferometric test; (c) interferometric measurement results; (d) Zernike polynomial coefficients of measurement results

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4.2 五棱镜阵列扫描法不确定度分析

首先分析光斑质心探测不确定度。本实验采用二值化与插值处理后再通过加权质心计算方法获得每个采样点的质心在CCD上的像素位置，该方法质心的探测不确定度为0.15 pixel^[12]。实验采用的CCD像素大小为6.45 μm，会聚透镜焦距300 mm，因此可以得到由光斑质心不确定度造成的波前斜率测量不确定度为μk1=0.15×0.00645÷300≈3.2×10−6。（8）

其次分析导轨直线度不确定度。实验中针对导轨的直线度进行了测量，并在实验数据中扣除了导轨的直线度影响，因此，导轨的直线度不确定度取决于测量方法的不确定度。本文采用的导轨直线度测量方法不确定度为^[19-20]μk2=0.15×0.00645÷2÷300≈1.6×10−6。（9）

接下来讨论环境扰动不确定度。实验中为了减小环境扰动，使五棱镜扫描装置与被测系统尽可能贴近，且将它们放置在同一个隔振平台上，环境温度控制为(20±0.2)℃。在10 min内，通过单个五棱镜在固定位置监测光斑质心在CCD上的漂移，质心位置漂移量最大0.1 pixel。因此，环境扰动的不确定度为μk3=0.1×0.00645÷300≈2.1×10−6。（10）

最后仿真分析五棱镜阵列的不确定度。综合以上不确度分析可以得到五棱镜阵列上单个五棱镜的合成不确定度。由于Y方向的三个五棱镜不含有导轨直线度的不确定度，因此，X方向的五棱镜和Y方向的五棱镜合成不确定度分别为μX=μk12+μk22+μk32≈4.1×10−6,（11）μY=μk12+μk32≈3.8×10−6。（12）

按照第3节中的仿真方法，在采样的待测面形斜率数据上引入X方向和Y方向测量斜率的不确定度。综合上述不确定度进行仿真，得到复原的波前误差RMS值作为五棱镜阵列的测量不确定度^[16]。仿真100次的最大波前误差结果值为0.035λ，因此五棱镜阵列扫描法的不确定度为0.035λ。

5 结论

本文在传统的五棱镜扫描法基础上，提出了基于非均匀采样的五棱镜阵列扫描测量大口径准直波前的方法，解决了传统五棱镜扫描法检测大口径准直波前全口径三维像差分布时扫描机构复杂且时间冗长的问题。该方法通过三个并联的五棱镜测量准直波前X方向斜率，通过三个串联的五棱镜测量Y方向斜率，并通过Zernike多项式的一阶导数拟合出待测波前的低阶像差。对该方法进行了仿真分析，并检测了1 m口径的准直波前，检测结果与采用干涉法测量的结果进行了比较，两种方法测量的准直波前低阶像差分布与数值基本一致，证明了该方法的可行性与准确性。