1　引言

近年来，液晶对电场^［1］、磁场^［2］、光^［3-4］等刺激的及时响应所表现出的优良特性，广泛拓展了其应用领域，例如磁响应液晶弹性体^［1］、反式电控调光膜^［2］、有机太阳能电池^［5］等。液晶按照其形成条件和组成分为两大类：溶致液晶和热致液晶；而按照分子的排列方式分类，热致液晶又可分为向列相、胆甾相和近晶相^［6］。1888年，F.Reinitger^［7］首次发现液晶的胆甾相，并通过研究发现其可以自组装成层状的螺旋结构，这是当时其他材料所无法复制的特殊性质。胆甾相液晶不同平面内的分子沿着螺旋轴方向旋转2π所经过的距离被称为一个螺距p。螺距对外部环境的变化非常敏感，温度、边界条件、外场^［8-9］等条件的变化都会引起螺距发生改变，并可通过改变基板^［10］、光诱导^［11］来控制胆甾相液晶螺旋轴的方向。在目前的研究中，液晶指向矢的结构变化依旧是一个不可忽视的研究热点。

在长达几十年的研究历程中，在外部电场作用下的液晶指向矢的取向变化一直是人们所关注的重点^［12-14］。1969年，Meyer^［15］首次发现了挠曲电效应并进行了理论解释。外加电场会引起指向矢形变，从而引起极化产生偏移电压。挠曲电效应对液晶的指向矢分布产生影响，从而影响器件的电光特性、阈值电压和视角特性。在胆甾相液晶盒中，电场和挠曲电极化的相互作用促进了液晶螺旋结构的转变，从而推动了新型挠曲电开关装置的发展^［16］。挠曲电系数直接决定了开态电压，优化挠曲电性能是降低工作电压和减小响应时间最有效的方法^［17-18］。但是量化挠曲电系数的光电特性成为了光电子技术开发的阻碍。挠曲电系数e₁和e₃分别与指向矢的展曲和弯曲形变有关，其大小取决于分子形状的不对称性和永久偶极矩，符号可正可负。从能量守恒出发，挠曲电的耦合作用强度是有范围的，产生的电能不能超过指向矢扭曲产生的机械能，因此挠曲电系数也应该存在数值范围。Trabi和Harden等人对挠曲电系数进行了数值计算^［19-20］，得到了具体的数值范围：1~100 pC/m^［21］。近年来，挠曲电效应作为液晶表面物理的重要研究内容在光电器件等领域有很重要的意义，如显示屏、传感器和可协调激光器等^［22-24］。为实现液晶器件的应用，研究者进行了大量的研究，如探究电场对染料掺杂手性向列相液晶激光器件激光辐射谱的影响^［25］。理论计算表明，挠曲电效应对液晶各物理量的影响非常复杂而又不可忽略的，但到目前为止，仍有许多问题值得深入研究，例如介电效应与挠曲电效应的耦合作用。在电场作用下，同心圆柱筒中介电作用及挠曲电作用具有与平面液晶盒中不同的性质。2018年，Liu等人研究了径向电场下柱筒内向列相液晶的二维柱坐标变化产生的指向矢形变^［26］。在强锚定边界条件下，挠曲电效应和介电耦合作用同时影响指向矢结构，产生的作用相反；在弱锚定边界条件下产生了一种新型指向矢形变。2018年，Li等人分别在强、弱锚定边界条件下模拟计算柱筒模型中挠曲电效应引起指向矢二维柱坐标变化所产生的偏移电压的变化，给出了单独的挠曲电系数对指向矢变化的影响^［27］。介电效应及挠曲电作用不只是会引起指向矢在二维柱坐标的变化，考虑其在三维柱坐标的变化更为全面。

本文将掺杂手性剂的5CB液晶填充在柱筒模型中，模拟计算了在电场作用下指向矢在三维柱坐标中的取向规律。我们利用Frank弹性理论和欧拉公式计算了体平衡态方程。由于方程比较复杂，计算解析解困难，所以采用差分迭代方法进行数值计算，理论分析了介电效应、挠曲电效应以及二者对指向矢的耦合作用。

2　理论模型

在同轴圆柱筒模型中填充添加手性剂的向列相液晶5CB，内外表面采用轴向强锚定条件，液晶形成均匀的扭曲结构，如图1（a）所示。5CB的材料参数为：K₁₁=4.5 pN，K₂₂=3 pN，K₃₃=5.5 pN，Δε=11.3^［28］。R₁和R₂表示柱筒的内外半径，取值为R₁=2.5 μm，R₂=5 μm。假定加入手性剂的液晶在柱筒内旋转180°，即螺距为p=5 μm。液晶指向矢n用来描述液晶分子取向的平均方向。图1（b）为柱坐标系下的指向矢示意图，其中α是指向矢在r-φ平面的投影与r轴之间的夹角，而β是指向矢与z轴之间的夹角。由于柱状系统具有柱对称性，因此α和β都依赖于变量r，即β和α均是r的函数。在柱坐标系中，指向矢可以表示为：

图 1. （a）手性向列相柱筒模型结构图；（b）柱坐标系下指向矢示意图。

Fig. 1. （a）Concentric cylindrical cell model of nematic liquid crystals with chiral dopants；（b）Schematic diagram showing the cylindrical coordinate system.

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假定沿着柱筒的径向方向施加电场，即电场方向平行于螺旋轴，电场可表示为E=U/（rlnρ）e_r，其中ρ=R₂/R₁，U=U（R₁）-U（R₂），U是内外表面层之间的电压差^［26］。在外场作用下，考虑介电效应和挠曲电效应对指向矢的影响，介电自由能的表达式为：

其中：ε₀为真空介电常数，Δε为液晶的介电各向异性。

根据Meyer模型^［29］，液晶的展曲或弯曲形变导致挠曲电极化。挠曲电极化强度的表达式为：

其中：e₁为展曲挠曲电系数，e₃为弯曲挠曲电系数。

挠曲电自由能为：

根据Frank^［30］理论，液晶弹性自由能密度为：

其中：K₁₁、K₂₂和K₃₃分别是展曲、扭曲和弯曲弹性常数，q₀为手性参数，螺距p与q₀的关系为|q₀|=2π/p。

施加电场后，单位长度柱筒中液晶自由能密度为:

在此引入r=R₁e^x、dr=rdx和x=ln（r/R₁），将自由能表达式转变成更为简洁的形式。x=0表示内边界，x=lnρ表示外边界。由欧拉方程得到关于α及β的平衡态方程：

假定柱筒内、外边界为轴向强锚定条件，即：

方程（7）~（10）描述液晶指向矢的分布取向。在液晶平面盒中，只有挠曲电作用和e₁+e₃，而上面表达式中给出了挠曲电系数的独立项，我们可以研究单独的挠曲电系数对液晶指向矢分布的影响。然而，方程（7）、（8）很难得到解析解，所以采用数值模拟的方法来解决这个问题。我们采用有限差分迭代法^［31］进行计算。液晶被分为N（N=200）层，N=1代表内表面，N=200代表外表面。

3　数值计算与分析

3.1　介电效应的影响

首先，数值模拟了无电场作用下指向矢的初始状态。在模拟过程中柱筒厚度为1/2螺距，指向矢分布如图2所示。轴向强锚定条件使得α始终等于π/2，指向矢在z-φ平面内旋转，径向分量始终为零。角向分量的最大值约为x/lnρ=0.62，即r=3.84 μm，并不在柱薄层的中心处（中心处为r=3.54 μm），这是由于内外曲率的不同导致在柱筒薄层内发生非对称性扭曲结构。

图 2. 无电场作用下的指向矢分布

Fig. 2. Director distribution in cylinder cell without electric field

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接下来计算介电效应对指向矢的影响。图3给出了电场作用下指向矢分量随电压和归一化位置的变化图。径向分量最大值n_r（max）随电压的变化曲线如图3（a）所示。当电压超过0.9 V时，n_r（max）不再为0，指向矢发生形变，阈值电压U_c约为0.9 V。图3（b~d）为不同电压下指向矢分量随归一化位置的变化，当电压达阈值之前指向矢不发生变化，为均匀螺旋结构；超过阈值后，n_r随着电压的增大而增大，n_φ随电压的增大而减小。结果表明，在超过阈值电压后液晶分子被拉向平行电场的方向，引起指向矢沿径向取向，并且随着电压的增加，介电效应的作用愈加明显。

图 3. 忽略挠曲电作用时的指向矢分布。（a）n_r（max）随电压的变化曲线；（b~d）不同电压下指向矢各个分量随归一化位置的变化。

Fig. 3. Director distribution when the flexoelectric effect is ignored.（a）n_r（max） as a function of voltage；（b~d）Director components as functions of the normalized position under different voltages.

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3.2　挠曲电效应的影响

除介电效应外，挠曲电效应也是影响指向矢分布的一个重要因素。在电压为0.9 V时，计算了液晶指向矢分量随着归一化位置的变化，分别对e₁取不同值和e₃取不同值进行了数值计算，如图4和图5所示。此时介电作用很小可以忽略不计，只考虑挠曲电效应的影响。从图4可以看出，当e₁取正值时，n_r增加，其他两个分量均减小；当e₁取负值时，指向矢分量均没有发生任何变化。结果表明，当e₁为正时，挠曲电效应具有径向作用，这与文献［27］一致，引起指向矢沿径向取向，该作用与介电作用方向一致；当e₁为负时，挠曲电效应减弱径向取向，指向矢不发生变化。从表达式（7）、（8）挠曲电作用及介电作用项观察可知，单独e₁作用项与介电作用项合并，显然得出相同的结论。

图 4. 当U=0.9 V、e₃=0时，e₁取不同值，指向矢分量随归一化位置的变化，其中黑色、红色和蓝色曲线重合。（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z。

Fig. 4. Director components as functions of the normalized position for different values of flexoelectric coefficient e₁，when U=0.9 V and e₃=0，in which black，red and blue curves coincide.（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z.

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图 5. 当U=0.9 V、e₁=0时，e₃取不同值，指向矢分量随归一化位置的变化。（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z。

Fig. 5. Director components as functions of the normalized position for different values of flexoelectric coefficient e₃，when U=0.9 V and e₁=0.（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z.

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图5给出了e₁=0，e₃取不同值时指向矢的变化曲线。e₃取正值与e₁取正值是一致的，都将液晶分子拉向平行于电场方向。当e₃取负值时，n_φ增加，对n_r不产生任何作用，把分子更多地拉向角向方向。由此可知，当e₃取正值时，挠曲电作用具有径向取向作用；当e₃取负值时，挠曲电作用具有角向作用。

3.3　挠曲电效应和介电效应的耦合作用

通常情况下，电场作用下介电作用及挠曲电作用都会引起指向矢变化。图6和图7给出了U=1.0 V时的介电效应和挠曲电效应耦合作用下的指向矢分布。挠曲电系数的取值与3.2节中一致。

图 6. 当U=1.0 V、e₃=0时，e₁取不同值，指向矢分量随归一化位置的变化，其中黑线和红线重合。（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z。

Fig. 6. Director components as functions of the normalized position for different values of flexoelectric coefficient e₁，when U=1.0 V and e₃=0，in which black and red curves coincide.（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z.

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图 7. 当U=1.0 V、e₁=0时，e₃取不同值，指向矢分量随归一化位置的变化。（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z

Fig. 7. Director components as functions of the normalized position for different values of flexoelectric coefficient e₃，when U=1.0 V and e₁=0.（a）n_r；（b）n_φ；（c）n_z

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当e₃=0及e₁取不同值时，指向矢分量随归一化位置的变化如图6所示。当e₁为正值时挠曲电作用与介电作用效果一致，其耦合作用加强了径向取向作用；当e₁为负值时挠曲电作用与介电作用效果相反，对比图3（a）U=1.0 V时，介电效应效果，其耦合作用减弱了径向取向作用。结果表明，在介电效应和挠曲电效应的耦合作用下，正值e₁引起指向矢沿径向取向，负值e₁抑制指向矢沿径向取向。

当e₁=0时，不同e₃下指向矢分量随归一化位置的变化如图7所示。当e₃为正值时，n_r随着e₃的增大而增大，n_φ随着e₃的增大而减小，指向矢被拉向平行于电场的方向；当e₃为负值时，随着e₃的减小，n_φ逐渐增大，指向矢被拉向平行于φ轴方向。结果表明，在介电效应和挠曲电效应的耦合作用下，e₃取正值时具有径向取向作用，e₃取负值时介电作用与挠曲电作用竞争减弱了径向作用。

4　结论

本文使用填充掺杂手性剂向列相液晶5CB的同心圆柱筒模型，从理论上分别分析了轴向强锚定条件下介电效应和挠曲电效应对指向矢分布的影响。介电效应促使液晶分子沿径向取向，由于内外表面的曲率不同产生不对称螺旋结构。展曲挠曲电系数e₁和弯曲挠曲电系数e₃对内部液晶指向矢的取向分布影响不同。不论是e₁还是e₃，取正值时产生的作用与介电效应一致，具有强化径向取向的作用；e₁取负值时，抑制了径向取向作用；e₃取负值时，液晶分子被诱导沿角向取向。我们的研究结果对挠曲电系数的测量具有一定的指导意义。