0 引　言

2.16 m望远镜是我国自行研制的两米级赤道式望远镜，位于中国科学院国家天文台兴隆观测基地。2.16 m望远镜有主焦点、卡塞格林和折轴三个工作焦点，其中卡塞格林焦点焦比为f/9，折轴焦点焦比为f/45。该望远镜目前共有三套主要终端设备，均工作在卡塞格林焦点，分别为OMR卡焦光谱仪、高分辨率光纤光谱仪和北京暗天体摄谱成像仪^[1]。

作为一台通用型天文望远镜，2.16 m望远镜能够进行测光观测和光谱观测，开展多种天文课题的观测研究，其中包括剧烈活动天体，如超新星爆发、伽玛射线暴等；活动星系核、超大质量黑洞；恒星活动和恒星的元素丰度；类太阳系统，如类太阳星、太阳系外行星搜寻；太阳系内天体，如彗星、小行星等。

天体的辐射信息除了强度、频率特性外，还具有偏振特性。天文测光观测和光谱观测可以获得电磁辐射的强度和光谱信息，偏振观测可以获得电磁辐射的偏振特性。目前，我国在偏振成像方面的研究起步较晚，2003年，中国科学院安徽光学精密机械研究所研制了可见光和近红外波段的偏振相机，并在航空实验中验证了多波段偏振信息获取的能力；2007年，昆明物理研究所研制的红外偏振成像仪能准确测量辐射目标的偏振特性，对偏振成像在**领域的应用具有重大的意义；此外，中国科学院西安光学精密机械研究所、中国科学院上海技术物理研究所、中国科学院遥感应用研究所、国防科技大学、北京理工大学、北京航空航天大学等均开展了偏振成像方面的研究，这些研究大多针对遥感、**应用等^[2-3]。国外于20世纪70年代就开始了偏振探测技术研究，在遥感和**应用领域，偏振成像已应用于反伪装、抗干扰、提高对目标的探测距离以及目标分类等^[4]；在天文和空间目标观测领域，国外很多望远镜具有偏振观测能力，并取得了很多科研成果，如位于西班牙拉帕尔马岛的利物浦望远镜，口径2 m，焦比f/10，拥有RINGO系列及MOPTOP偏振测量设备，对伽玛射线暴早期余辉进行观测，并观测研究了多个伽玛射线暴的早期偏振特征^[5-8]；希腊Skinakas天文台1.3 m望远镜偏振探测设备RoboPol是一台四通道成像测光偏振仪，该装置只有滤光片转轮可动，其他元件都固定，结构紧凑，可以在V、R、I波段工作，已测量出一批耀变体的线偏振信息^[9]。

根据已有的伽玛射线暴光学余辉偏振观测结果^[10-12]，大多数伽玛射线暴光学余辉线偏振度为1%~5%，个别能达到10%。从理论上讲，越早期，伽玛射线暴光学余辉越亮，线偏振度也可能越高。通过对伽玛射线暴余晖进行偏振观测，可以开展伽玛射线暴喷流的几何结构、磁场强度等研究。

为了开展相关研究，需要2.16 m望远镜具备偏振测光观测能力，为此开展了2.16 m望远镜偏振光度计的研发，完成了样机并安装在望远镜上进行了观星测试，实现线偏振测光和快速多色测光观测，可以开展伽玛射线暴、耀变体、小行星、空间目标^[13]等天文观测。

1 偏振光度计设计

1.1 偏振光度计功能

2.16 m望远镜（如图1所示）偏振光度计具有四个主要功能：（a）对天体目标进行线偏振测量；（b）利用非偏振标准星对偏振成像系统进行偏振定标；（c）对天体目标进行快速多色测光；（d）根据用户需求，可在偏振测量模式、偏振定标模式与快速多色测光模式之间进行切换。

图 1. 2.16 m望远镜

Fig. 1. 2.16-m telescope

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1.2 探测器

偏振光度计使用的两台探测器均为Andor公司iKon-L DZ936 CCD，该相机同样也被应用于2.16 m望远镜另外两个终端设备上，分别是OMR卡焦光谱仪和北京暗天体摄谱成像仪^[14-15]。iKon-L DZ936 CCD相机的量子效率曲线和性能参数如图2和表1所示。

图 2. iKon-L DZ936 CCD相机（a）和该相机的量子效率曲线（b）

Fig. 2. A camera of a iKon-L DZ936 CCD (a) and its quantum efficiency curve (b)

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iKon-L DZ936 CCD相机使用的是背照式科学级感光芯片，在400~1100 nm波段范围内量子效率均较高。该相机可以制冷到−80 ℃，暗流低，可以对暗弱目标进行长时间积分观测。iKon-L DZ936 CCD相机具有四个不同的读出速度，读出速度越慢，读出噪声越低，考虑到实际使用对读出速度和读出噪声的需求，选择1 MHz的读出速度，单幅图像的读出时间约为4 s，读出噪声约为7 e⁻。

1.3 工作波段

偏振光度计中配备了滤光片转轮及Johnson/Bessell UBVRI滤光片系统，该滤光片系统的透过率曲线如图3所示，在进行多色测光时，可以通过滤光片转轮实现滤光片的快速切换，完成对目标的多色测光观测。

图 3. Johnson/Bessell UBVRI滤光片系统透过率曲线

Fig. 3. Transmittance curves of the Johnson/Bessell UBVRI filter system

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2.16 m望远镜偏振光度计优先满足V波段（480~650 nm）工作要求，该设备使用的光学元器件工作波段如表2所示。

1.4 视场

受准直镜头、成像镜头以及偏振光学器件的限制，该偏振光度计使用了CCD相机中心区域512×512进行成像，视场约为4.63′×4.63′，每个像元所对应的天空张角约为0.54″。兴隆观测基地视宁度（seeing）均值约为1.8~2.0″，星像占3×3、4×4 pixel，满足奈奎斯特采样定律。

通过开窗成像可以提高探测器的读出速度。为了提高偏振测量精度，在观测时需要将目标调至视场中央位置。

1.5 偏振测量精度

2.16 m望远镜偏振光度计的偏振测量精度技术指标为优于0.01。为了达到高精度测量，偏振光度计内有光学安装平台用于光学器件的安装。偏振光度计的框架和光学安装平台采用整体铸造制成，在望远镜指向不同位置时，不同姿态下的偏振光度计仍然具有非常高的稳定性，确保偏振测量精度。

在观测时需要进行偏振定标，偏振定标可以将望远镜和光学元件的偏振效应、偏振元件的方位或延迟量误差、各元件的装调误差等进行修正，确保偏振测量精度。

1.6 偏振成像原理

常规光电成像探测器无法直接获取入射光的偏振态，要想获得目标的偏振信息，需要先得到该目标特定偏振状态下的光强，再通过相应解算最终得到入射光的偏振态。采用Stokes矢量来描述光的偏振态^[16]，可以表示光任意偏振态，定义如下：

$ S=\left[\begin{array}{c} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} I \\ Q \\ U \\ V \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} I_x+I_y \\ I_x-I_y \\ I_{+45}+I_{-45} \\ I_{\rm{r}}-I_{\rm{l}} \end{array}\right] $ (1)

式中：I_j表示偏振态的强度（j = x, y, +45, −45, r, l）；I_x表示水平线偏振光强（0°线偏振光强可以表示为I₀）；I_y表示垂直线偏振光强（90°线偏振光强可以表示为I₉₀）；I₊₄₅和I₋₄₅分别表示正、负45°线偏振光强；I_r和I_l分别表示右旋和左旋圆偏振光强；S₀和I表示偏振光的总强度；S₁和Q表示在水平偏振方向上的光强I₀与垂直偏振方向上的光强I₉₀之差；S₂和U表示在45°偏振方向上的光强I₄₅与−45°偏振方向上的光强I₋₄₅之差；S₃和V表示右旋圆偏振态的光强I_r与左旋圆偏振态的光强I_l之差。可见，Stokes矢量中各参量均是特定情况下光的强度值，可以直接或间接通过光电成像设备获得。

线偏振度(Degree of Linear Polarization, DoLP)和线偏振角(Angle of Linear Polarization, AoLP)计算方法如公式(2)和公式(3)所示：

$ DoLP = \frac{{\sqrt {S_1^2 + S_2^2} }}{{{S_0}}} $ (2)

$ AoLP = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}} \right) $ (3)

1.7 偏振光度计设计方案

该偏振光度计采用一种结合同时成像和分时成像的双通道分时线偏振成像探测方式，其结构示意图如图4所示，通过法兰盘连接在2.16 m望远镜的卡焦单元上。该方案采用偏振分光棱镜（Polarization Beam Splitter, PBS）进行分光，使用两个相机进行同时成像，图像采集过程分两步完成：首先同时获取0°和90°偏振方向的图像；然后通过调整半波片的方向，再同时获取45°和135°透偏振方向的图像^[17]。

图 4. 双通道分时偏振成像方案示意图

Fig. 4. Schematic diagram of a dual-channel time-division imaging polarimetry

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偏振光度计主要由偏振定标单元、偏振测量单元、光学镜头、控制器和相机构成，如图5和图6所示。偏振定标单元由偏振片、电控旋转台、电控位移平台构成，通过非偏振标准星进行偏振定标。偏振测量单元由滤光片、半波片、电控旋转台、偏振分光棱镜、电控位移平台构成，如图7所示，在进行偏振测量时，偏振定标单元通过电控位移平台切出光路。当偏振光度计进行多色测光观测时，同时将偏振定标单元（偏振片）和偏振测量单元（半波片和偏振分光棱镜）通过位移平台切出光路，1号相机便可以进行多色测光观测。

图 5. 2.16 m望远镜偏振光度计总体结构示意图

Fig. 5. Schematic diagram of the overall structure of the 2.16-m telescope polarimeter

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图 6. 线偏振测光时(a)和多色测光时(b) 2.16 m望远镜偏振光度计光路示意图

Fig. 6. Schematic diagram of the optical path of linear polarization photometry (a) and multicolor photometry (b) of the 2.16-m telescope polarimeter

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图 7. 偏振光度计内部组成

Fig. 7. Internal composition of the polarimeter

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2 偏振光度计偏振观测流程

2.1 偏振光度计工作流程

偏振光度计工作流程包括本底（BIAS）和平场（FLAT）拍摄及处理、偏振片初始角度标定、偏振定标、偏振测量，如图8所示。初次安装使用偏振光度计或者调整过偏振片后，需要对偏振片初始角度进行标定，方法为：选取一颗非偏振标准星对偏振片偏振方向的初始角度进行标定，并更新软件配置文件中存储的偏振片初始角度；若不需要重新对偏振片初始角度进行标定，则直接使用软件配置文件中存储的偏振片初始角度。

图 8. 偏振光度计工作流程图

Fig. 8. Flow chart of the polarimeter

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在偏振测量前，根据情况确定是否需要进行偏振定标，如需要，则根据软件中预设的流程进行偏振定标，获取偏振态测量矩阵存储并更新；如不需要，可使用软件中当前的偏振态测量矩阵，或者读取硬盘中存储的偏振态测量矩阵。

2.2 偏振片初始角度标定流程

偏振片初始角度是指偏振定标单元中偏振片的偏振轴与偏振测量单元中偏振分光棱镜P轴的夹角（如图6、图7所示），由于在设备装调时无法保证偏振片的偏振轴与偏振分光棱镜P轴对准，为确保偏振定标时对目标偏振态调制的精度，需要对这个初始角度进行标定。在偏振片初始角度标定时，偏振片移入光路，以非偏振标准星作为光源，将偏振片角度从–50°至50°、以10°为间隔进行旋转，将光源变为偏振光，经半波片和PBS后，在每个偏振片旋转角度下使用1号相机采集n幅图像，存储图像并提取每幅图像中目标星的流量，对每个偏振片旋转角度下的n个光强取平均，得到11个光强值进行曲线拟合（如图9所示），曲线的极大值对应的位置即为偏振片的初始角度。

图 9. 偏振片旋转时目标亮度变化曲线示意图

Fig. 9. Schematic diagram of a target brightness change curve when the polarizer is rotated

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2.3 偏振定标流程

偏振定标基本流程（如图10所示）如下：（a）将偏振定标单元（偏振片）移出光路。（b）半波片旋转到0°，两个相机同步采集n幅图像，存储图像并提取目标流量；半波片旋转到22.5°，两个相机同步采集n幅图像，存储图像并提取目标流量，共获取4×n个目标光强数据。（c）偏振定标单元移入光路，偏振片按程序预设的四个角度（22.5°、67.5°、112.5°、157.5°）进行旋转，在每个偏振片旋转角度重复步骤（b），获得不同偏振调制后的目标流量，共获取16×n个目标光强数据。（d）用步骤（b）和步骤（c）中获取的20×n个目标流量数据，分别对相同状态下获得的n个光强取均值，利用得到20个光强数据进行偏振定标，得到偏振成像系统的偏振解算矩阵。

图 10. 偏振定标基本流程图

Fig. 10. Flow chart of polarization calibration

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2.4 偏振测量流程

偏振测量基本流程（如图11所示）如下：（a）将偏振定标单元移出光路。（b）半波片旋转到0°，两个相机同步采集n幅图像，存储图像并提取目标流量；半波片旋转到22.5°，两个相机同步采集n幅图像，存储图像并提取目标流量，共获取4×n个目标光强数据。（c）对获取的4×n光强矩阵进行奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）滤波，然后分别对相同状态下获得的n个光强取均值，得到四个光强数据。（d）利用步骤（c）中获得的四个光强数据组成光强矢量，再使用偏振成像系统的偏振解算矩阵进行矩阵运算，获得目标的Stokes矢量，并利用目标的Stokes矢量解算目标偏振度。

图 11. 偏振测量基本流程图

Fig. 11. Flow chart of polarization measurement

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2.5 多色测光流程

在多色测光时，同时将偏振定标单元和偏振测量单元移出光路，通过旋转滤光片转轮，使用1号相机开展目标的多色测光，如图12所示。

图 12. 多色测光基本流程图

Fig. 12. Flow chart of multicolor photometry

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3 偏振光度计数据处理方法

3.1 偏振定标

偏振成像系统中光学器件的偏振效应、各成像通道的透过率差异、系统装调误差、相机响应差异等均会对偏振测量精度造成影响，并且这一影响与入射光的偏振态、波长等因素相关。因此，为了提升偏振测量精度，需要进行偏振定标^[18]。

3.1.1 偏振定标原理

基于Stokes矢量和Muller矩阵，偏振定标的基本原理是：首先构建标准偏振光源产生K种已知偏振态的入射光；然后使用待标定的偏振成像系统进行观测；最后通过偏振成像系统各通道实测光强数据进行求逆运算，得出偏振成像系统的实际Stokes矢量解算矩阵W。在对N个偏振成像通道的偏振成像系统进行偏振定标时，该过程可以表示为^[19]：

$ \begin{split} & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{1,0}}}&{{S_{2,0}}}& \cdots &{{S_{K,0}}} \\ {{S_{1,1}}}&{{S_{2,1}}}& \cdots &{{S_{K,1}}} \\ {{S_{1,2}}}&{{S_{2,2}}}& \cdots &{{S_{K,2}}} \\ {{S_{1,3}}}&{{S_{2,3}}}& \cdots &{{S_{K,3}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {w_{11}^{}}&{w_{21}^{}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{w_{N1}^{}} \\ {w_{12}^{}}&{w_{22}^{}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{w_{N2}^{}} \\ {w_{13}^{}}&{w_{23}^{}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{w_{N3}^{}} \\ {w_{14}^{}}&{w_{24}^{}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{w_{N4}^{}} \end{array}} \right] \cdot\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {I_{1,1}^{}}&{I_{1,2}^{}}& \cdots &{I_{1,{\text{K}}}^{}} \\ {I_{2,1}^{}}&{I_{2,2}^{}}& \cdots &{I_{2,K}^{}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {I_{N,1}^{}}&{I_{N,2}^{}}& \cdots &{I_{N,K}^{}} \end{array}} \right] \end{split}$ (4)

式中：S_x,y（x = 1, 2, ···, K; y = 0, 1, 2, 3）为第x个偏振入射光的第y个Stokes参量；W_x,y（x =1, 2, 3, 4; y =1, 2, ···, N）表示Stokes矢量解算矩阵中的矩阵元；I_x,y（x = 1, 2, ···, N; y = 1, 2, ···, K）对应第x个偏振入射光、第y个通道的探测器接收到的光强。公式(4)可简化表示为：

$ {S_i} = W \cdot I $ (5)

然后通过求解S_i的伪逆矩阵，即可得到经过偏振定标后的Stokes矢量解算矩阵，使用最小二乘法求解伪逆矩阵，如公式(6)所示：

$ W = {S_i} \cdot {\left( I \right)^{\rm{T}}} \cdot {\left[ {I \cdot {{\left( I \right)}^{\rm{T}}}} \right]^{\rm{T}}} $ (6)

由于望远镜和光学元件的偏振效应、偏振元件的方位或延迟量误差、各元件的装调误差等均会影响偏振定标的精度，可采用基于非线性最小二乘拟合的偏振定标方法提升偏振定标准确性。非线性最小二乘拟合偏振定标方法是将可能存在误差和偏振成像系统测量矩阵D作为未知参数，根据偏振定标系统结构和偏振成像探测理论建立探测光强与未知参数之间函数关系，通过对探测到的光强信息进行非线性最小二乘拟合，得出偏振成像系统测量矩阵D，最终得到偏振成像系统的Stokes矢量解算矩阵，如公式(7)所示：

$ W = {\left( {{D^{\rm{T}}} \cdot D} \right)^{ - 1}} \cdot {D^{\rm{T}}} $ (7)

3.1.2 基于非偏振标准星的偏振定标方法

一种典型的偏振定标系统如图13所示^[20]，使用积分球产生非偏振光，经准直和偏振态调制后，产生多个偏振态已知的平行入射偏振光。然后使用消偏振效应漫射器（该部分不改变入射光偏振态，或改变量极小）将平行入射偏振光转换为在一定角度内均匀分布的漫射偏振光，经准直镜头准直后在偏振成像系统中各通道相机上成像，然后即可利用公式(5)~(7)所示的方法进行偏振定标。这种偏振定标方法需产生多个具有不同偏振态的偏振光，因此该方法称为多点偏振定标法^[21]。

图 13. 偏振定标方式示意图

Fig. 13. Schematic diagram of the proposed polarization calibration

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对于2.16 m望远镜偏振光度计来说，进行偏振定标可以直接选用非偏振标准星作为平行入射的光源，在望远镜一次像面附近加入旋转偏振片作为起偏装置（即偏振定标单元，如图5~图7所示）。该设备在进行偏振定标时，将Stokes参量中非偏振标准星光强、偏振片初始角度θ_P0、偏振成像系统测量矩阵D中的各矩阵元d_lr（l = 1, 2, ···, N; r = 1, 2, 3, 4）作为未知参数，根据偏振光传输理论可以得出偏振成像系统各通道的探测光强矢量I与光源Stokes矢量S_i之间的关系如下：

$ I = D\left( {{d_{lr}}} \right) \cdot {M_G}\left( {{\theta _{P0}}} \right) \cdot {S_i}\left( {{s_0}} \right),l = 1,2,\cdots,N;r = 1,2,3,4 $ (8)

式中：S_i为光源的Stokes矢量矩阵；M_G为起偏装置进行偏振调制时的Muller矩阵^[22]，如公式（9）所示：

$ {M_G} = \left[ {{M_{G1}}{M_{G2}} \cdot \cdot \cdot {M_{GK}}} \right] $ (9)

其中，第K个偏振调制下起偏装置的Muller矩阵 ${{M_{GK}}} $可以表示为：

$ {M_{GK}} = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\cos 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&{\sin 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&0 \\ {\cos 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&{{{\cos }^2}2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&{\sin 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})\cos 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&0 \\ {\sin 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&{\sin 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})\cos 2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&{{{\sin }^2}2({\theta _{P0}} + k \cdot \Delta {\theta _P})}&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right] $ (10)

式中： $ \Delta {\theta }_{P} $为每次偏振片旋转的角度间隔； $ {\theta }_{P0} $为起偏装置中线偏振片的初始角度。将公式(8)~(10)表示为函数形式，则测量第k个入射光偏振态时，偏振成像系统中第n个通道接收到的光强如公式（11）所示：

$ \begin{split} I_{_n}^{}({\theta _{Pk}}) =& F({s_0},{\theta _{P0}},{\theta _{Pk}},{d_{11}},{d_{12}},{d_{13}},{d_{14}}, \\ & {d_{21}},{d_{22}},{d_{23}},{d_{24}},\cdots,{d_{N1}},{d_{N2}},{d_{N3}},{d_{N4}}) \\ \end{split} $ (11)

若偏振成像系统中的探测器像元获得的实际光强值记为 $ \tilde I_n^{}({\theta _{Pk}}) $，则以公式(11)为目标函数，对测量光强值 $ \tilde I_n^{}({\theta _{Pk}}) $进行非线性最小二乘拟合可以求解出该式中的各未知参数，如公式（12）所示：

$ {\chi ^2} = \min \left\{ {\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left( {{{\tilde I}_n}\left( {{\theta _{Pk}}} \right) - {I_n}\left( {{\theta _{Pk}}} \right)} \right)}^2}} } } \right\} $ (12)

在拟合出偏振成像系统标定后的测量矩阵 $ \hat D $后，利用公式(7)即可得到偏振成像系统的Stokes矢量解算矩阵，如公式（13）所示^[23]：

$ {W_P} = {({\hat D^{\rm{T}}} \cdot \hat D)^{ - 1}} \cdot {\hat D^{\rm{T}}} $ (13)

为了降低大气湍流闪烁和光强提取误差的影响，可以在每个调制偏振态下取n幅图像进行光强平均，然后再进行偏振定标处理。此外，在偏振定标时，通过合理地选择偏振片的旋转角度可以进一步减少光强闪烁带来的影响；偏振角度选取应避开0°、45°、90°和135°及其附近的角度，避免目标光强过弱导致能量提取误差变大。该偏振光度计在偏振定标时选取的一组偏振片调制角度为22.5°、67.5°、112.5°和157.5°，并结合一组未加入偏振片的测量数据来提高偏振定标的精度。

3.2 偏振态解算

为了得到目标偏振态，需要获取四个调制偏振态下的目标光强，为降低大气湍流闪烁和光强提取误差对偏振测量精度的影响，每个调制偏振态下采集n幅图片提取光强，再对每个调制偏振态下的n组光强取均值。为了避免多次图像采集中存在异常数据点影响偏振测量精度，采用SVD滤波的方法平滑异常数据点的影响，将获取的4×n个光强数据组成一个4×n的矩阵，如公式(14)所示^[24]：

$ {M_I} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_{0,1}}}&{{I_{0,2}}}& \cdots &{{I_{0,n}}} \\ {{I_{90,1}}}&{{I_{90,2}}}& \cdots &{{I_{90,n}}} \\ {{I_{45,1}}}&{{I_{45,2}}}& \cdots &{{I_{45,n}}} \\ {{I_{135,1}}}&{{I_{135,2}}}& \cdots &{{I_{135,n}}} \end{array}} \right] $ (14)

对M_I进行SVD分解，其中SVD (M_I)表示对矩阵进行SVD分解，可获得光强矩阵M_I的奇异值矩阵：

$ {{[U,S,V] = {\rm{SVD}}(}}{{{M}}_I})$ (15)

$ S = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{11}}}&0&0&0& \cdots &0 \\ 0&{{S_{22}}}&0&0& \cdots &0 \\ 0&0&{{S_{33}}}&0& \cdots &0 \\ 0&0&0&{{S_{44}}}& \cdots &0 \end{array}} \right] $ (16)

式中：S₁₁、S₂₂、S₃₃、S₄₄为M_I矩阵的四个奇异值。由于采用的是线偏振成像方式，矩阵M_I的秩为3，因此通过将奇异值矩阵S中的S₄₄置0，即：

$ {S^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{11}}}&0&0&0& \cdots &0 \\ 0&{{S_{22}}}&0&0& \cdots &0 \\ 0&0&{{S_{33}}}&0& \cdots &0 \\ 0&0&0&0& \cdots &0 \end{array}} \right] $ (17)

利用新的奇异值矩阵重构出光强矩阵 $ {{M}_{I}}{{'}}=U \cdot {S}{{'}}\cdot {V}^{{\rm{T}}} $，可以有效降低异常数据点对偏振测量准确性的影响。然后，对重构光强矩阵中每个调制偏振态下的n个光强值取均值获得光强矢量：

$ {I_P} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\bar I}_0}}&{{{\bar I}_{90}}}&{{{\bar I}_{45}}}&{{{\bar I}_{135}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $ (18)

再利用公式(13)中获得的Stokes矢量解算矩阵W_P进行运算，可以得到目标星的Stokes矢量 $ {\left[{S}_{P0}\;\;{S}_{P1}\;\;{S}_{P2}\right]}^{{\rm{T}}} $和目标星偏振度DoLP如下：

$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{S_{P0}}}&{{S_{P1}}}&{{S_{P2}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {W_P} \cdot {I_P} $ (19)

$ DoLP = \frac{{\sqrt {S_{P1}^2 + S_{P2}^2} }}{{{S_{P0}}}} $ (20)

4 偏振光度计测试

选择晴朗、无月夜，将偏振光度计安装在2.16 m望远镜卡塞格林焦点上，如图14所示，两台CCD相机均使用1 MHz 2×档位进行实测。按照第2节的偏振观测流程，拍完本底、平场，选择非偏振标准星HD14069进行偏振定标后就开始偏振测量观测。

图 14. 偏振光度计安装在2.16 m望远镜卡焦单元上进行观星实测

Fig. 14. The polarimeter was installed on the focal unit of the 2.16-m telescope for on-sky testing

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4.1 偏振测量精度测试

偏振测量的目标有非偏振标准星HD14069、偏振标准星BD+64°106和VI Cyg #12，目标的名字、J2000.0标准历元下的赤经（Right Ascension, RA）和赤纬（declination, DEC）、V波段星等（magnitude, mag）及标准星类型如表3所示^[25]，偏振光度计实测图像如图15所示。非偏振标准星HD14069拍摄了5组，曝光时间为3 s；偏振标准星BD+64°106和VI Cyg #12各拍摄了10组，曝光时间为1 s。按照第3节数据处理方法对实测数据进行处理，得到目标偏振度如图16所示。经计算，使用2.16 m偏振光度计实测V波段非偏振标准星HD14069的偏振度P(V)为0.094±0.043%，星表^[24]中给出该目标偏振度为0.022±0.019%；分别实测偏振标准星BD+64°106和VI Cyg #12的偏振度P(V)为5.676±0.260%和9.043±0.527%，星表中给出这两个目标偏振度分别为5.687±0.037%和8.947±0.088%，如表4所示。使用2.16 m望远镜偏振光度计对偏振标准星测量得到的线偏振度与星表中目标线偏振度差值均在测量误差范围内。从结果可以看出，该偏振光度计线偏振测量精度优于0.01。

图 15. 偏振光度计实测非偏振标准星HD14069 （a）、偏振标准星BD+64°106 （b）和VI Cyg #12 （c），图像视场为4.63′×4.63′，像元比例尺为0.54 (″)/pixel

Fig. 15. The polarimeter observed unpolarized standard target HD14069 (a), polarized standard targets BD+64°106 (b) and VI Cyg #12 (c). An FOV of the image is about 4.63′×4.63′, the pixel scale is 0.54 (″)/pixel

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图 16. 多次测量非偏振标准星HD14069 （a）、偏振标准星BD+64°106（b）和VI Cyg #12 （c）的偏振度

Fig. 16. The polarization of the unpolarized standard target HD14069 (a), polarized standard targets BD+64°106 (b) and VI Cyg #12 (c) measured multiple times

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4.2 偏振光度计性能测试

在偏振测量中，偏振测量精度ΔP与信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）关系如下^[26]：

$ \begin{split} \\ S N R = \frac{{\sqrt 2 }}{{\Delta P}} \end{split} $ (21)

即如果测量目标偏振度的偏振测量精度要优于1%，那么该目标的信噪比要大于141。所以在实际观时，为了获得高精度的偏振测量数据，需要获得信噪比足够高的目标图像。为了对偏振光度计性能进行测试，拍摄了朗道标准星如图17所示，标准星的信息如表5所示。所有图像首先经过本底和平场改正，然后使用SExtractor^[27]软件对图像进行测光处理，最后筛选出符合信噪比要求的目标星，结果如图18所示。为了使目标偏振度测量精度达到1%，即目标图像信噪比达到141，该系统60 s曝光时间可以拍摄到V波段15.3等星。

图 17. 偏振光度计拍摄的朗道标准星98 581、98 L1、98 580、98 556、98 557、98 563

Fig. 17. Landolt equatorial standards of 98 581, 98 L1, 98 580, 98 556, 98 557, 98 563 observed by the polarimeter

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图 18. 当SNR约为141时，曝光时间和V波段星等关系

Fig. 18. Exposure times with respect to V-band magnitudes when SNR is about 141

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5 总结与展望

经过收集国内多家单位对2.16 m望远镜偏振测光观测的需求，确定了偏振光度计功能和技术指标，进一步开展偏振光度计设计。该偏振光度计采用双通道分时偏振成像方案，使用两台相机进行同时成像，对目标拍摄两次即可获得其线偏振度。该偏振光度计具有偏振定标单元、偏振测量单元，可实现偏振定标、偏振测量和多色快速测光。文中给出了该偏振光度计的工作流程，包括偏振片初始角标定、偏振定标、偏振测量和多色测光，并给出了目标偏振态解算数据处理方法。

设计、加工完成后，将偏振光度计安装在2.16 m望远镜上开展观星实测。按照偏振光度计工作流程，首先使用非偏振标准星进行偏振定标，然后拍摄了一系列偏振标准星，经数据分析，该偏振光度计视场为4.63′×4.63′，像元比例尺为0.54 (″)/pixel，线偏振测量精度优于0.01。拍摄了一系列流量标准星，经天文测光数据处理，结果显示该系统60 s曝光时间可以拍摄到V波段信噪比约为141的15.3等星。

由于研发限制，2.16 m望远镜偏振光度计优先满足V波段（480~650 nm）工作要求，该偏振光度计所使用的偏振光学元件、缩焦镜、成像镜等均为货架产品，如若有其他工作波段的需求，可以通过更换偏振部件等进行升级。此次天文实测样本和实测次数不多，可以对该系统开展进一步的性能测试。