0 引　言

离轴三反消像散（Three-Mirror Anastigmat, TMA）光学系统以其宽谱段、大视场、易于实现轻量化等特点被广泛应用于空间观测中^[1-3]，为提高TMA系统的集光能力与分辨率，其口径逐渐增大，系统镜面口径随之增大，面形误差对系统出瞳波像差的影响逐渐增大。空间望远镜发射入轨后，伴随重力释放，镜面的面形一定会发生变化，进而导致系统出瞳波像差与地面装调的最优结果发生偏离。如可利用系统光学元件间的相对位姿关系补偿上述重力释放引起的光学元件面形误差，则可为地面预测望远镜光学性能、在轨主动校正望远镜成像质量提供理论依据。

矢量像差理论是一种适用于非对称光学系统的像差理论模型，由Shack^[4]发现，由Thompson发展^[5-8]。可以给出离轴反射系统结构参数与像差场偏移矢量、出瞳波像差之间的解析关系，可为构建光学元件位姿——面形误差间补偿模型提供理论基础。当前，Gray^[9]等人构建出矢量像差表达式和Zernike多项式之间的解析关系，为矢量像差与面形误差间理论关系建立了基础；Schimd^[10]等人基于矢量像差理论分析了R-C望远镜存在失调与像散面形误差下的波像差特性；Fuerschbach^[11]等人定性分析了自由曲面在系统任意位置的衍生像差；张晓彬^[12]等人对TMA系统主镜像散误差影响的补偿进行了定量讨论，提出了以标称波像差为补偿目标的TMA望远镜光学补偿方法；庞志海^[13]等人利用坐标变换矩阵定性分析了离轴系统中反射镜面面形误差所引入的波像差；鞠国浩^[14]等人基于矢量像差理论计算了像散与三叶面形误差对离轴两反系统像差场的影响。当前多为针对离轴系统光阑位置面形误差定性化研究，对于离轴TMA系统非光阑位置面形误差定量化补偿研究较少，随着离轴TMA系统口径需求增大，非光阑位置面形误差对系统成像质量的影响难以忽视。

成像质量作为衡量图像质量的重要指标，经常被用于评价系统性能。文中构建了一种基于矢量像差理论，以RMS波前误差为评价标准的TMA系统面形误差主动补偿策略，提出利用离轴三反系统像差场与元件位姿间补偿关系的解析表达式，联立经光瞳坐标变换后的Zernike多项式，构建系统元件位姿补偿镜面面形误差的数理模型。补偿对象主要为系统主镜及三镜镜面存在的像散以及彗差。通过仿真实验进行了合理验证，经补偿后系统出瞳波像差RMS值接近于系统设计值，为大口径空间反射望远镜在轨主动校正成像质量提供理论依据。

1 面形误差对离轴TMA系统出瞳波像差影响分析

随着离轴TMA系统口径不断增大，重力环境变化和光学元件支撑应力引起的面形误差中以像散与彗差面形误差最为常见，因此讨论反射镜面存在的面形误差，主要为离轴TMA系统三镜上的像散及彗差。对于离轴TMA系统，其次镜（SM）相对于主镜（PM）与三镜(TM)来说口径较小，因此，文中所考虑主要为光阑位置的主镜，以及非光阑位置三镜的面形误差。

当主镜存在面形误差时，入射光束充满光瞳位置，其归一化光瞳矢量与系统一致，如图1(a)所示；当反射镜面位于系统非光阑位置时，各视场入射光束轨迹在三镜上覆盖位置不同，且只覆盖三镜表面的一部分，非光阑位置镜面面形误差对系统出瞳波像差影响与系统视场具有相关性，如图1(b)所示。

图 1. (a)非光阑镜面入射光轨迹示意图；(b)非光阑位置光瞳矢量关系图

Fig. 1. (a) Trajectory of incident light with a non-aperture mirror; (b) Pupil vector relation diagram at non-stop position

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1.1 光阑位置面形误差对系统波像差影响的量化描述

以入射光阑位于主镜的离轴TMA系统为例，当面形误差存在于光阑位置镜面时，所有视场发出的光束在镜面上的轨迹相同充满光瞳，因此主镜作为离轴三反系统的孔径光阑，其光瞳矢量 $ \stackrel{\rightharpoonup }{\;\rho } $与系统光瞳矢量 $ \stackrel{\rightharpoonup }{\;\rho } $一致。考虑到光阑位置存在像散与彗差的情况，它们对应的Fringe Zernike系数分别为 $ {C_5}、{C_6} $ (像散)和 $ {C_7}、{C_8} $ (彗差)，像散面形误差在极坐标系下的面形矢高可由下列Zernike多项式表示：

$ {E_{222}}(\rho ,\theta ) = C_5^{{\rm{PM}}}{\rho ^2}\cos (2\theta ) + C_6^{{\rm{PM}}}{\rho ^2}\sin (2\theta ) $ (1)

式中： $C_5^{{\rm{PM}}}$与 $C_6^{{\rm{PM}}}$代表由主镜像散面形误差引起的系统出瞳波像差中第5、6项Fringe Zernike系数变化量。依据矢量乘法法则，公式（1）的矢量形式可写为：

$ \begin{split} {E}_{222}(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho })=\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{PM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} \end{split}$ (2)

则主镜像散面形误差对系统出瞳像差场贡献量可表示为：

$ {\stackrel{\rightharpoonup }{C}}_{F222}=(n{'}-n){E}_{222}(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho })=(n{'}-n)\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{PM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} $ (3)

式中： $ n' $与 $ n $分别表示反射光线和入射光线所在空间的折射率。同上述像散面形误差推导过程，彗差面形误差矢高如下：

$ {E_{131}}(\rho ,\theta ) = C_7^{{\rm{PM}}}(3{\rho ^3} - 2\rho )\cos \theta + C_8^{{\rm{PM}}}(3{\rho ^3} - 2\rho )\sin \theta $ (4)

$ {E}_{131}(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho })=\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{PM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }) $ (5)

主镜彗差面形误差对系统出瞳波像差贡献量的矢量形式可写为：

$ \begin{split} \begin{array}{l}{\stackrel{\rightharpoonup }{C}}_{F131}= (n{'}-n){E}_{222}(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho })=\\ \qquad \quad \, (n{'}-n)\left[\begin{array}{l}3{C}_{7}^{{\rm{PM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho })\end{array} \end{split} $ (6)

整理公式（3）与公式（6），可得到系统光阑位置像散、彗差面形误差对系统出瞳波像差影响，表示为如下形式：

$ \left \{\begin{array}{l}{W}_{{\rm{figure}},{\rm{PM}}}^{{\rm{astigmatism}}}=(n{'}-n)\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{PM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} \\ {W}_{{\rm{figure}},{\rm{PM}}}^{{\rm{coma}}}=(n{'}-n)\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{PM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }) \end{array}\right. $ (7)

式中： $W_{{\rm{figure}},{\rm{PM}}}^{{\rm{astigmatism}}}$表示主镜面形误差对系统出瞳像散场的影响； $W_{{\rm{figure}},{\rm{PM}}}^{{\rm{coma}}}$表示主镜面形误差对系统出瞳彗差场的影响。

1.2 非光阑位置面形误差对系统波像差影响的量化描述

由于次镜口径较小，面形加工精度较高，其面形误差对系统出瞳波像差影响忽略不计，文中非光阑位置镜面指离轴TMA系统中口径较大的三镜。当主镜存在面形误差时，入射光束充满光瞳位置，其归一化光瞳矢量与系统一致。但各视场入射光束轨迹在三镜上覆盖位置不同，且只覆盖三镜表面的一部分，如图1（a）所示，非光阑位置镜面面形误差对系统出瞳波像差影响与系统视场具有相关性。离轴三反系统非光阑位置光束轨迹孔径矢量与系统光瞳矢量间的变换关系如图1（b）所示^[15-16]，其解析表达式如下：

$ {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}_{{\rm{Not}}\_{\rm{stop}}}={\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\stackrel{\rightharpoonup }{l} $ (8)

其中

$ {\beta _{{\rm{TM}}}} = \frac{r}{R} $ (9)

$ \stackrel{\rightharpoonup }{l}=\frac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H} $ (10)

式中： $\;{\beta _{{\rm{TM}}}}$表示非光阑位置镜面上光束轨迹相对于三镜镜面口径的缩放因子； $ \stackrel{\rightharpoonup }{l} $表示非光阑位置光束轨迹的离心矢量；r表示光束在非光阑面上的轨迹半径；R表示光学系统非光阑位置镜面口径半径； $ \overline y $表示视场近轴主光线在非光阑镜面上的高度。值得注意的是，此时的光束轨迹离心矢量不是固定值，其数值随视场变化，上述参数可通过光线追迹获得。公式(8)将非光阑位置光束轨迹与离轴系统光瞳联系起来，代入面形误差解析表达式中可得到非光阑位置面形误差对系统出瞳波像差的解析描述。

将公式（8）代入像散面形误差对系统出瞳波像差贡献量表达式（公式（3））中得到：

$ \begin{array}{c}\stackrel{\rightharpoonup }{C}{{'}}_{F222}=(n{'}-n)E{{'}}_{222}({\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}_{{\rm{Not}}\_{\rm{stop}}})=\\ (n{'}-n)E{{'}}_{222}({\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H})=\\ (n{'}-n)\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{TM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot \left(\beta_{{\rm{T M}}} \vec{\rho}+\dfrac{\overline y}{R}\stackrel{\rightharpoonup } {H}\right)^2 =\\ (n{'}-n){\beta }_{{\rm{TM}}}^{2}\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{TM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2}+\Delta \end{array} $ (11)

式中： $C_5^{{\rm{TM}}}$与 $C_6^{{\rm{TM}}}$表示由三镜像散面形误差引起的系统出瞳波像差第5、6项Fringe Zernike系数相对于设计值的变化量； $ \Delta $表示不影响像质的倾斜项与常量项。由公式（11）可见，依据矢量乘法法则展开后， ${\left({\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\right)}^{2}$展开出 $ {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} $项，即非光阑位置像散面形误差只影响系统出瞳波像差中的三阶像散。

为得到非光阑位置彗差面形误差对系统出瞳波像差影响的解析表达式，将公式（8）代入彗差面形矢高表达式（公式（6））中，依据矢量乘法法则展开得到下式：

$ \begin{array}{c}E{{'}}_{131}\left({\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\right)= \left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{TM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot \left({\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\right)\left[\left({\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\right)\cdot \left({\beta }_{{\rm{TM}}}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\right)\right]=\\ \left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{TM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot \left[\stackrel{{\rm{coma}}}{\overbrace{{\beta }_{{\rm{TM}}}^{3}\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho })}}+\stackrel{{\rm{curvature}}}{\overbrace{2{\beta }_{{\rm{TM}}}^{2}\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho })}}+\stackrel{{\rm{astigmatism}}}{\overbrace{2{\beta }_{{\rm{TM}}}^{2}\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2}}}+2{\beta }_{{\rm{TM}}}\left({\dfrac{\overline{y}}{R}}\right)^{2}{\stackrel{\rightharpoonup }{H}}^{2}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }+\left({\dfrac{\overline{y}}{R}}\right)^{3}{\stackrel{\rightharpoonup }{H}}^{2} \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{H}\right]=\\ {\beta }_{{\rm{TM}}}^{3}\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{TM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho })+2{\beta }_{{\rm{TM}}}^{2}\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{TM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2}+\Delta \end{array} $ (12)

由公式（12）可见，依据矢量乘法法则展开彗差像差表达式后，不仅得到 $ \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }) $项，同时也会展开出 $ {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} $项，即非光阑位置彗差面形误差不仅影响系统出瞳像差场中的三阶彗差，对系统三阶像散也有影响，且其对系统三阶像散场的影响与视场矢量呈线性相关。

整理公式（11）与公式（12）可得到系统非光阑位置像散、彗差面形误差对系统出瞳波像差影响，表示为如下形式：

$\left \{\begin{array}{l}{W}_{{\rm{figure}},{\rm{TM}}}^{{\rm{astigmatism}}}=(n{'}-n){\beta }_{{\rm{TM}}}^{2}\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{TM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2}+2(n{'}-n){\beta }_{{\rm{TM}}}^{2}\dfrac{\overline{y}}{R}\stackrel{\rightharpoonup }{H}\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{TM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} \\ {W}_{{\rm{figure}},{\rm{TM}}}^{{\rm{coma}}}=(n{'}-n){\beta }_{{\rm{TM}}}^{3}\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{TM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{TM}}}\end{array}\right]\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }) \end{array}\right. $ (13)

式中： $W_{{\rm{figure,{\rm{TM}}}}}^{{\rm{astigmatism}}}$表示非光阑位置面形误差对系统出瞳像散场的贡献量； $W_{{\rm{figure,{\rm{TM}}}}}^{{\rm{coma}}}$表示非光阑位置面形误差对系统出瞳彗差场的贡献量。

2 离轴TMA系统镜面面形误差像差补偿模型

文中补偿离轴反射系统的目的是提高系统成像质量，满足系统成像性能要求。因此，基于成像质量准则优化系统性能更为合理。上述内容定量化分析了元件位姿调整量与光学表面面形误差对系统出瞳波像差的影响，下面将对系统各位置镜面面形误差与元件位姿间的补偿关系展开深入的研究，构建像差补偿模型。

在系统像差补偿过程中，离轴三反系统出瞳波像差构成可以写为如下形式^[12]：

$ {W_{\rm{{off - axis}}}}{\text{ = }}{W_{{\rm{design}}}} + {W_{{\rm{alignment}}}} + {W_{{\rm{figure}}}} $ (14)

式中： ${W_{{\rm{design}}}}$为光学系统设计时的固定残余像差； ${W_{{\rm{alignment}}}}$表示由元件位姿调整所引入的像差； ${W_{{\rm{figure}}}}$表示由反射镜面形误差而引入的像差。

在不考虑系统设计产生的残余像差条件下，认为光学系统的像差主要由反射镜面形误差与系统元件位姿调整量产生。由此，为达到像差补偿的目的，将像差补偿模型目标函数写为如下形式：

$ {W}_{{\rm{alignment}}}+{W}_{{\rm{figure}}}=\stackrel{\rightharpoonup }{0} $ (15)

依据离轴系统矢量像差理论模型^[17]，可以得到离轴系统元件位姿调整，与系统出瞳像散场、彗差场的关系如下式所示：

$ \left\{\begin{array}{l}{W}_{{\rm{alignment}}}^{{\rm{astigmatism}}}=\dfrac{1}{2}(-2\stackrel{\rightharpoonup }{H}{\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{222j}+{\stackrel{\rightharpoonup }{B}}_{222j}^{2})\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2}-{\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{131j}\stackrel{\rightharpoonup }{L}\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2} \\ {W}_{{\rm{alignment}}}^{{\rm{coma}}}=-{\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{131j}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }) \end{array}\right. $ (16)

式中： $ {\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{222 j}={\displaystyle \sum _{j}{W}_{222 j}}\stackrel{\rightharpoonup }{{\sigma }_{j}} $， $ {\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{131 j}={\displaystyle \sum _{j}{W}_{131 j}}\stackrel{\rightharpoonup }{{\sigma }_{j}} $， $ {\stackrel{\rightharpoonup }{B}}_{222 j}^{2}= {\displaystyle \sum _{j}{W}_{222 j}}{\stackrel{\rightharpoonup }{{\sigma }_{j}}}^{2} $，分别为系统元件失调所引入的像散及彗差系数； $W_{{\rm{alignment}}}^{{\rm{astigmatism}}}$表示系统元件位姿调整对系统出瞳像散场的影响； $W_{{\rm{alignment}}}^{{\rm{coma}}}$表示系统元件位姿调整对系统出瞳彗差场的影响。

联立公式（7）、公式（15）与公式（16），可列出元件位姿调整量补偿光阑位置面形误差方程组，考虑视场依赖性将其写为矩阵形式，如下所示：

$ \begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{c}{H}_{x}\\ {H}_{y}\end{array}& \begin{array}{c}-{H}_{y}\\ {H}_{x}\end{array}& \begin{array}{c}-{1}/{2}\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}0\\ -{1}/{2}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{222j,x}\\ {A}_{222j,y}\\ {B}_{222j,x}^{2}\\ {B}_{222j,y}^{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -{L}_{y}\\ {L}_{y}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{131j,x}\\ {A}_{131j,y}\end{array}\right]=(n{'}-n)\left[\begin{array}{c}{C}_{5}^{{\rm{PM}}}\\ {C}_{6}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot {\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }}^{2}\\ \left[\begin{array}{c}{A}_{131j,x}\\ {A}_{131j,y}\end{array}\right]=(n{'}-n)\left[\begin{array}{c}3{C}_{7}^{{\rm{PM}}}\\ 3{C}_{8}^{{\rm{PM}}}\end{array}\right]\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\rho })\end{array} $ (17)

联立公式（13）、公式（15）与公式（16），可列出元件位姿调整量补偿非光阑位置面形误差方程组，如下所示：

$ \begin{split} & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{H_x}} \\ {{H_y}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - {H_y}} \\ {{H_x}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - {1}/{2}} \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ { - {1}/{2}} \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{222j,x}}} \\ {{A_{222j,y}}} \\ {B_{222j,x}^2} \\ {B_{222j,y}^2} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {L_y}} \\ {{L_y}}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{131j,x}}} \\ {{A_{131j,y}}} \end{array}} \right]= \\ & (n' - n)\beta _{{\rm{TM}}}^2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {C_5^{{\rm{TM}}}} \\ {C_6^{{\rm{TM}}}} \end{array}} \right] + 2\beta _{{\rm{TM}}}^2\dfrac{{\overline y }}{R}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{H_x}}&{ - {H_y}} \\ {{H_y}}&{{H_x}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3C_7^{{\rm{TM}}}} \\ {3C_8^{{\rm{TM}}}} \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{131j,x}}} \\ {{A_{131j,y}}} \end{array}} \right] = (n' - n)\beta _{{\rm{TM}}}^3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3C_7^{{\rm{TM}}}} \\ {3C_8^{{\rm{TM}}}} \end{array}} \right] \end{split} $ (18)

由上述方程组可见，未知量个数为六个，当视场取值点个数大于等于2时，即可通过公式（18）所构成的超定方程组利用最小二乘法对其进行求解^[18]。经上述方程组求出未知量 $ {\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{222 j} $与 $ {\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{131 j} $的x方向与y方向的分量，代入公式（19）与公式（20）中确定光学系统中元件的位姿补偿量。需要补充的是，TMA系统中，次镜相对于主镜与三镜口径较小，调整次镜位姿位置较为灵活，工程实现代价最小，因此假设系统中只有次镜配备了调节机构。

$ \left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{klm,x}^{}={W}_{klm,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}{\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{x,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}+{W}_{klm,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}{\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{x,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}\\ {\stackrel{\rightharpoonup }{A}}_{klm,y}^{}={W}_{klm,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}{\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{y,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}+{W}_{klm,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}{\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{y,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}\end{array}\right. $ (19)

式中： $W_{klm,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}$、 $W_{klm,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}$为次镜SM的像差系数，对光学系统来说其值为常数； ${\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{x,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}$、 ${\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{x,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}$、 ${\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{y,{\rm{SM}}}^{{\rm{sph}}}$、 ${\stackrel{\rightharpoonup }{\sigma }}_{y,{\rm{SM}}}^{{\rm{asph}}}$分别为像差场偏移矢量在x方向与y方向上的分量，其上角标sph与asph分别表示次镜基本球面部分与基本非球面组成部分。通过求解公式（19）可以得到次镜基本球面部分和非球面偏离部分的像差场偏移矢量，代入公式（20）中求解次镜位姿补偿量。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {XD{E_{{\rm{SM}}}} = - {u_{pm}}{d_1}\sigma _{{\rm{SM}},x}^{{\rm{asph}}}} \\ {YD{E_{{\rm{SM}}}} = - {u_{pm}}{d_1}\sigma _{{\rm{SM}},y}^{{\rm{asph}}}} \\ {AD{E_{{\rm{SM}}}} = {u_{pm}}(1 + {c_{{\rm{SM}}}}{d_1})\sigma _{{\rm{SM}},y}^{{\rm{sph}}} - {c_{{\rm{SM}}}}YD{E_{{\rm{SM}}}}} \\ {BD{E_{{\rm{SM}}}} = - {u_{pm}}(1 + {c_{{\rm{SM}}}}{d_1})\sigma _{{\rm{SM}},x}^{{\rm{sph}}} + {c_{{\rm{SM}}}}XD{E_{{\rm{SM}}}}} \end{array}} \right. $ (20)

式中： $XD{E_{{\rm{SM}}}}$、 $YD{E_{{\rm{SM}}}}$分别表示次镜沿x方向与y方向的偏心位姿补偿量； $AD{E_{{\rm{SM}}}}$、 $BD{E_{{\rm{SM}}}}$分别代表次镜绕坐标轴x与坐标轴y的倾斜位姿补偿量。如上，用于补偿非光阑位置面形误差的次镜位姿补偿量求解完成。

3 仿真实验验证

为验证上述非光阑位置像差补偿校正模型的有效性，以口径500 mm、焦距6 m、F数为10、光阑为其主镜、视场大小为1°×1°的宽视场离轴TMA系统作为研究对象进行仿真实验，孔径光阑沿y方向偏移−460 mm，其光学结构参数及像差系数如表1和表2所示。为保证补偿结果准确并根据离轴TMA系统视场离轴特点选定五个视场，其中包括四个边缘视场和一个中心视场，五个视场点的坐标为（−0.35°, 0°）、（0.35°, 0°）、（0°, −0.5°）、（−0.35°, −0.8°）、（0.35°, −0.8°），如图2所示。

图 2. 离轴TMA望远镜的光学结构与五个相关视场示意图

Fig. 2. Schematic diagram of optical layout of the off-axis TMA telescope and five fields of views used in aberration compensation

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3.1 光阑位置面形误差补偿仿真实验

为验证文中像差补偿模型的正确性，随机在主镜表面引入一组像散及彗差像差系数，取值如表3所示。将补偿后系统出瞳波像差RMS值作为像差补偿模型是否有效的评价标准。表4给出次镜补偿主镜面形误差的位姿调整量，其中面形误差取值范围参考文献[14]，表5给出经次镜补偿前后系统出瞳波像差RMS值的变化。

由表5可以看出，经次镜位姿补偿后，光阑位置存在像散与彗差的系统出瞳RMS值有效下降至系统设计值。相应状态下，离轴TMA系统补偿前后系统像散场、彗差场及出瞳波像差分布状态的全视场图如图3、图4和图5所示，系统像散场与彗差场经补偿后均靠近系统设计状态。

图 6. 三镜不同状态下系统像散场

Fig. 6. FFDs for astigmatism in different TM states

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图 3. 主镜不同状态下系统像散场

Fig. 3. Full field displays (FFDs) for astigmatism in different PM states

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图 4. 主镜不同状态下系统彗差场

Fig. 4. FFDs for coma on PM in different PM states

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图 5. 主镜不同状态下系统出瞳波像差FFD

Fig. 5. FFDs for RMS in different PM states

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3.2 非光阑位置面形误差补偿仿真实验

随机在三镜表面引入一组像散及彗差像差系数，取值如表6所示，由像差补偿模型计算所得次镜相应调整量如表7所示。

由表8可以看出，经次镜补偿后，三镜带有面形误差的系统出瞳RMS值补偿至设计值。图6、图7和图8为相应状态下，补偿前后系统像散场、彗差场及系统出瞳波像差分布状态的全视场图。

图 7. 三镜不同状态下系统彗差场

Fig. 7. FFDs for coma in different TM states

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图 8. 三镜不同状态下系统出瞳波像差FFD

Fig. 8. FFDs for RMS in different TM states

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如图6、图7和图8所示，系统像散场与彗差场以及出瞳波像差经补偿后均靠近系统设计状态。由以上实验结果可以看出，在数量级接近的情况下，三镜面形误差对系统出瞳影响比主镜更大，且由图5（a）与图8（a）可以看出，当三镜与主镜存在同样类型的面形误差时，其对系统出瞳像差场分布影响不同，三镜面形误差对系统出瞳像差场分布的影响与视场相关。为验证像差补偿模型的有效性，进行蒙特卡洛仿真实验。选取如表9所示的面形误差范围作为扰动量区间，在扰动区间内，随机选取100组不同的扰动量作为三镜面形误差值。系统经补偿后，五个视场出瞳波像差RMS值如图9所示。可以看出，经像差补偿模型所得的次镜位姿调整量对非光阑位置镜面存在面形误差的系统进行补偿之后，各视场的出瞳波像差RMS值均得到了有效校正。

由上述实验结果及全视场图可知，像差补偿模型的补偿能力出现不能完全补偿面形误差对系统出瞳波像差影响的情况。出现上述补偿能力有限情况的原因可能是：（1）面形误差所引入的高阶像差未考虑至像差补偿模型中，系统高阶像差场未得到完全补偿；（2）次镜的补偿能力有限，仅依靠次镜的补偿维度难以完全补偿三镜面形误差对系统出瞳波像差的影响。考虑增加系统位姿补偿维度，在三镜上安装位姿调整装置。

图 9. 五个视场补偿前后及标称状态下系统的出瞳波像差RMS值。(a)F1视场；(b) F2视场；(c) F3视场；(d) F4视场；（e）F5视场。蓝色点表示三镜存在面形误差时的系统出瞳波像差RMS值，粉色点表示补偿后的系统出瞳波像差RMS值，绿色点表示标称状态下系统出瞳波像差RMS值

Fig. 9. The values of RMS before and after compensation of the five fields of view and the nominal state. (a) F1; (b) F2; (c) F3; (d) F4; (e) F5. Blue dots indicate the value of RMS when the TM surface figure error exists, pink dots indicate the value of RMS after compensation, and green dots indicate the RMS of the system in the nominal state

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4 结　论

为保证TMA望远系统在轨成像质量，在矢量像差理论框架下，构建了TMA空间望远镜存在面形误差的像差补偿模型，调整敏感度较高的次镜四个维度的位姿，补偿系统中口径较大的主镜与三镜的像散与彗差。通过理论分析可知：光阑位置初级面形误差对系统出瞳波像差影响与视场无关；非光阑位置面形误差在不同视场位置，像差系数与视场的依据关系不同。经仿真实验结果表明：当主镜像散与彗差像差系数为0.5λ时，通过调整次镜位姿可以将系统出瞳波像差由0.18λ补偿至0.08λ；当系统三镜像散与彗差像差系数为0.1λ时，可以将系统出瞳波像差由0.3λ补偿至0.1λ，有效补偿了系统光阑与非光阑位置面形误差对各视场出瞳波像差的影响，可将系统出瞳波像差补偿至设计值，对保证空间望远镜成像质量具有重要的参考意义。