基于傅里叶级数的光栅加工误差分析

针对浮雕光栅实际加工的光栅形貌与理论设计形貌存在差异的情况，提出从傅里叶级数的角度去分析光栅结构，探讨光栅傅里叶级数展开式中各空间频率分量对其结构和衍射效率的影响，试图在保证高衍射效率的同时，降低光栅的制备难度。对常见的周期性浮雕光栅进行傅里叶级数展开，减少高频分量，代入仿真软件建模并计算其衍射效率。仿真结果表明：对于矩形光栅，光栅陡直度为46.3°时即可满足最高衍射效率要求；而对于直角三角光栅，光栅陡直度为80.4°并且光刻分辨率不低于300 nm时才可满足最高衍射效率。针对不同结构的浮雕光栅，在满足最高衍射效率时保留的高频含量是不同的，文中提出的分析方法能帮助设计者根据具体的光栅结构，提出加工精度要求，制定具体加工方案，降低加工制备难度。

Abstract

There are differences in grating profile between the actual processing and the theoretical design of the relief grating. An analysis method based on Fourier series was presented, which could help explore the influence of spatial frequency components on the structure and diffraction efficiency of the grating so as to reduce the difficulty of grating preparation while ensuring high diffraction efficiency. Firstly, Fourier series expansion was performed on common periodic relief gratings to establish the simulation model without the high-frequency components. The simulation results show that for rectangular gratings, the maximum diffraction efficiency could be achieved when the grating steepness was 46.3°, and for the right triangular grating, the grating steepness was 80.4° and the lithography resolution was not less than 300 nm when the diffraction efficiency was satisfied. For the relief gratings with different structures, the number of high-frequency components were different when the highest diffraction efficiency was satisfied. The proposed analysis method could help the designer to propose the processing precision according to the specific grating profile and formulate the specific processing. The program could reduce the difficulty of processing and preparation.

1 引言

光栅作为衍射光学元件，具有体积小、重量轻的特点，在光耦合、光滤波等方面都有着重要的应用。近几年光波导近眼显示发展迅速 [1] ，衍射光波导的耦合光栅主要分为体全息光栅和浮雕光栅，对于体全息光栅，其内部折射率呈周期性变化，具有衍射效率高、透射性好、成本低等特点，但严格的入射角度和波长选择性限制了其视场和均匀性 [2, 3] ，相比之下，浮雕光栅在扩大视场方面有一定优势。浮雕型衍射光栅，其表面结构周期性变化，衍射光线在各个级次的衍射效率主要取决于光栅的物理结构 [4] 。浮雕光栅的特点在于表面结构的多变性，在一个光波导系统中耦入光栅和耦出光栅可以采用不同的表面结构，如文献[5]中耦入光栅采用锯齿形结构、耦出光栅采用矩形结构，既能达到高效的光能利用率还可保证耦出光的均匀性。文献[6]中为了将主要能量集中在-1级，提出以梯形光栅为初始结构进行光栅设计，不断优化，最终得出当光栅结构为直角三角形时，-1级有最高衍射效率。在文献[7, 8]中分析了入射光角度、占空比、深度与周期比以及波长与周期比对不同光栅结构衍射效率的影响。

浮雕光栅的形貌直接影响着衍射效率分布，在光栅实际制备中，无论是全息干涉还是激光直写光刻加工 [9] ，制备出的光栅形貌往往和设计的形貌存在差异，如无法制备出90°的光栅侧壁陡直度 [10, 11, 12] 。如果从傅里叶级数的角度去认识一个光栅结构，任何周期性光栅结构都是由不同空间频率的正弦或余弦光栅叠加而成，因此文中尝试从傅里叶级数的角度去分析光栅结构，针对一个光栅结构将其展开为由不同空间频率正弦或余弦光栅的叠加，通过减少高空间频率的正弦或余弦光栅分量，分析对光栅结构和衍射效率的影响，试图在保证高衍射效率的同时，降低光栅的制备难度。

1 矩形光栅的傅里叶级数分析

对于矩形光栅，在高度上只有两个灰度值，加工难度较小，形貌的变化主要由光栅陡直度引起，90°的陡直度在加工中是不可能实现的，因此通过减少傅里叶展开式中的高频分量，分析对光栅陡直度和衍射效率的影响。首先，提出如 图1 所示的周期为 T 、高度为 A 的矩形光栅，数学表达式为：

图 1. 矩形光栅几何结构

Fig. 1. Rectangular grating geometry

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f (x) = \{\begin{matrix} A & 0 \leq x < T / 2 \\ 0 & T / 2 \leq x < T \end{matrix}

（1）

将 式（1） 进行傅里叶级数展开，可以得到：

f (x) = \frac{A}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 A}{n π} s i n \frac{2 n π}{T} x (n = 1,3, 5 . . . . . .)

（2）

式（2） 中常数 A /2，在傅里叶展开式中称为直流分量。sin(2π n / T) x 为谐波，当 n =1时称为基波（或一次谐波），即空间频率为1/ T 的正弦光栅； n >2时通常称为高频分量，即空间频率为 n / T 的正弦光栅。对于矩形光栅可由空间频率为1/ T 奇次倍的正弦光栅叠加而成。

首先对 图1 所示的矩形光栅进行衍射效率计算，基本参数周期 T 设为3 000 nm，光栅介质折射率为1.5，波长为532 nm的入射光从空气（折射率为1）垂直照射到光栅表面发生衍射，仿真计算得-1级最高衍射效率为39%。根据 式（2） 展开的傅里叶级数，如果只保留直流和空间频率为1/ T 的正弦光栅，在基于耦合波理论的仿真软件中建模，计算出达到最高衍射效率时最优光栅深度，光栅等比例结构如 图2 所示：

图 2. 保留直流+1/T频率正弦光栅的矩形光栅结构

Fig. 2. Rectangular grating profile with direct-current +1/T frequency sinusoidal grating

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图2 给出了光栅高度和周期的等比例图，其中光栅陡直度为 θ ， t 1 的实际长度通过测量 t 1 占周期 T 的比例可得，实际长度为1 140 nm，由tan θ = t 1 / A 1 ，代入数据得 θ 约为29.3°。若保留直流+空间频率为1/ T 的正弦光栅+空间频率为3/ T 的正弦光栅， 图3 给出了光栅等比例结构。

图 3. 保留直流+1/T+3/T频率正弦光栅的矩形光栅结构

Fig. 3. Rectangular grating profile with direct-current +1/T +3/T frequency sinusoidal grating

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图3 中光栅的陡直度为 θ 1 ， t 2 的实际长度通过测量 t 2 占周期 T 的比例可得，实际长度为600 nm，由tan θ 1 = t 2 / A 2 ，代入数据得 θ 1 约为46.3°。如果继续叠加高空间频率正弦光栅，光栅的陡直度不断增加，直到近似于90°的矩形光栅。下面分析光栅侧壁陡直度的增加对光栅衍射效率的影响，并且计算出高频率正弦光栅增加与-1级衍射效率的关系。

从 图4 可以看出，对于矩形光栅展开的傅里叶级数，保留直流+1/ T +3/ T 频率正弦光栅生成的光栅结构即可满足-1级最高衍射效率的要求，如果继续叠加高频率的正弦光栅，保留到9/ T 频率正弦光栅时，光栅衍射效率有1%的上升，但随着高频率正弦光栅的叠加，光栅的陡直度会急剧上升， 图5 给出了提高1%衍射效率对光栅陡直度的要求。

图 4. 不断叠加高频率正弦光栅对-1级衍射效率的影响

Fig. 4. Effect of continuous superposition of higher frequency sinusoidal grating on the diffraction efficiency of -1 order

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图 5. 保留直流+1/T+...+9/T频率正弦光栅的矩形光栅结构

Fig. 5. Rectangular grating profile with direct-current +1/T +...+9/T frequency sinusoidal grating

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图5 中光栅的陡直度为 θ 2 ， t 3 的实际长度通过测量 t 3 占周期 T 的比例可得，实际长度为240 nm，由tan θ 2 = t 3 / A 3 ，代入数据得 θ 2 约为69.2°。 图5 光栅结构相对于 图3 光栅结构，衍射效率只有1%的提高，但光栅陡直度却增加了22.9°。通过上面的分析可以得出，对于矩形光栅，陡直度满足46.3°即可达到-1级的最高衍射效率，继续提高光栅陡直度，衍射效率只有1%的增加，却对加工精度提出更高的要求。

2 直角三角光栅的傅里叶级数分析

相比于矩形光栅，直角三角光栅的高度在周期内是连续变化的，在实际加工过程中制备出高度连续变化的光栅结构是比较困难的，需要将其二元化，用台阶光栅来拟合，台阶的数量取决于光刻设备的精度，设备的分辨率越高，制备出的光栅结构越近似直角三角光栅，但随着精度的提高，光栅的制备难度和周期会大大增加。直角三角光栅在加工过程中，不仅需要考虑侧壁陡直度的问题，高度为变量的光栅斜面也需要提出精度要求，因此可通过减少傅里叶展开式中的高频分量，分析对光栅陡直度和斜面的影响。直角三角光栅的几何结构如 图6 所示，其表达式为：

图 6. 直角三角光栅几何结构

Fig. 6. Right triangular grating geometry

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\begin{matrix} f (x) = - \frac{A}{T} x + A & (0, T) \end{matrix}

（3）

其傅里叶级数展开式为：

f (x) = \frac{A}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{A}{n π} s i n \frac{2 π n}{T} x (n = 1,2, 3,4 \dots)

（4）

由 式（4） 可知，直角三角光栅结构可由不同空间频率正弦光栅叠加而成。首先根据直角三角光栅基本参数：周期 T 设为3 000 nm，光栅介质折射率为1.5，入射光波长为532 nm，得-1级最高衍射效率为81% [6] 。根据 式（4） 给出的直角三角光栅展开的傅里叶级数表达式， 图2 已给出保留直流+1/ T 频率正弦光栅的侧壁陡直度，因此直接讨论保留直流+1/ T +2/ T 频率正弦光栅的直角三角光栅结构，如 图7 所示。

图 7. 保留直流+1/T+2/T频率正弦光栅的直角三角光栅结构

Fig. 7. Right triangular grating profile with direct-current + 1 / T +2/T frequency sinusoidal grating

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图7 中光栅的陡直度为 θ 3 ， t 4 的实际长度通过测量 t 4 占周期 T 的比例可得，实际长度为900 nm，由tan θ 3 = t 4 / A 4 ，代入数据得 θ 3 约为45°。对于直角三角光栅展开的傅里叶级数，若只保留到2/ T 频率正弦光栅时，光栅结构近似于三阶化的台阶形光栅，并且侧壁陡直度为45°，用耦合波理论对该结构进行衍射效率计算， 图8 给出光栅高度与-1级衍射效率的关系。

图 8. 光栅高度对-1级衍射效率的影响

Fig. 8. Effect of grating height on -1 order diffraction efficiency

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图8 可得保留到2/ T 频率正弦光栅生成光栅结构的-1级衍射效率最高值为56%，在光栅结构和衍射效率方面与理想直角三角光栅的差异还是比较大的。如果继续叠加高频率正弦光栅，讨论光栅陡直度和斜面阶梯化的变化，并且计算对衍射效率的影响，根据 图7 的分析方法，计算出光栅侧壁陡直度及-1级最高衍射效率，计算结果如 表1 所示。

表 1. 高频分量对光栅结构及衍射效率的影响

Table 1. 高频分量对光栅结构及衍射效率的影响

保留不同频率正弦光栅数量	陡直度	衍射效率/(%)
直流+1/T+...3/T频率正弦光栅	53°	66
直流+1/T+...5/T频率正弦光栅	66°	77
直流+1/T+...7/T频率正弦光栅	72°	79
直流+1/T+...9/T频率正弦光栅	80.4°	81
直角三角	90°	81

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表1 给出每次多保留2阶高频正弦光栅对直角三角光栅的陡直度和衍射效率的影响，随着高频分量的增加，光栅的侧壁陡直度不断提高并且周期内台阶数增加，当保留到9/ T 频率正弦光栅时，该光栅结构的最高衍射效率与直角三角光栅一致，计算其光栅陡直度为80.4°，光栅斜面近似于10阶化。此时的衍射效率已经达到最大值，如果继续增加高频分量，讨论对衍射效率的影响，将正弦光栅频率保留到10/ T ，计算光栅陡直度和阶梯化，以及衍射效率的变化。仿真模型如 图9 所示。

图 9. 保留直流+1/T+...10/T频率正弦光栅的直角三角光栅结构

Fig. 9. Right triangular grating profile with direct-current + 1 / T +...10/T frequency sinusoidal grating

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同样可以得出 图9 中 t 5 的实际长度为150 nm，根据 t 5 /A 5 得 θ 4 的值为82°，即正弦光栅的频率保留到10/ T 时，光栅的陡直度为82°，并且相当于将斜面11阶化，计算其-1级衍射效率分布如 图10 所示。

图 10. 光栅高度对-1级衍射效率的影响

Fig. 10. Effect of grating height on -1 order diffraction efficiency

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在 图10 的仿真结果中，-1级的最高衍射效率为81%，因此可以看出，在衍射效率达到最大值后，提高光栅陡直度和台阶数量对衍射效率不再有影响，并且随着陡直度的增加，光栅的加工难度会进一步提高。

从上面的分析可以看出，对于周期为3 000 nm直角三角光栅，在实际制备中如果要满足-1级的最高衍射效率，则要保证其光栅陡直度不能低于80.4°，光刻分辨率不能低于300 nm。国内运用最广泛刻蚀机的侧壁陡直度约为77° [13] ，制备出衍射效率完全不降低的直角三角光栅形貌难度还是比较大的，但通过 表1 的分析可以知道，如果适当地降低衍射效率，光刻精度的要求就可以大幅度降低，当叠加直流+1/ T +...5/ T 频率正弦光栅生成的光栅结构，其陡直度为66°，并且相当于将连续的斜面六阶化，光刻分辨率满足500 nm即可，-1级的衍射效率为77%，相比于最高值只有4%的下降，但通过制备难度的降低，可以缩短光栅的制备周期并且降低成本。

通过对矩形光栅和直角三角形光栅的分析可以发现，对于矩形光栅，保留到正弦光栅频率为3/ T 时即可满足-1级的最高衍射效率，其陡直度为46.3°，3/ T 频率以上的正弦光栅对衍射只有1%的提升，但会大大增加光栅的制备难度；而对于直角三角光栅，正弦光栅频率保留到9/ T 时衍射效率满足最高值，此时的光栅陡直度为80.4°，并且分辨率不能低于300 nm，对于常用的加工设备，该结构的制备难度较大，很难达到要求，因此需适当降低衍射效率来加快制备周期和降低成本。

3 实验与测试

文中采用德国海德堡公司的无掩膜光刻直写设备MLA100制备 图6 所示的周期为3 μm的直角三角光栅。该设备光刻分辨率为1 μm，采用的光刻胶为EXP⁃1500系列。具体的加工流程如 图11 所示，包括基底处理\to光刻胶涂覆\to前烘\to曝光\to显影。

图 11. 光刻直写原理图

Fig. 11. Schematic of lithography direct writing

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根据上述光栅加工过程，将制备出的光栅用蔡司公司的共聚焦显微镜（LSM700）观测其形貌，如 图12 所示。

图 12. 测试的光栅结构

Fig. 12. Tested grating profile

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将 图12 测得的光栅结构放在衍射效率测试系统中 [7] ，如 图13 所示，其-1级衍射效率为58%，通过几何关系计算得陡直度为48°，对比 图7 的仿真模型，其陡直度为45°，仿真结果-1级衍射效率为56%，二者的光栅结构和衍射效率都十分近似。由于光刻设备的分辨率为1 μm，相当于将3 μm的光栅斜面三阶化，实际制备的光栅结构和衍射效率与仿真值有很好的吻合。由于光刻设备精度有限，这里只进行部分验证，足以证明该方法的正确性。当光刻精度较低时，制备的光栅结构基本只能保留低频分量的部分,若采用高精度的光刻设备，光栅陡直度会进一步提高，从而达到理想的衍射效率。

图 13. 实际测试光栅衍射效率系统

Fig. 13. Practical test system of grating diffraction efficiency

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4 结论

光栅在加工过程中，形貌误差是不可避免的。文中提出用傅里叶级数方法分析周期性光栅结构，根据光栅的傅里叶级数展开式，减少高空间频率的正弦或余弦光栅分量，分析对光栅陡直度和形貌的影响，仿真计算不同陡直度光栅的衍射效率。通过分析不同的光栅结构，在满足最高衍射效率时保留的高频含量是不同的。对于矩形光栅结构，满足最高衍射效率时，正弦光栅的频率需保留到3/ T ，生成的光栅陡直度为46.3°；而对于直角三角光栅，正弦光栅叠加到频率为9/ T 时满足最高衍射效率，其陡直度为80.4°且光刻精度不低于300 nm。由此可得：对于不同的光栅结构，高频分量对衍射效率的影响是不同的，应针对具体结构，采用本方法仿真计算分析后，提出加工精度要求，制定具体加工方案。该方法给出了从傅里叶级数角度分析高频信息对光栅表面结构的影响，为光栅加工误差的研究提供了理论基础。

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