1 引言

干涉型传感结构可以得到精细度较高的干涉条纹，主要有Michelson干涉结构、Mach-Zehnder干涉结构、Sagnac干涉结构、Fabry-Perot（F-P）干涉结构，但其自由光谱范围（FSR）较小。F-P干涉结构的腔由2个平行平面反射镜构成，腔长通常为几百微米及以上，其光谱为一系列间隔随波长增大而增大的谐振峰（谷），其FSR和谐振峰（谷）精细度分别与腔长和腔镜反射率有关。腔长越大，FSR越小。腔镜反射率越高，谐振峰（谷）精细度越高。Huang等人提出的将F-P干涉结构和Mach-Zehnder干涉结构进行级联的结构验证了上述结论^[1]。将反射镜用光纤布拉格光栅（FBG）代替时，由于光栅具有一定的反射带宽，在反射带宽以外的谐振峰（谷）将不再出现。目前，基于FBG的F-P传感结构得到了广泛的关注^[2-15]，和其他结构相比，具有灵敏度高、体积小、谐振峰（谷）精细度高等优点。Du和Markowski等人利用一对反射带宽重合的FBG，使其间隔一定距离构成F-P腔，通过FBG反射波长和F-P谐振波长的相对变化进行应变传感^{[3, 10]}，避免了FSR的影响，但其传感范围受光栅反射带宽的限制。

本文提出一种基于单个拉锥光纤布拉格光栅的法布里-珀罗（TFBG-FP）应变传感结构，并针对传感范围小的问题提出了改进方案。利用传输矩阵法计算得到，该结构具有无穷大的FSR和高精细度的谐振峰（谷）。当拉锥光纤腰区直径为光纤直径的3/25，栅区长度为30 mm时，在0～300 με范围内得到7.05 pm/με的灵敏度。该结构避免了FSR对传感范围的限制，对干涉型传感结构的设计具有一定的参考价值。

1 基本原理

基于单模光纤，图1（a）给出了一般FBG-FP的结构示意图，其反射谱可近似表示为^[3]

${R_{{\rm{FBG - FP}}}}\left( \lambda \right) = {R_{{\rm{FBG}}}}\left( \lambda \right){R_{{\rm{F - P}}}}\left( \lambda \right)$ (1)

式中：R_FBG为FBG反射率；R_F-P为F-P腔反射率。

F-P腔的波长谐振条件为^[16-17]

$\lambda = \frac{{2{n_{{\rm{eff}}}}H}}{m} \;\;\;\;\; (m = 1,2,3, \cdots )$ (2)

式中：n_eff为光纤的有效折射率；H为F-P腔长。F-P腔沿轴向的应变长度可表示为^[18]

$\Delta H = 2\int\limits_0^{{{\textit{z}} _0}} {\frac{F}{{E \cdot A\left( {\textit{z}} _0 \right)}}{\rm{d}}{{\textit{z}} _0}} $ (3)

式中：z₀为F-P腔反射镜位置的坐标（以F-P腔的中心为坐标原点）；E为光纤的杨氏系数；A（z）为光纤在z处的截面积；F为光纤所受到的应力。在应变的作用下，由（2）式得到F-P腔的谐振波长为

$\lambda = \frac{{2{n_{{\rm{eff}}}}H'}}{m} = \frac{{2{n_{{\rm{eff}}}}\left( {{H_0} + \Delta H} \right)}}{m} \;\;\;\;(m = 1,2,3, \cdots )$ (4)

式中，H₀为F-P腔的初始长度。由（4）式可知，当FBG-FP在应力作用下ΔH增大时，谐振波长将发生红移^{[3, 11, 19]}，通过谐振波长的漂移量即可进行应变传感。

对于一般的FBG-FP结构，当谐振阶次m增大时，短波长处仍存在F-P谐振波长λ₂等（见图1（b））。此时，随着n_effH增大，λ₂将漂移至λ₁的位置，即FBG-FP的自由光谱范围限制了FBG-FP的传感范围。

图 1. 一般FBG-FP的结构及反射光谱示意图

Fig. 1. Schematic of general FBG-FP structure and reflectance spectrum

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TFBG-FP传感结构图2（a）所示。由刻写在拉锥光纤锥区的FBG构成。光纤的有效折射率与光纤纤芯直径的关系可表示为^[10]

图 2. TFBG-FP结构、布拉格波长及反射光谱

Fig. 2. TFBG-FP structure, Bragg wavelength and reflectance spectrum

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$\frac{{2{\rm{{\text{π}} }}}}{\lambda }{d_{{\rm{core}}}}({\textit{z}})\sqrt {n_{{\rm{core}}}^2 - n_{{\rm{eff}}}^2({\textit{z}})} - \frac{{\rm{{\text{π}} }}}{2} = 2\arccos \sqrt {\frac{{n_{{\rm{core}}}^2 - n_{{\rm{eff}}}^2({\textit{z}})}}{{n_{{\rm{core}}}^2 - n_{{\rm{clad}}}^2}}} $ (5)

式中：d_core为光纤纤芯直径；n_core和n_clad分别为纤芯折射率和包层折射率。随着纤芯直径减小，有效折射率也随之减小，二者呈非线性关系。

由于有效折射率的变化，图2（a）中①、②部分形成啁啾方向相反的啁啾光纤布拉格光栅（CFBG）^[20]，其折射率调制周期Λ与布拉格波长λ_B的关系可表示为^[21]

${\lambda _{\rm{B}}}\left( {\textit{z}} \right) = 2{n_{{\rm{eff}}}}\left( {\textit{z}} \right){\mathit{\Lambda }}$ (6)

式中：z为栅区位置坐标。由（5）式和（6）式可得出该结构的有效折射率和布拉格波长λ_B沿轴向分布情况，如图2（b）所示。

单模光纤中，光栅的传输特性可以用传输矩阵法进行计算^[22-25]。将光栅近似为折射率周期排布的多层膜系，共结构及膜内光场如图3所示。则光波的传输矩阵分为界面M_INTERFACE和介质内传输矩阵M_LAYER，分别表示为^[25-27]

图 3. 多层膜结构及膜内光场示意图

Fig. 3. Schematic of multilayer-film structure and light field inside films

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$\left\{ \begin{array}{l} {{{M}}_{{\rm{INTERFAC}}{{\rm{E}}_j}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_j}}&{{b_j}} \\ {{b_j}}&{{a_j}} \end{array}} \right] \\ {{{M}}_{{\rm{LAYE}}{{\rm{R}}_j}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\exp \left( {{\rm{i}}{\beta _j}} \right)}&0 \\ 0&{\exp \left( {{\rm{ - i}}{\beta _j}} \right)} \end{array}} \right] \end{array} \right.$ (7)

$\left\{ \begin{array}{l} {a_j} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{{{n_{j + 1}}}}{{{n_j}}}} \right) \\ {b_j} = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{{{n_{j + 1}}}}{{{n_j}}}} \right) \\ {\beta _j} = {k_0}{n_j}{l_j} \\ {k_0} = \dfrac{{2{\text{π}} }}{\lambda } \end{array} \right. $ (8)

式中，λ为输入光波长。光栅的传输矩阵可近似为

$ \begin{split} {{M}}= & {{M}_{{\rm{INTERFAC}}{{\rm{E}}_1}}} \times {{M}_{{\rm{LAYE}}{{\rm{R}}_1}}} \times {{M}_{{\rm{INTERFAC}}{{\rm{E}}_2}}} \times\\ & {{M}_{{\rm{LAYE}}{{\rm{R}}_2}}} \times \cdots \times{{M}_{{\rm{INTERFAC}}{{\rm{E}}_k}}} \end{split} $ (9)

$ \begin{split} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_j^ + } \\ {E_j^ - } \end{array}} \right] = & {M_j}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{j + 1}^ + } \\ {E_{j + 1}^ - } \end{array}} \right] = \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_j}\exp \left( {{\rm{i}}{\beta _j}} \right)}&{{b_j}\exp \left( {{\rm{ - i}}{\beta _j}} \right)} \\ {{b_j}\exp \left( {{\rm{i}}{\beta _j}} \right)}&{{a_j}\exp \left( {{\rm{ - i}}{\beta _j}} \right)} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{j + 1}^ + } \\ {E_{j + 1}^ - } \end{array}} \right] \end{split} $ (10)

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_0^ + } \\ {E_0^ - } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{11}}}&{{M_{12}}} \\ {{M_{21}}}&{{M_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{k + 1}^ + } \\ {E_{k + 1}^ - } \end{array}} \right]$ (11)

式中，M₁₁、M_12、M_21、M₂₂为传输矩阵M的矩阵元。

利用MATLAB根据（12）式进行数值计算，就可得到光栅的反射率，如图2（c）所示。

$R = {\left| {\frac{{E_0^ - }}{{E_0^ + }}} \right|^2} = {\left| {\frac{{{M_{21}}}}{{{M_{11}}}}} \right|^2}$ (12)

由（6）式可知，不同的波长在CFBG的不同位置反射^{[21, 25]}。因此，上述①、②部分对称的CFBG反射带宽内不同波长的光对应不同腔长的F-P腔。F-P腔的腔长越长，FSR越小，其关系满足^{[6, 17-18]}：

${R_{{\rm{FS}}}} = \frac{{{\lambda ^2}}}{{2{n_{{\rm{eff}}}}H}}$ (13)

考虑图2（c）中λ₁=1 553.323 nm和λ₂=1 553.499 nm，由（6）式可得出有效折射率 ${n_1} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{2{\mathit{\Lambda}}}}$和 ${n_2} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{2{\mathit{\Lambda}}}}$。图2（b）给出了λ₁对应的腔长 ${H_1} = {{\textit{z}}_{12}} - {{\textit{z}}_{11}}$，λ₂对应的腔长 ${H_2} = {{\textit{z}}_{22}} - {{\textit{z}}_{21}}$，显然 ${H_2} > {H_1}$。依此类推，对于短波长的光，对应的腔长较短，具有较大的FSR；对于长波长的光，对应的腔长较长，FSR较小。

不同于通常的F-P腔具有一个固定的腔长^{[3, 11]}，从而在全波长范围内形成一系列谐振谷（见图1（b）），本文所设计的TFBG-FP，每一个波长都唯一对应一个腔长，由（2）式可得：

$\lambda = \frac{{2{n_{{\rm{eff}}}}H\left( \lambda \right)}}{{{m}}} \Rightarrow 2{n_{{\rm{eff}}}}\frac{{H\left( \lambda \right)}}{\lambda } = {{m}} \;\;\;\;\;({{m}} = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot )。$ (14)

（14）式的解是关于m的一系列分立值（符合图2（c）），且H（λ）在TFBG反射带宽范围内有意义，但当 ${\lambda _0} < \lambda < {\lambda _1}$（λ₀为TFBG最小反射波长）时， $H\left( \lambda \right) \to 0$，在 ${\lambda _0} < \lambda < {\lambda _1}$的范围内的谐振条件是 $\lambda \to 0$。考虑到λ₁的任意性，可知在小于λ₁处的FSR为无穷大。最终结果是形成以λ₁处为第1个谐振谷的向长波长方向间隔迅速减小的一系列谐振谷，如图4所示。因此，该结构在不降低谐振谷精细度（FBG反射率越高精细度越高^{[2, 17]}）的条件下，可以得到无穷大的FSR。

图 4. TFBG-FP反射光谱

Fig. 4. TFBG-FP reflectance spectrum

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将单模光纤进行加热拉锥，之后放置在氢气环境中增强光敏性^{[10, 20]}，在此基础上，以腰区为中心，在锥区刻写均匀周期的FBG即可得到TFBG-FP。但实际很难做到严格的对称，锥区直径的变化也是非线性的。假设栅区足够长，腰区在不同位置，锥区直径变化满足不同的线型时的TFBG-FP反射光谱见图5。由（5）式可知，光纤直径越小，有效折射率随光纤直径变化越快。腰区位置相同，锥区直径线型不同时，由图5中有效折射率分布结合（6）式可知，图5（c）的抛物线型锥区直径使得TFBG的短波长反射区域较长，反射率较高，谐振谷的精细度较高。由于图5（b）中TFBG的有效折射率的变化集中在较短的栅区，因此短波长范围的反射率很小，有效的反射带宽减小，能够满足谐振条件的F-P腔较少（腔长变化范围小），谐振谷少。另外，由于低有效折射率所对应的布拉格波长所在的栅区较短，图5（b）的长波长区域反射率趋近于1，对长波长范围内的谐振谷产生抑制^[28]。

图 5. 不同锥区直径分布情况的TFBG-FP反射光谱（右侧插图为锥区直径（右上）及有效折射率（右下）分布）

Fig. 5. TFBG-FP reflectance spectrum of different tapered regions diameter distributions (the inset on right shows tapered region diameter(upper right) distribution and effective refractive index (lower right) distribution)

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锥区直径线型相同，腰区位置不同时，主要影响TFBG长波长反射区域的对称性。如图5所示，随着长波长反射区域的对称性增强，长波长区域的谐振谷逐渐显现，但对短波长区域的反射谱影响不大。

同样地，假设锥区足够长，栅区在锥区不同位置且腰区两侧均有栅区时，根据上述分析，除锥区直径的线型对短波长区域有影响外，栅区相对腰区的对称性对短波长范围的反射谱影响不大。

2 结果与讨论

2.1 应变传感特性

设单模光纤包层折射率n_clad=1.463 2，纤芯折射率n_core=1.468 5，光栅周期为Λ=529.01 nm，折射率调制深度Δn=0.000 1，锥区直径呈抛物线型（图5（c）），计算得到的谐振谷应变响应如图6所示。在光纤轴向设置使光纤拉长的应变量为ε，当腰区直径d=D/3，栅区长度L为30 mm和20 mm时，在0～160 με的应变量范围内分别得到3.47 pm/με和3.22 pm/με的灵敏度；当腰区直径d=3D/25，栅区长度L为30 mm和20 mm时，在0～300 με的应变量范围内分别得到7.05 pm/με和6.80 pm/με的灵敏度（见图6（a））。灵敏度受腰区直径影响明显。灵敏度随腰区直径变化的关系如图6（b）所示。

图 6. TFBG-FP谐振谷的应变响应

Fig. 6. Strain response of TFBG-FP resonance valley

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所设计的TFBG-FP传感结构灵敏度主要取决于拉锥光纤的几何尺寸。腰区的直径越小，腰区附近局域光栅周期产生的应变量越大，波长漂移量越大，因而灵敏度越高。本文重点在于保留F-P腔的高精细度谐振峰（谷）的同时，克服FSR对传感范围的限制。

图7给出了基于上述TFBG-FP，腰区直径d=3D/25，光纤轴向外拉应变量ε为0和221.22时，TFBG-FP的反射光谱。图7中细线和粗线分别表示发生应变前后的状态，A和B分别为短波长和长波长反射区域，非常容易找到所需观测的谐振谷的位置（虚线位置），利于传感应用。

图 7. TFBG-FP的反射光谱与应变量的关系

Fig. 7. Relationship between reflectance spectrum and dependent variable of TFBG-FP

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2.2 应变传感范围及改进方案

由于拉锥光纤锥区不同位置的直径不同，受到应力作用时不同位置产生的应变也不同^[18]。图7中，A区域光纤直径较小，光栅周期随应变增大较快，光谱红移量大；B区域光纤直径较大，光栅周期随应变增大不明显，光谱红移量很小，导致拉锥光纤布拉格光栅（TFBG）反射带宽减小，反射率提高。当应变过大时，设计的TFBG-FP的布拉格波长分布如图8所示。

图 8. 应变过大时，TFBG布拉格波长示意图

Fig. 8. Schematic of TFBG Bragg wavelength distribution while strain is overlarge

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应变过大时，由于光栅周期的变化对布拉格波长的影响大于有效折射率所产生的布拉格波长变化，上述①、②部分不再如前文所述每一个波长唯一对应一个腔长为H（λ）的F-P腔，而是首先在腰区附近出现了除h外，长度为h′和h′′的新的F-P腔（见图8）^[21]，新出现的腔干扰上文所述的第1个谐振谷位置的确定，限制了传感范围。为了解决这个问题，提出基于拉锥啁啾布拉格光栅的法布里-珀罗（TCFBG-FP）应变传感结构，改进上述TFBG-FP方案。TCFBG-FP采用CFBG代替TFBG-FP中的FBG，由于布拉格波长受光栅周期的影响相较因光纤直径的变化而导致的有效折射率变化的影响更明显，从而，在初始条件下（ε=0），越靠近腰区，布拉格波长越长（见图9（a））。在光纤轴向拉长的应力作用下，直径较大的短波长部分红移量较小，腰区附近的长波长部分，红移量较大，使得TCFBG的反射带宽增大方向与TCFBG-FP谐振峰（谷）的漂移方向一致（见图9（b）），不会出现上述多腔干扰的问题。但该方案对光栅刻划系统的精度要求更高，制作难度大。

图 9. TCFBG-FP布拉格波长分布示意图及不同应变下的反射光谱

Fig. 9. Schematic of Bragg wavelength distribution and reflectance spectrum at different strains of TCFBG-FP

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3 结论

在拉锥光纤上刻写均匀布拉格光栅，利用锥区有效折射率的变化，设计了腔长随波长变化的基于拉锥光纤布拉格光栅的法布里-珀罗腔，并提出了改进方案。区别于一般干涉型光纤传感器的干涉条纹精细度与自由光谱范围不能同时兼顾，该结构不需要牺牲谐振条纹精细度就可以得到无穷大的自由光谱范围。数值计算结果表明，当栅区长度为30 mm、腰区直径为光纤直径的3/25时，在0～300 με内的应变传感灵敏度为7.05 pm/με，光纤腰区的直径越小，灵敏度越高。