1 引言

结构光三维面形测量技术具有非接触、高精度、高速和易在计算机控制下实现自动化测量等优点,被广泛应用于逆向工程、工业自动检测、产品质量控制、实物仿形、机器视觉和生物医学等领域^[1-4]。结构光三维面形测量技术中应用较广泛的方法主要包括相位测量轮廓术(PMP)和傅里叶变换轮廓术(FTP),它们的基本思想都是基于三角测量原理:条纹投射系统将正弦结构光场投射到物体表面,摄像系统拍摄经物体调制后的变形条纹,随后对变形条纹进行相位展开和高度重建处理恢复出物体的三维形貌^[5]。与PMP相比,FTP只需要采集一幅图像即可恢复出物体的高度信息^[6],成本低廉,测量实时性好,而且对测量设备的要求简单,在工程应用领域被广泛使用。

结构光三维面形测量中产生结构光的典型方法有两种^[7]。一种是用白光光源的投影型结构照明,传统方式多采用白光光源照明正弦光栅产生正弦条纹进行投影,但其测量的灵活性较差,而且条纹周期固定;随着数字显示技术的发展,研究人员采用数字条纹投影技术投射条纹^[8],该技术可将任意周期、形状的条纹投射到待测物体表面,但受数字投影仪的限制而难以产生高密度的正弦条纹,而且数字投影仪的伽马非线性效应导致图像非正弦化,使得测量精度较低^[9]。另一种是用激光光源的干涉结构照明,该方法可提高条纹密度,进而提高测量精度,其中光纤干涉投影投射的条纹具有良好的周期性和非定域性,而且光纤具有体积小、抗电磁辐射能力强、灵敏度高等优点^[10-14]。但光纤干涉中的一个常见问题是光纤干涉臂易受温度、振动的影响而导致相位差产生随机漂移,使得投射的条纹发生随机漂移,从而影响测量精度^[15]。为了抑制光纤干涉条纹的漂移,国内外研究人员提出了许多方法,例如常见的直流相位跟踪^[16]和交流相位跟踪^[17],但这些方法由于使用了电学系统而增加了结构的复杂性,并提高了成本。

本文提出了一种新型的干涉条纹投影方法,利用立方体分光棱镜对激光光源进行分光和合束,引入楔形光程差来产生干涉条纹。同光纤干涉投影方法一样,本文所提方法可满足杨氏双缝干涉原理^[18],但由于本文产生干涉投影条纹的两路光近似为共光路结构,从而避免了光纤干涉臂受环境影响而导致相位漂移的缺点,提高了投射干涉条纹的稳定性,而且系统结构简单,条纹周期调节方便,易于得到用以测量小型物体的高密度正弦条纹。

2 基本原理

2.1 FTP的原理

FTP测量系统光路的原理如图1所示。

图 1. FTP测量系统的光路

Fig. 1. Optical path of FTP measurement system

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图1中,E'_PE_P为投影系统的光轴,E'_SE_S为成像系统的光轴,两条光轴相交于参考平面R上的点T,投影系统P投射条纹到待测物体表面,成像系统S拍摄经过物体面形调制的变形条纹,l₀为成像系统入瞳E_S到参考平面的距离,d₀为投影系统出瞳E_P与成像系统入瞳E_S的距离。当E_P位于有限远时,结构光场的照明是发散的,图1中的入射光线为E_PG,与参考平面相交于点J;当E_P位于无穷远时,参考平面上的相位分布是线性的,入射光线变为EG(即与光E_PT轴平行),与参考平面相交于点F^[19]。入射光线与待测物体表面相交于点H,它与参考平面上的点K对应成像系统像素的同一位置,物体的高度为h。

成像系统获取的变形条纹分布I(x,y)可以记为

I(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos[2πf0x+φ(x,y)],(1)

式中:a(x,y)为背景强度;b(x,y)/a(x,y)为条纹对比度;f₀为投影条纹的频率;φ(x,y)为由待测物体高度分布h(x,y)引起的相位调制,φ(x,y)=2πf₀| FK¯|。

(1) 式可改写为

g(x,y)=a(x,y)+c(x,y)exp(2πif0x)+c*(x,y)exp(-2πif0x),(2)

式中:c(x,y)= 12b(x,y)exp[iφ(x,y)];c^*(x,y)为c(x,y)的共轭复数。g(x,y)对x的一维傅里叶变换F(f,y)为

F(f,y)=A(f,y)+C(f-f0,y)+C*(f-f0,y),(3)

式中:A(f,y)、C(f-f₀,y)、C^*(f-f₀,y)分别为式(2)中a(x,y)、c(x,y)exp(2πif₀x)、c^*(x,y)exp(-2πif₀x)对x的一维傅里叶变换。滤出频谱中的C(f-f₀,y),得到基频成分,并将其移回原点做傅里叶逆变换得到c(x,y),求出φ(x,y),即:

φ(x,y)=arctanRe[c(x,y)]Im[c(x,y)],(4)

式中:Re[c(x,y)]、Im[c(x,y)]分别为复数c(x,y)的实部和虚部。

为得到相对高度分布,并消除系统测量误差,对参考平面进行测量,相当于物体高度h(x,y)=0,对应的参考变形条纹可表示为

I0(x,y)=a(x,y)+b(x,y)·cos[2πf0x+φ0(x,y)],(5)

式中:φ₀(x,y)=2πf₀| FJ¯|。对式(5)进行同样的傅里叶变换及滤波处理,提取出所需的基频分量,再将得到的基频进行傅里叶逆变换得到包裹相位φ₀(x,y)。随后对φ(x,y)和φ₀(x,y)进行相位解包裹,然后相减便可获得只包含物体高度信息的相位值Δφ(x,y):

Δφ(x,y)=φ(x,y)-φ0(x,y)=2πf0|JK¯。(6)

利用三角形ΔHJK与ΔHE_PE_S的相似关系可得到待测物体的三维面形h(x,y)为

h(x,y)=l0Δφ(x,y)Δφ(x,y)-2πf0d。(7)

由(7)式可知h(x,y)与Δφ(x,y)以及系统的结构参数l₀、d₀有关。由式(6)得到Δφ(x,y)后对系统进行标定,建立起高度-相位映射关系后便可得到物体的高度信息。为了操作灵活,采用测量系统在斜投影斜拍摄且成像光轴与投影光轴不共面情况下的一种普适性标定方法^[20],经推导后的相位与高度的映射关系可以简写为

1h(x,y)=a(x,y)+b(x,y)1Δφ(x,y)。(8)

根据建立出相位与高度的普适关系,最终可恢复出物体的三维形貌,并获得高度信息。

2.2 共光路干涉投影原理

本课题组基于立方体分光棱镜创新性地提出了一种共光路干涉结构,以此构建稳定的条纹投射系统。从激光器出射的激光经过显微物镜后形成高质量的点光源S₀,该点光源发出的光从立方分束棱镜(BS)棱边的O点处进入BS后被分成两路光,具体光路轨迹如图2所示。

图 2. 共光路干涉的原理图

Fig. 2. Schematic of common optical path interference

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两路光分别从BS的两个前壁OW和OQ进入棱镜,之后发生折射,光线从OA₁区间入射的折射光到达中心半透半反射层OV后发生反射,这里称之为“反射光”;同样,光线从OB₁区间入射后的折射光到达中心半透半反射层OV后直接透射,这里称之为“透射光”。由于两路光的传播方向与中心半透半反射层之间存在较小的夹角θ,因此,反射光与透射光之间将引入楔形光程差。根据杨氏干涉理论,两束干涉光在光线会聚点C(即干涉平面)处发生干涉,生成干涉直条纹后传播至后壁WV发生折射出离BS,投射条纹到待测物体表面。

根据杨氏双缝干涉原理,建立如图3所示的坐标系,从点光源S₀处发出的光线在y轴处分为S₁和S₂两个子光源,分别从立方棱镜的A点和B点进入棱镜内部并发生折射,随后继续传播,在C点处发生干涉后以共光路形式从D点出射。其中,l为|S₀O|的长度,d为|S₁S₂|的长度,点O为|S₁S₂|的中点,θ₁和θ'₁分别为点A处的入射角和折射角,θ₂和θ'₂分别为点B处的入射角和折射角,θ为立方棱镜的半透半反射层与x轴的夹角,L为立方棱镜的棱长,立方棱镜的折射率为n。

图 3. 共光路干涉的坐标分析

Fig. 3. Coordinate analysis of common optical path interference

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由图3中的几何关系可以看出,∠AS₀O=∠BS₀O=φ₀,tan φ₀= d2l,∠AOD=∠BOS₂=45°-θ,∠BOD=∠AOS₁=45°+θ,|CM|=|CN|=|OC|sin 45°。共光路的两路相干光的子光源S₁发出的光经过的光程为r₁=|S₁A|+|AC|,子光源S₂发出的光经过的光程为r₂=|S₂B|+|BC|。

对于光源S₁,有:

|OA|sin∠AOD-|OA|cos∠AOD·tan∠AS0O=d/2,(9)|S1A|=|OA|cos∠AOD/(cosφ0)。(10)

在ΔCMA中

|AC|=|CM|cos∠ACM。(11)

同理,对于光源S₂,有:

|OB|sin∠BOD-|OB|cos∠BOD·tan∠BS0O=d2,(12)|S2B|=|OB|cos∠BODcosφ0,(13)

在ΔCNB中,有:

|BC|=|CN|cos∠BCN。(14)

子光源S₁和S₂经过的光程差为Δr=|r₁-r₂|。根据杨氏双缝干涉的原理,对应的相位差为

δ=2πλΔr=πλd4l2+d22[l·tan(45°-θ)-d]+2|OC|cosarcsinsinarctand2l+45°+θn-d4l2+d22[l·tan(45°+θ)-d]-2|OC|cosarcsinsinarctand2l+45°-θn,(15)

设S₁和S₂在点C处的强度均等于1,则干涉条纹的强度为

I=4cos2δ2。(16)

一般而言,条纹图的空间周期将决定一级和零级频谱在傅里叶域中的分离,产生的干涉条纹的空间周期Δ与相位差δ的关系为Δ= 2πδ。由(15)式可知干涉条纹的空间周期Δ与立方棱镜的安装角度θ有关(当产生干涉条纹时,公式中的其他变量均为常数),通过调节θ的大小可以方便快捷地改变条纹密度。

3 实验过程

3.1 共光路模拟仿真

根据2.2节中建立的数学模型在MATLAB中进行模拟仿真,参数设置如下:激光光源波长λ=635 nm,l=15 cm,L=2 cm,n=1.5,|OC|=L=2 cm,d=2 cm。图4(a)~(c)分别为θ=3.55°、θ=3.57°、θ=3.58°时仿真得到的干涉条纹图,可以看出:通过改变θ的大小可以得到不同密度的干涉条纹。图4(d)、(e)分别为共光路干涉投影系统中棱镜安装角度θ=2°、θ=3°时通过CCD相机拍摄的真实的干涉条纹图,可见:干涉条纹图的对比度高,中心和边缘的强度分布均匀。这里需要注意的是,仿真实验中的干涉条纹图为干涉平面处(即图2中点C处)的干涉图,而实际拍摄的干涉条纹图为参考平面处的干涉图,实验采用的是点光源投影,干涉条纹从点C处到参考平面会有一个放大的效果。

图 4. 干涉图样。(a) θ=3.55°时的模拟干涉条纹;(b) θ=3.57°时的模拟干涉条纹;(c) θ=3.58°时的模拟干涉条纹;(d) θ=2°时的实际干涉条纹;(e) θ=3°时的实际干涉条纹

Fig. 4. Interference patterns. (a) Simulated interference fringe when θ=3.55°; (b) simulated interference fringe when θ=3.57°; (c) simulated interference fringe when θ=3.58°; (d) actual interference fringe when θ=2°; (e) actual interference fringe when θ=3°

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3.2 实验

为了验证所提FTP还原物体三维形貌的能力,对实际待测物体进行高度恢复。实验装置实物图如图5所示,基于FTP原理,使用激光光源、显微物镜和立方体分光棱镜搭建共光路干涉光路作为FTP的条纹投影系统,CCD相机作为条纹采集系统,搭建了一套三维面形测量系统。实验光源采用半导体激光器,其波长为635 nm,输出功率可调;使用大恒公司生产的型号为GCO-2104的显微物镜(倍率为×25,数值孔径为0.4),以出射高质量的点光源;立方体分光棱镜使用尺寸为25.4 mm、波长范围为450~650 nm的宽带分光棱镜;用以安放立方棱镜的旋转台采用日本SIGMAKOKI公司量程为6.5°、精度为0.01°的手动平台;CCD相机使用深圳市度申科技有限公司生产的型号为M2S120M、分辨率为1280 pixel×960 pixel的USB2.0相机。如图6(a)所示,待测物体为经过喷漆处理(目的是降低物体表面的反光)的小脚丫模型,其相位展开图如图6(b)所示。

图 5. 实验装置实物图

Fig. 5. Physical diagram of experimental equipment

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图 6. 待测物体。(a)实物及变形条纹图;(b)相位展开图

Fig. 6. Object to be measured. (a) Physical object and deformed fringe pattern; (b) phase unwrapping pattern

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要得到物体的三维形貌和高度信息,须对系统的相位-高度映射关系进行标定^[21]。本研究的标定平面相对参考面移动了9次,每次移动0.5 mm。图7(a)给出了直接用相位展开算法求得的相邻标定平面的相位差,取相同行进行显示,可见:当标定平面移动距离达到一定值时,相邻标定平面的相位差出现了相位跳变。要想得到各标定平面正确的相位分布,必须对采用直接相位展开算法得到的相位沿高度方向进行解相^[22]校正,解相校正后的结果如图7(b)所示。

当测量系统固定时,(8) 式中的a(x,y)和b(x,y)可认为是系统常数,则 1h(x,y)和 1Δφ(x,y)呈线性关系,使用最小二乘法^[23]对9组数据进行拟合求出系数a(x,y)和b(x,y),即可完成系统的标定工作。系数标定结果如图8所示。

图 7. 不同位置的各标定平面同一行的相位分布图。(a)解相前;(b)解相后

Fig. 7. Phase distribution maps of the same row of each calibration plane at different positions. (a) Before unwrapping; (b) after unwrapping

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图 8. 测量系统的标定结果。(a)参数a;(b)参数b

Fig. 8. Calibration results of measurement system. (a) Parameter a; (b) parameter b

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经过标定,最终恢复出物体的三维形貌,然后用瑞典海克斯康公司的三坐标机(测量精度为1 μm,测头直径为2 mm)测量物体的实际高度,结果如图9所示。图9(a)为三坐标机测量图,图9(b)为物体的三维形貌图,图9(c)为误差分布图,其中的实验曲线是取图9(b)的一行进行显示的结果,点实线为三坐标机测得的物体的实际高度。可以看出:实验结果与物体的实际高度之间的误差波动在±0.1 mm以内,表明系统可正确恢复出物体的三维形貌信息。

图 9. 实验结果。(a)三坐标机测量图;(b)物体的三维形貌图;(c)误差分布图

Fig. 9. Experiment results. (a) Three coordinate machine measurement chart; (b) three-dimensional topography of object; (c) error distribution map

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4 误差分析与讨论

需要指出的是,实验结果中存在部分非线性的相位误差,这是测量系统的非线性强度响应造成的。一般而言,激光干涉得到的条纹灰度基本上是呈正弦分布的,但由于被测物体表面(标定时待测物体平面为标定平面)对亮光和弱光的反射率不同,通过CCD相机接收到的实际条纹图的灰度并不是真正地呈正弦分布,当用傅里叶变换算法计算一组非正弦分布的条纹图时,灰度非正弦分布的条纹与真正的正弦曲线之间的相位偏差就会出现在计算结果中,表现为一种周期性的正弦波纹,即图6(b)和图7中波纹状的相位误差;另外,FTP中测量系统的结构参数会直接影响傅里叶频谱的分离情况^[24],由于搭建测量系统结构时基频和高次频、零频存在微混叠,因而会引入非线性相位误差。对图7中的标定平面9进行分析,结果如图10所示。图10(a)为标定平面9的条纹图,图10(b)~(d)分别为图10(a)第300行的条纹图、傅里叶频谱图及相位展开图。由图10(b)可以看到实际的条纹图并不是真正地呈正弦分布,在图10(c)中可以看到基频与高次频、零频的混叠现象,故在图10(d)所示的相位图中可以观察到明显的波纹状相位误差。

CCD相机的非线性响应^[25]以及标定操作时引入的人为误差会影响测量系统的精度,但通过标定可以在一定程度上修正这种误差(如图9所示),还可以通过修正光路结构、编写程序进行误差校正,进一步提高测量精度。

图 10. 标定平面9的误差分析。(a)条纹图;(b)第300行条纹图;(c)傅里叶频谱图;(d)相位展开图

Fig. 10. Calibration plane 9 error analysis. (a) Fringe pattern; (b) fringe pattern in line 300; (c) Fourier spectrum; (d) phase unwrapping pattern

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5 结论

本课题组提出一种基于立方体分光棱镜的新型共光路干涉条纹投影方法。根据杨氏双缝干涉原理构建数学模型进行仿真,证实了该条纹投射方法的可行性,将其作为FTP三维形貌测量系统的投影部分进行实验,并对系统的相位-高度映射关系进行标定。实验结果表明了在所提共光路干涉条件下基于FTP原理恢复物体三维形貌的可行性,并通过待测的小脚丫模型进一步说明了恢复结果的准确性。与传统的投影方式相比,所提的投影方法避免了光栅投影易产生衍射现象的问题,也避免了数字投影仪只在焦平面位置附近的条纹才比较清晰而导致无法测量较高物体的问题。在光纤干涉方法中,光纤干涉臂易受振动和环境变化而导致干涉条纹的相位发生漂移,而本课题组提出的共光路干涉方法投射的条纹图相位稳定,具有更广阔的应用前景。实验中发现物体展开相位图中的非线性误差比较严重,会影响测量精度,在后续研究中将通过修正光路结构以及尝试使用对物体相位图中的每一行进行线性拟合的方法来消除这种相位偏差。