单像空间后方交会算法的研究

陈继华; 孙荣旭; 张斌

doi:doi:10.3788/LOP57.021504

激光与光电子学进展, 2020, 57 (2): 021504, 网络出版: 2020-01-03

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A New Algorithm for Single Image Space Based Resection

论文大纲

陈继华 ^*孙荣旭张斌

作者单位

郑州大学物理工程学院, 河南郑州 450001

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摘要

采用单像空间后方交会算法求解相机的外参数是摄影测量及机器视觉等领域的基本问题。在介绍前人研究成果的基础上,提出一种新的单像空间后方交会算法,即利用3个控制点建立临时坐标系,根据这些控制点在临时坐标系下的部分坐标分量为0的特点,将后方交会求解转换为三元二次方程组的求解,3个控制点的图像坐标数据可为非线性方程组的迭代求解提供初始值,使求解过程更加可靠。利用某商用工业摄影测量系统对实验空间中布设的控制场拍摄了120幅图像并计算其外参数,采用后方交会算法和角锥体算法分别对所取特征点计算外参数,结果表明:后方交会算法求解的参数正确,且迭代求解收敛性好,适用于任意旋转角的相机外参数求解。

Abstract

Solving the camera external parameters with single image space resection algorithm is a fundamental problem in the fields of photogrammetry and machine vision. Based on the previous work, a new robust algorithm is presented in this paper. A temporary coordinate system is created by three control points. Due to part of the coordinate component of these control points in the temporary coordinate system being zero, the resection solving is transformed to the solution of ternary quadratic equations, the initialize solutions for the nonlinear equations can be acquired by the image coordinates of the three points, which makes the solving process more reliable. In the experiment, 120 images of the control field are taken by the commercial industrial photogrammetry system and the external parameters are calculated with the proposed resection algorithm and the pyramid algorithm. Experimental results illustrate that the parameters calculated by the proposed resection algorithm are correct, and the convergence is good, showing that the proposed algorithm is suitable for solving external parameters of cameras with arbitrary rotation angles.

1 引言

单像空间后方交会算法,是一种在三维空间中,根据控制点与像点之间的对应关系获得相机外参数的求解方法^[1],主要有角锥体法和共线方程法两种。共线方程法可根据其变换过程中旋转变换的表达,分为基于旋转矩阵的共线方程法和基于四元数描述的共线方程法。官云兰等^[2]通过改进角锥体法计算获得相机外参数,该算法需要利用多个控制点才能获得更高精度;刘建辉^[3]通过实验证明基于几何代数的后方交会算法不依赖于初值,但是计算精度较低;黄旭等^[4]利用单应性模型的约束条件,在多个控制点共面时可将共线方程转换为线性方程求解,无需初值就可以获得相机外参数的直接解;龚辉等^[5]采用绝对定向与正交投影2种变换代替共线方程,利用非线性方程的直接迭代实现单像空间后方交会求解;贲进等^[6]基于Pope-Hinsken算法,采用四元数构造旋转矩阵,计算结果一定程度上依赖于初值;江刚武等^[7]直接迭代求解旋转矩阵,王勇等^[8]采用四元数描述像片位置和姿态,这2种方法均避免了旋转矩阵与欧拉角相互转换引起的误差;江刚武等^[9]提出了一种基于四元数的不依赖于初值的空间后方交会算法,实验结果表明该算法对外参数初值无特殊要求;徐振亮等^[10]采用加权直接线性方法估计物像间的投影矩阵,经过转换计算后得到摄影测量中的外参数,计算过程较为复杂;吕继兵等^[11-12]利用四元数推导了空间三维坐标转换方法,该方法无需线性化,计算过程较简单;洪洋等^[13]提出了基于矩形几何特性的位姿分步估计方法;李鑫等^[14]利用直线段之间的距离,通过求解三元三次方程组获得旋转矩阵的全局最优解;宋佳慧等^[15]通过合作靶球与测量仪器靶球之间的相互替换,实现视觉坐标系和外部标准坐标系下公共点的直接获取,进而实现视觉传感器的外参标定。

本文通过研究提出了一种新的后方交会算法,此算法是利用3个控制点建立临时坐标系,根据这些控制点在临时坐标系下的部分坐标分量为0的特点,将后方交会求解转换为三元二次方程组的求解,3个控制点的图像坐标数据可为方程组的迭代求解提供初始值。

2 算法模型

2.1 共线条件方程

图1给出了三点后方交会原理示意图,M、N、L为空间任意3个控制点,m、n、l为其对应的像点,其中O_C-X_CY_CZ_C为相机坐标系,O_W-X_WY_WZ_W为世界坐标系。空间某控制点在2个坐标系中三维坐标的转换关系为

\begin{matrix} (\begin{matrix} X_{C} \\ Y_{C} \\ Z_{C} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & t_{x} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & t_{y} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & t_{z} \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{W} \\ Y_{W} \\ Z_{W} \\ 1 \end{matrix}), (1) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} (\begin{matrix} t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix}) \end{matrix}$ 为平移向量; $\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}) \end{matrix}$ 为旋转矩阵。通过(1)式即可求解出旋转矩阵参数。

图 1. 三点后方交会原理示意图

Fig. 1. Schematic of three-point resection principle

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用(x,y)表示空间某控制点经过畸变纠正后的图像坐标,f为相机焦距,用(x',y')= $\begin{matrix} (\frac{x}{f}, \frac{y}{f}) \end{matrix}$ 表示像点的归一化图像坐标,(X_C,Y_C,Z_C)为相机坐标。依据共线条件可知

\begin{matrix} λ (\begin{matrix} x \\ y \\ f \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} X_{C} \\ Y_{C} \\ Z_{C} \end{matrix}), (2) \end{matrix}

式中:λ为齐次因子。将(1)式代入(2)式中,可得:

\begin{matrix} λ (\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & t_{x} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & t_{y} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & t_{z} \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{W} \\ Y_{W} \\ Z_{W} \\ 1 \end{matrix}) 。 (3) \end{matrix}

2.2 求解算法

在控制点中任取3个不共线的控制点(M、N、L),以M点为原点, $\begin{matrix} \overset{- - - ➝}{MN} \end{matrix}$ 向量为X轴,上述3点形成空间平面的法向量为Z轴,按照右手规则建立临时坐标系O-XYZ,如图1虚线部分所示,则该坐标系与世界坐标系间的转换参数可以依据3个控制点的三维坐标计算出来,计算过程此处不再赘述。

若以坐标系O-XYZ为世界坐标系,(3)式仍然成立,在坐标系O-XYZ中,M、N、L 3点的三维坐标为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} M = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ N = (\begin{matrix} X_{N} & 0 & 0 \end{matrix}) \\ L = (\begin{matrix} X_{L} & Y_{L} & 0 \end{matrix}) \end{matrix}, (4) \end{matrix}

式中:X_N、X_L为N点、L点在O-XYZ坐标系中的X轴坐标;Y_L为L点在O-XYZ坐标系中的Y轴坐标。在坐标系O-XYZ下,M、N、L点的Z轴坐标均为0,消去齐次因子后,(3)式可表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} (\begin{matrix} - X & 0 & x' \cdot X & - Y & 0 & x' \cdot Y & - 1 & 0 & x' \\ 0 & - X & y' \cdot X & 0 & - Y & y' \cdot Y & 0 & - 1 & y' \end{matrix}) \cdot \\ {(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix})}^{T} = 0 \end{matrix} 。 (5) \end{matrix}

将像点m的归一化图像坐标(x'_m,y'_m,1)以及空间点M在O-XYZ坐标系下的三维坐标(0,0,0)代入(5)式可得:

\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 & 0 & x'_{m} \\ 0 & - 1 & y'_{m} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \\ t_{z} \end{matrix}) = 0 。 (6) \end{matrix}

将像点n的归一化图像坐标(x'_n,y'_n,1)以及空间点N在O-XYZ坐标系下的三维坐标(X_N,0,0)代入(5)式可得:

\begin{matrix} \begin{matrix} (\begin{matrix} - X_{N} & 0 & x'_{n} \cdot X_{N} & - Y_{N} & 0 & x'_{n} \cdot Y_{N} & - 1 & 0 & x'_{n} \\ 0 & - X_{N} & y'_{n} \cdot X_{N} & 0 & - Y_{N} & y'_{n} \cdot Y_{N} & 0 & - 1 & y'_{n} \end{matrix}) \cdot \\ {(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix})}^{T} = 0 \end{matrix} 。 (7) \end{matrix}

将(6)式和(7)式合并可得

\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k_{1} & e_{1} \\ k_{2} & e_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{3} \\ t_{z} \end{matrix}), (8) \end{matrix}

式中:k₁=x'_n;e₁= $\begin{matrix} \frac{x'_{n} - x'_{m}}{X_{N}} \end{matrix}$ ;k₂=y'_n;e₂= $\begin{matrix} \frac{y'_{n} - y'_{m}}{X_{N}} \end{matrix}$ 。

将像点l的归一化图像坐标(x'_l,y'_l,1)以及空间点L在坐标系O-XYZ下的三维坐标(X_L,Y_L,0)代入式(5)可得

\begin{matrix} \begin{matrix} (\begin{matrix} - X_{L} & 0 & x'_{l} \cdot X_{L} & - Y_{L} & 0 & x'_{l} \cdot Y_{L} & - 1 & 0 & x'_{l} \\ 0 & - X_{L} & y'_{l} \cdot X_{L} & 0 & - Y_{L} & y'_{l} \cdot Y_{L} & 0 & - 1 & y'_{l} \end{matrix}) \cdot \\ {(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix})}^{T} = 0 \end{matrix} 。 (9) \end{matrix}

将(8)式和(9)式合并可得

\begin{matrix} (\begin{matrix} t_{z} \\ a_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \\ r_{1} & r_{2} & r_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}), (10) \end{matrix}

式中:q₁= $\begin{matrix} \frac{k_{12} \cdot k_{21}}{k_{11} \cdot k_{25} - k_{15} \cdot k_{21}} \end{matrix}$ ;q₂= $\begin{matrix} \frac{- k_{11} \cdot k_{23}}{k_{11} \cdot k_{25} - k_{15} \cdot k_{21}} \end{matrix}$ ;q₃= $\begin{matrix} \frac{k_{14} \cdot k_{21} - k_{11} \cdot k_{24}}{k_{11} \cdot k_{25} - k_{15} \cdot k_{21}} \end{matrix}$ ;r₁= $\begin{matrix} \frac{k_{12} \cdot k_{25}}{k_{15} \cdot k_{21} - k_{11} \cdot k_{25}} \end{matrix}$ ;r₂= $\begin{matrix} \frac{- k_{15} \cdot k_{23}}{k_{15} \cdot k_{21} - k_{11} \cdot k_{25}} \end{matrix}$ ;r₃= $\begin{matrix} \frac{k_{14} \cdot k_{25} - k_{24} \cdot k_{15}}{k_{15} \cdot k_{21} - k_{11} \cdot k_{25}} \end{matrix}$ ;k₁₁=(x'_l-x'_n)·X_L;k₂₁=(y'_l-y'_n)·X_L;k₁₅=x'_l-x'_n-e₁·X_L;k₂₅=y'_l-y'_n-e₂·X_L;k₁₂=-Y_L;k₂₃=-Y_L;k₁₄=x'_l·Y_L;k₂₄=y_l·Y_L。

将(10)式代入(8)式,并联立(10)式可得

\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}), (11) \end{matrix}

式中:r₁₁=k₁·r₁+e₁·q₁;r₁₂=k₁·r₂+e₁·q₂;r₁₃=k₁·r₃+e₁·q₃;r₂₁=k₂·r₁+e₂·q₁;r₂₂=k₂·r₂+e₂·q₂;r₂₃=k₂·r₃+e₂·q₃;r₃₁=r₁;r₃₂=r₂;r₃₃=r₃。

旋转矩阵为单位正交矩阵,则有:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = 1 \\ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} = 1 \\ a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3} = 0 \end{matrix} 。 (12) \end{matrix}

将(11)式代入(12)式,得到一个关于旋转矩阵元素b₁、b₂、b₃的三元二次方程组,即

\begin{matrix} \{\begin{matrix} b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} - 1 = 0 \\ u_{1} \cdot b_{1}^{2} + u_{2} \cdot b_{2}^{2} + u_{3} \cdot b_{3}^{2} + 2 \cdot u_{4} \cdot b_{1} \cdot b_{2} + 2 \cdot u_{5} \cdot b_{2} \cdot b_{3} + 2 \cdot u_{6} \cdot b_{1} \cdot b_{3} - 1 = 0 \\ r_{11} \cdot b_{1}^{2} + r_{22} \cdot b_{2}^{2} + r_{33} \cdot b_{3}^{2} + v_{1} \cdot b_{1} \cdot b_{2} + v_{2} \cdot b_{2} \cdot b_{3} + v_{3} \cdot b_{1} \cdot b_{3} = 0 \end{matrix}, (13) \end{matrix}

式中:u₁= $\begin{matrix} r_{11}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} r_{21}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} r_{31}^{2} \end{matrix}$ ;u₂= $\begin{matrix} r_{12}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} r_{22}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} r_{32}^{2} \end{matrix}$ ;u₃= $\begin{matrix} r_{13}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} r_{23}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} r_{33}^{2} \end{matrix}$ ;u₄=r₁₁·r₁₂+r₂₁·r₂₂+r₃₁·r₃₂;u₅=r₁₃·r₁₂+r₂₃·r₂₂+r₃₃·r₃₂;u₆=r₁₁·r₁₃+r₂₁·r₂₃+r₃₁·r₃₃;v₁=r₁₂+r₂₁;v₂=r₂₃+r₃₂;v₃=r₁₃+r₃₁。

向量 $\begin{matrix} {(\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix})}^{T} \end{matrix}$ 实际为O-XYZ坐标系在相机坐标系下的Y轴向量,如果在图像平面上,求mn的垂线向量 $\begin{matrix} \overset{- - ➝}{ml} \end{matrix}$ ',则该垂线向量与Y轴方向基本一致,可以直接采用垂线向量作为向量 $\begin{matrix} {(\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix})}^{T} \end{matrix}$ 的初始值,采用牛顿迭代法求解该三元二次方程组得到b₁、b₂、b₃。将求解出的b₁、b₂、b₃依次代入 (11)、(10)、(8)、(6)式,求解其他外参数。

三元二次方程组的求解一般会出现多解的情况,可依据垂线向量 $\begin{matrix} \overset{- - ➝}{ml} \end{matrix}$ '的分量符号进行错误解剔除。如果剔除后还存在多解,则需要选择另外3个点(更换M、N、L 3个点中的任意1个即可)按照上述过程求解出另一组解,对该组解先按照上述方法进行错误解剔除,若剔除后仍存在多解,则在两组解中寻找最接近平移量的解作为最终解。

上述求解是以O-XYZ为世界坐标系求解出的外参数,依据坐标系O-XYZ与坐标系O_W-X_WY_WZ_W之间的固有关系,则可将该参数转换至实际的世界坐标系中,转换过程此处不再详述^[1,4]。

3 结果与分析

为验证本文算法的有效性,在实验空间中布设了由数百个控制点组成的控制场,采用某商用工业摄影测量系统对控制场拍摄120幅图像,并用系统软件测量出控制点的三维坐标,该商用系统软件测量完毕会输出每幅图像的外参数。如表1所示,选取若干幅图像以及这些图像中的一些特征点,标明每一幅图像经过商用系统软件计算得到的外参数。

表 3. 使用本文算法和DLT算法计算得到的相机外参数

Table 3. Results calculated by proposed algorithm and DLT algorithm

Picture	Point	Proposed algorithm		DLT algorithm
Picture	Point	Rotation angle /(°)	External parameter /mm	Rotation angle /(°)	External parameter /mm
2	T218T180T50T218T180T110	R_X=176.6150R_Y=59.0650R_Z=20.5861R_X=176.6230R_Y=59.0665R_Z=20.5862	X_S=473.081Y_S=867.981Z_S=-3703.194X_S=473.104Y_S=867.351Z_S=-3703.412	R_X=176.6167R_Y=59.0670R_Z=20.5865R_X=176.6177R_Y=59.0681R_Z=20.5833	X_S=473.107Y_S=867.631Z_S=-3703.357X_S=473.115Y_S=867.634Z_S=-3703.323

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表 4. 在3个控制点中同时建立坐标系的计算结果

Table 4. Calculation results in three coordinate systems

No.	Point	External parameter (X_S,Y_S,Z_S) /mm
1	T71,T18,T148	(1802.0109,-355.9513,-3144.2852)
2	T18,T148,T71	(1802.0122,-355.9536,-3144.2883)
3	T71,T18,T148	(1802.0098,-355.9502,-3144.2821)

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如表1中picture 1数据所示,在选取的5个点中任选3个点作为后方交会的控制点,选取3个点的分布形状接近正三角形、锐角三角形和钝角三角形,如图2所示。

表 2. 使用本文方法和角锥体法计算得到的相机外参数

Table 2. Results calculated by proposed algorithm and pyramid algorithm

Picture	Point	Proposed algorithm		Pyramid algorithm
Picture	Point	Rotation angle /(°)	External parameter /mm	Rotation angle /(°)	External parameter /mm
1	T104T22T108T104T92T108T104T59T22	R_X=-3.2706R_Y=148.9007R_Z= 174.8491R_X=-3.2710R_Y=148.9011R_Z= 174.8501R_X=-3.2715R_Y=148.9013R_Z= 174.8533	X_S=595.371Y_S=853.956Z_S=-4015.724X_S=595.300Y_S=853.984Z_S=-4015.756X_S=595.319Y_S=853.965Z_S=-4015.634	R_X=-3.2711R_Y=149.1014R_Z=175.8730R_X=-3.2723R_Y=148.9037R_Z= 174.8634R_X=-3.2731R_Y=148.9041R_Z= 174.8442	X_S=595.388Y_S=853.973Z_S=-4015.731X_S=595.382Y_S=853.967Z_S=-4015.774X_S=595.371Y_S=853.984Z_S=-4015.752

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表 1. 三维坐标与二维图像点坐标及相机外参数

Table 1. Three-dimensional coordinates, point coordinates of 2D image, and the external parameters of camera

Picture	Point	(X,Y,Z) /mm	(x,y) /mm	Rotation angle /(°)	External parameter /mm
1	T104	(1670.895,-409.056,-3430.976)	(-3.0933,6.7968)	R_X=3.2707	X_S=595.3770
	T92	(1476.960,-429.497,-3472.916)	(-3.0017,5.5785)
	T108	(1531.414,-1572.302,-3129.078)	(4.2927,6.1865)	R_Y=148.9017	Y_S=853.9520
	T59	(905.211,-687.339,-3540.126)	(-1.4984,2.0549)	R_Z=174.8506	Z_S=-4015.7280
	T22	(318.084,-562.148,-3722.013)	(-2.3782.-1.5668)
2	T218	(1029.608,859.527,-3956.419)	(6.1794,5.1611)	R_X=176.6173	X_S=473.1250
	T180	(1628.232,541.346,-3717.694)	(10.3908,3.4198)	R_Y=59.0670	Y_S=867.6090
	T50	(877.690,-114.723,-3711.865)	(5.6319,-0.7990)
	T110	(1848.411,-7.630,-3502.972)	(12.4942,-0.1053)	R_Z=20.5861	Z_S=-3703.3520
3	T71	(1339.4444,19.6515,-3229.0245)	(10.1810,0.1491)	R_X=37.5930	X_S=1802.0107
	T18	(-106.9948,1151.5441,-3118.2956)	(-0.8424,9.0631)	R_Y=2.0048	Y_S=-355.9519
	T148	(60.8357,-1337.2001,-3811.6095)	(0.3919,-8.6104)	R_Z=-38.0667	Z_S=-3144.2854

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图 2. Picture 1中任意3点分布情况示意图

Fig. 2. Distribution of the control field points in picture 1

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分别使用本文方法和角锥体法计算外参数,计算结果如表2所示。

根据表1中picture 2数据,选取的4个控制点近似在1个平面内,以点T218,T180为原点和x轴正方向,分别以点T50、点T110为y轴正方向,利用本文算法和DLT法计算外参数,计算结果如表3所示。

根据表1中的picture 3数据,首先按点T71、T18、T148的顺序,定义T71点为坐标系原点,T18为x轴正方向;然后按照T18、T148、T71的顺序,定义T18点为坐标系原点,T148为x轴正方向;再按照T71、T18、T148的顺序,定义T71为坐标系原点,T18为x轴正方向,计算这3个坐标系下的线元素,计算结果如表4所示。

在三元二次方程组的求解过程中,可以利用垂线向量 $\begin{matrix} \overset{- - ➝}{ml} \end{matrix}$ '的分量符号进行错误解的剔除。以T71、T18、T148 3个点建立的坐标系为例,向量 $\begin{matrix} \overset{- - ➝}{ml} \end{matrix}$ '(-0.4491,0.3632)的分量符号为负,不同初值状态下的方程组求解计算结果如表5所示,其中第1行为任意初值计算得到的结果,第2行的初值符号与 $\begin{matrix} \overset{- - ➝}{ml} \end{matrix}$ '一致,第3行为 $\begin{matrix} \overset{- - ➝}{ml} \end{matrix}$ '作为初值求解。

由上述实验及对比分析可知,本文方法求解的参数正确,适用于任意大小旋转角的相机外参数求解。

4 结论

提出一种新的后方交会求解算法,通过建立

临时坐标系,根据3个控制点在临时坐标系下的部分坐标分量为0的特点,将后方交会求解转换为三元二次方程组的求解,以3个控制点图像的坐标数据为三元二次方程组的求解提供初始值。针对三元二次方程组多解的情况,依据3个控制点的图像坐标数据进行错误解判断,同时采用两组数据分别求解,通过两组多解求出最接近的正确解,进行最终正确解的判断。计算结果表明,提出的后方交会算法迭代收敛性好,求解的参数准确性高。本文算法输出的外参数可作为后方交会整体平差的迭代初值。

表 5. 三元二次方程组求解结果

Table 5. Results of solving the quadratic equations

No.	Initial value	Result
1	(1,0,0)	(0.6117,0.7334,-0.2966)
2	(-0.577,-0.577,0.577)	(-0.6117,-0.7334,0.2966)
3	(-0.6,-0.7,0.38)	(-0.6117,-0.7334,0.2966)

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参考文献

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单像空间后方交会算法的研究下载： 1047次

1 引言

2 算法模型

2.1 共线条件方程

图 1. 三点后方交会原理示意图

Fig. 1. Schematic of three-point resection principle

2.2 求解算法

3 结果与分析

表 3. 使用本文算法和DLT算法计算得到的相机外参数

Table 3. Results calculated by proposed algorithm and DLT algorithm

表 4. 在3个控制点中同时建立坐标系的计算结果

Table 4. Calculation results in three coordinate systems

表 2. 使用本文方法和角锥体法计算得到的相机外参数

Table 2. Results calculated by proposed algorithm and pyramid algorithm

表 1. 三维坐标与二维图像点坐标及相机外参数

Table 1. Three-dimensional coordinates, point coordinates of 2D image, and the external parameters of camera

图 2. Picture 1中任意3点分布情况示意图

Fig. 2. Distribution of the control field points in picture 1

4 结论

表 5. 三元二次方程组求解结果

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2 算法模型

2.1 共线条件方程

图 1. 三点后方交会原理示意图

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2.2 求解算法

3 结果与分析

表 3. 使用本文算法和DLT算法计算得到的相机外参数

Table 3. Results calculated by proposed algorithm and DLT algorithm

表 4. 在3个控制点中同时建立坐标系的计算结果

Table 4. Calculation results in three coordinate systems

表 2. 使用本文方法和角锥体法计算得到的相机外参数

Table 2. Results calculated by proposed algorithm and pyramid algorithm

表 1. 三维坐标与二维图像点坐标及相机外参数

Table 1. Three-dimensional coordinates, point coordinates of 2D image, and the external parameters of camera

图 2. Picture 1中任意3点分布情况示意图

Fig. 2. Distribution of the control field points in picture 1

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