1 引言

干涉测量具有非接触性、高效率、高精度等优点,被广泛应用于光学元件面型测量^[1]、微弱目标探测^[2]、微小位移测量^[3]等领域。传统的相移干涉算法^[4-6]虽然能够达到亚纳米级精度,但其有效测量范围不能超过波长的1/4,因此应用领域受限。相比较而言,白光干涉测量由于其相干长度较短,测量范围通常可以达到数百微米。将白光干涉与相移算法相结合可以同时满足大量程和高精度的测量需求,是一种非常有应用前景的微纳结构检测手段^[7-12]。

目前,白光干涉形貌测量算法主要分为两大类:基于干涉光强信号分析的时域调制度算法^[13-16]和基于频谱相位分析的空间频域算法^[17-20]。其中,时域调制度算法是通过提取干涉信号的包络曲线来寻找光强极大值点(即零光程差点),进而确定零级干涉条纹位置并进行表面形貌恢复。然而,光强调制度的计算面临许多挑战,如计算量大、易受背景噪声干扰以及对采样间距要求较高等,这些都会对测量效率以及精度造成不良影响。空间频域算法由de Groot等^[21]提出并成功应用于白光干涉测量。该方法通过分析干涉信号的频谱相位信息来恢复被测结构的表面形貌。与时域调制度算法相比,空间频域算法不仅计算效率高,而且只需要合适的采样即可获得可靠的频谱成分,同时对背景噪声也有一定的抑制作用。在实际空间频域分析中,利用离散傅里叶变换提取到的实际相位只能介于±π范围内,其与理论相位之间必然会存在整数级次的2π误差,也就是所谓的2π相位模糊问题^[22-24]。此外,由于背景噪声、光源扰动以及其他外界干扰因素的影响,在消除2π模糊的过程中还可能会引入局部2π相位突变,这些都会对最终测量结果产生不利影响。王军等^[25]曾采用白光干涉空间频域算法对压电陶瓷的微小位移进行了高精度测量。谢元安等^[26]也曾利用空间频域分析来消除中心波长相位中的2π模糊,从而实现零光程差的精准定位。虽然上述方法最终都实现了准确测量,但是只适用于一些相对比较理想的采样情况,并未考虑外界干扰或者背景噪声可能引起的局部2π相位突变。de Groot等^[27]虽然提出了频域相位差分析的方法来解决2π模糊问题,但是该方法涉及复杂的拟合计算,并且也未考虑背景噪声可能引起的局部相位突变。

为了实现高效、稳定的2π模糊消除,本文提出了一种基于空间频域分析的白光干涉测量算法,通过相干信息与相位信息相结合的方式来消除相位信息中的2π模糊。同时,针对测量过程中出现的局部相位突变现象,提出了相邻像素点差分分析方法,通过分析正常像素点与异常点之间的相位变化,消除由背景噪声及其他外界干扰因素造成的局部相位突变。分别从理论仿真和实验两方面进行分析,以验证所提方法的有效性和稳定性。

2 基本原理

2.1 频域分析

在白光干涉测量中,CCD采集到的光强信号通常包含背景光强与干涉光强两部分,可以表示为

I(h,ζ)=IDC+IACexp[-(h-ζ)2/Lc2]·cos[2k0(h-ζ)+ϕA],(1)

式中:I_DC为背景光强;I_AC为与干涉条纹强度有关的系数;h表示待测样品的表面形貌高度;ζ为样品相对于干涉计的位置;L_c表示光源的相干长度;k₀为对应于中心波长的波数,k₀=2π/λ₀,λ₀为中心波长;ϕ_A为干涉信号的相干包络中心与零级干涉条纹中心之间的相位偏移,该偏移主要由背景噪声以及表面反射效应引起。在空间频域分析中,对(1)式进行傅里叶变换可以提取干涉信号的频谱相位信息,该相位与波数呈线性关系,可以表示为

θ=2kh+(k-k0)τ+γ,(2)

式中:k=2π/λ,为波长λ对应的波数;参数τ为背景噪声引起的离散误差;γ为样品表面反射现象引起的相位偏移。在(2)式中,θ仅代表理论上的初始相位,在实际的离散傅里叶变换中,提取的相位θ'只能介于±π范围内,两者之间存在整数级次的2π模糊误差,可以表示为

θ=θ'+2πm,(3)

式中参数m代表了实际相位与理论相位之间的2π误差级次,m为整数。

根据(2)式,可以通过两种方式来评估被测物体的表面形貌。一种是微分法,表示为

hc=12dθ'dk=h+τ2,(4)

式中h_c代表干涉信号的相干包络中心位置,因此由h_c恢复所得的表面形貌称之为相干形貌。值得注意的是,虽然初始相位θ'含有2π相位模糊误差,但是h_c却不受影响,只是包含了一个误差因子τ,因此相干形貌不能提供精确的面型。为了消除误差τ对测量结果的影响,另一种方法是通过线性插值提取中心波数的相位来恢复表面形貌。根据(2)式和(3)式,可得

hp=θ0/(2k0)=(θ'0+2πm)/(2k0)=h+γ/(2k0),(5)

式中:h_p为通过中心波数相位计算得到的表面形貌高度,称之为相位形貌;θ₀和θ'₀分别为理论和实际中心波数相位。只要移除2π模糊误差以及反射相

图 1. (a)白光干涉时域光强以及各参数示意;(b)频域空间中相位与波数之间的线性关系

Fig. 1. (a) Time-domain intensity of white-light interference pattern and the meaning of the parameters; (b) linear relationship between the phase and the wave number in frequency domain

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图 2. 仿真结果。(a)待测样品形貌;(b)含有误差τ的相干形貌;(c)含有局部2π相位突变的相位形貌;(d)不含2π模糊的最终形貌

Fig. 2. Simulation results. (a) Surface profile of the sample to be measured; (b) coherence surface profile with error τ; (c) phase surface profile with local 2π phase jump; (d) final surface profile without any 2π ambiguity

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位γ,即可获得不含误差因子τ的高精度测量结果。图1所示为白光干涉时域光强信号中各个参数的意义以及频域相位与波数间的线性关系。

考虑到相干形貌h_c不受2π模糊影响,可以以其为参考来消除相位θ'₀中的2π模糊。结合(4)式和(5)式可得

m=Round12π2k0hc-θ'0+γ-k0τ,(6)

式中函数Round表示对计算结果取整。由于参数γ和τ未知,所以很难直接根据(6)式来计算m。可以先假设γ=τ=0,只要γ与τ满足

γ-k0τ<π,(7)

则可正确计算得到m。

2.2 仿真分析

为了验证上述方法的有效性,在高斯噪声环境下进行相关仿真测试,结果如图2所示。其中,图2(a)为待测样品形貌,图2(b)为通过(4)式得到的相干形貌,图2(c)为通过(5)式得到的相位形貌。可以看出,由于误差因子τ的影响,图2(b)中的相干形貌表面比较粗糙,精度较低。图2(c)中的相位形貌因为初步消除了2π模糊和误差因子τ,精度有了明显提高,但图2(c)中的2π模糊并没有完全消除,在局部区域仍然存在许多由相位突变引起的毛刺。这主要是2π级次误差m计算错误导致。根据之前所述,计算m时假设γ=τ=0,并且满足条件 γ-k0τ<π时才能得到正确的计算结果。然而,由于背景噪声以及外界干扰的影响,在局部的一些点可能存在误差τ很大的情况,从而使得(7)式中的条件并不成立,最终导致了局部相位突变。尤其是在表面形貌比较复杂的区域,例如台阶边缘或者粗糙度较大处,这种现象十分明显。

为了解决这一问题,本文提出了相邻像素点差分分析方法。以单行元素为例,首先提取相邻像素点的高度差值并确定相邻像素点之间的2π相位突变,依据的公式为

p(j)=Round[Δhp(j)·2k0/(2π)],j=1,2,…,N-1,(8)

式中:p(j)为前后两个相邻像素点之间的2π突变级数,j表示当前像素点的位置;N为该行元素的总长度;Δh_p(j)为相邻像素点之间的高度差。通过(8)式可以确定每一行元素中发生相位突变的点,如图3(a)和3(b)所示。针对发生了相位突变的区域,采用如下公式来确定每个点的2π误差级次:

n(i)=∑j=n1ip(j),for∑j=n1n2p(j)=0,0,for∑j=n1n2p(j)≠0,i=n1,…,n2,(9)

式中:n(i)为第i点的2π误差级次;n₁和n₂分别为发生相位突变区域的起点和终点位置。(9)式中第一项主要考虑连续面型情形下出现的局部2π相位突变;第二项主要考虑台阶高度超过等效波长的情形,此时不对2π突变作过多处理,以免影响台阶特征。通过(9)式可以修正带有2π相位突变的像素点,同时正常的像素点不会有任何改变。

ϕ0(i)=ϕ0(i)-2πn(i), i=n1,…,n2。(10)

接下来只要消除由反射引起的相位偏移γ,就能得到真正的表面形貌:

h=(ϕ0-γ-)/(2k0)。(11)

此处采用平均反射相位 γ-代替实际反射相位γ,从而简化分析过程。图2(d)和图3(c)为消除局部相位突变后的最终表面形貌,由此证明了相邻像素点差分分析方法的有效性。

图 3. 局部2π相位突变消除。(a)带有2π突变的截面轮廓;(b)相邻像素点间的2π跳变级数;(c)消除局部相位突变后的最终轮廓

Fig. 3. Elimination of local 2π phase jump. (a) Cross-sectional profile with 2π phase jump; (b) 2π phase-jump order between adjacent pixels; (c) final profile after removing local phase jump

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3 实验结果

图4为基于Mirau干涉物镜的实验装置示意图。装置中采用中心波长为600 nm的LED灯作为白光光源。待测样品在垂直方向上的扫描运动由一个压电陶瓷驱动器(PZT)来控制,扫描步距设定为50 nm。用CCD相机采集样品在每一个采样步距处产生的干涉图像。利用该实验装置分别对微球面结构和带有台阶的光栅结构进行实验测试,结果如图5和图6所示。其中,图5(a)和图6(a)是利用(4)式得到的相干形貌,可以看出,由于背景噪声带来的误差,表面形貌非常粗糙。图5(b)和图6(b)是根据(6)式消除了2π模糊误差m后所得的相位形貌,虽然表面精度有所提高,但是仍然存在局部2π相位突变,尤其是对于光栅结构,在台阶变化的地方表现得十分明显。图5(c)和图6(c)是根据(9)式和

图 4. 基于Mirau干涉物镜的实验装置示意图

Fig. 4. Experimental setup with a Mirau interference objective

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(10)式消除局部相位突变后得到的最终形貌,可以看出,测量结果已经不受2π模糊的影响,而且精度也有了极大提升。在图6(c)中,点(523,300)处有一个明显的凸起缺陷,该缺陷的凸起高度约为24 nm,这在粗糙的图6(a)和带有局部相位突变的图6(b)中很难识别。从实验结果来看,表面形貌的测量结果与仿真测试结果十分吻合,证明了本文所提方法的有效性。

4 分析与讨论

为了评估表面形貌测试结果,首先提取微球面结构的截面曲线,如图7所示。从图中可以看出,由相位形貌所得到的截面曲线明显优于由相干形貌所得的截面曲线。为此,分别计算两种曲线的均方根(RMS)粗糙度:

Rq=1N∑i=1N[h(i)-hfit(i)]212,(12)

式中h_fit是根据测量结果进行多项式拟合后所得的拟合曲线。根据(12)式计算得到微球面结构的相干形貌与相位形貌的均方根粗糙度R_q的值分别为23.66 nm和1.75 nm。可以看出,两种形貌的均方根粗糙度相差一个数量级,说明利用中心波数相位信息得到的表面形貌具备更高的精度。随后,利用台阶仪对光栅结构的台阶高度进行测试,结果如图8所示。本文方法的测量结果为115.54 nm[图8(a)],利用台阶仪测量的结果为128.02 nm[图8(b)]。两种测量方法之间的差值为12.48 nm。主要原因是计算过程中为了简便对反射现象引起的相位偏差γ取均值,造成了一定的实验误差。尽管测量结果与真实结果之间存在差值,但是与通过相

图 5. 微球面结构表面形貌测量结果。(a)相干形貌;(b)带有局部2π相位突变的相位形貌;(c)不含相位模糊的最终形貌

Fig. 5. Surface profile measurement results of micro-spherical structure. (a) Coherence surface profile; (b) phase surface profile with local 2π phase jump; (c) final surface profile without phase ambiguity

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图 6. 光栅结构表面形貌测量结果。(a)相干形貌;(b)带有局部2π相位突变的相位形貌;(c)不含相位模糊的最终形貌

Fig. 6. Surface profile measurement results of grating structure. (a) Coherence surface profile; (b) phase surface profile with local 2π phase jump; (c) final surface profile without phase ambiguity

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图 7. 微球面结构的截面图。(a)相干形貌截面图及其残差曲线;(b)消除2π模糊后的相位形貌截面图及其残差曲线

Fig. 7. Cross-sectional profile of micro-spherical structure. (a) Cross-sectional profile of the coherence surface and the residual curve; (b) cross-sectional profile of the phase surface and the residual curve after removing 2π phase ambiguity

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图 8. 光栅结构截面图。(a)白光干涉测量结果;(b)台阶仪测量结果(1 ?=0.1 nm)

Fig. 8. Cross-sectional profile of grating structure. (a) Measurement result by white light interferometry; (b) step height measured by the stylus profiler (1 ?=0.1 nm)

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干信息所得的表面形貌相比,利用相位信息确实能够获得更高的测量精度,尤其是在台阶边缘处,相位信息能够提供更加清晰准确的边缘形貌特征。

5 结论

提出了一种高效、稳定的白光干涉空间频域分析算法,通过相干信息与相位信息相结合的方式,成功消除了相位信息中普遍存在的2π相位模糊,并实现了表面形貌的高精度测量。此外,针对形貌恢复过程中出现的局部2π相位突变现象,提出了相邻像素点差分分析方法,有效抑制了由背景噪声、外界干扰以及复杂表面反射引起的局部相位突变,提升了算法的稳定性和有效性。根据实验结果,通过中心波数相位信息恢复的形貌其均方根粗糙度不超过2 nm。后续工作将分析表面反射现象对测量精度的影响,从而进一步提升测量精度。