高重复频率谐波自锁模Nd∶YVO<sub>4</sub>激光器实验特性研究

研究了高重复频率的谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器。理论证明了当增益介质与谐振腔的光学长度的比值接近最简分数时，激光器的纵模模式间距可以被修改为增益介质自由光谱范围的整数倍，并对应谐波锁模脉冲输出。开展了相关实验，结果表明，当泵浦功率为6.57 W，增益介质和谐振腔的光学长度分别为11.0 mm和25.8 mm时，对应最简分数为3/7，获得了3倍增益介质自由光谱范围的模式间距纵模分布，对应谐波锁模脉冲的重复频率为40.92 GHz，平均输出功率为790.7 mW。实验还发现，当固定增益介质的光学长度时，获得的谐波锁模脉冲输出对应的谐振腔腔长存在锁定范围，进一步验证了谐振腔腔长锁定范围与增益介质的光学长度成正比。

Abstract

Objective

High-repetition-rate laser pulse sources have extensive applications in fields such as high-speed optical communications, optical clocks, wireless communications, high-capacity optical networks, quantum communications, and laser ranging. Researchers have proposed various methods to achieve high-repetition-rate laser pulses, including self-mode-locked lasers, passive mode-locked solid-state lasers, quantum-well Bragg-Perot lasers, harmonic mode-locked erbium-doped fiber lasers, and quantum-well Bragg-Perot mode-locked lasers. Owing to their compact structure and low cavity loss, self-mode-locked lasers are promising for obtaining high-repetition-rate laser pulse signals. However, achieving high-repetition-rate self-mode-locked laser pulses theoretically requires an extremely short laser cavity that makes it challenging for solid-state lasers to achieve a high-power output. This study presents a high-repetition-rate harmonic mode-locked laser based on an Nd∶YVO₄crystal that successfully achieves a harmonic mode-locked pulse output corresponding to the free spectral range of the gain medium by precisely adjusting the optical length of the resonant cavity.

Methods

First, a realistic model for laser longitudinal mode selection simulation is established based on standard tool effects. Through simulation experiments, it is discovered that when the ratio of the optical length of the gain medium to that of the resonant cavity is a simple fraction q/p (where q and p are positive integers), the longitudinal mode spacing of the laser is modified to p times the original longitudinal mode spacing, which is also equal to q times the free spectral range of the gain medium. Subsequently, a simulation model for harmonic mode-locked lasers is established based on the damping harmonic oscillator model. Simulation experiments show that good harmonic mode-locked pulses can be obtained only when the ratio of the optical length of the gain medium to that of the resonant cavity is close to the simple fraction q/p. To validate these theoretical results, four sets of harmonic mode-locked Nd∶YVO₄ lasers with different gain-medium lengths are designed and experimentally studied. The harmonic mode-locked pulse outputs of these four laser sets are investigated along with the relationship between the lockable range of the optical length of the resonant cavity and that of the gain medium.

Results and Discussions

In the experiments, the optical length of the gain medium is fixed at 11.0, 22.0, 35.2, and 44.0 mm for the four laser sets. A comprehensive scan of the optical length of the resonant cavity is performed to study the effect of the ratio of the optical lengths of the gain medium to that of the resonant cavity on the laser pulse output. The experimental results show that when the ratio of the optical length of the gain medium to the optical length of the resonant cavity is close to 1/3, 2/5, and 3/7, the longitudinal mode spacing of the four laser sets is modified to one, two, and three times the free spectral range of the gain medium, respectively, and the laser output is harmonic mode-locked pulses corresponding to 1, 2, and 3 times the free spectral range of the gain medium. When the optical length of the gain medium is fixed, a lockable range exists for the optical length of the resonant cavity. When the optical length of the resonant cavity exceeds this lockable range, the laser output often exhibits the characteristics of multi-pulse-mode locking. Furthermore, the lockable range of the optical length of the resonant cavity is positively correlated with the optical length of the gain medium. To assess the stability of the laser output, an Nd∶YVO₄ harmonic-mode-locked laser with a physical gain medium length of 20 mm is selected for long-term observation. The experimental results show that when laser outputs are the first, second, and third harmonics corresponding to the free spectral range of the gain medium, the spectral drifts within half an hour are 0.011, 0.018, and 0.010 nm, respectively, and the amplitude fluctuation of the laser pulse within 100 ns is 3.26%, 4.85%, and 3.61%, respectively.

Conclusions

This study successfully achieves harmonic mode-locked pulse outputs in four sets of Nd∶YVO₄ lasers with different gain medium lengths. Theoretical analysis and experimental research reveal that when the ratio of the optical length of the gain medium to the optical length of the resonant cavity is very close to a simple fraction q/p, the longitudinal mode spacing of the resonant cavity is modified to q times the free spectral range of the gain medium, and the laser output consists of harmonic mode-locked pulses corresponding to q times the free spectral range of the gain medium. At optical lengths of 11.0 mm and 25.8 mm for the gain medium and resonant cavity, respectively, a third harmonic mode-locked pulse with a repetition frequency of 40.92 GHz and a pulse duration of 24.4 ps is achieved. At a pump power of 6.57 W, the average output power is 790.7 mW. Furthermore, the optical length of the resonant cavity has a lockable range that is positively correlated with the optical length of the gain medium. These findings provide important references for the design and optimization of harmonic mode-locked lasers to ensure stable mode-locked pulse output. Future research will explore experiments using laser crystals with different doping concentrations but the same geometric length to verify the repeatability and generality of these conclusions and to further optimize the performance of harmonic mode-locked lasers.

1　引言

高重复频率的激光脉冲光源可用于高速光通信^［1］、光时钟^［2-3］、无线通信^［4-6］、高容量光网络^［7］、量子通信^［8-9］和激光测距^［10-11］等领域。为了实现高重复频率的激光脉冲光源，研究者提出了许多方法，包括自锁模激光器^［12-16］、被动锁模固体激光器^［17］、基于量子势垒法布里-珀罗激光器^［18-19］、谐波锁模掺铒光纤激光器^［20］和基于量子阱法布里-珀罗锁模激光器^［21］等。自锁模激光器由于结构紧凑、腔损耗低等优点，是一种很有前途的获得高重复频率激光脉冲信号的方法。理论上要实现高重复频率的自锁模激光脉冲，需要激光腔长非常短，但短腔长的固体激光器却难以实现高功率输出^［22］。谐波自锁模是在腔内引入法布里-珀罗（F-P）效应，使激光器的模式间距被修改为F-P腔自由光谱范围的整数倍，实现对应F-P腔模式的谐波锁模脉冲输出^［23］。因此谐波自锁模激光器可以同时满足高重复频率和高功率输出两个条件。目前，全世界多个研究团队已经在多种固态激光器中实现了谐波自锁模的操作。2013年，Chen等^［24］对Yb∶YAG晶体进行镀膜以实现谐波锁模的F-P腔，调整谐振腔的光学长度，使Yb∶YAG晶体与谐振腔的光学长度的比值接近3/11，最终在Yb∶YAG自锁模激光器中实现了重复频率为240 GHz的锁模脉冲输出，对应Yb∶YAG晶体F-P腔自由光谱范围的三次谐波。2016年，Sung等^［25］从数值上验证了当谐振腔的光学长度与腔内F-P腔的光学长度成某比率时，谐振腔的模式间距可以被修改为F-P腔自由光谱范围的数倍。在实验中，利用晶体后端面与输入凹镜构成F-P腔，调整谐振腔的光学长度，使其与F-P腔的光学长度比值接近20/3。在Nd∶Sr₃Y₂（BO₃）₄晶体激光器中实现了重复频率为110 GHz的锁模脉冲输出，对应F-P腔自由光谱范围的三次谐波。2018年，Wang等^［26］发现，激光晶体的放大标准具效应引起的带有梳状滤波器的腔内脉冲整形机制，可以改变激光腔模式间距，并通过微调激光束和激光晶体光轴的夹角，实现了重复频率为22.4 GHz的锁模脉冲输出，对应激光晶体F-P腔自由光谱范围的三次谐波。

本文提出了一种基于Nd∶YVO₄晶体的高重复频率谐波自锁模激光器。在实验中，对增益介质进行镀膜，使增益介质内部形成F-P腔。精确调节谐振腔的光学长度，使增益介质与谐振腔的光学长度的比值接近最简分数3/7，成功实现了激光波长为1064 nm的锁模脉冲输出，对应增益介质自由光谱范围的三次谐波。本文共分为五个部分，第二部分描述了实验装置，第三部分进行了理论分析和实验仿真，第四部分讨论了实验结果，最后一部分给出了实验结论。

2　实验装置

谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器的实验装置如图1所示，其中图1（a）是原理图，图1（b）是实物图。泵浦源选用输出功率为40 W、中心波长为808 nm的光纤耦合激光二极管，光纤芯径为105 μm，数值孔径为0.22。泵浦光束经过一个焦距（f）为28 mm、耦合效率为85%的非球面透镜会聚到增益介质中。增益介质是Nd³⁺离子掺杂浓度（原子数分数）为1.0%、横截面尺寸为3 mm×3 mm、折射率为2.2的Nd∶YVO₄晶体。晶体的后端表面镀有增透膜（AR@808 nm，反射率R≤0.2%）和高反射膜（HR@1064 nm，R≥99.8%），前端表面镀有增透膜（AR@808 nm&1064 nm，R≤0.2%）。晶体被包裹在0.1 mm厚的铟箔中，使其与热沉充分接触。热沉外部连接热电冷却器进行温度控制，采用水循环装置对热电冷却器进行散热，温控精度为±0.1 ℃。输出镜（M）是平面镜，镀有高反射膜（HR@1064 nm，R=95%；HR@808 nm，R≥99.8%）。激光输出脉冲轨迹由光电二极管（能够检测的脉冲重复频率最高为18 GHz@3 dB带宽）检测，并显示在带宽为12 GHz、采样率为40 GSa·s^-1的数字示波器上。激光光谱由光谱分析仪检测，分辨率为0.01 nm。激光输出功率由光功率计测量，分辨率为0.1 mW。

图 1. 谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器实验装置图。（a）原理图；（b）实物图

Fig. 1. Experimental setup for harmonic self-mode-locked Nd∶YVO₄ laser. (a) Schematic; (b) photograph

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由于Nd∶YVO₄晶体前后端面镀膜，Nd∶YVO₄晶体将形成F-P腔。在实验中，通过移动输出镜M，改变激光器谐振腔的光学长度。当Nd∶YVO₄晶体与谐振腔的光学长度的比值呈简分数关系时，激光输出为对应Nd∶YVO₄晶体F-P腔自由光谱范围的谐波锁模脉冲。

3　理论分析及仿真

如图1所示，增益介质Nd∶YVO₄晶体后端面和输出镜M构成谐振腔，晶体自身则构成F-P腔。对于图1所示的激光器，谐振腔的纵模模式间距（ $Δ λ_{c}$ ）为

Δ λ_{c} = \frac{λ_{0}^{2}}{2 [L_{c a v} + (n - 1) L_{c r y}]} = \frac{λ_{0}^{2}}{2 L_{c a v}^{*}}

，（1）

式中： $λ_{0}$ 为中心波长； $L_{c a v}$ 为谐振腔的物理长度； $n$ 为增益介质的折射率； $L_{c r y}$ 为增益介质的物理长度； $L_{c a v}^{*}$ 为谐振腔的光学长度。F-P腔的纵模模式间距（ $Δ λ_{F P}$ ）为

Δ λ_{F P} = \frac{λ_{0}^{2}}{2 n L_{c r y}} = \frac{λ_{0}^{2}}{2 L_{c r y}^{*}}

，（2）

式中： $L_{c r y}^{*}$ 为增益介质的光学长度。由式（1）、（2）可得

\frac{Δ λ_{c}}{Δ λ_{F P}} = \frac{L_{c r y}^{*}}{L_{c a v}^{*}}

。（3）

由式（3）可知，谐振腔和F-P腔的纵模模式间距之比与两者的光学长度之比相关。图2展示了当 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ =1/3，2/5，3/7时，利用标准具效应对激光纵模进行选模的过程。图2（a1）~（a3）是当 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ =1/3，2/5，3/7时，F-P腔透射峰曲线和谐振腔的原始纵模光谱。其中：高曲线是线宽为 $Γ_{F P}$ 的F-P腔透射率曲线，自由光谱范围固定为 $Δ λ_{F P}$ ；矮曲线是线宽分别为 ${Γ_{1}}_{c}$ 、 ${Γ_{2}}_{c}$ 和 ${Γ_{3}}_{c}$ 的谐振腔的原始纵模光谱，分别以 $Δ {λ_{1}}_{c}$ ， $Δ {λ_{2}}_{c}$ 和 $Δ {λ_{3}}_{c}$ 的间距均匀分布。原始纵模在穿过周期性的F-P腔透射峰曲线后，在透射率高的地方被保留，在透射率低的地方被抑制，最终经过F-P腔选模后纵模不再以原始间距均匀分布。在相同的F-P腔透射峰曲线下，当改变谐振腔的光学长度时，谐振腔的原始纵模模式间距会随之改变，选模后的纵模模式间距也会随之改变。当F-P腔自由光谱范围与谐振腔的原始纵模模式间距呈一定比例时，谐振腔纵模模式间距会被等比例修改。如图2（b1）~（b3）所示，当 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ =1/3，2/5，3/7，即谐振腔的原始纵模模式间距与F-P腔自由光谱范围的比值分别为1/3、2/5、3/7时，纵模模式间距被修改为谐振腔原始纵模模式间距的3、5、7倍，同时也是F-P腔自由光谱范围的1、2、3倍。根据仿真结果可知，当增益介质与谐振腔的光学长度的比值为简分数q/p（q、p都是正整数）时，激光器纵模模式间距被修改为原始纵模模式间距的p倍，同时也是增益介质自由光谱范围的q倍。

图 2. $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3，2/5，3/7时F-P腔的选模示意图。（a1）~（a3）F-P腔透射峰曲线和谐振腔原始纵模光谱；（b1）~（b3）选模后的纵模光谱

Fig. 2. When $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3, 2/5, 3/7, schematic diagram of F-P cavity mode selection. (a1)‒(a3) Transmittance peak curves of F-P cavity and original longitudinal-mode spectra of resonator cavity; (b1)‒(b3) longitudinal mode spectra after mode selection

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假设激光纵模在谐振腔内锁相，则激光的频率分布 $I (λ)$ 可以由阻尼谐波振荡器模型描述，即

I (λ) = \frac{1}{π} \sum_{m = - M}^{M} \frac{a_{m} Γ_{c} (λ - λ_{0}) γ_{c}}{{[(λ - λ_{0}) - m Δ λ_{c}]}^{2} + {[(λ - λ_{0}) γ_{c}]}^{2}}

，（4）

式中： $λ$ 为激光波长； $λ_{0}$ 为中心波长； $M$ 为谐振腔内的激光纵模模式数； $m$ 为第 $m$ 个激光纵模； $a_{m}$ 为第 $m$ 个激光纵模的加权系数； $Γ_{c}$ 为谐振腔的线宽； $γ_{c}$ 为谐振腔的阻尼常数。由于增益介质形成F-P腔，故引入标准具效应对激光纵模进行调制。假设F-P腔的激光纵模的分布是高斯型的，则激光的频率分布通过有效传输函数进行调制。

I (λ) = \frac{1}{π} \sum_{m = - M}^{M} \frac{a_{m} Γ_{c} (λ - λ_{0}) γ_{c}}{{[(λ - λ_{0}) - m Δ λ_{c}]}^{2} + {[(λ - λ_{0}) γ_{c}]}^{2}} \cdot \sum_{n = - N}^{N} \frac{b_{n} Γ_{F P} (λ - λ_{0}) γ_{F P}}{{[(λ - λ_{0}) - n Δ λ_{F P}]}^{2} + {[(λ - λ_{0}) γ_{F P}]}^{2}}

，（5）

式中： $N$ 为F-P腔内的激光纵模模式数； $n$ 为第 $n$ 个激光纵模； $b_{n}$ 为第 $n$ 个激光纵模的加权系数； $Γ_{F P}$ 为F-P腔的线宽； $γ_{F P}$ 为F-P腔的阻尼常数。图3（a）~（c）是当 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ =1/3，1.03/3，1.1/3时，对式（3）进行傅里叶变换获得的时序仿真图。当 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ =1/3时，激光输出为良好的谐波锁模脉冲。当 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ 变为1.03/3时，激光输出的谐波锁模脉冲会出现幅度抖动现象。再次改变 $L_{c r y}^{*}$ / $L_{c a v}^{*}$ 为1.1/3时，激光输出呈现多脉冲锁模特征。根据仿真结果可知，只有当增益介质与谐振腔的光学长度的比值非常接近简分数q/p时，才能获得良好的谐波锁模脉冲。

图 3. 时域仿真图。（a） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3；（b） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.03/3；（c） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.10/3

Fig. 3. Time domain simulation diagrams. (a) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3; (b) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.03/3; (c) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.10/3

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4　实验结果与讨论

在实验中，改变谐振腔的光学长度，使Nd∶YVO₄晶体与谐振腔的光学长度形成最简分数的比例关系，以实现谐波锁模脉冲输出。为了验证谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器的普适性，选取了四个不同长度的Nd∶YVO₄晶体作为谐波自锁模激光器的增益介质。在实验中，固定谐振腔的物理长度为100 mm，对这四组不同长度晶体的谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器进行了详细测量，以评估其输出性能。四组晶体的物理长度分别为5、10、16、20 mm，对应的光学长度 $L_{c r y}^{*}$ 分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm。图4（a）~（b）是四组激光器的输出功率和光束质量图。如图4（a）所示，当 $L_{c r y}^{*}$ =11 mm，泵浦功率为6.57 W时，激光器的输出功率为790.7 mW，对应的斜效率和光学转换效率分别为11.91%和12.02%。随着 $L_{c r y}^{*}$ 增加到22.0、35.2、44.0 mm时，输出功率增加至880.5、982.9、1047.6 mW，斜效率增加至13.33%、13.38%，14.93%，光学转换效率增加至14.94%、15.95%、15.97%。如图4（b）所示，当 $L_{c r y}^{*}$ =11 mm时，光束质量（ $M^{2}$ ）为1.35，表现出最佳的光束质量。随着 $L_{c r y}^{*}$ 增加到22.0、35.2、44.0 mm，光束质量 $M^{2}$ 增加到1.46、1.62、1.75。实验结果表明，随着Nd∶YVO₄晶体光学长度的增加，谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器的输出功率增加，斜效率和光学转换效率也增加，但光束质量变差。

图 4. 四组激光器的输出功率和光束质量图。（a）平均输出功率与抽运功率的关系（点为数据，线为拟合线）；（b）输出的光束质量

Fig. 4. Output power and beam quality values of four groups of lasers. (a) Average output power versus incident pump power (dot is data and line is fitted curve); (b) output beam quality

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在实验中，固定四组激光器的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm。通过对谐振腔的光学长度进行全面扫描，发现当增益介质与谐振腔的光学长度的比值接近最简分数q/p时，激光器的纵模模式间距被修改为增益介质自由光谱范围的q倍。由于光谱分析仪的测量精度有限，激光纵模模式间距的第三位小数是估计值。图5（a1）~（d1）是增益介质与谐振腔的光学长度的比值接近1/3时四组激光器的激光光谱图，对应的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm，对应的谐振腔的光学长度分别为33.2、66.5、106.3、132.6 mm，此时四组激光器对应的纵模模式间距分别为0.050、0.025、0.016、0.013 nm。图5（a2）~（d2）是增益介质与谐振腔的光学长度的比值非常接近2/5时四组激光器的激光光谱图，对应的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm，对应的谐振腔的光学长度为27.8、55.2、88.2、110.4 mm，此时四组激光器对应的纵模模式间距分别为0.100、0.050、0.032、0.026 nm。图5（a3）~（d3）是增益介质与谐振腔的光学长度的比值非常接近3/7时四组激光器的激光光谱图，对应的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm，对应的谐振腔的光学长度分别为25.8、55.2、88.2、110.4 mm，此时四组激光器对应的纵模模式间距分别为0.150、0.075、0.048、0.039 nm。实验中，四组激光器的增益介质自身构成了F-P腔，引入标准具效应对激光进行调制。根据F-P腔的纵模模式间距计算公式 $Δ λ_{F P} = λ_{0}^{2} / (2 L_{c r y}^{*}$ ），推出四组激光器F-P腔的纵模模式间距分别为0.051、0.025、0.016、0.013 nm。观察图5（a1）~（d1）、（a2）~（d2）、（a3）~（d3）发现：图5（a1）~（d1）对应的纵模模式间距分别是四组激光器F-P腔的纵模模式间距的1倍；图5（a2）~（d2）对应的纵模模式间距分别是四组激光器F-P腔的纵模模式间距的2倍；图5（a3）~（d3）对应的纵模模式间距分别是四组激光器F-P腔的纵模模式间距的3倍。实验结果表明，当调整谐振腔的光学长度，使增益介质与谐振腔的光学长度的比值接近简分数q/p时，激光器纵模模式间距被修改为增益介质自由光谱范围的q倍，与上述的理论分析和仿真结果一致。

图 5. 四组激光器的激光光谱图。（a1）~（d1） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3；（a2）~（d2） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =2/5；（a3）~（d3） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =3/7

Fig. 5. Laser spectra of four groups of lasers. (a1)‒(d1) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3; (a2)‒(d2) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =2/5; (a3)‒(d3) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =3/7

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在实验中，还发现当增益介质与谐振腔的光学长度的比值接近最简分数q/p时，激光输出为良好的锁模脉冲，对应增益介质自由光谱范围的q次谐波。由于数字示波器带宽限制为12 GHz，故无法测量所有情况下的脉冲轨迹。为了得到所有情况下的脉冲轨迹，对图5（a1）~（a3）、（b2）~（b3）、（c3）的激光光谱数据进行仿真，得到了相应的仿真脉冲波形图，分别如图6（a1）~（a3）、（b2）~（b3）、（c3）所示。其余实验脉冲轨迹图是通过光电二极管（能够检测的脉冲重复频率最高为18 GHz@3 dB带宽）测量得到的。图6（a1）、（b1）、（c1）、（d1）是增益介质与谐振腔的光学长度的比值非常接近1/3时四组激光器的激光脉冲轨迹图，对应的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm，对应的谐振腔的光学长度分别为33.2、66.5、106.3、132.6 mm。此时四组激光器对应的脉冲时间间隔（T_r）分别为73.30、146.19、234.41、292.94 ps。根据脉冲重复频率与脉冲时间间隔的倒数关系，推出此时四组激光器对应的脉冲重复频率分别为13.64、6.82、4.26、3.41 GHz。图6（a2）、（b2）、（c2）、（d2）是增益介质与谐振腔的光学长度的比值非常接近2/5时四组激光器的激光脉冲轨迹图，对应的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm，对应的谐振腔的光学长度分别为27.8、55.2、88.2、110.4 mm，此时四组激光器对应的脉冲时间间隔分别为36.70、73.30、117.36、146.83 ps，同理推出此时四组激光器对应的脉冲重复频率分别为27.28、13.64、8.52、6.82 GHz。图6（a3）、（b3）、（c3）、（d3）是增益介质与谐振腔的光学长度的比值非常接近3/7时四组激光器的激光脉冲轨迹图，对应的增益介质的光学长度分别为11.0、22.0、35.2、44.0 mm，对应的谐振腔的光学长度为27.8、55.2、88.2、110.4 mm。此时四组激光器对应的脉冲时间间隔分别为24.40、48.90，78.20、97.64 ps，同理推出此时四组激光器对应的脉冲重复频率分别为0.92、20.46、12.78、10.23 GHz。实验中，四组激光器的增益介质自身构成了F-P腔。根据F-P腔脉冲重复复频率计算公式 $Δ f_{F P} = c / (2 L_{c r y}^{*})$ ，推出四组激光器F-P腔的脉冲重复频率分别为13.64、6.82、4.26、3.41 GHz。观察图6（a1）~（d1）、（a2）~（d2）、（a3）~（d3）发现：图6（a1）~（d1）对应的脉冲重复频率分别是四组激光器F-P腔的脉冲重复频率的1倍；图6（a2）~（d2）对应的脉冲重复频率分别是四组激光器F-P腔的脉冲重复频率的2倍；图6（a3）~（d3）对应的脉冲重复频率分别是四组激光器F-P腔的脉冲重复频率的3倍。实验结果表明，当增益介质光学长度与谐振腔光学长度的比值接近简分数q/p时，激光输出为对应增益介质自由光谱范围的q次谐波锁模脉冲。实验结果与上述理论分析和仿真结果一致。

图 6. 四组激光器的激光脉冲轨迹图。（a1）~（d1） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =1/3；（a2）~（d2） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =2/5；（a3）~（d3） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =3/7

Fig. 6. Laser pulse trajectories of four groups of lasers. (a1)‒(d1) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =1/3; (a2)‒(d2) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =2/5; (a3)‒(d3) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =3/7

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在实验中，还观察到当固定增益介质的光学长度时，谐振腔的光学长度存在一定的锁定范围。当谐振腔的光学长度超出这个锁定范围时，激光器的输出通常会呈现多脉冲锁模的特征，这与图3的仿真结果一致。通过对四组不同增益介质长度的谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器进行实验研究，发现谐振腔的光学长度的锁定范围与增益介质的光学长度密切相关。图7是激光输出分别为对应增益介质自由光谱范围的一次谐波、二次谐波和三次谐波锁模脉冲时，谐振腔的光学长度的锁定范围与增益介质的光学长度的关系。当激光输出为对应增益介质自由光谱范围的一次谐波时，四组激光器谐振腔光学长度的锁定范围的评判标准分别是1.8、3.5、5.7、7.1 mm；当激光输出为对应增益介质自由光谱范围的二次谐波时，四组激光器谐振腔光学长度的锁定范围的评判标准分别是0.9、1.8、2.8、3.5 mm；当激光输出为对应增益介质自由光谱范围的三次谐波时，四组激光器谐振腔的光学长度的锁定范围的评判标准分别是0.7、1.2、1.8、2.3 mm。观察实验结果发现：当增益介质的光学长度增大时，谐振腔的光学长度的锁定范围也会增大。实验结果表明，谐振腔的光学长度的锁定范围与增益介质的光学长度呈正相关。这一观察结果为设计和优化谐波自锁模激光器提供了重要的参考，可确保获得稳定的锁模脉冲输出。

图 7. 谐振腔光学长度的锁定范围与增益介质光学长度的关系（点为数据，线为拟合线）

Fig. 7. Relationship between locking range of resonator optical length and optical length of gain medium (dot is data and line is fitted curve )

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为了验证激光输出的稳定性，选取了增益介质物理长度为20 mm的Nd∶YVO₄谐波自锁模激光器进行长时间观测，实时监测了激光输出的光谱漂移和脉冲幅度波动。图8展示了当激光输出分别为对应增益介质自由光谱范围的一次、二次和三次谐波时，激光光谱在半小时内的漂移情况以及激光脉冲在100 ns内的幅度波动情况。如图8（a1）~（c1）所示，当激光输出分别为对应增益介质自由光谱范围的一次、二次和三次谐波时，激光光谱在30 min内的漂移量（Δλ）分别为0.011、0.018、0.010 nm。如图8（a2）~（c2）所示，当激光输出分别为对应增益介质自由光谱范围的一次、二次和三次谐波时，激光脉冲在100 ns内的幅度波动分别为3.26%、4.85%和3.61%。实验结果表明，在长时间观测中，激光光谱基本保持稳定，漂移量极小，同时激光输出脉冲也基本保持稳定，脉冲幅度波动微小。这些结果表明，谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器具有出色的激光输出稳定性。

图 8. 当激光输出分别为一次、二次和三次谐波时，激光光谱的漂移情况和激光脉冲幅度的波动情况。（a1）~（c1）激光光谱在30 min内的漂移情况；（a2）~（c2）激光脉冲在100 ns内幅度的波动情况

Fig. 8. Laser spectral drift and laser pulse amplitude fluctuations for first, second, and third harmonics. (a1)‒(c1) Laser spectral drift within 30 min; (a2)‒(c2) laser pulse amplitude fluctuation within 100 ns

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5　结论

成功实现了四组具有不同增益介质长度的Nd∶YVO₄激光器的谐波锁模脉冲输出。对比四组激光器发现，随着Nd∶YVO₄晶体光学长度的增加，谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器的输出功率、斜效率和光学转换效率都增加，但光束质量变差。通过理论分析和实验研究发现，当增益介质的光学长度与谐振腔的光学长度的比值非常接近简分数q/p时，谐振腔的纵模模式间距被修改为增益介质的自由光谱范围的q倍，同时激光输出为对应增益介质自由光谱范围的q次谐波锁模脉冲。当增益介质和谐振腔的光学长度分别为11.0 mm和25.8 mm时，两者的比值非常接近3/7，得到了重复频率为40.92 GHz和脉冲时间间隔为24.4 ps的三次谐波锁模脉冲。在6.57 W的泵浦功率下，平均输出功率可达790.7 mW。此外，还发现了谐振腔的光学长度存在锁定范围，且锁定范围与增益介质的光学长度呈正相关。这一发现为谐波自锁模激光器的设计和优化提供了重要的参考，可确保获得稳定的锁模脉冲输出。下一步将使用具有不同掺杂浓度但具有相同几何长度的激光晶体进行实验研究，根据简分数的要求确定光学谐振腔的长度，以验证这些结论的可重复性和推广性，并更深入地探索、优化谐波自锁模激光器的性能。

参考文献

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高重复频率谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器实验特性研究

1　引言

2　实验装置

图 1. 谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器实验装置图。（a）原理图；（b）实物图

Fig. 1. Experimental setup for harmonic self-mode-locked Nd∶YVO₄ laser. (a) Schematic; (b) photograph

3　理论分析及仿真

图 2. $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3，2/5，3/7时F-P腔的选模示意图。（a1）~（a3）F-P腔透射峰曲线和谐振腔原始纵模光谱；（b1）~（b3）选模后的纵模光谱

Fig. 2. When $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3, 2/5, 3/7, schematic diagram of F-P cavity mode selection. (a1)‒(a3) Transmittance peak curves of F-P cavity and original longitudinal-mode spectra of resonator cavity; (b1)‒(b3) longitudinal mode spectra after mode selection

图 3. 时域仿真图。（a） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3；（b） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.03/3；（c） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.10/3

Fig. 3. Time domain simulation diagrams. (a) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3; (b) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.03/3; (c) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.10/3

4　实验结果与讨论

图 4. 四组激光器的输出功率和光束质量图。（a）平均输出功率与抽运功率的关系（点为数据，线为拟合线）；（b）输出的光束质量

Fig. 4. Output power and beam quality values of four groups of lasers. (a) Average output power versus incident pump power (dot is data and line is fitted curve); (b) output beam quality

图 5. 四组激光器的激光光谱图。（a1）~（d1） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3；（a2）~（d2） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =2/5；（a3）~（d3） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =3/7

Fig. 5. Laser spectra of four groups of lasers. (a1)‒(d1) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3; (a2)‒(d2) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =2/5; (a3)‒(d3) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =3/7

图 6. 四组激光器的激光脉冲轨迹图。（a1）~（d1） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =1/3；（a2）~（d2） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =2/5；（a3）~（d3） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =3/7

Fig. 6. Laser pulse trajectories of four groups of lasers. (a1)‒(d1) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =1/3; (a2)‒(d2) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =2/5; (a3)‒(d3) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =3/7

图 7. 谐振腔光学长度的锁定范围与增益介质光学长度的关系（点为数据，线为拟合线）

Fig. 7. Relationship between locking range of resonator optical length and optical length of gain medium (dot is data and line is fitted curve )

图 8. 当激光输出分别为一次、二次和三次谐波时，激光光谱的漂移情况和激光脉冲幅度的波动情况。（a1）~（c1）激光光谱在30 min内的漂移情况；（a2）~（c2）激光脉冲在100 ns内幅度的波动情况

Fig. 8. Laser spectral drift and laser pulse amplitude fluctuations for first, second, and third harmonics. (a1)‒(c1) Laser spectral drift within 30 min; (a2)‒(c2) laser pulse amplitude fluctuation within 100 ns

5　结论

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高重复频率谐波自锁模Nd∶YVO4激光器实验特性研究

1 引言

2 实验装置

图 1. 谐波自锁模Nd∶YVO4激光器实验装置图。（a）原理图；（b）实物图

Fig. 1. Experimental setup for harmonic self-mode-locked Nd∶YVO4 laser. (a) Schematic; (b) photograph

3 理论分析及仿真

图 2. Lcry*/Lcav*=1/3，2/5，3/7时F-P腔的选模示意图。（a1）~（a3）F-P腔透射峰曲线和谐振腔原始纵模光谱；（b1）~（b3）选模后的纵模光谱

Fig. 2. When Lcry*/Lcav*=1/3, 2/5, 3/7, schematic diagram of F-P cavity mode selection. (a1)‒(a3) Transmittance peak curves of F-P cavity and original longitudinal-mode spectra of resonator cavity; (b1)‒(b3) longitudinal mode spectra after mode selection

图 3. 时域仿真图。（a）Lcry*/Lcav*=1/3；（b）Lcry*/Lcav*=1.03/3；（c）Lcry*/Lcav*=1.10/3

Fig. 3. Time domain simulation diagrams. (a) Lcry*/Lcav*=1/3; (b) Lcry*/Lcav*=1.03/3; (c) Lcry*/Lcav*=1.10/3

4 实验结果与讨论

图 4. 四组激光器的输出功率和光束质量图。（a）平均输出功率与抽运功率的关系（点为数据，线为拟合线）；（b）输出的光束质量

Fig. 4. Output power and beam quality values of four groups of lasers. (a) Average output power versus incident pump power (dot is data and line is fitted curve); (b) output beam quality

图 5. 四组激光器的激光光谱图。（a1）~（d1）Lcry*/Lcav*=1/3；（a2）~（d2）Lcry*/Lcav*=2/5；（a3）~（d3）Lcry*/Lcav*=3/7

Fig. 5. Laser spectra of four groups of lasers. (a1)‒(d1) Lcry*/Lcav*=1/3; (a2)‒(d2) Lcry*/Lcav*=2/5; (a3)‒(d3) Lcry*/Lcav*=3/7

图 6. 四组激光器的激光脉冲轨迹图。（a1）~（d1）Lcry*/Lcav*=1/3；（a2）~（d2）Lcry*/Lcav*=2/5；（a3）~（d3）Lcry*/Lcav*=3/7

Fig. 6. Laser pulse trajectories of four groups of lasers. (a1)‒(d1) Lcry*/Lcav*=1/3; (a2)‒(d2) Lcry*/Lcav*=2/5; (a3)‒(d3) Lcry*/Lcav*=3/7

图 7. 谐振腔光学长度的锁定范围与增益介质光学长度的关系（点为数据，线为拟合线）

Fig. 7. Relationship between locking range of resonator optical length and optical length of gain medium (dot is data and line is fitted curve )

图 8. 当激光输出分别为一次、二次和三次谐波时，激光光谱的漂移情况和激光脉冲幅度的波动情况。（a1）~（c1）激光光谱在30 min内的漂移情况；（a2）~（c2）激光脉冲在100 ns内幅度的波动情况

Fig. 8. Laser spectral drift and laser pulse amplitude fluctuations for first, second, and third harmonics. (a1)‒(c1) Laser spectral drift within 30 min; (a2)‒(c2) laser pulse amplitude fluctuation within 100 ns

5 结论

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高重复频率谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器实验特性研究

1　引言

2　实验装置

图 1. 谐波自锁模Nd∶YVO₄激光器实验装置图。（a）原理图；（b）实物图

Fig. 1. Experimental setup for harmonic self-mode-locked Nd∶YVO₄ laser. (a) Schematic; (b) photograph

3　理论分析及仿真

图 2. $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3，2/5，3/7时F-P腔的选模示意图。（a1）~（a3）F-P腔透射峰曲线和谐振腔原始纵模光谱；（b1）~（b3）选模后的纵模光谱

Fig. 2. When $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3, 2/5, 3/7, schematic diagram of F-P cavity mode selection. (a1)‒(a3) Transmittance peak curves of F-P cavity and original longitudinal-mode spectra of resonator cavity; (b1)‒(b3) longitudinal mode spectra after mode selection

图 3. 时域仿真图。（a） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3；（b） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.03/3；（c） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.10/3

Fig. 3. Time domain simulation diagrams. (a) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3; (b) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.03/3; (c) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1.10/3

4　实验结果与讨论

图 5. 四组激光器的激光光谱图。（a1）~（d1） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3；（a2）~（d2） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =2/5；（a3）~（d3） $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =3/7

Fig. 5. Laser spectra of four groups of lasers. (a1)‒(d1) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =1/3; (a2)‒(d2) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =2/5; (a3)‒(d3) $L_{c r y}^{}$ / $L_{c a v}^{}$ =3/7

图 6. 四组激光器的激光脉冲轨迹图。（a1）~（d1） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =1/3；（a2）~（d2） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =2/5；（a3）~（d3） ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =3/7

Fig. 6. Laser pulse trajectories of four groups of lasers. (a1)‒(d1) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =1/3; (a2)‒(d2) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =2/5; (a3)‒(d3) ${L_{c r y}}^{}$ / ${L_{c a v}}^{}$ =3/7

5　结论