1 引言

数字图像相关法(DIC)具有光路简单、非接触、全场测量等优点^[1-2],已在材料力学、无损检测、土木工程等领域得到了广泛应用。早期的DIC算法,如双参数法、爬山法、粗细搜索法、牛顿迭代法等,普遍存在搜索时间长、出现多峰值时易陷入局部最优的情况^[3-4]。近些年来,一些智能算法,如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法、神经网络算法等的出现提高了DIC的运算效率。智能算法具有全局搜索的特性,弥补了一般算法易陷入局部最优、匹配精度不稳定的缺陷,且其还可以近似地计算出亚像素级的位移值,在测量精度要求不高时是一个不错的选择。

随着对DIC研究的日臻完善,以及对测量精度的要求越来越高,基于智能算法的DIC法在整像素搜索速度上得到了大幅提高,但在亚像素级位移测量中还不能满足高精度测量的需求。因此,寻求在智能算法基础上的亚像素位移算法是DIC发展的方向,对保证数字图像处理的速度和精度都具有重要意义^[5]。传统的亚像素算法有牛顿迭代法、拟合法、插值法、梯度法等。根据相关文献的研究可知:牛顿迭代法的精度要优于其他几种亚像素算法^[6],但如果初值估计不合理就会陷入局部收敛,同时导致收敛速度变慢。因此,在实验中使用牛顿迭代法计算时,通常以模拟散斑图为对象,目标函数的Hessian矩阵选择一阶型函数。拟合法的速度比较快,但精度比较低;梯度法、插值法的精度、速度介于牛顿迭代法和拟合法之间^[7]。因此,考虑将智能算法运用在整像素搜索阶段。参考已有文献的研究,本文将自适应遗传算法(AGA)引入到DIC法中^[8-9],同时根据拟合法速度快、插值法精度高的特点,提出了一种将拟合法和插值法相结合的亚像素位移测量算法,称为组合式DIC算法;该算法在保证整像素搜索速度快的基础上,进一步提高了亚像素位移的测量精度,能够满足微小位移测量中对速度和精度的要求。

2 基于自适应遗传算法的DIC原理

遗传算法^[9-11]起源于生物的进化规则,基本的遗传算法是将求解问题表示为染色体的形式,一定数量的种群经过选择、交叉、变异过程后,会产生出新一代中适应度较高的个体,重新组合的种群继续进化下去,直到产生满足条件的个体,即求得最优解。编码即是把所求问题转换为染色体的形式,种群的大小关系到收敛速度的快慢,实验中可以根据需要人为设定种群的大小。种群初始化的表达式^[1]为

N=Nlb+Ntb-Nlb·rand(S,n),(1)

式中:N_tb、N_lb分别为位移量的上下界;S为种群量大小;n为变量个数。

每产生一代新的解,就需要对其进行适应度评价,适应度高的个体被选择出来进入下一代,适应度低的个体则被淘汰。取适当的相关函数作为适应度高低的评价函数。

本文对交叉、变异概率进行了改进,使遗传控制参数P_c和P_m随个体适应度大小和种群的分散程度自动调整^[11]。当个体适应度接近最大值时,相应地减小交叉、变异的概率,以防止优良个体被淘汰;当个体适应度较小时,增大交叉、变异的概率,以加快不良个体的淘汰速率。实验中的交叉概率P_c、变异概率P_m的表达式为^[12]

Pc=k1·fmax-f'fmax-favg,f'≥favgPc1,f'≤favg,(2)Pm=k2·fmax-ffmax-favg,f≥favgPm1,f≤favg,(3)

式中:k₁、k₂为[0,1]之间的常数;f_max为群体的最大适应度;f_avg为当代群体的平均适应度;f'为交叉个体中较大的适应度;f为参与变异个体的适应度;P_c1为不变交叉概率,试验中取P_c1=0.7;P_m1为不变变异概率,试验中取P_m1=0.01。

自适应遗传算法通过这种动态地调整交叉、变异概率,加快了算法的收敛速度,直接提高了DIC的搜索效率。DIC的原理^[13-15]如图1所示,图1(a)、(b)分别为变形前后的图像。首先,在变形前的图像中选择一个正方形区域作为参考子区,区域的中心点为待测点(x,y);然后,将变形后的图像作为目标图像,在目标图像中进行相关搜索,根据相关系数的大小来衡量搜索的精度,(x',y')即为目标图像中搜索到的最大匹配点,根据点(x,y)和点(x',y')即可求出变形量的大小,位移关系为:x'=x+u,y'=y+v^[16]。根据相关文献,本研究采用零均值归一化互相关函数的相关系数作为遗传算法适应度高低的评价函数。相关系数的表达式为^[17]

C=∑∑fr-f-×g-g-∑∑fr-f-2∑∑g-g-2,(4)

式中:f_r为参考图中像素点的灰度值;g为目标图中像素点的灰度值; f-和 g-分别为f_r和g的平均值。C值越大,参考子区与目标图像的匹配度越好;当C=1时,说明参考子区与目标图像完全匹配。

图 1. DIC的基本原理。(a)变形前的图像;(b)变形后的图像

Fig. 1. Basic principle of DIC. (a) Image before deformation; (b) image after deformation

下载图片 查看所有图片

3 亚像素位移测量算法原理

3.1 曲面拟合法

根据相关文献对拟合法的研究,本课题组选择二次曲面拟合法进行分析研究^[18]。拟合窗口为3 pixel×3 pixel,布点如图2所示,点5为自适应遗传算法搜索到的最大相关系数点,其余的8个点以点5为中心。根据相关系数进行曲面拟合即可得到亚像素的位移量x、y,相关系数可用二元二次函数表示^[19]:

C(xi,yi)=a0+a1xi+a2yi+a3xi2+a4xiyi+a5yi2,(5)

式中:a₀、a₁、a₂、a₃、a₄、a₅为二元二次函数的系数。

图 2. 二次曲面拟合示意图

Fig. 2. Diagram of quadric surface fitting

下载图片 查看所有图片

根据9个点的位置坐标,通过最小二乘法即可求得二元二次函数的系数a₀、a₁、a₂、a₃、a₄、a₅。函数C(x,y)在拟合曲面的极值点处满足如下关系:

∂C(x,y)∂x=a1+2a3x+a4y=0∂C(x,y)∂y=a2+2a5y+a4x=0,(6)

通过式(6)即可解得亚像素位移量为

x=2a1a5-a2a4a42-4a3a5y=2a2a3-a1a4a42-4a3a5。(7)

3.2 灰度插值法

根据已有对插值法的相关研究,本课题组选择双三次样条插值^[20]进行分析研究。已知S(x_i,y_j)具有连续的一阶、二阶导数,x_i在[a,b]内(i=1,2,…,n),y_j在[c,d]内(j=1,2,…,m),插值节点(x_i,y_j)所对应的函数值为Y_ij=f(x_i,y_j)。

首先,以y_j为插值节点,H_ij为对应的函数值,y为插值变量。令S(x,y_j)=f_i(x,y_j),y∈[y_j,y_j+1],h_j=y_j-y_j-1,S″(y_j)=M_j(j=1,2,…,m),在[y_j,y_j+1]作一维的三次样条插值:

S(xi,y)=(yj-y)36hj-1·Mj-1+(y-yj-1)36hj-1·Mj+yj-yhj-1·Hij-1-Mj·hj-126+y-yj-1hj-1·Hij-Mj·hj-126,y∈yj-1,yj,(8)

令μ_j=hj-1hj-1+hj,λ_j=1-μ_j,β_j=6hj+hj-1· Hij+1-Hijhj-Hij-Hij-1hj-1,(j=1,2,…,m-1),根据边界条件S'(y_j+0)=S'(y_j-0),式(8)可化简为

μjMj-1+2Mj+λjMj+1=βj。(9)

取自然边界条件,即M₁=M_m=0,联立式(9)即可求出M,将M代入式(8)即可求出S(x_i,y)。

其次,以x_i为插值节点,S(x_i,y)为对应的函数值,x为插值变量,在[x_i,x_i+1]作一维的三次样条插值:

S(x,y)=(xi-x)36hj-1·Mj-1+(x-xi-1)36hj-1·Mj+xi-xhj-1·S(xi,y)-Mj·hj-126+x-xj-1hj-1·S(xi,y)-Mj·hj-126,x∈(xi-1,xi),(10)

令μ_j=hj-1hj-1+hj,λ_j=1-μ_j,β_j=6hj+hj-1· S(xi+1,y)-S(xi,y)hj-S(xi,y)-S(xi-1,y)hj-1,(i=1,2,…,n-1),根据边界条件S'(x_i+0)=S'(x_i-0),(10)式可化简为

μjMj-1+2Mj+λjMj+1=βj。(11)

取自然边界条件,即M₁=M_n=0,联立(11)式即可求出M,将其代入(10)式即可求出S(x,y)。

3.3 组合式DIC算法

正向增量型、正向组合型、反向增量型、反向组合型等匹配策略的精度高、稳定性好,在计算精度上等效,但对于微小位移测量并不是必要的选择。通过研究二次曲面拟合法和双三次样条插值法可知:曲面拟合法虽然在处理较大刚体转动和变形时的精度相对较低,但对于微小的位移量变化仍可适用;二次曲面拟合法对亚像素的处理速度比较理想,但精度只能达到0.1 pixel左右;双三次样条插值法的速度稍慢于二次曲面拟合法,但精度更高。因此,本课题组提出了一种组合式DIC算法,即以自适应遗传算法搜索到的最大相关系数点为插值中心,建立3 pixel×3 pixel的插值区域,进而根据相关系数对应的x、y值即可插值算出亚像素级的最大位移点。该算法综合了二次曲面拟合法、双三次样条插值法的优点,使得测量速度、精度都优于单独的任何一种。所提算法的具体步骤如下:

1) 通过自适应遗传算法得到低精度的亚像素级的最大相关系数点;

2) 根据图2所示的关系,以自适应遗传算法得到的最大相关系数点为点5,建立3 pixel×3 pixel的拟合窗口,通过二次曲面拟合得到亚像素位移值;

3) 在步骤2)的基础上,以拟合得到的亚像素位移值为插值中心点,选取3 pixel×3 pixel的插值范围,插值间距的大小视具体情况而定,根据插值图形找出最大的插值点,即为插值以后的亚像素位移值;

4) 通过自适应遗传算法进行快速整像素匹配后,再经过二次曲面拟合法和双三次样条插值法两次亚像素位移方法计算以后,得到的最终亚像素位移值即为最优值。

4 算法验证

4.1 模拟散斑图验证

为了消除CCD在图像采集过程中产生的图像误差及外界因素的干扰,本课题组采用Zhou等^[21]提出的计算机模拟散斑图,该散斑图的尺寸为256 pixel×256 pixel,散斑颗粒的大小为4 pixel,散斑数为1500。平移前后的模拟散斑图如图3所示。

图 3. 平移前后的模拟散斑图。(a)平移前;(b)平移后

Fig. 3. Simulated speckle pattern before and after translation. (a) Before translation; (b) after translation

下载图片 查看所有图片

在水平方向上,在0.1~1区间内,以0.1 pixel为步长生成10幅散斑图;在1~10区间内,以1 pixel为步长生成10幅散斑图。分别计算两组散斑图的10个位移点,参考子区窗口的大小为51 pixel×51 pixel。数据处理分析的结果如图4、5所示。

图 4. 亚像素位移的相对误差

Fig. 4. Relative error of sub-pixel displacement

下载图片 查看所有图片

图 5. 整像素位移的相对误差

Fig. 5. Relative error of integer pixel displacement

下载图片 查看所有图片

从图4、5中可以看出:无论是在整像素还是在亚像素的微小位移测量中,组合式DIC算法的相对误差明显较小,表明其测量精度要优于二次曲面拟合法和双三次样条插值法;当平移量为亚像素级时,二次曲面拟合、双三次样条插值、组合式DIC算法这三种亚像素算法都可以测量到0.1 pixel,但后者的相对误差明显小于前两者;当平移量为整像素时,随着位移量增大,三种亚像素算法的相对误差都近似呈现出减小的趋势,且组合式DIC算法整体上比较平稳,相对误差基本都在0.1%以下,可以满足亚像素测量精度的要求。对比图4、5还可发现,位移量为整像素时的相对误差较小,表明整像素位移时的测量精度要高于亚像素位移量时的测量精度。

由表1可知:与普通的整像素搜索算法相比,自适应遗传算法在搜索速度上有明显的优势,而所提组合式DIC算法在运行速度上也比较理想。综上,组合式DIC算法在搜索速度、测量精度上都有较好表现,可以满足亚像素级微小位移测量的需要。

4.2 实测结果

基于计算机模拟散斑图,将组合式DIC算法应用于亚像素级微小位移的测量中,实测结果如表2所示。

从表2中的数据可看出,不管设定的实际位移是整像素还是亚像素,组合式DIC算法测量出来的位移都可以达到亚像素级,且不同位移量时的绝对误差保持在0.001~0.006 pixel之间,相对误差也基本在1%以内,完全可以满足亚像素级微小位移测量的需求。

5 结论

以模拟散斑图为研究对象,从亚像素测量精度和搜索速度上对自适应遗传算法、二次曲面拟合法、双三次样条插值法进行对比分析,提出一种基于自适应遗传算法的组合式DIC算法。实验结果表明:该算法保留了自适应遗传算法在搜索速度上的优势,又吸收了二次曲面拟合法和双三次样条插值法在测量精度上的优点,满足了DIC在亚像素级微小位移测量中对搜索速度和测量精度的要求。