1 引言

随着传感器技术的不断发展,应用在监测机器设备、轨道沉降、海洋管道等领域的传感器备受学术界和工业界的关注^[1-3]。传统的电磁传感器体积庞大、易受电磁干扰的影响,且在液体或者潮湿环境中应用时存在安全隐患。光纤布拉格光栅(FBG)传感器因其体积小、抗干扰能力强以及安全性高等优点,被广泛应用于恶劣环境下的系统监测^[4-6]。FBG传感器在外界非均匀应力的作用下,其反射光谱产生啁啾效应,降低了仅靠采集光谱中心波长的变化来实时监测受力大小的准确性。因此,为了精确地分析光栅栅区的受力状况,需要分析完整的FBG光谱。但是,得到完整的FBG光谱所要采集的数据量较大,并且实际应用的FBG传感网需部署大量的传感器^[7-9]。因此,FBG传感网中庞大的数据量严重阻碍了传感网的实时性需求,带来了海量数据存储的新挑战。目前,以奈奎斯特采样为基础的信号压缩与重构可减小存储空间的消耗。但是,奈奎斯特采样定理规定采样率不得低于信号最高频率的2倍,导致硬件系统面临高速率采集的难题,从而大大增加了信号存储和传输的难度。因此,在目前采样频率有限的情况下,如何高效、快速地对信号进行压缩与重构成为了一个研究热点。

压缩感知理论突破了奈奎斯特定理的限制,大大降低了对采样速率的要求,在采样的同时可实现信号压缩,且只需对信号进行少量的采样便能精确地重构出原始信号^[10-11],目前该理论已广泛应用于信号的压缩与重构^[12-13]。针对光栅光谱采集所需数据量较大的弊端,文献[ 13]将压缩感知理论运用于FBG光谱的压缩与重构,有效降低了数据采集量。但采用l₁范数最小化求解较长光谱信号的重构导致算法复杂度较高,并且FBG光谱3 dB带宽范围内的重构误差较大,出现很多假峰。由于压缩感知不适用于大规模信号的实时采样,一些研究将输入的信号进行分块,然后分别对每块信号进行观测和重构操作。这种做法虽然能降低算法的时间复杂度,但块效应的存在导致重构误差增大^[14-15]。在FBG传感监测系统中,需要处理大量的FBG光谱信号,而FBG光谱的有效信息主要位于3 dB带宽内^[16]。因此,将压缩感知理论运用于FBG光谱信号压缩和重构时,根据FBG光谱不同区域含有信息量的不同,很有必要对光谱进行分割。在分块压缩感知算法中^[17],采样率和稀疏阈值的确定通常具有较强的主观性。对每个信息块采用相同采样率进行压缩和重构时,低采样率难以确保每个信息块都具有较高的重构质量,而高采样率会造成存储空间的浪费和较大传输时延。文献[ 18]提出了一种自适应采样稀疏拟合算法,在采样率较低的情况下,仍能达到较高的峰值信噪比(SNR),但该算法在选取最优采样率时将各图像块的初始采样率设为相同值,并且以1%的步长逐渐增加采样率,导致算法复杂度急剧上升。

信号重构是压缩感知理论的核心步骤之一,直接影响信号的重构质量。以正交匹配追踪(OMP)算法为代表的贪婪迭代算法的结构简单,得到广泛的运用。OMP算法重构精度高,但算法的重构时间长,并且OMP算法的迭代次数严重依赖于信号的稀疏度K值。如果迭代次数适当,就能较好地重构出高精度的信号,反之,重构误差将大大增加。

针对上述问题,本文提出了一种分段自适应采样压缩感知与改进的正交匹配追踪(SASCS-IOMP)算法。设计自适应分割机制对FBG光谱进行分割,以降低算法的复杂度;对信号进行压缩时,根据分割区域信息量的大小分别设置不同的SNR阈值,降低了总观测值和总压缩比,减小了存储空间的消耗,提高了FBG光谱3 dB带宽区域的重构精度。为了缩短自适应采样算法的运行时间,将比例-积分-微分(PID)控制的思想用于控制采样率的增加。在重构阶段,提出了IOMP算法,在保证重构精度的前提下,进一步缩短了重构算法的运行时间。

2 基于SASCS-IOMP算法的压缩与重构

2.1 FBG光谱自适应分割

为得到FBG反射光谱,需要采集较大的数据量,压缩感知不适用于大规模信号的实时采样。在实际制作工艺及环境的限制下,FBG反射光谱不是严格标准的高斯型光谱,而是非对称高斯型光谱。因而在对FBG光谱信号进行压缩前,对其进行自适应分割显得尤为重要。

由于Hilbert变换能有效降低低频信号的噪声,且变换信号具有奇函数的特征^[19],因此利用经Hilbert变换后的信号过零点位置确定FBG光谱的谱峰,以此来初步定位出原始信号的峰值位置为λ₀,λ₁,…,λ_n。设x(t)为FBG光谱的时域信号,其Hilbert变换为

x^(t)=H[x(t)]=π-1∫-∞∞xτ(t-τ)-1dτ,(1)

式中H[·]代表Hilbert变换。在图像处理中,通常用Gabor滤波法检测灰度图像的边缘信息,即亮度变化曲线上最陡峭的点^[20]。因此,将一维Gabor滤波函数中的奇分量用于FBG多峰光谱信号,使变换后的信号过零点位置与FBG各谱峰上升边带变化量最大的位置相对应。据此,可提取出FBG光谱上边带斜率最大的频率点,并将其作为上边带分割点。一维Gabor奇分量滤波函数形式为

s(x)=exp[-2-1(x/δ)2]sin(wxx),(2)

式中δ为滤波延伸宽度参量,w_x为滤波包络的频率。s(x)的最大值在x=nπ/w_x(n∈Z)处。Gabor奇滤波器可作为理想的边缘检测器,根据多峰信号特征确定(2)式参数。为了保证Gabor奇滤波器的检测精度,其带宽限定在[-π/w_x,π/w_x],且高斯函数在空间域上的有效带宽为2πδ,则满足

2π/wx=2πδ。(3)

考虑到FBG光谱的主要信息集中于3 dB带宽内,Gabor滤波器的参数选为δ=3,w_x=1/3。对理想FBG光谱信号f(x)进行Gabor滤波处理后的信号为

f1(x)=f(x)*s(x)。(4)

根据(4)式可得信号f₁(x)的过零点位置,即FBG光谱上边带斜率最大的频率点λ_l1,λ_l2,…,λ_ln。为了实现光谱峰值区域的自适应分割,根据Gabor滤波与Hilbert变换获得的上边带分割点和峰值定位点,确定下边带分割点,即

λri=λi+(λi-λli),i=0,1,…,n。(5)

2.2 基于IOMP算法的FBG光谱信号重构

任意有限长度为N的一维离散可压缩的FBG光谱信号x(x∈R^N×1)可在某个正交基下稀疏表示^[13]为

x=Ψθ,(6)

式中Ψ(Ψ∈R^N×N)为正交基,θ(θ∈R^N×1)为稀疏变换向量。

对信号x进行稀疏表示后,再对x进行M次线性测量,其中M≪N,则线性测量结果y(y∈R^M×1)可以用稀疏矩阵Ψ表示为

y=Φx=ΦΨθ=Aθ,(7)

式中Φ为M×N的观测矩阵,A=ΦΨ为测量矩阵。由于M≪N,则信号重构问题为欠定方程组求解的问题。若A满足限制等距(RIP)条件,则可从理论上保证从M个观测值中精确重构出信号。由于信号x稀疏,可以通过求解

min‖x‖0, s.t. Φx=y(8)

得到稀疏解,其中‖x‖₀表示x的l₀范数,即x中非零元素的个数。在RIP条件下,可将(8)式中l₀范数的最小化问题松弛为l₁范数的最小化问题,即采用基础追踪算法重构出原始信号^[13],但该算法复杂度很高。随后,快速的迭代贪婪算法被广泛应用于信号重构。OMP算法采用相关性原则和迭代残余量来寻找最佳匹配原子,然后对找到的原子进行Gram-Schmidt正交化处理,再将处理后的信号投影到正交原子构成的空间中,得出该空间中的分量和残余分量^[21]。但OMP算法需要先确定K值。若K值估计不准确,则会降低信号重构精度。因此,提出了IOMP算法,基于OMP重构中残差的变化特性,采用自适应残差收敛策略,将相邻迭代残差之差的范数是否小于收敛门限作为循环终止条件,输入为A,测量向量为y,阈值为T,输出为 x~,其算法步骤如下:

1) 初始化。估计信号 x~=0,残差r₀=y,初始支撑集J₀=0,残差收敛门限为ε₁,ε₂。如果T=T₂(T₂为非谱峰区域SNR阈值),则ε=ε₁;否则ε=ε₂。

2) 根据λ_j=argmax <αi,rj-1>(i=1,2,…,N)找出残差r和测量矩阵中列α_i积中最大值对应的脚标λ。

3) 更新支撑集J_j=J_j-1∪{λ_j}并且记录目标原子集合A_Jj=A_Jj∪{α_λj}。

4) 用最小二乘法得到系数估计为 x~Jj=AJj+y=[( ATjA_j)^-1ATj]y。

5) 更新残差λ_j=y-A_Jjx~Jj。

6) 判断残差误差是否满足‖λ_j-λ_j-1‖≤ε。若满足,则算法结束,否则转至步骤2),继续迭代重新筛选原子。

2.3 基于光谱段信息量的自适应分区采样

将FBG光谱自适应分割后,不同光谱区域包含的信息量不同。理想的采样方法是信息量少的区域少采样,如非谱峰区域;而信息量多的区域多采样,如谱峰区域。这样可在总采样数目不变的情况下,将有限的资源极大地分配给含信息量高的谱峰区域。基于此,提出一种基于不同区域信息的自适应观测方法,在总采样率相同的情况下,给含信息多的区域分配更多的采样点数。

为了保证算法的有效性,在抽样阶段引入自适应步长策略。根据PID控制思想设计步长t为

t=floor[P(T-RSNR,j)+D×(RSNR,j-1-RSNR,j)],(9)

式中R_SNR,j为第j次采样的SNR值;P和D分别为PID算法中的比例系数和微分系数,不同的阈值取不同的P和D。通过对PID控制器参数的整定^[22],实现对步长参数的精确控制。自适应采样算法的输入为FBG光谱信号,谱峰区域SNR阈值设为T₁,输出为每段FBG光谱重构的信号和均方根误差(RMSE)值,具体算法步骤如下:

1) 将输入的FBG光谱信号分割成3部分,从左至右依次将区域编号设为i=1,2,3。谱峰区域为i=2。

2) 将分割好的FBG光谱的3个区域分别用离散余弦变换基进行稀疏表示为θ₁,θ₂和θ₃。

3) 判断i是否等于2。若i=2,将采样率的初始值设为55%,T设为T₁;否则,将采样率的初始值设为17.8%,T设为T₂。

4) 在该采样率下,采用IOMP算法进行重构,计算出当前SNR值。

5) 将计算出的SNR值与T进行比较。若SNR小于T,则采样率以t为步长增加,根据(9)式计算t,执行步骤4);否则输出采样率,计算SNR和RMSE,算法结束。

3 仿真验证

3.1 仿真系统及数据的采集

针对光谱仪采集数据量较大的弊端,将压缩感知算法用于FBG光谱的压缩与重构。仿真系统结构如图1所示,主要由宽带光源(BBS)、耦合器、FBG、温控箱和光纤传感分析仪(OSA,Si720)组成。其中BBS的波长覆盖范围为500~2400 nm;OSA的扫描范围为1510~1590 nm,波长分辨率为0.25 pm。室温下,3个FBG(FBG₁,FBG₂,FBG₃)的中心波长分别为1532,1538,1544 nm。

图 1. 仿真系统

Fig. 1. Simulation system

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仿真中,传感阵列由3个不同中心波长的FBG传感器串联组成。BBS发出的光经过耦合器到达传感阵列,通过OSA检测到FBG传感阵列的反射光。通过改变温控箱温度,可使FBG光谱中心波长发生漂移,利用计算机导出数据。

3.2 仿真参数设置

采集的FBG₁传感信号长度N=2000,压缩率M/N的变化范围为0.4~0.9(步长为0.02),每次取值运行500次。信号SNR和RMSE的关系曲线如图2所示。随着SNR的增加,RMSE逐渐减小,但当SNR达到85 dB以上时,RMSE几乎保持稳定。而在仿真中发现,当SNR达到50 dB以上时,重构信号基本能与原始信号保持一致,因此设T₁=50,T₂=85。

图 2. 重构信号的SNR与RMSE之间的关系

Fig. 2. Relationship between SNR and RMSE of reconstructed signal

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3.3 仿真验证和数据分析

为了验证所提算法的性能,采用Matlab仿真平台对所提算法进行了仿真验证。对比算法为OMP算法、分段OMP(Stagewise OMP, StOMP)、广义二次OMP(GTOMP)^[23]、OMP重构结合所提的自适应分段机制(SCS-OMP)和IOMP重构结合自适应分割机制而无自适应采样(SCS-IOMP)算法。选用RMSE和运行时间对重构信号进行评价, RMSE越小、时间越短,则重构效果越好。

3.3.1 单峰光谱压缩与重构

仿真数据为: FBG₁传感信号的中心波长为1532.285 nm,N=2000。对比算法的参数选取:StOMP、GTOMP和OMP算法压缩比M/N的变化范围为0.2~0.6,仿真中步长设为0.05,OMP算法采用文献[ 21]中设定的K=160。长度为N的单峰FBG光谱被分为3个区间,长度分别为N₁、N₂和N₃,其中N₂为谱峰区域的长度,N₁和N₃为非谱峰区域的长度。采用分段的SCS-OMP和SCS-IOMP算法中谱峰区域压缩比M₂/N₂的变化范围为0.5~0.9。为了保证总的压缩比为0.2~0.6,将非谱峰区域的观测值分别设置为:M₁=N₁/(N₁+N₃)(M-M₂),M₃=N₃/(N₁+N₃)(M-M₂)。

由图3可知,所提 SASCS-IOMP算法在压缩比较小情况下,峰值区域重构出的信号的RMSE较小,其原因是采用自适应采样算法时,所设置的峰值区域的SNR阈值较大,使得峰值区域的重构RMSE值较小。而所设置的非峰值区域的SNR阈值较小,因此非峰值区域的观测值相对较小,降低了总体的压缩比。随着压缩比的增大,对比算法重构的RMSE值呈下降趋势,但当重构RMSE值低于0.01时,所需的压缩比大于0.6,而所提算法的压缩比远小于0.6。当由自适应算法求出的压缩比与对比算法给定的压缩比相当时,所提算法的重构RMSE值远小于对比算法。观察图4可知,随着压缩比的增大,运行时间上升。在对比算法中,OMP算法比SCS-OMP算法的运行时间长,原因是SCS-OMP算法采用了分段重构,大大降低了算法复杂度。对于SCS-OMP和SCS-IOMP算法,SCS-IOMP算法的重构时间短,原因是SCS-IOMP算法中增大了非峰谱区域的重构残差阈值,在不影响重构精度的情况下,大大缩短了算法的运行时间。但在压缩比较小时,所提算法的运行时间与SCS-OMP、SCS-IOMP、StOMP和GTOMP算法相比有所增加,其原因是提出的自适应采样算法在寻找合适的M值时,耗时较长。综上所述,所提SASCS-IOMP算法达到了降低压缩比、节省存储空间、提高重构信号精度的目的。

图 3. 压缩比与峰值区域的重构RMSE关系图

Fig. 3. Reconstruction RMSE in peak region versus M/N

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图 4. 压缩比与运行时间的关系图

Fig. 4. Relationship curves between M/N and elapsed time

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由图3和图4可知,随着压缩比的增加,重构RMSE呈下降趋势,而运行时间呈上升趋势,因此压缩比的选择需要折中考虑重构RMSE和运行时间。对比算法选择RMSE开始平稳变化且运行时间最小的点作为压缩比,即M/N=0.4。图5为对比算法采取最佳压缩比重构的FBG光谱信号与所提算法所得结果的对比图。从图5(a)中可以看出,各重构信号与原始信号基本保持一致,但从谱峰区域的放大图[图5(b)]中看出,所提SASCS-IOMP算法重构的信号最接近于原始信号。

图 5. (a)不同算法的重构信号;(b)峰值区间放大图

Fig. 5. (a) Reconstructed signals obtained by different algorithms; (b) enlarged view of peak interval

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3.3.2 多峰光谱压缩与重构

在多峰重构仿真中,FBG₁、FBG₂和FBG₃光谱信号的中心波长分别为1532.285,1537.983,1543.975 nm,N=6913。对比算法的参数选取为:StOMP、GTOMP和OMP算法的压缩比M/N的变化范围为2000/6913~5000/6913,仿真中步长设为500/6913。OMP算法采用文献[ 21]中设定的K(K的变化范围为160~400),仿真中步长设为40。SCS-OMP和SCS-IOMP算法的总压缩比的变化范围为2000/6913~5000/6913,峰值区间的压缩比的变化范围为0.5~0.8,非峰值区间的压缩比按照单峰中非峰值区间取值的思想,这里不再赘述。

由图6可见,在总压缩比较小的情况下,所提算法每个峰值区域重构出信号的RMSE均小于0.007,原因在于:在多峰重构中,所设置的每段峰值区域的SNR阈值较大,而非峰值区域的重构阈值较小,即所提算法有效降低了非峰值区间的观测值;随着压缩比的增大,对比算法的每个峰值区域的重构RMSE值呈下降趋势,但当压缩比大于0.7时,无法

图 6. (a) FBG1、(b) FBG2和(c) FBG3的峰值区间重构的RMSE对比图

Fig. 6. RMSE comparison of (a) FBG1, (b) FBG2 and (c) FBG3 in peak interval

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图 7. 压缩比与运行时间的关系图

Fig. 7. Relationship between M/N and elapsed time

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保证每个峰值的重构RMSE值低于0.01;而所提算法的压缩比远小于0.7时,每个峰值区域重构RMSE值均低于0.007。观察图7可知,随着压缩比的增大,运行时间呈上升趋势。当压缩比小于0.38时,对比算法在时间上比所提算法略有优势,但是图6中对应的RMSE值远大于所提算法,最终验证了SASCS-IOMP算法对多个FBG光谱的重构也同样适用,且重构精度好。

图 8. (a)不同算法的重构信号对比;(b) FBG1、(c) FBG2和(d) FBG3的峰值区间放大图

Fig. 8. (a) Comparison of reconstructed signals obtained by different algorithms; enlarged views of (b) FBG1, (c) FBG2 and (d) FBG3 in peak interval

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由图6和图7可知,折中考虑重构RMSE和运行时间,则选取对比算法的M/N=3500/6913。从图8(a)中可以看出,各重构信号与原始信号基本保持一致,但从谱峰区域的放大图[图8(b)~(d)]中可以看出,所提SASCS-IOMP算法对每个峰值区域重构的信号都接近于原始信号。

4 结论

针对FBG传感系统中数据量庞大、不利于数据传输及处理的现状,设计了一种基于压缩感知的SASCS-IOMP算法。仿真结果表明,与同类算法相比,无论在单峰还是多峰中,所提算法保证3 dB带宽区间的重构误差均小于0.7%,且可有效减少采样点的数目,降低了存储空间。该研究对分布式传感网中的光谱信号压缩具有一定的参考价值。