一种重建深孔轴线的新型六探针测量系统

提出了一种用于深孔轴线重建的新型六探针测量系统。该系统基于三维两点法，探头在每次步进测量中可以获得被测横截面的圆心位置以及半径大小。该系统有以下优点：1）可以消除传感器运动装置的移动直线度误差对轴线测量与拟合结果造成的影响；2）有显著普遍性，调整位移传感器之间的相对位置可以测量不同的孔径；3）实现探头移动、数据获取的自动化，降低人工劳动量，提高测量效率；4）测量过程简单，只通过一次扫描测量就可拟合孔轴，并评估它的相关参数。通过理论推导和仿真证明了这些优点。实验结果表明，该方法具有高横向分辨率。

Abstract

A novel six-probe measurement system is proposed for reconstructing deep hole axes. This system is based on the two-point method in three dimensions. The probe can obtain the center position of the measured section and radius of the circle at each step. This novel approach has the following advantages. 1) The effects of the straightness error of the sensor motion device on the axis measurement and fitting results can be eliminated. 2) The approach has remarkable universality. The holes with different apertures can be measured by adjusting the relative position between displacement sensors. 3) Probe movement and data acquisition can be realized automatically which reduces the amount of labor and improves measurement efficiency. 4) The process of measurement is simple; the hole axis can be fitted using only a single scanning measurement, after which related parameters can be evaluated. These advantages were demonstrated by theoretical analyses and simulations. Further, experiments showed that this novel system can provide high lateral resolution.

1　引言

在大型制造业中孔内尺寸的精确测量对**的成败起着决定性的作用^［1］。由于孔结构的复杂性以及^［2］工件尺寸的巨大性，孔内尺寸的测量一直是个棘手的问题^［3-4］。为了解决这个问题，结构光学测量稳步发展。Fan等^［5］结合姿态角传感器、角度编码器、激光测距仪和全站仪消除内部测量误差，针对实际应用场景中标定点的非均匀分布提出带权重最小二乘标定（WLS），该方法在大型尺寸测量中比传统方法减少了1 mm的测量误差。Shi等^［6］提出了对孔位置的基于柔性基准和特征邻域模型的高速测量算法，通过改变探测视场以及相机位置，可以同时获得更好的测量不确定性以及更大的检测范围，相较于三坐标测量机，该系统的最大位置误差只有0.025 mm，相对误差优于0.025%并且测量数据的标准差小于0.010 mm。

如果测量设备在工件外部安装，由于光的物理特性，很难获取到被遮挡部分尤其是深孔内壁的参数。有很多测量技术基于不同数量的传感器测量深孔内部的信息。单个激光传感器想要获得整个截面信息需要进行旋转，比如Tong等^［7］开发的内螺纹参数测量系统采用内置反光镜的方式获取孔内部参数，该系统过于依赖旋转机构和角度测量装置。双激光传感器^［8］测量能够有效消除主轴运动对截面中心的影响，但仍要旋转测量设备。赵转萍等^［9］开发的长轴孔测量系统利用双激光以及机械结构也可以获得孔内信息，但结构复杂，实际测量效率不高。Wakayama等^［10］提出的分束单束光为环形激光，得到封闭平面轮廓后利用图像处理获取圆孔内轮廓参数，该方法无需回转，孔心分辨率能达到10 μm。在默认保证孔圆度的情况下，可以使用3~4个传感器制作探头^［11］。在不转动测量装置的情况下，对同一测量位置测量的三个测量点的坐标数据进行拟合就可得到被测圆孔的截面。这种方法不需要旋转角度信息，大大提高了测量效率。

但是上述系统在获取截面信息时，整个系统上放置了不同的传感器去获取测量点信息，拟合测量点后可以得到截面中心三维坐标信息。这种情况下，测量设备需要沿着轴线方向进行移动并且提取不同测量截面的测量点，对测量设备进行分时复用，从而实现扫描测量每个截面。这时移动传感器带来的直线度误差将会影响测量结果，并直接影响轴线的重建结果以及最后的几何测量结果。

因此，本文提出一种可以去除测量基准直线度误差的基于两点法^［12］的六探针重建深孔轴线测量平台。经过理论仿真与建模辅助，在重建深孔轴线时由传感器移动带来的直线度误差可以被实验和误差分析明确阐述。并且该测量平台展现出很强的普遍性，可以改变传感器的相对位置来测量不同孔径的工件。

2　基本原理（实验仿真）

2.1　测量系统结构

在大型工件的形貌测量中，多探针法常用于工件表面的轮廓测量。其中，两点法因其操作简单、重构精度高而在工程实践中得到广泛应用。根据测量装置的步距s与传感器安装间隔d的关系，两点法^［13］可分为顺序两点（STP）法^［14-15］、广义两点（GTP）法^［16］和组合（CTP）法^［17］。在STP方法中，要求s等于d。但是在实际安装中传感器间距d不能无限小，这会导致重建轮廓的横向分辨率低，进而丢失一部分轮廓特征。在GTP方法中，为了获得较高的横向分辨率，s可以小于d，但只有当s等于d时，重建结果才不受数据处理误差的影响^［18］。CTP方法结合上述两种方法，通过调整多次STP计算得到的重建曲线之间的相对位置关系，得到重建点间距等于采样点间距的重建曲线，理论上可以在高横向分辨率下获取没有数据处理误差的重建结果，但实际上，由于这类方法需要直线度误差小且可忽略不计的高精度参考面来调整每条曲线的位置关系，可行性不高。为了在不受数据处理误差影响的情况下提高横向分辨率，本文将两点法扩展到三维空间，并设计了一种特殊的探头结构。

如图1所示，在测量系统中，6个位移传感器被分成两组平行排列。每组3个传感器均匀分布在圆周上。测量系统中的下层设置为第一层，第一层的3个传感器分别设置为 $P_{A}$ 、 $P_{B}$ 和 $P_{C}$ 。相应地，上层为第二层，设置在 $P_{A}$ 、 $P_{B}$ 、 $P_{C}$ 对应位置的3个传感器分别为 $P_{D}$ 、 $P_{E}$ 和 $P_{F}$ 。在每个测量位置，同一层的3个传感器可以完成对当前截面上3个测量点的测量。层间距离可视为两点法中的传感器安装距离d，此处设置为2 mm。无论被测孔的圆度误差如何，每一段都是一个正圆。根据3个测点的信息，可以对被测截面进行拟合，得到包括内径和中心位置在内的信息。将测量系统沿孔轴延伸方向移动，6个传感器在一定距离内完成一次测量，可以得到两段测量数据。

图 1. 六探针测量系统原理图

Fig. 1. Schematic diagram of six-probe measurement system

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2.2　测量设备标定

作为数据处理的先验信息，在测量之前需要标定6个位移传感器之间的相对位置。以每层3个位移传感器均匀分布在圆周上且上下层传感器位置对应的情况为例，分析测量装置的标定过程。安装时每组3个位移传感器后面的测量方向应尽量满足均匀分布，3个测量零点组成的圆心尽量与装置中心重合。在安装传感器的时候一定有安装误差。因此，在测量前，标定传感器的相对位置至关重要，包括6个位移传感器的测量零位及其测量方向。通过测量具有已知半径的标准环规完成校准。如图2所示，将 $P_{A}$ 、 $P_{B}$ 、 $P_{C}$ 、 $P_{D}$ 、 $P_{E}$ 、 $P_{F}$ 的测量零点分别设置为A、B、C、D、E、F。

图 2. 理论模型

Fig. 2. Theoretical model

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当测量装置处于初始扫描位置时，以A点位置为测量坐标系的原点。过A并垂直于B、C连线的方向为x轴方向，B、C两点位于x轴的负半轴上。测量时，扫描方向为测量坐标系中z轴的正方向。要完成测量装置的校准，关键是要知道测量坐标系中A~F这6个点的位置以及6个传感器的测量方向。设置每个点的坐标为 $A (x_{A}, y_{A})$ 、 $B (x_{B}, y_{B})$ 、 $C (x_{C}, y_{C})$ 、 $D (x_{D}, y_{D})$ 、 $E (x_{E}, y_{E})$ 、 $F (x_{F}, y_{F})$ ，每个传感器测量方向与 $x$ 轴正向的夹角为 $θ_{A}$ 、 $θ_{B}$ 、 $θ_{C}$ 、 $θ_{D}$ 、 $θ_{E}$ 、 $θ_{F}$ 。根据坐标系统的设定， $x_{A} = y_{A} = 0$ ， $x_{B} = x_{C}$ 。这样就剩下15个值需要标定。理论上扫描测量标准圆环至少15次才能得到以上的15个值。

2.3　测量孔截面拟合

在忽略孔圆度误差的情况下，测量装置的两组位移传感器可以在每个测量位置拟合各自截面的轮廓，拟合结果可以得到圆心坐标和对应的直径值。

6个位移传感器的测量值 $A A' ~ F F'$ 设置为 $l_{A} ~ l_{F}$ 。实测截面拟合了2.2节中得到的6个实测值和15个标定值。首先，测量坐标系中6个测量点的坐标分别用标定值和传感器测量值表示：

A^{'} : x_{A}^{'} = l_{A} c o s θ_{A}

，

y_{A}^{'} = l_{A} s i n θ_{A}

，

B^{'} : x_{B}^{'} = x_{B} + l_{B} c o s θ_{B}

，

y_{B}^{'} = y_{B} + l_{B} s i n θ_{B}

，

C^{'} : x_{C}^{'} = x_{C} + l_{C} c o s θ_{C}

，

y_{C}^{'} = y_{C} + l_{C} s i n θ_{C}

，

D^{'} : x_{D}^{'} = x_{D} + l_{D} c o s θ_{D}

，

y_{D}^{'} = y_{D} + l_{D} s i n θ_{D}

，

E^{'} : x_{E}^{'} = x_{E} + l_{E} c o s θ_{E}

，

y_{E}^{'} = y_{E} + l_{E} s i n θ_{E}

，

F^{'} : x_{F}^{'} = x_{F} + l_{F} c o s θ_{F}

，

y_{F}^{'} = y_{F} + l_{F} s i n θ_{F}

。

然后将两组传感器测得的孔截面中心位置分别设置为 $O_{1} (o_{1 x}, o_{1 y})$ 和 $O_{2} (o_{2 x}, o_{2 y})$ （忽略z坐标），并将对应的内径分别设置为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 。测量截面的表达式为

{(x - o_{1 x})}^{2} + {(y - o_{1 y})}^{2} = r_{1}^{2}

，（1）

{(x - o_{2 x})}^{2} + {(y - o_{2 y})}^{2} = r_{2}^{2}

。（2）

将第一层3个位移传感器测量点对应的坐标 $A^{'} (x_{A}^{'}, y_{A}^{'}) 、 B^{'} (x_{B}^{'}, y_{B}^{'}) 、 C^{'} (x_{C}^{'}, y_{C}^{'})$ 代入式（1），并将第二层3个位移传感器测量点对应的坐标 $D^{'} (x_{D}^{'}, y_{D}^{'}) 、 E^{'} (x_{E}^{'}, y_{E}^{'}) 、 F^{'} (x_{F}^{'}, y_{F}^{'})$ 结合到式（2）中计算当前测量截面的中心与半径。

2.4　拟合深孔轴

在2.3节中计算的所有截面中心可以形成一个测量孔的中心轴线。每个测量位置可以得到孔轴上的两个点，因此两点法的思想可以用于重建三维曲线，消除在测量过程中装置运动轨迹带来的直线度误差的影响。

设测量装置中两组位移传感器平面间的距离为d，测量装置在扫描和测量深孔过程中的步距为s。假设在一次扫描测量中收集了n组数据。测量系统中的传感器 $P_{A}$ 测量点z轴坐标为 $z_{i} (z_{i} = i s, i = 0, 1, 2, \dots, N - 1)$ ，实际分别与两组传感器有关的测量截面圆心设定为 $O_{1} (z_{i})$ 和 $O_{2} (z_{i})$ ，并且在测量系统内的坐标分别为 $[o_{1 x} (z_{i}), o_{1 y} (z_{i}), z_{i}]$ 和 $[o_{2 x} (z_{i}),$ $o_{2 y} (z_{i}), z_{i}]$ 。可以得到：

o_{2 x} (z_{i}) = o_{1 x} (z_{i} + d)

，（3）

o_{2 y} (z_{i}) = o_{1 y} (z_{i} + d)

。（4）

将在两组传感器对应的测量截面圆心 $O_{1} (z_{i})$ 和 $O_{2} (z_{i})$ 的位置处测量基准的直线度误差设为 $r (z_{i})$ ，分解到x轴和y轴。x轴和y轴上对应的误差分量分别为 $r_{x} (z_{i})$ 和 $r_{y} (z_{i})$ 。在直线度误差的影响下，误差引入2.2节计算的中心测量结果中，变成 $[m_{1 x} (z_{i}), m_{1 y} (z_{i}), z_{i}]$ 和 $[m_{2 x} (z_{i}), m_{2 y} (z_{i}), z_{i}]$ ，其中

m_{1 x} (z_{i}) = o_{1 x} (z_{i}) - r_{x} (z_{i})

，（5）

m_{2 x} (z_{i}) = o_{1 x} (z_{i} + d) - r_{x} (z_{i})

，（6）

m_{1 y} (z_{i}) = o_{1 y} (z_{i}) - r_{y} (z_{i})

，（7）

m_{2 y} (z_{i}) = o_{1 y} (z_{i} + d) - r_{y} (z_{i})

。（8）

与传统的两点法一致，每个测点在两个方向上的坐标分量通过一次微分去除直线度误差的影响，再通过积分得到重建结果。由两个方向的分量组成各截面新的中心位置，即深孔轴上各点的坐标，构成重建轴。通过微分计算可以消除直线度误差的影响：

\begin{array}{l} Δ m_{x} (z_{i}) = \frac{1}{d} [m_{2 x} (z_{i}) - m_{1 x} (z_{i})] = \\ \frac{1}{d} [o_{1 x} (z_{i} + d) - o_{1 x} (z_{i})] = o_{x}^{'} (z_{i}) \end{array}

，（9）

\begin{array}{l} Δ m_{y} (z_{i}) = \frac{1}{d} [m_{2 y} (z_{i}) - m_{1 y} (z_{i})] = \\ \frac{1}{d} [o_{1 y} (z_{i} + d) - o_{1 y} (z_{i})] = o_{y}^{'} (z_{i}) \end{array}

，（10）

将式（9）与式（10）合并得到：

F_{x} (z_{i}) = F_{x} (z_{i - 1}) + Δ m_{x} (z_{i - 1}) \cdot s

，（11）

F_{y} (z_{i}) = F_{y} (z_{i - 1}) + Δ m_{y} (z_{i - 1}) \cdot s

。（12）

最后，轴上的重构点为 $[F_{x} (z_{i}), F_{y} (z_{i}), z_{i}], i = 0, 1, 2, 3, \dots, N - 1$ 。实测深孔轴线重建结果由以上几点组成。

2.5　仿真

为了验证本节理论，对测量过程进行仿真。图3所示为初步拟合的可行性模型，待测圆孔为400 mm深孔，孔半径为200 mm，并且孔轴的延伸方向为z轴。在图中孔轴的轴线用黑色星号色标注。孔轴在x轴和y轴方向上的投影如下：

P_{a x i} s_{x (z)} = 5 s i n (2 π \cdot z / 200)

，

P_{a x i} s_{y (z)} = 7 c o s (2 π \cdot z / 200)

。

图 3. 测量的圆孔

Fig. 3. Measured circular hole

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测量时，测量装置插入孔内，沿z轴正方向移动。仿真过程中主轴的直线度误差设置为由系统误差和随机误差两部分组成。在x和y方向上添加的系统误差部分为

e_{x s} = s i n (\frac{π z}{400})

，

e_{y s} = c o s (\frac{π z}{400})

。

将测量装置在扫描过程中运动轨迹的直线度误差设为高斯误差。从图4可以看出，在400 mm的测量范围内，由于主轴移动导致的x和y方向的直线度误差均小于±0.5 mm，这将在以后的模拟仿真中进一步消除。

图 4. 仿真的直线度误差

Fig. 4. Simulated straightness error

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需要研究6个位移传感器的探头输出对扫描过程中重建的影响（图5）。调零误差随机添加到探头输出。从后面的仿真结果（图7）来看，传感器调零误差可以忽略不计。

图 5. 探针输出

Fig. 5. Probe output

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图 6. 有直线度误差的轴

Fig. 6. Axis with straightness error

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图 7. 重建轴。（a）无直线度误差的轴；（b）重建轴与初始轴比较

Fig. 7. Reconstructed axis. (a) Axis without straightness error; (b) comparison between reconstructed axis and preset axis

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在1~6 mm范围内的随机误差被添加到每个传感器上，如2.2节所述，在每个测量位置，可对每层位移传感器的3个测量值进行拟合，得到当前测量截面的中心，即轴上的一个点。可以通过拟合在第一层3个位移传感器的测量值获得圆心的重构轴（图6）。在相同的测量范围内，x和y方向的直线度误差都比较严重，因此孔轴的误差很难正确表征。

但通过将2.2节的方法与6个位移传感器的测量值相结合，仍然可以得到重建的轴（图7）。与预设轴的原始轮廓相比，可以证明所设计的系统可以有效消除测量装置运行过程中运动轨迹的直线度误差对深孔轴重建结果的影响。与本文理论推导的结果一致。

2.6　实验

为验证上文所提方法在消除深孔轴重构过程中直线度误差的有效性，搭建实验平台。如图8（b）所示，在探头上安装了6个测量范围为10 mm的气动位移传感器。传感器用不同高度的金属块固定，将传感器分成两层，每层3个传感器均匀分布在圆周上。测量装置安装在垂直导轨上，以确保每层传感器的平面垂直于深孔的轴线。使用测量装置测量已知参数的标准环规，校准每层3个位移传感器之间的相对位置。标准环规基本信息见表1。

图 8. 设备结构。（a）实验设备；（b）测量装置

Fig. 8. Device structure. (a) Experimental device; (b) measurement device

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表 1. 标准环规信息

Table 1. Information of standard ring gauge

Diameter	Thickness	Straightness	Perpendicularity
340	200	0.005	0.02

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测试前，将垂直导轨与测量装置插入被测深孔中，使测量装置沿深孔轴线移动，每步2 mm。测量装置中的6个位移传感器将分别产生测量值。此实验用不到1 min的时间收集了34组数据。完成一次扫描测量后，通过数据处理计算出轴线上一系列点的坐标，完成深孔轴线的测量与拟合。

如图9所示，拟合第一层3个位移传感器的测量值，得到的重建轴在x轴和y轴上的直线度误差分量分别为109 μm和129 μm。经本文方法处理后，轴在x轴和y轴上的直线度误差分量分别为8 μm和32 μm。重建后的轴直线度更准确，与仿真结果一致。证明了本文方法在扫描测量深孔轴时，特别是在数据突然变化的情况下，可以有效消除载体自身运动的直线度误差对轴测量和拟合结果的影响。由于实验中使用的气动传感器有一个特殊的温度补偿模块来应对温度变化引起的漂移，实验应尽可能在恒温下进行以消除补偿模块带来的影响。

图 9. 不同方法的重建结果

Fig. 9. Reconstruction results of different methods

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3　分析与讨论

3.1　传感器测量误差

传感器作为数据来源能导致在每一个位置的数据采集出现测量误差。为了避免两点法数据处理误差带来的影响，在 $s = d$ 下运行。假设由于读数误差导致的传感器输出的标准不确定度为 $u_{r}$ 。设 $m_{1 x} (z_{k})$ 和 $m_{2 x} (z_{k})$ 的不确定性分别为 $u_{1 x}$ 和 $u_{2 x}$ 。由于 $u_{1 x}$ 和 $u_{2 x}$ 以3个位移传感器的输出的不确定性拟合，

u_{1 x} = \sqrt[]{{\frac{\partial o_{1 x}}{\partial l_{A}}}^{2} {u_{r}}^{2} + {\frac{\partial o_{1 x}}{\partial l_{B}}}^{2} {u_{r}}^{2} + {\frac{\partial o_{1 x}}{\partial l_{C}}}^{2} {u_{r}}^{2}}

，（13）

u_{2 x} = \sqrt[]{{\frac{\partial o_{2 x}}{\partial l_{D}}}^{2} {u_{r}}^{2} + {\frac{\partial o_{2 x}}{\partial l_{E}}}^{2} {u_{r}}^{2} + {\frac{\partial o_{2 x}}{\partial l_{F}}}^{2} {u_{r}}^{2}}

。（14）

带上3个位移的测量点对应的坐标 $A^{'} (x_{A}^{'}, y_{A}^{'}) 、 B^{'} (x_{B}^{'}, y_{B}^{'}) 、 C^{'} (x_{C}^{'}, y_{C}^{'})$ 将第一层上的传感器代入式（1），坐标 $D^{'} (x_{D}^{'}, y_{D}^{'}) 、 E^{'} (x_{E}^{'}, y_{E}^{'}) 、 F^{'} (x_{F}^{'}, y_{F}^{'})$ 将第二层上的3个位移传感器的测量点对应到式（2）中。将得到的方程重新整理可以得到：

o_{1 x} = \frac{1}{3} [\begin{matrix} x_{B} + x_{C} + l_{A} c o s θ_{A} + l_{B} c o s θ_{B} + l_{C} c o s θ_{C} - \\ \sqrt[]{r_{1}^{2} - (l_{A} s i n θ_{A} - o_{1 y})^{2}} - \sqrt[]{r_{1}^{2} - (y_{B} + l_{B} s i n θ_{B} - o_{1 y})^{2}} - \\ \sqrt[]{r_{1}^{2} - (y_{C} + l_{C} s i n θ_{C} - o_{1 y})^{2}} \end{matrix}]

，（15）

o_{2 x} = \frac{1}{3} [\begin{matrix} x_{D} + x_{E} + x_{F} + l_{D} c o s θ_{D} + l_{E} c o s θ_{E} + l_{F} c o s θ_{F} - \\ \sqrt[]{r_{1}^{2} - (l_{D} s i n θ_{D} - o_{2 y})^{2}} - \sqrt[]{r_{1}^{2} - (y_{E} + l_{E} s i n θ_{E} - o_{2 y})^{2}} - \\ \sqrt[]{r_{1}^{2} - (y_{F} + l_{F} s i n θ_{F} - o_{2 y})^{2}} \end{matrix}]

，（16）

\begin{array}{l} \frac{\partial o_{1 x}}{\partial l_{A}} = \frac{1}{3} c o s θ_{A} + \frac{1}{3} {[r_{1}^{2} - (l_{A} s i n θ_{A} - o_{1 y})^{2}]}^{- \frac{1}{2}} \cdot \\ (l_{A} s i n θ_{A} - o_{1 y}) s i n θ_{A} \end{array}

，（17）

\begin{array}{l} \frac{\partial o_{1 x}}{\partial l_{B}} = \frac{1}{3} c o s θ_{B} + \frac{1}{3} {[r_{1}^{2} - (y_{B} + l_{B} s i n θ_{B} - o_{1 y})^{2}]}^{- \frac{1}{2}} \cdot \\ (y_{B} + l_{B} s i n θ_{B} - o_{1 y}) s i n θ_{B} \end{array}

，（18）

\begin{array}{l} \frac{\partial o_{1 x}}{\partial l_{C}} = \frac{1}{3} c o s θ_{C} + \frac{1}{3} {[r_{1}^{2} - (y_{C} + l_{C} s i n θ_{C} - o_{1 y})^{2}]}^{- \frac{1}{2}} \cdot \\ (y_{C} + l_{C} s i n θ_{C} - o_{1 y}) s i n θ_{C} \end{array}

，（19）

\begin{array}{l} \frac{\partial o_{2 x}}{\partial l_{D}} = \frac{1}{3} c o s θ_{D} + \frac{1}{3} {[r_{1}^{2} - (y_{D} + l_{D} s i n θ_{D} - o_{2 y})^{2}]}^{- \frac{1}{2}} \cdot \\ (y_{D} + l_{D} s i n θ_{D} - o_{2 y}) s i n θ_{D} \end{array}

，（20）

\begin{array}{l} \frac{\partial o_{2 x}}{\partial l_{E}} = \frac{1}{3} c o s θ_{E} + \frac{1}{3} {[r_{1}^{2} - (y_{E} + l_{E} s i n θ_{E} - o_{2 y})^{2}]}^{- \frac{1}{2}} \cdot \\ (y_{E} + l_{E} s i n θ_{E} - o_{2 y}) s i n θ_{E} \end{array}

，（21）

\begin{array}{l} \frac{\partial o_{2 x}}{\partial l_{F}} = \frac{1}{3} c o s θ_{F} + \frac{1}{3} {[r_{1}^{2} - (y_{F} + l_{F} s i n θ_{F} - o_{2 y})^{2}]}^{- \frac{1}{2}} \cdot \\ (y_{F} + l_{F} s i n θ_{F} - o_{2 y}) s i n θ_{F} \end{array}

，（22）

将数字代入式（11）和式（14）中得：

u_{1 x} = 33.1865 u_{r}

，（23）

u_{2 x} = 0.6724 u_{r}

。（24）

设每个不同的 $Δ m_{x} (z_{k})$ 在式（9）中为 $u_{m}$ ，即

u_{m} = \frac{33.1933}{d} u_{r}

，（25）

则重建轴上第k个重建点的不确定性可通过式（11）、式（14）与不确定性综合理论得到：

u_{r} [F_{x} (z_{k})] = \sqrt[]{k \cdot d^{2} \frac{33 . 1933^{2}}{d^{2}} {u_{r}}^{2}} = 33.1933 \sqrt[]{k} \cdot u_{r}

。（26）

因此，传感器自身确定的测量误差会随着测量次数的增加而累积。类似地， $u_{r} [F_{y} (z_{k})]$ 也在同一个规则中。所以传感器的精度越高，轴重建的精度就越高^［19］。本文选用的传感器为Solartron计量公司的DP/10/P气动传感器，测量范围为10 mm，精度小于0.1 μm。

3.2　传感器调零误差

在2.2节标定传感器相对位置时的传感器调零误差会影响最后的重建结果^［20］，在2.5节模型模拟（图6）中已经考虑调零误差并且最后重建结果的精确度没有被影响。现在对其进行理论推导和分析。

设定在第一层的传感器沿着x轴和y轴的调零误差分别为 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 。在第二层传感器沿着x轴和y轴的调零误差分别为 $e_{3}$ 和 $e_{4}$ 。然后计算中心的式（5）~（8）分别变为

m_{1 x, z e r o} (z_{i}) = o_{1 x} (z_{i}) - r_{x} (z_{i}) + e_{1}

，（27）

m_{2 x, z e r o} (z_{i}) = o_{1 x} (z_{i} + d) - r_{x} (z_{i}) + e_{2}

，（28）

m_{1 y, z e r o} (z_{i}) = o_{1 y} (z_{i}) - r_{y} (z_{i}) + e_{3}

，（29）

m_{2 y, z e r o} (z_{i}) = o_{1 y} (z_{i} + d) - r_{y} (z_{i}) + e_{4}

。（30）

式（9）与式（10）微分的部分变为

\begin{array}{l} Δ m_{x, z e r o} (z_{i}) = \frac{1}{d} [m_{2 x} (z_{i}) - m_{1 x} (z_{i})] = \\ \frac{1}{d} [o_{1 x} (z_{i} + d) - o_{1 x} (z_{i})] + \\ \frac{1}{d} (e_{2} - e_{1}) = o_{x}^{'} (z_{i}) + ζ \end{array}

，（31）

\begin{array}{l} Δ m_{y, z e r o} (z_{i}) = \frac{1}{d} [m_{2 y} (z_{i}) - m_{1 y} (z_{i})] = \\ \frac{1}{d} [o_{1 y} (z_{i} + d) - o_{1 y} (z_{i})] + \\ \frac{1}{d} (e_{4} - e_{3}) = o_{y}^{'} (z_{i}) + ξ \end{array}

，（32）

其中

ζ = \frac{1}{d} (e_{2} - e_{1}), ξ = \frac{1}{d} (e_{4} - e_{3})

。

最终可以得到：

F_{x, z e r o} (z_{i}) = F_{x} (z_{i}) + ζ \cdot i

，（33）

F_{y, z e r o} (z_{i}) = F_{y} (z_{i}) + ξ \cdot i

。（34）

由于传感器的调零误差，本文在中心坐标的重建结果中引入了线性误差，在空间上表示为角度正切值 $ζ$ 和 $ξ$ 的旋转。当只存在线性误差时，去除线性趋势后的重建结果与实际轴重合。并且在这种情况下调零误差不会影响重建深孔轴的精度。

4　结论

提出了一种新的六探针测量系统用于深孔轴重建。这个测量过程可以最终消除载体自身运动的直线度误差对轴测量和拟合结果的影响，准确地重建被测孔。为验证该方法的可行性，本文进行了仿真和实验验证，均显示出良好的深孔轴重建效果。实验表明，该方法可以将x方向的直线度误差从109 μm减小到8 μm，y方向的直线度误差从129 μm减小到32 μm。该测量系统提高了大型工件在机测量的灵活性，具有自动化的特点，为大孔工件内径的测量和轴的重建提供了新的思路。

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