1 引　言

传统光学元件采用面形变化来实现特定的相位分布，从而实现相应的功能器件，系统体积和重量通常较大^[1]。伴随着工艺的发展与成熟，现在的光学系统对透镜的体积和分辨率有着更高的要求，随之一种新型透镜出现在人们的视野中。2000年，Pendry^[2]和Zhang等^[3]提出了一块负折射率材料平板，该结构被称为超透镜。由于超透镜能够显著提高图像分辨率，在光学成像应用领域引起了广泛的关注。

超透镜是基于超表面的成像器件，具有平面化、轻量化、易集成等优点^[4]。在超透镜高清成像领域中，可以通过设计大数值孔径超构透镜，用油浸的方式，实现高分辨率的聚焦成像。2012年，Shen等^[5]提出了一种具有表面缺陷的蜂窝 光子晶体（photonic crystal，PC ）结构的平板透镜，并且使用频率为 0.2996（2πc/a）的点光源模拟该透镜亚波长成像的结果，证实了表面缺陷可以帮助提升光子晶体的成像质量。2014年，Zong等^[6]基于随机单分子定位技术，利用荧光分子确定其点扩散函数的中心，然后通过循环叠加提高显微镜的分辨率，将其应用在显微成像中。2014年，Digaum等^[7]发现了一种集成光子学的空间变化光子晶体结构，其中单元的排列作为位置的函数而变化，能够仅使用具有非常高偏振选择性的低折射率材料来引导光束，其中一种红外偏振光遇到该晶格结构时不会通过，而另一种偏振光直接通过空间变体光子晶体传播。2016年，Mahin等设计了一种硅纳米结构与空气相结合的平凹透镜，并结合Au耦合涂层，利用其超材料的特性最终实现了成像质量的提高以及超分辨聚焦^[8-10]。2016年，哈佛大学Capasso小组利用微纳米结构设计了一种超透镜阵列，通过控制其阵列可以实现对入射光的调制，实现了数值孔径NA =0.8，并达到了较高的聚焦效率^[11]。2018年，Haxha等^[12]利用光子晶体内嵌入银棒，降低了光子晶体结构本身的色散，通过引入反射镜等因素，提高了成像质量，最终突破了衍射极限。2021年，仇宫润等^[13]提出了一种工作在800 nm（红外波段）的超透镜，它的主要结构是亚波长光栅，通过模拟后发现它的聚焦效率最高可达84.1%。通过克服光传播的经典衍射极限^[14]，获得了分辨率超高的图像。基于光子晶体的相位调控特性来实现突破衍射极限的超分辨聚焦，红外波段的研究偏多，而对于红光的研究甚少，且着重于内凹结构中半圆形缺陷对超透镜成像影响的研究，与此同时，当下使用较多的点光源和线偏振光源两种光源中，以线偏振光源作为超透镜的输入光源方面的研究也比较少。因此，本文提出了一种工作在717 nm（可见光红光波段，其输入光源为TE模式线偏振光）的超透镜，将光子晶体结构与波导进行了结合，利用波导可以将光限制在波导内传输，从而提高了光的利用率，加上光子晶体可以产生负折射率特性，从而该透镜实现了亚波长成像与纳米尺度的高分辨率^[15-17]；并引入了圆形、半圆形、矩形3种典型的内凹缺陷因素，通过不断改变缺陷的尺寸，发现矩形缺陷的成像效果最好，半高全宽达到了244.66 nm，分辨率也达到了0.556λ，明显地提高了成像质量。

1 材料及方法

基于光子晶体的特性而产生的负折射率能够实现纳米尺度的高分辨率，本文提出了一种光子晶体平板超透镜（后文中统称为PC超透镜）。该PC超透镜的结构如图1所示，由R = 0.2a（R为光子晶体柱的半径），a = 0.1 μm（a为光子晶体结构的晶格常数）的Au和GaP两种周期相同、晶格常数相同、半径相同的光子晶体构成，以两者相切的结构刻入TiO₂平板波导上。

图 1. PC超透镜结构

Fig. 1. PC superlens structure

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1.1 材料

Au在FDTD材料库中分为Palik和CRC两种模式^[18-19]，除此之外，还有另外一种熟知材料库未有的模式——Drude模型^[20]。Drude模型是用类似于理想气体的一个模型来简化金属材料中这些传导电子的运动，Au中大多数电子是自由的，它们不与原子核结合，回复力是微不足道的，并且没有自然频率发生，从而对光在Au中的色散采用Drude模型来解释。Lumerical软件有官方的Drude模型的公式，表达式为

$ {\varepsilon _{\rm{total}}}(f) = \varepsilon - \frac{{\omega _{\rm{p}}^2}}{{2\pi f({\rm{i}}{\nu_c} + 2 \pi f)}} $ (1)

式中：ε为介电常数；ω_p为等离子体共振频率；ν_c为等离子体碰撞频率；f为频率。ε_∞表示正离子核的净贡献：对于理想的自由电子气体ε_∞ = 1；对于金属，取决于带间响应^[12]，ε_∞= 1~10。

$ {\omega _{\rm{p}}} = \sqrt{\frac{{{N}{{e}^2}}}{\varepsilon _0}{{m}^*}} $ (2)

式中：m为电子的有效质量；N为电子的密度；e为单个电子携带的电荷量；ε₀为真空中的介电常数。

在模拟中，参数设置如表1所示。

GaP光子晶体可以有效提高透镜的成像质量，其主要是由于光子晶体本身的周期性结构对光的调制作用非常明显^[21]。衬底使用的是TiO₂波导，目的是利用波导结构的全内反射使光能够有效进入到光子晶体结构中。

1.2 方法

本研究是基于时域有限差分法（finite difference time domain-method，FDTD）对光子晶体与电场作用的仿真结果^[22-23]。网格使用mesh来细分，精度定位dx = dy＜λ/（10n），n为材料中的最大折射率。本文中除能带图外所有的仿真都是建立在2D（x，y平面）范围内的仿真，能带图3D范围模拟如图2所示。

图 2. 能带图模拟3D视图

Fig. 2. Simulation of 3D view of band structure

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2 数值模拟与分析

2.1 结构设计与光源分析

本文研究了Au和GaP组合构成的平板PC超透镜结构对于光波长的选择性以及不同形状的缺陷对透镜成像质量的影响，该PC超透镜的长为20个周期，宽为10个周期，光被限制在TiO₂平板波导内传播。为了观测其结构，在空间内放置了折射率监视器，然后得到结构折射率（见图3）。从折射率监视器上可以很明显地观察到三部分不同的折射率，分别是Au光子晶体（下方圆柱），GaP光子晶体（上方圆柱）和TiO₂平板波导（衬底），Au光子晶体和GaP光子晶体在TiO₂平板波导上相切，半径用R表示，R = 0.02 μm，晶格常数用a来表示，a = 0.1 μm。

图 3. 结构折射率图

Fig. 3. Structural refractive index

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本文采用六角晶格状结构的PC透镜设计，结构具有高度对称性，对其进行TE模式光的能带分析如图4所示。

图 4. TE模式能带图

Fig. 4. TE mode band stucture

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从能带图中可以分析出：有效负折射率是在当归一化角频率ω₀=0.1394，波长λ=0.717 μm时，在这种情况下，能带的梯度指示电磁波以负群速度传播，可以支持以倏逝波的形式来提高图像分辨率^[24]。

因此本次研究中选用光源波长为0.717 μm的TE偏振光，如图5所示。光源在y方向上的范围为2 μm，与PC透镜在y方向上的长度相同，厚度为2 a，从而可以使透镜达到最好的聚焦效果。

图 5. TE模式光源图

Fig. 5. TE mode light source

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将光源置于PC结构左侧0.5 μm处（即紧贴光子晶体波导结构），并在结构右侧放置一个监视器，用这个监视器检测光强，本次模拟全部采用的都是近场成像（光源距离成像器件小于等于一个波长的距离称为近场成像），且光的传播方向全部都是由−x到x方向传播，本次评定成像质量的好坏是根据光在图像上呈现的焦斑大小以及其电场强度大小。强度越高，焦斑越小，成像质量越好。将Au光子晶体移除前后，其成像结果如图6所示。

图 6. 移除Au光子晶体前后对比图

Fig. 6. The comparison chart before and after the removal of Au photonic crystal

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从图6（a）中可以看出，将Au光子晶体移除前，光源只有少部分被反射回来，大部分通过结构之后形成一个圆点，即焦点。从图6（a）和（b）的现象以及表2的对比，可以清楚地观测到加了Au光子晶体之后，焦斑范围减小，强度增大，成像质量也随之有效提高。

2.2 不同形状缺陷对结构成像质量的影响

光子晶体具有光子局域的特性，缺陷的属性决定了光子局域的性能和特性，光子晶体中加入面缺陷时，面缺陷相当于一块完全的反射镜，光波完全被局域限制在平面缺陷内。在光子晶体缺陷模式（频率处于完全禁带或模式禁带内的缺陷结构本征电磁模式），和缺陷带（所有缺陷模式覆盖的禁带频率范围），那么频率处于缺陷带的光波可以被长时间（低损失）地强局域在光子晶体中的缺陷结构中。当在光子晶体中引入缺陷介质时可以获得较大的透射光强，缺陷的位置选择要综合考虑平板的对称性，以此来提高成像的分辨率^[16]。

为了研究不同形状的缺陷对PC结构成像的影响，本文讨论了3种形状的缺陷。

当缺陷为圆形结构时，将透镜右侧做成内凹圆形结构（即移除一部分Au棒和GaP光子晶体以形成内凹缺陷），且圆形缺陷外侧与结构右侧相切，圆形缺陷的半径：r = 0.3 μm，结构如图7所示。

图 7. 圆形缺陷示意图

Fig. 7. Schematic diagram of circular defect

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加入圆形缺陷之后，模拟得到的成像示意图如图8所示。

图 8. 加入圆形缺陷r = 0.3 μm之后的成像示意图

Fig. 8. Schematic diagram after adding circular defect r = 0.3 μm

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相比于图6（a）、图8焦点光斑形成在内凹缺陷内部，小且亮，表3中图8强度对比有所变强，说明结构形成内凹缺陷后可以有效提高成像质量。为了观察缺陷半径对成像情况的影响，通过移除金棒和GaP光子晶体，形成不同半径的内凹圆形缺陷。将半径减小至0.2 μm，发现虽然被反射回去的光很少，但是在图像上并没有很明显的聚焦现象，成像质量并没有达到明显的提升；然后将半径减小至0.1 μm，成像如图9所示。

图 9. 圆形缺陷半径r = 0.1 μm时的成像示意图

Fig. 9. The Imaging diagram when the Circular defect radius r = 0.1 μm

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图8、图9和表4对比可以发现，当圆形缺陷尺寸r从0.3 μm逐渐减小至0.1 μm的过程中，成像质量下降十分明显，继续将r减小至0.05 μm，发现成像质量并没有很明显地升高，因此得出：当圆形缺陷半径r从0.3 μm逐渐减小时，成像质量并没有提高，而呈现下降状态。将圆形半径增大，在增大的过程中发现：焦点亮度并没有增强，甚至在逐步减弱，所以增大圆形半径也并没有明显提高成像质量。综上所述，圆形缺陷半径r = 0.3 μm时，成像质量最高。

当缺陷结构为矩形时，设置长Lx为0.5 μm，宽Ly为1 μm，右边与PC透镜相切，结构示意如图10所示，成像结果如图11所示。

图 10. 矩形缺陷结构示意图

Fig. 10. Schematic diagram of rectangular defect structure

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图 11. 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 1 μm时的成像示意图

Fig. 11. The imaging diagram when rectangular defect Lx = 0.5 μm, Ly= 1 μm

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从图11可以看出来该矩形缺陷相比于r =0.3 μm圆形缺陷来说，焦斑也是成像在缺陷内部，焦斑变得圆且亮，表5对比最大强度时，图11有所减弱。改变矩形缺陷的尺寸，Lx保持不变，Ly增大至2 μm，相当于减少光子晶体x方向上的周期数，成像如图12所示。

图 12. 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 2 μm时的成像示意图

Fig. 12. Schematic diagram when rectangular defect Lx = 0.5 μm, Ly = 2 μm

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逐渐改变Ly的大小，多次模拟之后可以发现，Ly从1 μm到2 μm的过程中，焦点亮度和强度（表6）都不如往前；尝试减小Ly，观察成像效果，减小至Ly = 0.8 μm时，如图13与表7，发现成像质量最好。

图 13. 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 0.8 μm时的成像示意图

Fig. 13. Schematic diagram when rectangular defect Lx = 0.5 μm, Ly = 0.8 μm

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保持Ly = 0.8 μm不变，将Lx进行一些放大或者缩小，观察其现象。经过多次重复模拟，发现改变对于成像质量的提高并没有很明显的作用，甚至还会降低成像质量。综上，矩形缺陷尺寸为Lx = 0.5 μm，Ly = 0.8 μm时成像质量最高。

当这个缺陷的形状为半圆时，结构示意图如图14所示。

图 14. 半圆形缺陷示意图

Fig. 14. Schematic diagram of a semicircular defect

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首先设定半圆缺陷的半径为0.23 μm，成像效果如图15所示，从图像中可以观察出明显的聚焦现象，且焦斑半径较小，成像质量较好。

图 15. 半圆形缺陷r = 0.23 μm时的成像示意图

Fig. 15. Schematic diagram when semicircular defect r = 0.23 μm

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调节半圆缺陷的半径，多次仿真之后，发现当半圆缺陷的半径为0.23 μm时，成像质量最高。

通过多次重复模拟实验，将3种形状的缺陷进行最终成像效果对比：发现当矩形缺陷为Lx = 0.5 μm，Ly = 0.8 μm时，焦斑呈现出来的效果最好，且光强最高。表8列出了各个缺陷时的半高全宽（full width at half maximum，FWHM），图16画出了表8中对应各种结构的半高全宽图。

图 16. 原结构、半圆缺陷、圆形缺陷、矩形缺陷的半高全宽图

Fig. 16. The full width at half maximum diagram of original structure, half-circle defect, circular defect, rectangular defect

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为了分析和获得更高质量的分辨率，模拟中保持光源的厚度不变（厚度为2a），在PC结构左侧放置两个相互平行的线光源（两个光源的厚度相同，初相位相同，频率相同，且相位差恒定，保证可以产生干涉），由于光源在空间中只要相遇就会产生干涉，所以在出口处放置一个监视器，用来观测两个光源的干涉情况，两者之间的距离d = 0时（见图17）。

图 17. 两光源之间的距离d = 0时的干涉情况

Fig. 17. The interference situation when the distance between the two light sources is d = 0

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逐渐改变两光源之间的距离，可以发现，当d = 0.399 nm，也就是0.556λ时，两个光源恰好可以被分辨出来，成像如图18所示，干涉情况示意图如图19所示。

图 18. 两光源之间的距离d = 0.556λ的成像示意图

Fig. 18. Schematic diagram of the distance d = 0.556λ between two light sources

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图 19. 两光源之间的距离d = 0.556λ时的干涉情况

Fig. 19. The interference situation when the distance between the two light sources is d = 0.556λ

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3 结　论

本文提出了一种新型结构的PC超透镜，由Au/TiO₂/GaP构成，能够有效地将平板波导和光子晶体结合在一起，并且研究了结构内部产生不同形状的缺陷以及缺陷的数据改变对结构整体成像质量的影响，经过能带图的整体分析发现该PC超透镜整体结构对于717 nm光波（即红光）可以呈现有效负折射率，并且Au光子晶体的添加确实有效提高了PC超透镜整体的成像质量；不同的缺陷形状以及数据改变过程中，其中矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 0.8 μm时，成像质量最高，半高全宽最小；利用具有矩形缺陷的PC超透镜整体来对两个平行光源进行干涉成像时，将两个光源之间的距离从0到0.556λ不断变化，通过曲线图可以有效地观测到两个光源的干涉情况，d = 0.556λ时，两个光源恰好可以被区分开。经过此次模拟，提出了一种超透镜的新型组成方式，对于现在的工艺来说可以实现，实现的过程也并不是特别复杂，精细程度上也可以达到要求，有望达到实体化；该PC超透镜在二维平面（x和y）内达到了成像中的可见光控制，可以应用于精细医疗设备、可携带设备等小型成像器件方面。